WikiPrépaLivrets

E3A Mathématiques B PC 2012Sujet et corrigé

Pas encore noté
Faisable en Sup
Logo concours E3A

Explorer les annales

BanqueE3AAnnée2012FilièrePCMatièreMathématiques
Annales E3A PC MathématiquesE3A PC 2012PC MathématiquesMathématiques 2012

Téléchargements

Télécharger le sujet (PDF)
Corrigé
Lire en ligneLaTeXWord
  • Rapport du jury : non disponible

Ces sujets peuvent vous intéresser

Lecture du sujet en ligne

L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
Afficher ou masquer la section
Sujet en PDF

CONCOURS ARTS ET MÉTIERS ParisTech - ESTP - ARCHIMEDE

Épreuve de Mathématiques B PC

Durée 3 h

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

L'usage de calculatrices est interdit.

AVERTISSEMENT

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. En particulier, les résultats non encadrés et non justifiés ne seront pas pris en compte.

Exercice 1

On note E = 𝒞^0(ℝ, ℝ), le ℝ-espace vectoriel des applications continues de ℝ à valeurs dans ℝ.
Soit alors la suite de fonctions (f_n)_(n ∈ ℕ) définie par :
f_0 ∈ E et ∀n ∈ ℕ, ∀x ∈ ℝ, f_(n + 1)(x) = ∫_0^x f_n(t)dt
Pour tout réel a > 0, on note I_a = [ − a, a].
  1. Donner l'expression du développement en série entière de la fonction exponentielle et préciser son domaine de validité.
  2. Soient g un élément de E et β un réel.
    2.1 Démontrer que l'application G : x ⟼ G(x) = e^x∫_β^x g(t)e^(− t)dt est solution de l'équation différentielle :
(ℰ) ∀x ∈ ℝ, y^′(x) − y(x) = g(x)
2.2 Calculer G(β).
2.3 Résoudre l'équation différentielle ( ℰ ).
2.4 Énoncer un problème de Cauchy, lié à l'équation ( ℰ ), dont G est l'unique solution.
3. Soit λ ∈ ℝ^∗.
Résoudre l'équation différentielle :
∀x ∈ ℝ, λy^(′′)(x) − (1 + λ)y^′(x) = 0
  1. Démontrer qu'il existe une constante M ∈ ℝ_+telle que :
∀x ∈ I_a, ∀k ∈ ℕ, |f_k(x)| ⩽ M(|x|^k)/(k!)
  1. Démontrer alors que la série de fonctions ∑_(n ⩾ 1)f_n converge simplement sur ℝ vers une fonction F.
  2. Démontrer que F est de classe C^1 sur I_a, puis sur ℝ.
  3. Calculer F(0).
  4. Prouver que F est solution d'un problème de Cauchy associé à une équation différentielle linéaire du premier ordre.
  5. Donner alors une expression de F en fonction de f_0.
  6. Dans cette question, on prend f_0 : x ∈ ℝ ⟼ f_0(x) = x^2. Déterminer précisément F.
  7. Soit n ∈ ℕ.
    11.1 Prouver qu'il existe des scalaires (a_0, …, a_n), que l'on déterminera, tels que :
∀x ∈ ℝ, f_(n + 1)(x) = ∑_(k = 0)^n a_k x^k + ∫_0^x((x − t)^n)/(n!)f_(n + 1)^((n + 1))(t)dt
11.2 Démontrer que:
∀x ∈ ℝ, f_(n + 1)(x) = ∫_0^x((x − t)^n)/(n!)f_0(t)dt
11.3 En déduire que :
∀n ∈ ℕ^∗, ∀x ∈ ℝ, ∑_(k = 1)^n f_k(x) = ∫_0^x f_0(t)(∑_(k = 0)^(n − 1)((x − t)^k)/(k!))dt
11.4 Retrouver alors l'expression de F obtenue à la question 9 .
12. Soit ψ : f ∈ E ⟼ H = ψ(f) définie par :
∀x ∈ ℝ H(x) = e^x∫_0^x f(t)e^(− t)dt
12.1 Vérifier que ψ est un endomorphisme de E.
12.2ψ est-elle injective?
12.3 Déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres de ψ.

Exercice 2

Question préliminaire:
Soient α et β deux réels strictement positifs. Vérifier que : (1 + α)(1 + β) ⩾ (1 + α + β)
Soient (u_n)_(n ∈ ℕ^∗) et (v_n)_(n ∈ ℕ^∗) deux suites de réels strictement positifs.
On pose : Δ_1 = |1, − v_1; u_1, 1|, Δ_2 = |1, − v_1, 0; u_1, 1, − v_2; 0, u_2, 1| et pour n ⩾ 3 :
Δ_n = |1, − v_1, 0, 0, ⋯, ⋯, 0; u_1, 1, − v_2, 0, ⋯, ⋯, 0; 0, u_2, 1, − v_3, ⋱, ⋯, 0; ⋮, ⋱, ⋱, ⋱, ⋱, ⋱, ⋮; ⋮, ⋯, ⋱, ⋱, ⋱, ⋱, 0; ⋮, ⋯, ⋯, ⋱, ⋱, ⋱, − v_n; 0, ⋯, ⋯, ⋯, 0, u_n, 1|
et on note pour tout n ∈ ℕ^∗, a_n = u_n v_n.
  1. Calculer Δ_1 et Δ_2.
  2. Démontrer que:
∀n ⩾ 3, Δ_n = Δ_(n − 1) + a_n Δ_(n − 2)
  1. Prouver que la suite (Δ_n)_(n ∈ ℕ^∗) est croissante.
  2. Soit n ∈ ℕ^∗. Montrer que:
∀n ∈ ℕ^∗, Δ_n ⩽ ∏_(k = 1)^n(1 + a_k)
On pourra utiliser un raisonnement par récurrence sur l'entier naturel j.
5. Pour tout n ∈ ℕ^∗, on note P_n = ∏_(k = 1)^n(1 + a_k), S_n = ∑_(k = 1)^n ln(1 + a_k) et on suppose dans cette question que la série ∑_(n ⩾ 1)a_n converge.
5.1 Prouver que la suite (P_n)_(n ∈ ℕ^∗) converge.
5.2 Que peut-on en déduire pour la suite (Δ_n)_(n ∈ ℕ^∗) ?
6. On suppose maintenant que la suite (Δ_n)_(n ∈ ℕ^∗) converge.
6.1 Vérifier que: ∀n ∈ ℕ^∗, Δ_n ⩾ 1.
6.2 Pour tout n ∈ ℕ^∗, n ⩾ 2, on pose t_n = Δ_n − Δ_(n − 1)
Etudier la nature de la série : ∑_(n ⩾ 2)t_n.
6.3 Prouver alors que la série ∑_(n ⩾ 1)a_n converge.
7. Quel résultat a-t-on finalement établi?

Exercice 3

Le plan 𝒫 est rapporté à un repère orthonormal ℛ = (O, i⃗, j⃗).
Soit 𝒟 la courbe d'équations paramétriques :
{x(t) = 3 − 2cos(t) − cos(2t); y(t) = 2sin(t) − sin(2t)
  1. Soit 𝒟_1 la partie de la courbe 𝒟 correspondant à t ∈ [0, π].
Montrer que l'on obtient toute la courbe 𝒟 à partir de 𝒟_1 : préciser clairement toutes les transformations géométriques utilisées.
2. 2.1 Exprimer sin(2t) et cos(2t) en fonction de sin(t) et cos(t).
2.2 Montrer que la courbe 𝒟_1 présente deux points singuliers pour t = 0 et pour t = t_0 que l'on déterminera.
On note I le point de paramètre t_0.
3. Donner l'allure de la courbe au voisinage du point O : on précisera une équation de la tangente en ce point ainsi que la position de la courbe par rapport à cette tangente.
4. Montrer que le vecteur u_0^(→−) = i⃗ + √3j⃗ est un vecteur directeur de la tangente T à 𝒟_1 en I.
Ecrire une équation de T dans le repère ℛ.
On admet que le point I est un point de rebroussement de première espèce.
5. Soient 𝒞_1 et 𝒞_2 les cercles de centre Ω = (3, 0) et de rayons respectifs R_1 = 3 et R_2 = 1.
5.1 Vérifier que la droite T passe par le point Ω.
5.2 Déterminer 𝒟 ∩ 𝒞_1.
5.3 Soit J le point de 𝒟 de paramètre π/3.
Montrer que 𝒟 est tangente à 𝒞_2 au point J.
6. Tracer dans 𝒫 muni du repère ℛ, les courbes 𝒟, 𝒞_1, 𝒞_2 et T.
7. Montrer que la courbe 𝒟 est invariante par la rotation de centre Ω et d'angle (2π)/3.
8. Calculer la longueur de 𝒟.

Pas de description pour le moment