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CCINP Mathématiques 1 PC 2009Sujet, corrigé et rapport du jury

Fonction matriciellement croissante

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Présentation du sujet

Difficile
Fonctions matriciellement croissantes
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Le sujet est consacré à l'étude de la notion de fonction matriciellement croissante. La première partie étudie les matrices symétriques réelles positives et définies positives, et définit une relation d'ordre sur l'ensemble des matrices symétriques réelles. La seconde partie définit les fonctions matriciellement croissantes ou décroissantes à travers les exemples des fonctions homographiques et puissances. La troisième partie utilise une représentation intégrale pour montrer que le logarithme népérien et les fonctions puissances d'exposant dans ]0,1[ sont matriciellement croissantes.

  1. 1Partie IÉtude des matrices symétriques réelles positives et définies positives, et définition d'une relation d'ordre sur les matrices symétriques réelles.
  2. 2Partie IIDéfinition des fonctions matriciellement croissantes ou décroissantes, étudiées sur les exemples des fonctions homographiques et puissances.
  3. 3Partie IIIUtilisation d'une représentation intégrale pour montrer que le logarithme népérien et certaines fonctions puissances sont matriciellement croissantes.

Difficile. Le jury juge le niveau global des copies très décevant, avec une moyenne générale de 7,81/20 en PC-CH et 7,87/20 en PC-PH, sans les progrès attendus par rapport à l'année précédente.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 7,81 / 20
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Moyenne
7,81/ 20

Source : rapport du jury. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

5 erreurs relevées
Relation d'ordre sur les matrices confondue avec l'ordre sur R · Symbole d'équivalence utilisé sans justification · Réponses dénuées de sens sur les sommes de sous-espaces propres
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Le sujet, certainement long, était décomposé en de nombreuses sous-questions et beaucoup de résultats étaient donnés dans l'énoncé, permettant d'aborder chaque question sans avoir résolu complètement les précédentes. Toutefois, le niveau global des copies est très décevant, avec des difficultés de compréhension des notions du problème et des notions de base du programme, ainsi qu'un manque de rigueur et de logique trop fréquent.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Relation d'ordre sur les matrices confondue avec l'ordre sur RI.8.d, I.8.e

    La relation d'ordre sur les matrices a trop souvent été considérée directement comme une relation d'ordre sur R, notamment aux questions I.8.d et I.8.e.

  2. 2
    Symbole d'équivalence utilisé sans justificationI.2

    Le symbole d'équivalence est utilisé à tort et à travers sans aucune justification, alors qu'une équivalence doit se démontrer par double implication.

    « le symbole ⇐⇒est utilisé à tort et à travers sans aucune justification. »
  3. 3
    Réponses dénuées de sens sur les sommes de sous-espaces propresII.2.b, II.3.b

    Lorsque le résultat d'une question n'est pas donné dans l'énoncé, le jury constate des réponses dénuées de tout bon sens sur la somme des sous-espaces propres, jugées inadmissibles à ce niveau.

    « De telles erreurs sont inadmissibles à ce niveau et montrent le degré d’incompréhension »
  4. 4
    Vecteur propre affirmé sans vérifier qu'il est non nul

    Il est trop fréquent de voir affirmer qu'un vecteur est un vecteur propre sans s'assurer au préalable qu'il est non nul.

    « Il est trop fréquent de voir affirmer qu’un vecteur est un vecteur propre sans s’assurer qu’il est »
  5. 5
    Intégrale convergente décomposée en deux intégrales divergentesIII.3.a

    Une erreur fréquente consiste à décomposer une intégrale convergente en une différence de deux intégrales divergentes, la forme indéterminée disparaissant comme elle est arrivée.

Ce qui a été bien réussi

  • La question I.9, facile, a été bien traitée.
  • La question II.1.b a été très majoritairement bien réussie et a fourni beaucoup de points.
  • La question I.11.c a souvent été bien traitée.

Conseils du jury

  • Bien distinguer une relation d'ordre sur les matrices de la relation d'ordre usuelle sur les réels.
  • Justifier systématiquement les équivalences par une double implication plutôt que d'utiliser le symbole d'équivalence sans preuve.
  • Vérifier qu'un vecteur est non nul avant de l'appeler vecteur propre, et ne jamais inventer un résultat non donné par l'énoncé.
  • S'entraîner à manipuler rigoureusement le symbole somme, notamment lors de produits de deux sommes.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PC

MATHEMATIQUES 1

Durée : 4 heures

Les calculatrices sont interdites

N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il la signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.
Notations et objectifs
n est un entier naturel supérieur ou égal à 1 . On note M_(n, 1)(ℝ) le ℝ-espace vectoriel des matrices colonnes à n lignes à coefficients réels, M_n(ℝ) le ℝ-espace vectoriel des matrices carrées réelles d'ordre n, GL_n(ℝ) l'ensemble des matrices inversibles de M_n(ℝ), O_n(ℝ) l'ensemble des matrices orthogonales de M_n(ℝ) et S_n(ℝ) l'ensemble des matrices symétriques de M_n(ℝ). I_n désigne la matrice identité d'ordre n et pour toute matrice A, ^t A désigne la transposée de A.
Selon le contexte, 0 désigne soit le réel nul, soit la matrice nulle de M_n(ℝ), soit encore la matrice nulle de M_(n, 1)(ℝ).
On rappelle que pour toute matrice symétrique réelle d'ordre n, il existe P appartenant à O_n(ℝ) et D diagonale réelle d'ordre n telles que S = PDP^(− 1).
ℝ^n est muni de son produit scalaire canonique noté (⋅ | ⋅) et de la norme associée notée ‖ ⋅ ‖.
Une matrice S de S_n(ℝ) est dite positive si :
∀X ∈ M_(n, 1)(ℝ), ^t XSX ⩾ 0
et définie positive si :
∀X ∈ M_(n, 1)(ℝ)∖{0}, ^t XSX > 0
On note S_n^+(ℝ) l'ensemble des matrices de S_n(ℝ) positives et S_n^(+ +)(ℝ) l'ensemble des matrices de S_n(ℝ) définies positives.
Soit A une application d'un intervalle I de ℝ dans M_n(ℝ) qui à t associe la matrice A(t) de coefficient d'indices i, j, a_(ij)(t). Si pour tout (i, j) de [ [1, n] ]^2, l'application t ⟼ a_(ij)(t) est intégrable sur I, on note ∫_I A(t)dt la matrice de M_n(ℝ) de coefficient d'indices i, j, ∫_I a_(ij)(t)dt.
L'objectif de ce problème est d'étudier la notion de fonction matriciellement croissante.
Dans la première partie on étudiera les notions de matrices symétriques réelles positives et définies positives, puis on définira sur l'ensemble des matrices symétriques réelles une relation d'ordre. Diverses propriétés de cette relation seront utilisées dans les deux parties suivantes.
Dans la seconde partie, on définira ce qu'est une fonction matriciellement croissante (ou décroissante) et on étudiera des exemples de fonctions homographiques et puissances.
La troisième et dernière partie fera appel à une représentation intégrale et permettra de montrer que la fonction logarithme népérien et la fonction x ⟼ x^α pour α ∈ ]0, 1[ sont matriciellement croissantes.
Dans tout le problème, S désigne une matrice symétrique réelle d'ordre n.

PARTIE I

I. 1 Montrer que si S appartient à S_n^+(ℝ), alors pour toute matrice M de M_n(ℝ), ^t MSM appartient aussi à S_n^+(ℝ).
I. 2 Montrer que S appartient à S_n^+(ℝ) (respectivement S_n^(+ +)(ℝ) ) si et seulement si toutes ses valeurs propres sont positives (respectivement strictement positives).
I. 3 Montrer que la matrice A = (2, − 1; − 1, 1) est symétrique positive. Est-elle symétrique définie positive?
I. 4 Soit la matrice B = (− 1, 0, 0; 0, 2, − 1; 0, − 1, 1). Est-elle symétrique définie positive?
I. 5 Montrer que si S appartient à S_n^+(ℝ) et si T est une matrice symétrique réelle semblable à S, alors T appartient aussi à S_n^+(ℝ).
I. 6 a) Soit M ∈ GL_n(ℝ). Montrer que si λ est valeur propre de M, alors λ est non nul et λ^(− 1) est valeur propre de M^(− 1). En déduire le spectre de M^(− 1) en fonction du spectre de M.
b) Montrer que si S appartient à S_n^(+ +)(ℝ), alors S est inversible et S^(− 1) appartient à S_n^(+ +)(ℝ).
I. 7 Montrer que si pour tout X ∈ M_(n, 1)(ℝ), ^t XSX = 0, alors toute valeur propre de S est nulle et S = 0.
I. 8 On munit S_n(ℝ) des relations notées ⩽ et <, définies respectivement par :
∀(S_1, S_2) ∈ (S_n(ℝ))^2, (S_1 ⩽ S_2 ⟺ S_2 − S_1 ∈ S_n^+(ℝ))
et
∀(S_1, S_2) ∈ (S_n(ℝ))^2, (S_1 < S_2 ⟺ S_2 − S_1 ∈ S_n^(+ +)(ℝ))
a) Si S_1 et S_2 sont deux matrices de S_n(ℝ) telles que S_1 ⩽ S_2 et S_2 ⩽ S_1, montrer que S_1 = S_2.
b) Si(S_1, S_2) ∈ (S_n(ℝ))^2, montrer que l'on n'a pas nécessairement S_1 ⩽ S_2 ou S_2 ⩽ S_1.
c) Si S_1 et S_2 sont deux matrices de S_n(ℝ) telles que S_1 ⩽ S_2, S_1 ≠ S_2, a-t-on S_1 < S_2 ?
d) Si S_1 et S_2 sont deux matrices de S_n(ℝ) telles que S_1 ⩽ S_2 et α un réel, comparer les matrices αS_1 et αS_2 pour la relation ⩽.
e) Si S, S_1 et S_2 sont trois matrices de S_n(ℝ) telles que S_1 ⩽ S_2, comparer les matrices S + S_1 et S + S_2 pour la relation ⩽.
I. 9 Soit (S_1, S_2) ∈ (S_n(ℝ))^2 avec S_1 ⩽ S_2. Montrer que pour toute matrice M de M_n(ℝ), ^t MS_1 M ⩽ ^t MS_2 M.
I.10 On suppose I_n ⩽ S.
a) Que peut-on dire des valeurs propres de S ? En déduire que S est inversible.
b) Que peut-on dire des valeurs propres de S^(− 1) ? En déduire : 0 < S^(− 1) ⩽ I_n.
I. 11 a) Montrer que s'il existe M ∈ GL_n(ℝ) telle que S = ^t MM, alors S est symétrique définie positive.
b) Montrer que si S est diagonale définie positive, alors il existe M ∈ GL_n(ℝ) telle que S = ^t MM.
c) Montrer que ce résultat subsiste si S est symétrique définie positive non diagonale.
I. 12 Soit (S_1, S_2) ∈ (S_n(ℝ))^2 tel que 0 < S_1 ⩽ S_2 et M_1 ∈ GL_n(ℝ) telle que S_1 = ^t M_1 M_1. Montrer que I_n ⩽ ^t(M_1^(− 1))S_2 M_1^(− 1), en déduire que S_2 est inversible et S_2^(− 1) ⩽ S_1^(− 1).

PARTIE II

II. 1 Dans cette question seulement, on suppose d'une part que n est supérieur ou égal à 2 et d'autre part que S possède exactement deux valeurs propres λ_1 et λ_2 de multiplicités respectives n_1 et n_2.
a) Montrer qu'il existe un unique couple ( P_1, P_2 ) de matrices de M_n(ℝ) tel que :
{I_n = P_1 + P_2; S = λ_1 P_1 + λ_2 P_2
Expliciter les deux matrices P_1, P_2 en fonction de S, I_n, λ_1, λ_2 et montrer qu'elles sont symétriques.
b) Si P est une matrice orthogonale telle que P^(− 1)SP = diag(λ_1, …, λ_1, λ_2, …, λ_2) (où λ_1 est répété n_1 fois et λ_2 n_2 fois), exprimer P_1 (respectivement P_2 ) en fonction de P, de P^(− 1) et d'une matrice diagonale. En déduire que P_1^2 = P_1, P_2^2 = P_2, P_1 P_2 = P_2 P_1 = 0 et donner les rangs de P_1 et P_2 en fonction de n_1 et n_2.
c) Montrer que pour tout k ∈ ℕ, S^k = λ_1^k P_1 + λ_2^k P_2 et en déduire pour Q ∈ ℝ[X] l'expression de Q(S) en fonction de P_1, P_2, Q(λ_1) et Q(λ_2).
d) Soit S_0 la matrice de S_n(ℝ) dont tous les coefficients valent 1 sauf les coefficients diagonaux qui valent 2 . Vérifier que S_0 admet exactement deux valeurs propres et déterminer les matrices P_1 et P_2 associées.
II. 2 Soit u l'endomorphisme de ℝ^n dont S est la matrice dans la base canonique de ℝ^n. On note λ_1, λ_2, …, λ_p les valeurs propres distinctes de u et E_1, E_2, …, E_p les sous-espaces propres de u respectivement associés.
a) Montrer que : ∀(x, y) ∈ ℝ^n × ℝ^n, (u(x)|y) = (x|u(y)).
b) Montrer que pour tout (i, j) ∈ [ [1, p] ]^2 tel que i ≠ j, les sous-espaces propres E_i et E_j sont orthogonaux. Que vaut la somme directe ⊕ ^p_(i = 1)E_i ?
c) Si i ∈ [ [1, p] ] et x ∈ ℝ^n, on note p_i(x) la projection orthogonale de x sur E_i. La matrice de p_i dans la base canonique de ℝ^n est notée P_i.
i) Montrer que la matrice P_i est symétrique.
ii) Si x_j est élément de E_j, évaluer p_i(x_j) et en déduire que pour tout (i, j) ∈ [ [1, p] ]^2 tel que i ≠ j, P_i P_j = 0.
d) Montrer que ∑_(i = 1)^p P_i = I_n et ∑_(i = 1)^p λ_i P_i = S.
La décomposition S = ∑_(i = 1)^p λ_i P_i est dite décomposition spectrale de S.
II. 3 Soit I un intervalle de ℝ et f une application de I dans ℝ. Si λ_1, λ_2, …, λ_p sont dans I, on définit la matrice f(S) par
f(S) = ∑_(i = 1)^p f(λ_i)P_i
a) Montrer que Sf(S) = f(S)S = ∑_(i = 1)^p λ_i f(λ_i)P_i.
b) Si X est vecteur propre de S pour la valeur propre λ_k, montrer que X est aussi vecteur propre de f(S) et préciser la valeur propre correspondante.
c) Calculer cos(πS_0) où S_0 est la matrice introduite en II. 1 d).
L'application f sera dite matriciellement croissante (respectivement matriciellement décroissante) sur I si pour tout n ⩾ 1 et tout couple ( A, B ) de matrices de S_n(ℝ) dont les valeurs propres sont dans I :
A ⩽ B ⟹ f(A) ⩽ f(B) (respectivement f(B) ⩽ f(A))
II. 4 a) Soit g : ]0, + ∞[ ⟶ ℝ, x ⟼ 1/x. A quelle condition sur la matrice S peut-on définir g(S) ? Montrer qu'alors g(S) = S^(− 1) et en déduire que g est matriciellement décroissante sur ]0, + ∞[.
b) Soit h : ] − 1, + ∞[ ⟶ ℝ, x ⟼ x/(x + 1). A quelle condition sur la matrice S peut-on définir h(S) ? Montrer qu'alors h(S) = I_n − (S + I_n)^(− 1) et en déduire que h est matriciellement croissante sur ] − 1, + ∞[.
II. 5 Pour α > 0, soit p_α : [0, + ∞[ ⟶ ℝ, x ⟼ {x^α, si, x > 0; 0, si, x = 0 et pour tout x réel, soit A(x) et B(x) les matrices définies par :
A(x) = (chx, shx; shx, chx) et B(x) = (0, 0; 0, 1/(chx))
a) Montrer que pour tout x réel, B(x) ⩽ A(x).
b) Pour x ≠ 0, déterminer explicitement la décomposition spectrale de A(x).
c) En déduire que pour tout x ∈ ℝ, p_α(A(x)) = A(αx).
d) Montrer que p_α(B(x)) = (0, 0; 0, 1/((chx)^α)).
e) Calculer det [p_α(A(x)) − p_α(B(x))]. En donner un équivalent simple au voisinage de x = 0 et en déduire que pour α > 1, p_α n'est pas matriciellement croissante sur ]0, + ∞[.

PARTIE III

On suppose désormais que S est définie positive.

III. 1 a) Soit I un intervalle de ℝ et A : I ⟶ M_n(ℝ), t ⟼ A(t) = (a_(ij)(t)) une application telle que pour tout (i, j) de [ [1, n] ]^2, t ⟼ a_(ij)(t) est intégrable sur I. Montrer que pour toute matrice colonne X de M_(n, 1)(ℝ), t ⟼ ^t XA(t)X est intégrable sur I et :
∫_I^t XA(t)Xdt = ^t X(∫_I A(t)dt)X
b) Soit f une application de I dans ℝ intégrable sur I et M ∈ M_n(ℝ). Justifier l'existence de ∫_I f(t)Mdt et montrer que :
∫_I f(t)Mdt = (∫_I f(t)dt)M
III. 2 Soit α ∈ ]0, 1[ et F la fonction donnée par F(x) = ∫_0^(+ ∞)x/((1 + xt)t^α)dt.
a) Montrer que pour tout x > 0, F(x) existe.
b) Montrer, en utilisant par exemple le changement de variable u = xt, qu'il existe une constante C strictement positive telle que pour tout x > 0, F(x) = Cx^α.
c) Montrer que pour tout t > 0, S^(− 1) + tI_n est inversible et (S^(− 1) + tI_n)^(− 1) = ∑_(i = 1)^p(λ_i)/(1 + λ_i t)P_i.
d) En déduire F(S) = ∫_0^(+ ∞)1/(t^α)(S^(− 1) + tI_n)^(− 1)dt.
e) Soit A et B deux matrices de S_n^(+ +)(ℝ) telles que A ⩽ B. Montrer que :
∀X ∈ M_(n, 1)(ℝ), ∀t > 0, ^t X(A^(− 1) + tI_n)^(− 1)X ⩽ ^t X(B^(− 1) + tI_n)^(− 1)X
En déduire que F est matriciellement croissante sur ]0, + ∞[, puis que pour α ∈ ]0, 1[, la fonction p_α introduite en II. 5 est matriciellement croissante sur ]0, + ∞[.
III. 3 a) Montrer que pour tout x > 0, ∫_0^(+ ∞)(t/(1 + t^2) − 1/(x + t))dt = lnx.
b) En déduire lnS = ∫_0^(+ ∞)(t/(1 + t^2)I_n − (S + tI_n)^(− 1))dt.
c) Montrer que la fonction ln est matriciellement croissante sur ]0, + ∞[.

Fin de l'énoncé

Questions fréquentes

4 questions
Sur quoi porte le sujet de mathématiques 1 CCINP PC 2009 ?
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Sur quoi porte le sujet de mathématiques 1 CCINP PC 2009 ?

Le sujet porte sur les fonctions matriciellement croissantes, à travers l'étude des matrices symétriques positives, une relation d'ordre sur les matrices, et une représentation intégrale du logarithme et des fonctions puissances.

Quelle est la moyenne du sujet de mathématiques 1 CCINP PC 2009 ?

Le rapport indique une moyenne générale de 7,81/20 en PC-CH et de 7,87/20 en PC-PH.

Ce sujet de maths 1 CCINP PC 2009 est-il difficile ?

Le jury juge le niveau global des copies très décevant, avec des difficultés sur les notions de base du programme et un manque de rigueur et de logique trop fréquent.

Quelles sont les erreurs les plus fréquentes relevées par le jury sur ce sujet CCINP maths 1 PC 2009 ?

Le jury relève une confusion entre relation d'ordre matricielle et relation d'ordre réelle, un usage abusif du symbole d'équivalence, des réponses dénuées de sens sur les sous-espaces propres et des intégrales convergentes mal décomposées.

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