WikiPrépaLivrets

X ENS Mathématiques PC 2017Sujet, corrigé et rapport du jury

Pas encore noté
Logo concours X-ENS

Explorer les annales

BanqueX-ENSAnnée2017FilièrePCMatièreMathématiques
Annales X-ENS PC MathématiquesX-ENS PC 2017PC MathématiquesMathématiques 2017

Téléchargements

Télécharger le sujet (PDF)
Corrigé
Rapport du juryLire en ligneLaTeXWord

Présentation du sujet

Difficile
Rayon spectral et matrices strictement positives : norme subordonnée, formule de Gelfand et théorème de Perron
Afficher ou masquer la section

Le sujet étudie le rayon spectral d'une matrice complexe et ses propriétés pour les matrices strictement positives. Il introduit une norme subordonnée à la norme 1, montre la convergence vers 0 des puissances d'une matrice de rayon spectral inférieur à 1 et établit que le rayon spectral est la limite de la racine k-ième de la norme de A^k. La dernière partie démontre les propriétés de Perron pour une matrice strictement positive.

  1. 1Première partie : norme subordonnée et matrices triangulairesNorme subordonnée à la norme 1, sous-multiplicativité, expression par les colonnes et convergence vers 0 des puissances d'une matrice triangulaire à diagonale de module inférieur à 1.
  2. 2Deuxième partie : propriétés du rayon spectralExemples en dimension 2, vrai ou faux sur le rayon spectral, majoration par la norme, limite de la racine k-ième de la norme de A^k et comparaison avec la matrice des modules.
  3. 3Troisième partie : matrices strictement positivesLe rayon spectral est une valeur propre dominante et simple, associée à un vecteur propre strictement positif, avec étude de la limite de A^k x normalisé.

Difficile. Selon le jury, la difficulté progressait lentement mais la troisième partie, qui valait 8,9 points, n'a été traitée, même partiellement, que par une fraction infime des candidats.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 9,73 / 20 · écart-type 2,98 · 1 301 copies · où vous situez-vous ?
Afficher ou masquer la section
Moyenne
9,73/ 20
Écart-type
2,98
Copies
1 301
moyenne 9,7305101520
Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : rapport du jury. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées
Équivalences et égalités à moitié prouvées · Norme et norme d'algèbre · Valeurs propres élémentaires ratées
Afficher ou masquer la section

Le sujet progressait lentement en difficulté, avec de nombreuses questions intermédiaires qui guidaient la résolution ; la fin de la deuxième partie et la troisième partie contenaient les questions les plus difficiles. Environ 75 % des candidats traitent le même lot de questions ; la différence se fait sur deux ou trois questions demandant un raisonnement en plusieurs étapes. Le jury salue les efforts de rédaction mais regrette un manque de rigueur sur des points élémentaires.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Équivalences et égalités à moitié prouvées(1)(a), (3), (10)(b)

    En (1)(a), beaucoup ne montrent qu'un sens de l'équivalence ; en (3), une seule inégalité est souvent établie. En (10)(b), très peu prouvent les deux inclusions.

  2. 2
    Norme et norme d'algèbre(1)(b), (2)

    La définition d'une norme est mal connue d'un très grand nombre de candidats, et très peu prouvent que la norme subordonnée est sous-multiplicative.

  3. 3
    Valeurs propres élémentaires ratées(6), (7)

    Un nombre déraisonnable de candidats ne trouve pas les valeurs propres de matrices 2 x 2 très simples, qui servaient de contre-exemples à la question suivante.

    « Il n’est pas admissible de ne pas déterminer correctement (à vue) les valeurs propres des matrices »
  4. 4
    Inégalités renversées pour atteindre le résultat(10)(a)

    Des manipulations d'inégalités fausses sont utilisées pour retrouver le résultat donné par l'énoncé.

    « qui se sont retrouvées renversées « par magie »
  5. 5
    Trigonalisation non vue(9)

    Il suffisait de trigonaliser, en le justifiant, puis d'appliquer la question (5) ; peu de candidats l'ont vu.

  6. 6
    Propriété déclarée évidente(12), (15)(a)

    Une propriété à démontrer ne doit pas être qualifiée d'évidente : une récurrence puis un passage à la limite étaient attendus.

Ce qui a été bien réussi

  • La question (1)(a) a été plutôt bien traitée par la plupart des candidats.
  • La question (4) a été abordée par la plupart des candidats, généralement de manière satisfaisante.
  • Beaucoup ont réussi le calcul de la question (5)(a).
  • Une bonne partie de ceux qui l'ont tentée a obtenu l'inégalité de la question (16)(a).

Conseils du jury

  • Lire intégralement le sujet avant de commencer.
  • Énoncer entièrement les théorèmes et vérifier toutes leurs hypothèses, sans omettre les quantificateurs aux passages clés.
  • Mettre en évidence les points clés d'une démonstration (théorème utilisé, hypothèse importante) plutôt que seulement le résultat.
  • Citer proprement les questions précédentes utilisées.
  • Traiter avec soin quelques questions plus longues ou plus difficiles plutôt que de survoler toutes les questions faciles.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

Ces sujets peuvent vous intéresser

Lecture du sujet en ligne

L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
Afficher ou masquer la section
Sujet en PDF

ÉCOLE POLYTECHNIQUE - ÉCOLES NORMALES SUPÉRIEURES ÉCOLE SUPÉRIEURE DE PHYSIQUE ET DE CHIMIE INDUSTRIELLES

COMPOSITION DE MATHEMATIQUES (XEULC)

(Durée : 4 heures)
L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.
Dans le problème, n est un nombre entier naturel supérieur ou égal à 2 et [ [1, n] ] désigne l'ensemble des nombres entiers compris entre 1 et n.
ℂ désigne le corps des nombres complexes. Le module d'un nombre complexe z est noté |z|.
M_(n, m)(ℂ) (resp. M_(n, m)(ℝ) ) désigne l'espace des matrices à n lignes et m colonnes, à coefficients dans ℂ (resp. dans ℝ ). La matrice transposée d'une matrice M ∈ M_(n, m)(ℂ) est notée ^t M.
ℂ^n est identifié à l'espace M_(n, 1)(ℂ) des matrices colonnes à n lignes et à coefficients dans ℂ. Les coefficients d'un vecteur x ∈ ℂ^n sont notés x_1, …, x_n. Dans tout le problème, ℂ^n est muni de la norme ‖‖‖_1 définie par
‖x‖_1 = ∑_(i = 1)^n|x_i|.
Pour tous x ∈ ℂ^n et y ∈ ℂ^n, la matrice ^t xy ∈ M_1(ℂ) est identifiée au nombre complexe ∑_(i = 1)^n x_i y_i.
Le sous-espace vectoriel de ℂ^n engendré par un vecteur v ∈ ℂ^n∖{0} est noté ℂv.
Une matrice M ∈ M_(n, m)(ℝ) est dite positive (resp. strictement positive) lorsque tous ses coefficients sont des réels positifs (resp. strictement positifs). Cette propriété est notée M ⩾ 0 (resp. M > 0 ). Si A et B sont deux matrices de M_(n, m)(ℝ), on notera A ⩾ B (resp. A > B ) la propriété A − B ⩾ 0 (resp. A − B > 0 ). Ainsi, pour x et y dans ℝ^n,
x ⩾ y ⟺ ∀i ∈ [ [1, n] ], x_i ⩾ y_i.
Lorsque m = n, on utilisera la notation M_n(ℂ)(resp.M_n(ℝ)) pour M_(n, m)(ℂ)(resp.M_(n, m)(ℝ)). La matrice diagonale
(λ_1, 0, …, 0; 0, ⋱, ⋱, 0; ⋮, ⋱, ⋱, ⋮; 0, …, 0, λ_n) ∈ M_n(ℂ)
sera notée diag(λ_1, …, λ_n). On note I_n = diag(1, …, 1) la matrice identité d'ordre n.
Pour M ∈ M_n(ℂ), on pose
‖M‖ = sup_(x ∈ ℂ^n, ‖x‖_1 = 1)‖Mx‖_1 = sup_(x ∈ ℂ^n∖{0})(‖Mx‖_1)/(‖x‖_1).
Une matrice M ∈ M_n(ℂ) sera en général identifiée à l'endomorphisme φ_M de ℂ^n représenté par M dans la base canonique de ℂ^n : pour x ∈ ℂ^n, φ_M(x) = Mx. On appelle spectre d'une matrice
M ∈ M_n(ℂ), et on note Sp(M), l'ensemble des valeurs propres de M. Le rayon spectral de M, noté ρ(M), est défini comme le maximum des modules des valeurs propres de M :
ρ(M) = max{|λ|; λ ∈ Sp(M)}

Première partie

  1. a) Pour toute matrice M ∈ M_n(ℂ) et tout nombre réel C > 0, montrer l'équivalence
‖M‖ ⩽ C ⟺ ∀x ∈ ℂ^n : ‖Mx‖_1 ⩽ C‖x‖_1
b) Montrer que l'application M ⟼ ‖M‖ est une norme sur M_n(ℂ).
2. Montrer que pour A, B ∈ M_n(ℂ), ‖AB‖ ⩽ ‖A‖‖B‖.
3. Soit A ∈ M_n(ℂ). On note a_(i, j) le coefficient de A d'indice de ligne i et d'indice de colonne j. Montrer que
‖A‖ = max_(1 ⩽ j ⩽ n)(∑_(i = 1)^n|a_(i, j)|)
  1. On dit qu'une suite (A^((k)))_(k ∈ ℕ) de matrices de M_n(ℂ) converge vers une matrice B ∈ M_n(ℂ) lorsque
∀i ∈ [ [1, n] ], ∀j ∈ [ [1, n] ], lim_(k → + ∞)(a_(i, j))^((k)) = b_(i, j)
Montrer que la suite (A^((k))) converge vers B si et seulement si lim_(k → + ∞)‖A^((k)) − B‖ = 0.
5. On considère dans cette question une matrice A ∈ M_n(ℂ) triangulaire supérieure,
A = (a_(1, 1), a_(1, 2), …, …, a_(1, n); 0, a_(2, 2), …, …, a_(2, n); ⋮, ⋱, ⋱, ⋮; ⋮, ⋱, ⋱, ⋮; 0, …, …, 0, a_(n, n))
On suppose que
∀i ∈ [ [1, n] ], |a_(i, i)| < 1.
Pour tout réel b > 0, on pose P_b = diag(1, b, b^2, …, b^(n − 1)) ∈ M_n(ℝ).
a) Calculer P_b^(− 1)AP_b. Que se passe-t-il lorsqu'on fait tendre b vers 0 ?
b) Montrer qu'il existe b > 0 tel que
‖P_b^(− 1)AP_b‖ < 1
c) En déduire que la suite (A^k)_(k ∈ ℕ^∗) converge vers 0 .

Deuxième partie

  1. Déterminer le rayon spectral des matrices suivantes
(0, 0; 0, 1), (0, 0; 1, 0), (1, 0; 0, 0), (0, − 1; 2, 0), (3, 2; 1, 2)
  1. Dire, en justifiant brièvement la réponse, si les assertions suivantes sont exactes quels que soient A, B ∈ M_n(ℂ), μ ∈ ℂ.
    i) ρ(μA) = |μ|ρ(A).
    ii) ρ(A + B) ⩽ ρ(A) + ρ(B).
    iii) ρ(AB) ⩽ ρ(A)ρ(B).
    iv) Pour P ∈ M_n(ℂ) inversible, ρ(P^(− 1)AP) = ρ(A).
    v) ρ(^t A) = ρ(A).
  2. Montrer que pour toute matrice A ∈ M_n(ℂ),
ρ(A) ⩽ ‖A‖
Dans les questions 9 à 11, on considère une matrice A ∈ M_n(ℂ).
9. Montrer que si ρ(A) < 1, alors la suite (A^k)_(k ∈ ℕ^∗) converge vers 0 .
10. a) Montrer que, pour tout k ∈ ℕ^∗, ‖A^k‖ ⩾ ρ(A)^k.
b) On définit la partie de ℝ_+
E_A = {α > 0| lim_(k → + ∞)(A/α)^k = 0}.
Montrer que E_A = ]ρ(A), + ∞[.
11. Montrer la formule
lim_(k → + ∞)‖A^k‖^(1/k) = ρ(A)
  1. Pour A ∈ M_n(ℂ) de coefficients a_(i, j), on pose A_+ = (b_(i, j))_(1 ⩽ i, j ⩽ n), où b_(i, j) = |a_(i, j)|. Montrer l'inégalité
ρ(A) ⩽ ρ(A_+)

Troisième partie

Dans toute cette partie, A est une matrice strictement positive de M_n(ℝ).
On se propose de démontrer les propriétés suivantes.
(i) ρ(A) > 0, ρ(A) est une valeur propre de A et toute autre valeur propre λ ∈ ℂ de A vérifie |λ| < ρ(A).
(ii) ρ(A) est une racine simple du polynôme caractéristique de A et ker(A − ρ(A)I_n) est engendré par un vecteur v_0 dont toutes les composantes sont strictement positives.
(iii) Si v est un vecteur propre de A dont toutes les composantes sont positives, alors v ∈ ker(A − ρ(A)I_n).
(iv) Pour tout vecteur positif non nul x, il existe c ∈ ℝ_+^∗ tel que lim_(k → + ∞)(A^k x)/(ρ(A)^k) = cv_0.
13. Soient z_1, …, z_n des nombres complexes. Montrer que si
|z_1 + ⋯ + z_n| = |z_1| + ⋯ + |z_n|
alors le vecteur (z_1; ⋮; z_n) est colinéaire au vecteur (|z_1|; ⋮; |z_n|).
14. Soient x, y ∈ ℂ^n, λ, μ ∈ ℂ. Montrer que si λ ≠ μ, alors on a l'implication suivante
(Ax = λx et ^t Ay = μy) ⟹ ^t xy = 0.
  1. On suppose qu'il existe un réel positif μ et un vecteur positif non nul w tels que Aw ⩾ μw.
    a) Montrer que pour tout entier naturel k, A^k w ⩾ μ^k w. En déduire que ρ(A) ⩾ μ.
    b) Montrer que si Aw > μw, alors ρ(A) > μ.
    c) On suppose à présent que dans le système d'inégalités Aw ⩾ μw, la k-ième inégalité est stricte, c'est-à-dire
∑_(j = 1)^n a_(kj)w_j > μw_k.
Montrer qu'il existe ε > 0 tel que, en posant w_j^′ = w_j si j ≠ k et w_k^′ = w_k + ε, on a Aw^′ > μw^′. En déduire que ρ(A) > μ.
16. Soit λ une valeur propre de A de module ρ(A) et soit x ∈ ℂ^n∖{0} un vecteur propre de A associé à λ. On définit le vecteur positif non nul v_0 par (v_0)_i = |x_i| pour 1 ⩽ i ⩽ n.
a) Montrer que Av_0 ⩾ ρ(A)v_0, puis que
Av_0 = ρ(A)v_0.
b) En déduire que ρ(A) > 0 et
∀i ∈ [ [1, n] ], (v_0)_i > 0.
c) Montrer que x est colinéaire à v_0. En déduire que λ = ρ(A).
La propriété (i) est démontrée.
17. En appliquant les résultats précédents à la matrice ^t A, on obtient l'existence de w_0 ∈ ℝ^n, dont toutes les composantes sont strictement positives, tel que ^t Aw_0 = ρ(A)w_0. On pose
F = {x ∈ ℂ^n|^t xw_0 = 0}
a) Montrer que F est un sous-espace vectoriel de ℂ^n stable par φ_A, et que
ℂ^n = F ⊕ ℂv_0.
b) Montrer que si v est un vecteur propre de A associé à une valeur propre μ ≠ ρ(A), alors v ∈ F. En déduire la propriété (iii).
18. a) On note ψ l'endomorphisme de F défini comme la restriction de φ_A à F. Montrer que toutes les valeurs propres de ψ sont de module strictement inférieur à ρ(A). En déduire que ρ(A) est une racine simple du polynôme caractéristique de A et que
ker(A − ρ(A)I_n) = ℂv_0.
La propriété (ii) est démontrée.
b) Montrer que si x ∈ F, lim_(k → + ∞)(A^k x)/(ρ(A)^k) = 0.
c) Soit x un vecteur positif non-nul. Déterminer la limite de (A^k x)/(ρ(A)^k) lorsque k tend vers + ∞.
La propriété (iv) est démontrée.

Questions fréquentes

4 questions
Sur quoi porte le sujet X-ENS Maths PC 2017 ?
Afficher ou masquer la section

Sur quoi porte le sujet X-ENS Maths PC 2017 ?

Il porte sur le rayon spectral d'une matrice complexe : norme subordonnée, convergence des puissances de matrices, formule de la limite de la racine k-ième de la norme de A^k, puis propriétés des matrices strictement positives.

Quelle est la moyenne de l'épreuve X-ENS Maths PC 2017 ?

Selon le rapport, la moyenne des 1301 candidats français est de 9,73 avec un écart-type de 2,98. La présentation et la rédaction comptaient pour 2,1 points.

Quelles erreurs le jury a-t-il relevées en X-ENS Maths PC 2017 ?

Des équivalences prouvées dans un seul sens, une définition de norme mal connue, des valeurs propres de matrices 2 x 2 fausses et des inégalités renversées pour atteindre le résultat.

Comment se démarquer sur un sujet comme X-ENS Maths PC 2017 ?

Le jury observe que la plupart des candidats traitent les mêmes questions. Ceux qui se distinguent réussissent deux ou trois questions plus longues, avec un raisonnement en plusieurs étapes.

Pas de description pour le moment