Mines Mathématiques 2 PC 2010Sujet, corrigé et rapport du jury

Pas encore noté

Faisable en Sup

Explorer les annales

BanqueMines Année2010 FilièrePC MatièreMathématiques

Annales Mines PC Mathématiques Mines PC 2010 PC Mathématiques Mathématiques 2010

Téléchargements

Télécharger le sujet (PDF)

Corrigé

Corrigé 2

Rapport du jury Lire en ligne LaTeX Word

Présentation du sujet

Difficile

Théorème de Rolle dans le cas complexe : polynômes, transformations du plan complexe et condition d'apolarité

Le problème vise à démontrer un analogue complexe du théorème de Rolle pour un polynôme de degré n. La première partie (A) étudie l'application linéaire A_z sur les polynômes de degré au plus n. La deuxième partie (B) utilise l'inversion complexe pour situer un point associé à une famille de racines par rapport à un cercle. La troisième partie (C) introduit la condition d'apolarité entre deux polynômes pour conclure la démonstration du théorème.

1A. Définition de A_z P(X)Étudie l'application linéaire A_z sur l'espace des polynômes de degré au plus n, son noyau et son image.
2B. Définition de δ_ξUtilise l'inversion complexe f(z)=1/z pour montrer qu'un point δ_ξ associé à une famille de complexes reste à l'intérieur d'un cercle donné.
3C. Condition d'apolaritéDéfinit la notion de polynôme apolaire par rapport à un autre et conclut la preuve du théorème de Rolle complexe.

Difficile. Le rapport indique que les notes moyennes des correcteurs étaient faibles, que le sujet, original sans être particulièrement difficile ou technique, demandait une maturité que la majorité des candidats n'avait pas encore acquise, et que la grande majorité des notes se situe dans une fine bande peu élevée.

Ce qu'a observé le jury

5 erreurs relevées

Dimension de l'espace d'arrivée oubliée · Étude du noyau limitée à un seul vecteur de base · Inégalités entre nombres complexes

Le sujet couvrait un large spectre de connaissances entre algèbre, géométrie et analyse complexe. Le jury regrette un écart croissant entre les meilleurs candidats et la grande majorité, ainsi qu'une maîtrise insuffisante des notions de base sur les nombres complexes et des calculs délicats mal menés faute de rigueur et de patience.

Les erreurs les plus sanctionnées

1
Dimension de l'espace d'arrivée oubliée1
Beaucoup de candidats ont oublié d'aborder la dimension de l'espace d'arrivée à la question 1, alors qu'il suffisait d'écrire la forme générale d'un polynôme et de sa dérivée.
2
Étude du noyau limitée à un seul vecteur de base4
Il ne suffit pas de tester une application linéaire sur les éléments d'une base pour étudier son noyau : un seul vecteur de la base dans le noyau ne signifie pas que le noyau se limite à la droite qu'il engendre.
3
Inégalités entre nombres complexes7
À la question 7, le jury a très souvent vu des inégalités écrites entre nombres complexes, ce qui n'a pas de sens.
« dans la question 7 nous avons très (trop) souvent vu des inégalités entre nombre complexes »
4
Question 9 facile mais peu traitée9
La question 9 était aussi facile que peu traitée, alors qu'il suffisait de translater l'origine.
« La question 9 était aussi facile que peu traitée. Il suffisait pourtant de translater l’origine ! »
5
Question 12 supposée à tort déductible12
Très peu de candidats ont réussi à mener à terme les calculs de la question 12 ; beaucoup pensaient à tort qu'elle se déduisait directement des questions 10 et 11.

Ce qui a été bien réussi

La question 6, la plus délicate de la deuxième partie, a aussi été parmi les plus traitées, et les candidats qui l'ont réussie ont globalement obtenu une note assez élevée.

Conseils du jury

Lire le sujet en entier avant de rédiger, pour mieux comprendre les objets traités.
Prendre le temps de faire un dessin avant de se lancer dans des calculs, notamment en géométrie complexe.
Soigner sa rédaction : des réponses succinctes mais complètes valent mieux qu'une réponse juste mal justifiée.
Ne pas donner de justification que l'on sait erronée ou insuffisante, au risque de laisser penser à une maîtrise superficielle.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

Ces sujets peuvent vous intéresser

Lecture du sujet en ligne

L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.

Sujet en PDF

ÉCOLE DES PONTS PARISTECH. SUPAERO (ISAE), ENSTA PARISTECH, TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH MINES DE SAINT ÉTIENNE, MINES DE NANCY, TÉLÉCOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (Filière PC). ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI).

CONCOURS 2010

SECONDE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Filière PC

(Durée de l'épreuve : trois heures)
Sujet mis à la disposition des concours : Cycle international, ENSTIM, TELECOM INT, TPE-EIVP.

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie :

MATHÉMATIQUES II - PC

L'énoncé de cette épreuve comporte 6 pages de texte.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Théorème de Rolle dans le cas complexe .

Dans ce problème on se propose de prouver l'analogue complexe suivant du théorème de Rolle :

Théorème 1. Soient

a

b

deux nombres complexes distincts et

n

un entier

⩾ 2

. Soit

P(X) \in ℂ[X]

un polynôme de degré

n

tel que

P(a) = P(b)

. Le polynôme dérivé

P^'(X)

P

possède alors au moins un zéro

z_0(

P^'(z_0) = 0

) dans le disque

D_(a, b; n) = {z ∈ ℂ; |z − (a + b)/2| ⩽ R_n(a, b)},

où

R_n(a, b) = (|a - b|)/2(cos(π/n))/(sin(π/n)).

Soit

P(X) = \sum_(l = 0)^N u_l X^l \in ℂ[X]

, le polynôme dérivé

P^'(X)

P(X)

, est donné par :

P^'(X) = \sum_(l = 0)^(N - 1)u_(l + 1)(l + 1)X^l

Pour

k \in {0, \dots, n}, (n/k)

désigne le coefficient binomial

(n!)/((n - k)!k!)

A. Définition de $A_z P(X)$ .

On note

ℂ_n[X]

l'espace vectoriel complexe des polynômes à coefficients complexes de degré inférieur ou égal à

n

. Soit

P \in ℂ_n[X]

z \in ℂ

. On définit le polynôme

A_z P \in ℂ[X]

par la formule :

A_z P(X) = (z - X)P^'(X) + nP(X)

Cette définition de

A_z

dépend donc de l'espace de départ

ℂ_n[X]

Vérifier que $A_z$ définit une application linéaire de $ℂ_n[X]$ vers $ℂ_(n - 1)[X]$ .
Soient $z_1, z_2 \in ℂ$ et $P \in ℂ_n[X]$ . Prouver que:

A_(z_1)(A_(z_2)P)(X) = A_(z_2)(A_(z_1)P)(X),

où dans la composition

A_(z_1) \circ A_(z_2)

(du membre de gauche),

A_(z_2)

est vu comme application de

ℂ_n[X]

vers

ℂ_(n - 1)[X]

A_(z_1)

est vu comme application de

ℂ_(n - 1)[X]

vers

ℂ_(n - 2)[X]

. Pareillement, dans la composition

A_(z_2) \circ A_(z_1)

(du membre de droite),

A_(z_1)

est vu comme application de

ℂ_n[X]

vers

ℂ_(n - 1)[X]

A_(z_2)

est vu comme application de

ℂ_(n - 1)[X]

vers

ℂ_(n - 2)[X]

.
3) Pour

z \in ℂ

, déterminer l'ensemble des

P \in ℂ_n[X]

tels que

A_z P(X)

soit le polynôme nul. (On pourra utiliser la famille formée par les polynômes

(X - z)^k, 0 ⩽ k ⩽ n)

. Déterminer alors l'image de l'application

A_z : ℂ_n[X] \mapsto ℂ_(n - 1)[X]

Soit $z \in ℂ$ . Déterminer les valeurs propres et sous espaces propres de l'endomorphisme $A_z ˆ$ de $ℂ_n[X]$ défini par :

\forallP \in ℂ_n[X], A_z ˆ(P)(X) = (z - X)P^'(X) + nP(X)

Montrer que

A_z ˆ

est diagonalisable.
5) On conserve les notations de la question précédente. Soit

E

un endomorphisme de

ℂ_n[X]

commutant avec

A_z ˆ

. Montrer qu'il existe

Q \in ℂ_n[X]

tel que

Q(A_z ˆ) = E

. (On pourra utiliser un polynôme associé à une interpolation de Lagrange convenable).

B. Définition de $δ_ξ$ .

On considère la bijection

f

f : ℂ∖{0}, ⟶ ℂ∖{0}; z \in ℂ∖{0}, \mapsto, 1/z = f(z)

On se place dans le plan euclidien

ℝ^2

identifié à

ℂ

. On désignera par

C

un cercle (de centre

z_0

et de rayon

R

non nul) de

ℂ

C = {z ∈ ℂ, |z − z_0| = R}

On notera respectivement

C^-

C^+

l'intérieur géométrique et l'extérieur géométrique de

C

. Plus précisément :

C^− = {z ∈ ℂ, |z − z_0| < R}, C^+ = {z ∈ ℂ, |z − z_0| > R}

Soit $C$ un cercle de centre $z_0$ et de rayon $R > 0$ tel que l'origine 0 appartient à $C^+$ . On pose $z_0 = re^(iα)$ où $r \in ]R, + \infty[$ et $α \in ℝ$ . Prouver que $f(C)$ est un cercle dont on précisera le centre et le rayon en fonction de $r, α, R$ . Vérifier en outre que l'origine 0 appartient à $f(C)^+$ . (On pourra partir de

(z - z_0)(z¯ - z_0^-) = zz¯ - z_0 z¯ - zz_0^- + z_0 z_0^- = R^2.)

On conserve les hypothèses et notations de la question précédente. Prouver que $f(C^-) = f(C)^-$ . C'est à dire que $f$ transforme l'intérieur du cercle $C$ en la totalité de l'intérieur du cercle $f(C)$ (on pourra utiliser le fait admis suivant. Un point $u$ de $ℂ∖{0}$ appartient à $C^-$ si et seulement si la demi-droite $D_u$ issue de 0 et passant par $u$ rencontre $C$ en deux points distincts $A, B$ tels que $u$ appartient au segment ouvert $]A, B[$ . On pourra alors considérer $f(D_u))$ .

Soient

z_1, \dots, z_n \in ℂ

, non nécessairement deux à deux distincts.
Soit

ξ ∈ ℂ∖{z_i, i ∈ {1, ⋯, n}}

tel que

1/n\sum_(i = 1)^n 1/(z_i - ξ)

est non nul. On considère alors le nombre complexe

δ_ξ

défini par

1/(δ_ξ - ξ) = 1/n\sum_(i = 1)^n 1/(z_i - ξ).

Soit $C$ un cercle tel que ${z_i, i ∈ {1, ⋯, n}} ⊂ C^−$ . Montrer que si l'origine 0 appartient à $C^+$ alors $δ_0$ est bien défini et appartient à $C^-$ (on pourra commencer par prouver que $1/n\sum_(i = 0)^n f(z_i)$ appartient à $f(C)^-$ ).
Soit $C$ un cercle tel que ${z_i, i ∈ {1, ⋯, n}} ⊂ C^−$ . Montrer que si $ξ \in C^+$ alors $δ_ξ$ est bien défini et appartient à $C^-$ .

C. Condition d'apolarité.

Dans cette partie,

z_1, \dots, z_n

désigneront

n

nombres complexes non nécessairement deux à deux distincts.
10) Soit

P(X) = \prod_(i = 1)^n(X - z_i)

un polynôme de

ℂ_n[X]

ξ ∈ ℂ∖{z_i, i ∈ {1, ⋯, n}}.

Exprimer

(P^'(ξ))/(P(ξ))

en fonction des

1/(ξ - z_i)(1 ⩽ i ⩽ n)

. En déduire que si

P^'(ξ)

est non nul alors

δ_ξ = ξ - n(P(ξ))/(P^'(ξ))

où

δ_ξ

est défini par (1).
11) Soit

P(X) = \prod_(i = 1)^n(X - z_i) \in ℂ[X]

z ∈ ℂ∖{z_i, i ∈ {1, ⋯, n}}

Montrer que l'ensemble des zéros

ξ \in ℂ

A_z P(X)

est la réunion des deux ensembles suivants :

− {z_i, 1 ⩽ i ⩽ n, P^′(z_i) = 0}

− {ξ ∈ ℂ∖{z_i, i ∈ {1, ⋯, n}}, δ_ξ = z}

, où

δ_ξ

est défini par (1).
12) On conserve les notations de la question précédente. Montrer que

z = 1/n\sum_(j = 1)^n z_j

si et seulement si le degré de

A_z P(X)

est strictement inférieur à

n - 1

.
13) On considère le polynôme

P(X) = \prod_(i = 1)^n(X - z_i)

z \in ℂ

. On suppose qu'il existe un cercle

C_1

tel que

{z_i, i ∈ {1, ⋯, n}} ⊂ C_1^−

z \in C_1 \cup C_1^+

. Prouver alors que

A_z P(X)

est exactement de degré

n - 1

. Puis prouver que les

n - 1

zéros de

A_z P(X)

(en comptant les multiplicités) appartiennent tous à

C_1^-

(on pourra utiliser les questions 9 et 11).

On considère deux polynômes de

ℂ[X]

de degré

n

P(X) = u\prod_(i = 1)^n(X - z_i), et Q(X) = v\prod_(i = 1)^n(X - z_i^'),

où

u, v \in ℂ^*

z_i, z_i^'

désignent respectivement les zéros de

P(X)

Q(X)

.
On dira que

P

est apolaire par rapport à

Q

A_(z_1^')A_(z_2^')\dotsA_(z_n^')P(X) = 0

. Quand on écrit

A_(z_1^')A_(z_2^')\dotsA_(z_n^')

dans cet ordre on utilise la convention décrite dans la question 2. Plus précisément,

A_(z_n^')

est vu comme application de

ℂ_n[X]

vers

ℂ_(n - 1)[X], A_(z_(n - 1)^')

est vu comme application de

ℂ_(n - 1)[X]

vers

ℂ_(n - 2)[X], \dots, A_(z_1^')

est vu comme application de

ℂ_1[X]

vers C. Ainsi

A_(z_1^')A_(z_2^')\dotsA_(z_n^')P(X)

est une constante.
14) On suppose que

P

est apolaire par rapport à

Q

. Montrer que si

C

est un cercle tel que

{z_i, i ∈ {1, ⋯, n}} ⊂ C^−

alors il existe

i \in {1, \dots, n}

tel que

z_i^' \in C^-

(on utilisera la question précédente).

Dans la suite, on fixe

a, b

deux points distincts de

ℂ

.
15) Montrer qu'il existe

b_0, \dots, b_(n - 1) \in ℂ

que l'on calculera, tels que pour tout polynôme du type

T(X) = a_0 + ((n - 1)/1)a_1 X + \dots + ((n - 1)/(n - 2))a_(n - 2)X^(n - 2) + a_(n - 1)X^(n - 1),

on ait

\int_0^1 T(a + t(b - a))dt =

a_0 b_(n - 1) - ((n - 1)/1)a_1 b_(n - 2) + ((n - 1)/2)a_2 b_(n - 3) + \dots + (- 1)^(n - 1)a_(n - 1)b_0.

Avec les notations de la question précédente, on fixe

n

un entier supérieur ou égal à deux et on pose

Δ(X) = b_0 + ((n - 1)/1)b_1 X + \dots + ((n - 1)/(n - 2))b_(n - 2)X^(n - 2) + b_(n - 1)X^(n - 1).

Montrer que $Δ(X) = C_n((X - a)^n - (X - b)^n)$ où $C_n$ est une constante non nulle que l'on calculera.

Soit

P(X) \in ℂ_n[X]

de degré

n ⩾ 2

tel que

P(a) = P(b)

. On écrit

P^'(X) = a_0 + ((n - 1)/1)a_1 X + \dots + ((n - 1)/(n - 2))a_(n - 2)X^(n - 2) + a_(n - 1)X^(n - 1).

On désigne par

t_1, t_2, \dots, t_(n - 1)

les zéros (comptés avec multiplicité) de

P^'(X)

. On admet que la constante

(- 1)^(n - 1)(a_(n - 1))/((n - 1)!)A_(t_1)A_(t_2)\dotsA_(t_(n - 1))Δ(X)

est égale à :

a_0 b_(n - 1) - ((n - 1)/1)a_1 b_(n - 2) + ((n - 1)/2)a_2 b_(n - 3) + \dots + (- 1)^(n - 1)a_(n - 1)b_0.

Montrer que $Δ(X)$ est apolaire par rapport à $P^'(X)$ (on pourra utiliser la question 15). En déduire alors le Théorème 1 (on pourra appliquer la question 14).

Fin du problème

Questions fréquentes

4 questions

Sur quels chapitres porte le sujet de mathématiques 2 Mines-Ponts PC 2010 ?

Il porte sur le théorème de Rolle dans le cas complexe, mêlant algèbre linéaire sur les polynômes, géométrie du plan complexe et analyse complexe.

Ce sujet de maths 2 PC 2010 est-il difficile ?

Le jury le décrit comme original sans être particulièrement difficile ou technique, mais demandant une maturité mathématique que la majorité des candidats n'avait pas encore, ce qui explique des notes globalement faibles.

Quelle est la question la plus délicate du sujet de maths 2 Mines PC 2010 ?

D'après le rapport, la question 6 de la deuxième partie était la plus délicate, mais aussi parmi les plus traitées, et les candidats qui l'ont réussie ont obtenu de bonnes notes.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur cette épreuve de maths PC ?

Le jury cite des inégalités écrites à tort entre nombres complexes, une étude du noyau limitée à un seul vecteur de base, et une question 9 facile mais très peu traitée.

Pas de description pour le moment

Commentaires• Mines Mathématiques 2 PC 2010

Connectez-vous pour participer aux discussions

Partagez vos avis, posez des questions et échangez avec la communauté

Chargement des commentaires...

Explorer les annales

Téléchargements

Présentation du sujet

Ce qu'a observé le jury

Les erreurs les plus sanctionnées

Ce qui a été bien réussi

Conseils du jury

Ces sujets peuvent vous intéresser

Lecture du sujet en ligne

SECONDE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Théorème de Rolle dans le cas complexe .

A. Définition de A_z P(X).

B. Définition de δ_ξ.

C. Condition d'apolarité.

Fin du problème

Questions fréquentes

Sur quels chapitres porte le sujet de mathématiques 2 Mines-Ponts PC 2010 ?

Ce sujet de maths 2 PC 2010 est-il difficile ?

Quelle est la question la plus délicate du sujet de maths 2 Mines PC 2010 ?

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur cette épreuve de maths PC ?

Commentaires• Mines Mathématiques 2 PC 2010

Commentaires• Mines Mathématiques 2 PC 2010

A. Définition de $A_z P(X)$ .

B. Définition de $δ_ξ$ .