Mines Mathématiques 2 PC 2009Sujet, corrigé et rapport du jury

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Présentation du sujet

Calcul d'une intégrale généralisée à paramètre par séries entières et noyau de Poisson

Le sujet a pour but de calculer une intégrale généralisée I(x) dépendant d'un paramètre x de ]0,1[. Il établit une identité intégrale pour des fonctions développables en série entière, étudie le noyau de Poisson et son comportement quand y tend vers 1, puis combine ces résultats pour obtenir la valeur de I(x).

1Partie I : question préliminaireCondition nécessaire et suffisante sur x pour l'existence de l'intégrale I(x).
2Partie II : une identité intégraleIntégrale à paramètre S[f], continuité, développement en série entière et égalité avec une intégrale complexe J[f] par intégration terme à terme.
3Partie III : noyau de PoissonÉcriture comme partie réelle d'un quotient complexe, développement en série entière, intégrale égale à 1 et limite quand y tend vers 1.
4Partie IV : application à un calcul d'intégralePassage à la limite dans l'identité de la partie II pour obtenir la valeur de I(x).

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées

Condition seulement suffisante · Détour inutile par les séries entières · Domination mal établie

Le sujet mobilisait surtout les intégrales généralisées et à paramètre, les interversions de limites, sommes et intégrales, et les séries entières. L'épreuve a bien départagé les candidats et toute l'échelle des notes a été utilisée, avec de très bonnes copies ayant tout traité. Les justifications des interversions ont été le principal point faible.

Les erreurs les plus sanctionnées

1
Condition seulement suffisanteQuestion 1
Majorer l'intégrale par une intégrale convergente donne la condition suffisante, mais pas la condition nécessaire. Il fallait raisonner par équivalence avec des intégrales de Riemann.
2
Détour inutile par les séries entièresQuestion 2
La convergence découlait simplement de la continuité sur ]0,1] et d'un équivalent en 0. Développer f en série entière en anticipant la question 4 n'était récompensé que si tout était justifié.
« Cette question facile a suscité beaucoup de difficultés. »
3
Domination mal établieQuestion 3
Supposer f bornée sur [0,1[ ou écrire une inégalité fausse sur les bornes supérieures invalide la continuité de l'intégrale à paramètre.
4
Interversion somme et intégrale non justifiéeQuestions 4, 6 et 10
Citer le théorème d'intégration terme à terme sans vérifier ses hypothèses, ou évoquer la convergence normale sans préciser l'intervalle, rapporte très peu.
« Seuls les arguments justes et précis sont pris en compte ! »
5
Série entière de la mauvaise variableQuestions 6 et 10
La série est entière en y mais pas en la variable d'intégration t : le théorème d'intégration des séries entières ne s'applique pas.
« Mais cette série n'est pas entière de l'argument t et l'intégration se faisait par cet argument et non par y »
6
Passage à la limite sans dominationQuestions 11, 12 et 15
La limite quand y tend vers 1 demandait une majoration uniforme, rarement démontrée. La positivité du noyau de Poisson a souvent été ignorée.
« Extrêmement peu de candidats ont réussi à traiter cette question correctement. »

Ce qui a été bien réussi

La question 1 a été plutôt bien traitée, la plupart des candidats repérant que le problème se situait en 0.
Les questions calculatoires 5 et 8 ont été traitées correctement par la majorité des candidats, et une grande partie a établi l'identité de la question 7.
Les questions 13 et 14, faciles, ont été traitées dans une majorité ou dans beaucoup de copies.

Conseils du jury

Maîtriser la convergence normale et uniforme et les théorèmes d'interversion, présents dans presque tous les sujets.
Vérifier explicitement les hypothèses d'un théorème au lieu d'écrire « par un théorème du cours ».
Rédiger de façon brève et précise : la longueur n'apporte pas de points.
Traiter bien moins de questions plutôt que grappiller partout, et admettre un résultat inconnu plutôt que divaguer.
Pour la partie réelle d'un quotient de complexes, multiplier par le conjugué du dénominateur.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.

Sujet en PDF

ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES, ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE. ÉCOLE POLYTECHNIQUE (FILIÈRE TSI).

CONCOURS D'ADMISSION 2009

SECONDE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Filière PC
(Durée de l'épreuve : 3 heures) L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit.

Sujet mis à la disposition des concours : ENSAE (Statistique), ENSTIM, INT, TPE-EIVP, Cycle international

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie :

MATHÉMATIQUES II - PC

L'énoncé de cette épreuve comporte 5 pages de texte.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Définitions et notations

On note $F$ l'ensemble des nombres réels positifs non entiers;
On note $D$ l'ensemble des nombres complexes de module inférieur strictement à 1 .
Si $Z$ est un nombre complexe, on note $Re(Z)$ sa partie réelle et $Im(Z)$ sa partie imaginaire.
Dans tout le problème, on désigne par $g$ la fonction réelle de variable réelle définie par:

g : [0, 1], ⟶ R; u, ⟼ 1/(1 + u).

I Question préliminaire

Soit $x$ un réel. Montrer que l'intégrale:

I(x) = \int_0^1(u^(x - 1) + u^(- x))/(1 + u) du

existe si et seulement si

x \in ]0, 1[

L'objet du problème est de calculer la valeur de cette intégrale.

II Une identité intégrale

Soit

f

une fonction à valeurs réelles, définie et développable en série entière sur

[0, 1[

. On note

(a_n)_(n \in N)

les coefficients de son développement.
2) Montrer que l'expression

\int_0^1 v^(x - 1)f(yv)dv

a un sens pour tout

x > 0

et tout

y \in ]0, 1[

Pour

x > 0

, on pose

S[f](x, y) = {∫_0^1 v^(x − 1)f(yv)dv, pour y ∈ ]0, 1[; (f(0))/x, pour y = 0

Montrer que pour tout $x > 0$ , la fonction $y \mapsto S[f](x, y)$ est continue sur $[0, 1[$ .
Montrer que pour tout $x \in F$ , la fonction $y \mapsto S[f](x, y)$ est développable en série entière sur $[0, 1[$ , et donner les coefficients de son développement en série entière.

On considère la fonction

f~

définie sur

D

par la relation :

\forallz \in D : f~(z) = \sum_(n = 0)^(+ \infty)a_n z^n

Pour tout

x \in F

et tout

y \in [0, 1[

, on considère l'expression :

J[f](x, y) = π/(sin(πx))Re[\int_0^1 e^(iπxt)f~(- ye^(iπt))dt]

Calculer, pour tout $x \in F$ et tout $n \in N$ :

I_n(x) = ((- 1)^n π)/(sin(πx))\int_0^1 cos(π(n + x)t)dt

Montrer que pour tout $x \in F$ , la fonction $y \mapsto J[f](x, y)$ est développable en série entière sur $[0, 1[$ , et donner les coefficients de son développement en série entière. En déduire que $S[f](x, y) = J[f](x, y)$ pour tout $x \in F$ et tout $y \in [0, 1[$ .

Pour tout

x \in ]0, 1[

et tout

y \in [0, 1[

, on pose :

C[f](x, y) = S[f](x, y) + S[f](1 - x, y)

Établir l'identité suivante pour tout $x \in ]0, 1[$ et tout $y \in [0, 1[$ :

C[g](x, y) = (π(1 - y))/(sin(πx))\int_0^1(cos(π(1 - x)t) + cos(πxt))/(1 - 2ycos(πt) + y^2)dt

III Noyau de Poisson

Pour tout

y \in [0, 1[

et tout

t \in [0, 1]

, on définit le noyau de Poisson

P

par :

P(t, y) = (1 - y^2)/(1 - 2ycos(πt) + y^2)

Établir l'identité suivante pour tout $y \in [0, 1[$ et tout $t \in [0, 1]$ :

P(t, y) = Re[(1 + ye^(iπt))/(1 - ye^(iπt))]

Montrer que pour $t \in [0, 1]$ fixé, la fonction $y \mapsto P(t, y)$ est développable en série entière sur $[0, 1[$ , et calculer les coefficients de son développement en série entière.
Établir que pour tout $y \in [0, 1[$ on a :

\int_0^1 P(t, y)dt = 1

Dans les questions 11) et 12) ci-dessous, on désigne par

φ

une fonction définie et continue sur

[0, 1]

, à valeurs réelles.
11) Montrer que pour tout

α \in ]0, 1[

, on a :

lim_(y \to 1)\int_α^1 P(t, y)φ(t)dt = 0

|\int_0^α P(t, y)φ(t)dt| ⩽ sup_(t \in [0, α])|φ(t)|

En déduire que l'on a :

lim_(y \to 1)\int_0^1 P(t, y)φ(t)dt = φ(0)

On pourra commencer par traiter le cas où

φ(0) = 0

IV Application à un calcul d'intégrale

Pour tout

x \in ]0, 1[

et tout

y \in [0, 1[

, on pose :

A(x, y) = \int_0^1 P(t, y)cos(πxt)dt

Pour tout $x \in ]0, 1[$ et tout $y \in [0, 1[$ , exprimer $C[g](x, y)$ en fonction de $A(x, y)$ et de $A(1 - x, y)$ .
Pour $x \in ]0$ , $1[$ fixé, déterminer la limite de $C[g](x, y)$ quand $y$ tend vers 1 par valeurs inférieures.
En déduire la valeur de $I(x)$ pour tout $x \in ]0, 1[$ .

Fin du problème

Questions fréquentes

4 questions

Sur quoi porte le sujet Mines maths 2 PC 2009 ?

Sur le calcul d'une intégrale généralisée dépendant d'un paramètre, à l'aide d'intégrales à paramètre, de développements en séries entières et du noyau de Poisson.

Quels chapitres réviser pour le sujet de maths 2 Mines Ponts PC 2009 ?

Les intégrales généralisées et à paramètre, les interversions de limites, sommes et intégrales, la convergence normale, les séries entières et leur rayon de convergence, et les nombres complexes.

Quelles erreurs le jury a-t-il relevées en maths 2 Mines PC 2009 ?

Surtout des interversions somme et intégrale ou limite et intégrale non justifiées, des dominations fausses, et la confusion entre une série entière en y et une série de fonctions de la variable d'intégration.

Comment le jury de maths Mines PC 2009 évalue-t-il la rédaction ?

Il cherche des arguments clés formulés de manière précise et concise. Selon le rapport, quelques lignes suffisent souvent et les meilleures copies sont brèves.

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