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X ENS Mathématiques PC 2012Sujet, corrigé et rapport du jury

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Présentation du sujet

Difficile
Étude qualitative des solutions de systèmes d'équations différentielles autonomes
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Le sujet porte sur l'étude qualitative des solutions des systèmes d'équations différentielles autonomes y' = f(y), avec f de classe C1, et s'intéresse en particulier au comportement asymptotique de ces solutions. Il débute par un préliminaire sur les normes, puis étudie un exemple en dimension 1, le cas linéaire (exponentielle de matrice, lemme de Gronwall) et enfin une partie de linéarisation. Les calculatrices ne sont pas autorisées.

  1. 1PréliminaireQuestions sur les normes, pouvant rapporter jusqu'à 6 points sur 20 si entièrement traitées.
  2. 2Première partie : un exemple en dimension 1Étude d'une équation différentielle en dimension 1 via séparation des variables et changement de variable, pouvant rapporter 4 points sur 20.
  3. 3Deuxième partie : le cas linéaireÉtude de l'exponentielle de matrice, du lemme de Gronwall et de l'unicité des solutions maximales, pouvant rapporter 16 points sur 20.
  4. 4Troisième partie : linéarisationÉtude par linéarisation du comportement des solutions, avec des questions sur les inégalités et le raisonnement par l'absurde, pouvant rapporter 11 points sur 20.

Difficile. Le rapport indique que les résultats ont désagréablement surpris les correcteurs, avec une moyenne basse de 7,62/20 et des notes si basses qu'il a fallu fortement remonter les barèmes.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 7,62 / 20 · écart-type 3,25 · 1 362 copies · où vous situez-vous ?
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Moyenne
7,62/ 20
Écart-type
3,25
Copies
1 362
moyenne 7,6205101520
Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : rapport du jury. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées
Définition de la norme méconnue · Confusion sur l'égalité d'applications linéaires · Erreurs grossières sur les inégalités vectorielles
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Le jury a été désagréablement surpris par les résultats : le sujet, pourtant bien structuré et simple dans son préliminaire et ses deux premières parties, n'a été que trop souvent à peine traité. Des questions élémentaires, comme celles du préliminaire, ont généré beaucoup de difficultés. Le jury déplore aussi une explosion du nombre de copies très mal écrites, raturées, sans rédaction.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Définition de la norme méconnuePréliminaire Q1

    Une quantité invraisemblable de candidats ignore ce qu'est une norme, dès la première question du préliminaire.

    « Une quantité invraisemblable de candidats ignore ce qu'est une norme ! »
  2. 2
    Confusion sur l'égalité d'applications linéairesPartie II

    Un nombre inconcevable de candidats pensent que si deux applications linéaires coïncident en un vecteur, alors elles sont égales, ce qui rend leur raisonnement incorrect.

  3. 3
    Erreurs grossières sur les inégalités vectoriellesQ12a

    Des candidats passent à tort d'inégalités entre produits scalaires ou normes de vecteurs à des inégalités sur les vecteurs de R2 eux-mêmes.

  4. 4
    Copies mal écrites et rédaction absente

    Le jury signale une explosion du nombre de copies très mal écrites, raturées, sans phrase, uniquement avec des symboles mathématiques.

  5. 5
    Régularité de la solution proposée oubliéeQ9a

    À la question 9a, il fallait vérifier à la fois la régularité de la solution proposée et le fait qu'elle vérifie l'équation, mais le premier point a souvent été oublié.

  6. 6
    Équation d'un cercle non reconnueQ13a

    À la question 13a, question pourtant facile, peu de candidats ont été capables de reconnaître l'équation d'un cercle.

Ce qui a été bien réussi

  • La question 3, application directe du théorème énoncé dans le sujet, a été correctement traitée par la plupart des candidats.
  • La question 4c a été globalement bien traitée par une grande partie des candidats.
  • La question 7c, se ramener au cas diagonal, a été plutôt bien traitée.
  • Le lemme de Gronwall (question 8a) a été plutôt bien traité grâce à l'indication fournie dans l'énoncé.

Conseils du jury

  • Traiter avec soin les questions un peu difficiles plutôt que de survoler toutes les questions faciles, car c'est ainsi que l'on gagne réellement des points.
  • Réserver le brouillon aux essais et erreurs : la copie rendue doit être un résultat final, réfléchi et propre.
  • Préciser les quantificateurs aux passages cruciaux des démonstrations.
  • Bien connaître les définitions de base (norme, classe C1) et le théorème d'unicité des solutions maximales, mobilisés dans une grande partie du sujet.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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ÉCOLE POLYTECHNIQUE - ÉCOLES NORMALES SUPÉRIEURES
ÉCOLE SUPÉRIEURE DE PHYSIQUE ET DE CHIMIE INDUSTRIELLES

CONCOURS D'ADMISSION 2012
filière PC

COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES - (XEULC)

(Durée : 4 heures)
L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.
Ce sujet porte sur l'étude qualitative des solutions des systèmes d'équations différentielles autonomes y^′ = f(y) avec f : ℝ^n → ℝ^n de classe C^1. On s'intéressera en particulier au comportement asymptotique de ces solutions.

Notations, définition, rappel

Dans tout le sujet, ℝ^n est muni de son produit scalaire canonique noté ⟨, ⟩etdelanorme euclidienne associée, notée ‖‖, c'est-à-dire que pour
x = (x_1; ⋮; x_n) et y = (y_1; ⋮; y_n) ∈ ℝ^n, ⟨x, y⟩ = ∑_(i = 1)^n x_i y_i et ‖x‖ = √(⟨x, x⟩).
L'ensemble des matrices carrées de taille n à coefficients dans ℝ est noté M_n(ℝ). L'ensemble des matrices inversibles de taille n à coefficients dans ℝ est noté GL_n(ℝ). L'ensemble des matrices orthogonales de taille n à coefficients dans ℝ est noté O_n(ℝ). La matrice identité de taille n est notée I_n.
L'ensemble des fonctions de classe C^1 de ℝ^n dans ℝ^n sera noté C^1(ℝ^n).
Soient f : ℝ → ℝ et φ : ℝ → ]0, + ∞[ deux fonctions. On note f = o_(+ ∞)(φ) si
∀ε > 0 ∃M > 0 ∀x ∈ [M, + ∞[ |f(x)| ≤ εφ(x).
Les lettres I et J désigneront toujours un intervalle de ℝ.
Définition (Solution maximale). Soit I ≠ ∅. Une solution y : I → ℝ^n de
(E) y^′ = f(y)
est une solution maximale si y est une fonction de classe C^1 et si pour toute autre fonction de classe C^1 z : J → ℝ^n solution de (E) avec z = y sur I ∩ J ≠ ∅ on a J ⊂ I.
On pourra utiliser le résultat suivant que l'on ne demande pas de démontrer :
Théorème 1. Soit f : ℝ^n → ℝ^n de classe C^1. Pour tout t_0 ∈ ℝ et pour tout y_0 ∈ ℝ^n, il existe une unique solution maximale du problème de Cauchy
{y^′ = f(y); y(t_0) = y_0
et cette solution maximale est définie sur un intervalle ouvert de ℝ qui contient t_0. Si f(y) est linéaire en y, alors la solution maximale est définie sur ℝ.

Préliminaire

Pour une matrice A ∈ M_n(ℝ), on note
‖A‖ = sup_(x ∈ ℝ^n, ‖x‖ ≤ 1)‖Ax‖
  1. Montrer que ||| ||| définit une norme sur M_n(ℝ).
  2. Montrer que pour tous A et B dans M_n(ℝ), on a ‖|AB‖ ≤ ‖A‖‖‖B‖.

Première partie : un exemple en dimension 1

On considère le problème de Cauchy suivant
(P){y^′ = ay(1 − y/b); y(0) = y_0
où a > 0, b > 0 et y_0 ∈ ℝ.
3. Montrer que (P) admet une unique solution maximale y : I → ℝ.
4. Soit y_0 ∈ ]0, b[.
a) Montrer que pour tout t ∈ I, y(t) ∈ ]0, b[.
b) Montrer que pour tout t ∈ I, on a
∫_(y_0)^(y(t))(du)/(u(1 − u/b)) = at
c) En déduire que I = ℝ et donner y(t) pour t ∈ ℝ en fonction de y_0, a et b.
d) Donner les limites de y(t) pour t → + ∞ et pour t → − ∞.

Deuxième partie : le cas linéaire

Dans cette partie, on étudie le problème
(L){Y^′ = AY; Y(0) = Y_0
où A ∈ M_n(ℝ) et Y_0 ∈ ℝ^n.
On définit φ_A : ℝ × ℝ^n → ℝ^n par φ_A(t; Y_0) = Y(t) où Y est la solution maximale de (L).
5. Montrer que pour tout t ∈ ℝ, Y_0 ↦ φ_A(t; Y_0) est linéaire injective. En déduire qu'il existe e_A : ℝ → GL_n(ℝ) tel que pour tout (t, Y_0) ∈ ℝ × ℝ^n, φ_A(t; Y_0) = e_A(t)Y_0.
6. a) Montrer que e_A est de classe C^1 sur ℝ et que pour tout t ∈ ℝ, e_A^′(t) = Ae_A(t).
b) Montrer que e_A(0) = I_n et que pour tout (t, s) ∈ ℝ^2, e_A(t + s) = e_A(t)e_A(s) = e_A(s)e_A(t).
c) Montrer que pour tout t ∈ ℝ, e_A(− t) = e_A(t)^(− 1).
7.a) Soit P ∈ GL_n(ℝ). Montrer que e_(P^(− 1)AP)(t) = P^(− 1)e_A(t)P.
b) Montrer que si A est une matrice diagonale dont les coefficients sont notés λ_1, …, λ_n alors e_A(t) est une matrice diagonale dont les coefficients sont e^(tλ_1), …, e^(tλ_n).
c) Dans le cas où A = (4, − 2; 1, 1), calculer e_A(t) pour tout t ∈ ℝ.
8. a) Soit α et β des constantes positives dans ℝ. Soit φ : [0, + ∞[ → ℝ une fonction continue qui vérifie
∀t ∈ [0, + ∞[ φ(t) ≤ α + β∫_0^t φ(s)ds
Montrer que pour tout t ∈ [0, + ∞[, on a φ(t) ≤ αe^(βt).
Indication : On pourra étudier la fonction F(t) = (α + β∫_0^t φ(s)ds)e^(− βt).
b) Montrer que pour tout t ∈ ℝ, ‖e_A(t)‖ ≤ e^(‖A‖||t|).
9. Soit g : ℝ → ℝ^n une fonction C^1. Soit Z_0 ∈ ℝ^n. On considère le problème de Cauchy
(U){Z^′(t) = AZ(t) + g(t); Z(0) = Z_0
a) Montrer que pour tout t ∈ ℝ,
Z(t) = e_A(t)(Z_0 + ∫_0^t e_A(− s)g(s)ds)
est bien défini et solution du problème ( U ).
b) Montrer que si Z~ : I → ℝ^n est une solution de classe C^1 de (U) sur un intervalle ouvert contenant 0 , alors Z~(t) = Z(t) pour tout t ∈ I.
10.a) Soit a > 0. Soit λ ∈ ] − ∞, − a. Soit g : ℝ → ℝ une fonction de classe C^1 telle que g(t) = o_(+ ∞)(e^(− at)). Soit y : ℝ → ℝ une fonction de classe C^1 qui vérifie y^′ = λy + g. Montrer que y(t) = o_(+ ∞)(e^(− at)).
b) On suppose dans cette question que A est une matrice triangulaire supérieure de coefficients diagonaux λ_1, …, λ_n. On suppose qu'il existe a > 0 tel que pour tout i ∈ {1, …, n}, λ_i < − a. Montrer que ‖Y(t)‖ = o_(+ ∞)(e^(− at)) où Y est la solution maximale du problème (L).
c) On suppose ici que le polynôme caractéristique de A est scindé sur ℝ. On suppose de plus que toutes les valeurs propres de A sont strictement négatives. Montrer qu'il existe a > 0 tel que ‖e_A(t)‖ = o_(+ ∞)(e^(− at)).
11. On suppose que A est dans O_n(ℝ) et que A^2 + I_n = 0.
a) Donner les valeurs propres de A dans ℂ et montrer que n est pair.
b) Montrer que pour tout t ∈ ℝ, ‖e_A(t)‖ = 1.

Troisième partie : linéarisation

Soit f ∈ C^1(ℝ^2, ℝ^2). Dans cette partie, on s'intéresse à la solution de
(S){Y^′ = f(Y); Y(0) = Y_0
pour Y_0 ∈ ℝ^2.
12. Soit Y : [0, + ∞[ → ℝ^2 une solution de ( S ). On suppose que lim_(t → + ∞)Y(t) = l ∈ ℝ^2 existe. On souhaite montrer que f(l) = 0. On suppose donc par l'absurde f(l) ≠ 0.
a) Montrer qu'il existe M > 0 tel que
∀t ∈ [M, + ∞[ ⟨Y^′(t), f(l)⟩ ≥ 1/2‖f(l)‖^2
b) Montrer que
∀t ∈ [M, + ∞[ ⟨Y(t), f(l)⟩ ≥ (t − M)(‖f(l)‖^2)/2 + ⟨Y(M), f(l)⟩
c) En conclure que f(l) = 0.
13. Dans cette question, on suppose que
f :, ℝ^2; (y/z) → ℝ^2 = ((z + αy(y^2 + z^2))/(− y + αz(y^2 + z^2)))
où α ∈ ℝ. Soit Y : I → ℝ^2 la solution maximale de (S).
a) Si α = 0, montrer que I = ℝ et identifier la solution maximale. Quelle est la nature de la courbe t ↦ Y(t) ?
b) On admet dans cette question que [0, + ∞[ ⊂ I lorsque α < 0. Montrer que pour α < 0, on a lim_(t → + ∞)Y(t) = 0.
Indication : On pourra étudier la fonction t ↦ ‖Y(t)‖^2.
c) On suppose Y_0 ≠ 0, α > 0 et on pose T = 1/(2α‖Y_0‖^2). Montrer que, si Y est définie sur [0, T[, alors lim_(t → T)‖Y(t)‖ = + ∞. En déduire I ⊂ ] − ∞, T[.
14. Dans cette question, on suppose qu'il existe une matrice A ∈ M_2(ℝ) dont le polynôme caractéristique est scindé sur ℝ, dont toutes les valeurs propres sont strictement négatives et telle que ‖f(x) − Ax‖ = o(‖x‖) quand x → 0.
a) Montrer que A est la matrice jacobienne de f en 0 .
b) Soit Y : I → ℝ^2 la solution maximale de ( S ). On supposera que [0, + ∞[ ⊂ I. Montrer qu'il existe a > 0 et K ≥ 0 tels que pour tout ε > 0 et tout t > 0 on a
‖Y(t)‖ ≤ Ke^(− ta)(‖Y_0‖ + ∫_0^t e^(sa)ε‖Y(s)‖ds)
dès que
∀s ∈ [0, t] ‖f(Y(s)) − AY(s)‖ ≤ ε‖Y(s)‖
c) En déduire qu'il existe b > 0, δ > 0 et C > 0 tels que pour Y_0 ∈ ℝ^2 avec ‖Y_0‖ ≤ δ, on a
∀t ∈ [0, + ∞[ ‖Y(t)‖ ≤ Ce^(− bt)
d) Soit y : [0, + ∞[ → ℝ et z : [0, + ∞[ → ℝ des fonctions de classe C^1 qui vérifient
{y^′ = zy(1 − y); z^′ = y − z; y(0) = y_0, z(0) = z_0
où y_0 ∈ ℝ et z_0 ∈ ℝ.
Montrer qu'il existe δ > 0 tel que si |y_0 − 1|^2 + |z_0 − 1|^2 ≤ δ^2, alors y(t) et z(t) tendent vers 1 lorsque t tend vers + ∞.

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte le sujet de maths X-ENS PC 2012 ?
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Sur quels chapitres porte le sujet de maths X-ENS PC 2012 ?

Le sujet porte sur les équations différentielles autonomes : étude d'un exemple en dimension 1, exponentielle de matrice et lemme de Gronwall dans le cas linéaire, puis linéarisation du comportement asymptotique des solutions.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur ce sujet de maths X-ENS PC 2012 ?

Le jury relève une méconnaissance de la définition de norme, une confusion sur l'égalité d'applications linéaires coïncidant en un vecteur, et des erreurs grossières de manipulation d'inégalités vectorielles.

Ce sujet de maths X-ENS PC 2012 est-il difficile ?

Oui, la moyenne est de 7,62/20 avec un écart-type de 3,25, et le jury indique avoir été désagréablement surpris par des résultats très décevants malgré un sujet bien structuré.

La rédaction compte-t-elle beaucoup sur ce sujet de maths X-ENS PC 2012 ?

Oui, le rapport insiste sur une explosion du nombre de copies mal écrites et sanctionne systématiquement le manque de rédaction et de précision, une partie de la note étant consacrée à la présentation.

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