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Sujet CCINP Mathématiques 1 PC 2011

Les droites des moindres carrés

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Présentation du sujet

CCINP Mathématiques 1 PC 2011

Droites des moindres carrés : orthogonalité et cas général dans un espace euclidien

Le sujet étudie les deux droites des moindres carrés d'un ensemble de points, obtenues en minimisant une distance par projection verticale ou horizontale, et leurs éventuelles propriétés d'être sécantes ou orthogonales. Après un exemple simple, il généralise le problème dans un espace préhilbertien réel puis dans un espace euclidien, avant de résoudre le cas général pour n points non alignés.

  1. 1Partie I : Droites des moindres carrés dans un cas particulierÉtude du problème sur un exemple simple de trois points, très largement formalisée.
  2. 2Partie II : Résultats sur un espace préhilbertien réelÉtude de la distance d'un point à un sous-espace vectoriel F, avec le cas particulier de la dimension 2.
  3. 3Partie III : Base adaptée à un produit scalaire dans un espace euclidienRéduction de matrices symétriques en base orthonormale et étude de familles orthogonales ou orthonormales, pour un produit scalaire non canonique.
  4. 4Partie IV : Droites des moindres carrés dans le cas généralRésolution du problème général pour n points non alignés, les deux droites se coupant en l'isobarycentre sous une condition d'orthogonalité.
Difficulté moyenne

Le rapport évoque une relative facilité du sujet malgré une moyenne stable autour de 9,8/20, et relève que la longueur du sujet a pu paraître décourageante alors qu'elle devait laisser plus de possibilités aux candidats.

Ce qu'a observé le jury

Le sujet visait à évaluer la connaissance du cours, la logique et le savoir-faire des candidats à travers des situations guidées, d'un exemple concret en partie I jusqu'au cas général en partie IV. Avec une moyenne stable par rapport à la session précédente, le rapport juge que le niveau attendu en connaissance du cours, en logique et en rédaction n'est pas toujours au rendez-vous, même si la présentation des copies reste très bonne.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1.Confusion entre point et vecteurI.1

    À la première question, abordée systématiquement, de nombreux raisonnements confondent point et vecteur, ou produit scalaire, produit vectoriel et déterminant.

    « confusion entre point et vecteur »
  2. 2.Théorème de Pythagore mal maîtriséII.2

    Moins de 20% des candidats savent commencer correctement une démonstration par le théorème de Pythagore, pourtant une démonstration classique de concours.

    « des candidats savent commencer la démonstration par le théorème de Pythagore correctement »
  3. 3.Unicité confondue avec existenceII.3.b

    À la question II.3.b, l'unicité semble souvent impliquer l'existence dans l'esprit des candidats, ce qui constitue un raisonnement logiquement erroné.

    « L’unicité semble souvent impliquer l’existence »
  4. 4.Vecteur normé sans précaution de non-nullitéII.5.a

    À la question II.5.a, les candidats norment un vecteur quelconque de E sans préciser qu'il doit être non nul.

    « les candidats norment un vecteur quelconque de E sans précaution de non nullité du vecteur »
  5. 5.Confusion entre famille orthogonale et orthonormaleIII.2.b, III.4.c, III.4.d

    En partie III, plusieurs questions ont donné lieu à des confusions entre famille orthogonale et famille orthonormale, ou entre matrice associée à une base et représentation matricielle d'un endomorphisme.

Ce qui a été bien réussi

  • La question I.2.b a été bien réussie.
  • La question I.3.a a été bien réussie.
  • La question III.2.a a bien fait apparaître la symétrie de la matrice.
  • Les questions II.9 et II.10 ont été bien traitées, souvent avec intelligence.

Conseils du jury

  • Distinguer clairement points et vecteurs, ainsi que produit scalaire, produit vectoriel et déterminant.
  • Ne pas confondre l'unicité d'une solution avec la preuve de son existence.
  • Préciser systématiquement les hypothèses de non-nullité avant de normer un vecteur.
  • Rédiger même les questions de cours avec rigueur, en citant précisément les propriétés utilisées.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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Questions fréquentes

Sur quels chapitres porte l'épreuve de mathématiques 1 CCINP PC 2011 ?

Le sujet porte sur les espaces préhilbertiens réels, la projection orthogonale, la réduction de matrices symétriques et les bases orthonormales, à travers l'étude des droites des moindres carrés.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées ?

Une confusion entre point et vecteur, une mauvaise maîtrise du théorème de Pythagore, la confusion entre unicité et existence d'une solution, et des confusions entre famille orthogonale et orthonormale.

Ce sujet de maths 1 CCINP PC 2011 est-il difficile ?

Le rapport le décrit comme relativement facile mais avec une moyenne stable autour de 9,8/20, ce qui traduit des lacunes de rédaction et de maîtrise du cours plutôt qu'une difficulté intrinsèque élevée.

Quelle est la moyenne à l'épreuve de maths 1 CCINP PC 2011 ?

La moyenne générale est de 9,79 sur 20 pour la filière PC-CH et de 9,86 sur 20 pour la filière PC-PH, une tendance stable par rapport à la session précédente.

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Version HTML avec rendu des formules.

Sujet en PDF
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EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PC

MATHEMATIQUES 1

Durée : 4 heures

N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

Les calculatrices sont interdites
Les parties I, II et III sont indépendantes.

Notations et définitions

Soit P = ℝ^2 le plan muni du produit scalaire canonique et du repère orthonormé R = (O, i, j) avec O = (0, 0), i = (1, 0) et j = (0, 1). La norme associée au produit scalaire canonique sera notée ‖ ⋅ ‖_2 si bien que pour tout (x, y) ∈ ℝ^2, ‖x ⋅ i + y ⋅ j‖_2 = √(x^2 + y^2).
Pour a et b deux réels donnés, on définit D_(a, b) la droite d'équation dans R : y = ax + b.
Si M ∈ P a pour coordonnées ( x, y ) dans R, on note p_(a, b)(M) l'unique point de D_(a, b) ayant, dans R, la même abscisse x que M.
On définit aussi D_(a, b)^′ la droite d'équation dans R : x = ay + b, et p_(a, b)^′(M) l'unique point de D_(a, b)^′ ayant, dans R, la même ordonnée y que M.

PARTIE I : DROITES DES MOINDRES CARRÉS DANS UN CAS PARTICULIER

Soient A, B et C les trois points de P dont les coordonnées dans R sont respectivement : (0, 0), (0, 1) et (α, 1/2) où α désigne un réel non nul.
On définit deux applications f_0 et f_1 de ℝ^2 dans ℝ en posant : pour tout (a, b) ∈ ℝ^2,
f_0(a, b) = ‖p_(a, b)(A)A^(→−)‖_2^2 + ‖p_(a, b)(B)B^(→−)‖_2^2 + ‖p_(a, b)(C)C^(→−)‖_2^2; f_1(a, b) = ‖p_(a, b)^′(A)A^(→−)‖_2^2 + ‖p_(a, b)^′(B)B^(→−)‖_2^2 + ‖p_(a, b)^′(C)C^(→−)‖_2^2
I.1. Montrer que A, B et C ne sont pas alignés.
I.2.
I.2.a. Montrer que f_0(a, b) = b^2 + (b − 1)^2 + (aα + b − 1/2)^2.
I.2.b. Vérifier que f_0(a, b) = (aα + b − 1/2)^2 + 2(b − 1/2)^2 + 1/2.
I.2.c. En déduire que la fonction f_0 admet un minimum sur ℝ^2 et que ce minimum est atteint en un unique couple de réels (a, b) = (0, 1/2) correspondant à la droite, notée D_0, d'équation dans R : y = 1/2.
I.3.
I.3.a. Déterminer l'expression explicite de f_1(a, b) en fonction de a, b et α.
I.3.b. Montrer que f_1(a, b) = 3(a/2 + b − α/3)^2 + 1/2a^2 + 2/3α^2.
I.3.c. En déduire que la fonction f_1 admet un minimum sur ℝ^2 et que ce minimum est atteint en un unique couple de réels, noté (a_1, b_1), à déterminer. On note alors D_1 la droite d'équation dans R : x = a_1 y + b_1.
I.4. Montrer que D_0 et D_1 sont orthogonales et se coupent en un unique point M ∈ P qui est l'isobarycentre de ( A, B, C ).

PARTIE II : RÉSULTATS SUR UN ESPACE PRÉHILBERTIEN RÉEL

Soit E un espace préhilbertien réel non réduit à {0} et F un sous-espace vectoriel de dimension finie de E. On note (⋅ | ⋅) le produit scalaire sur E et ‖ ⋅ ‖ la norme associée à ce produit scalaire.
II.1. Donner la définition de F^⊥. Énoncer (sans démonstration) une propriété vérifiée par F et F^⊥ valable en général. Dans le cas où E est de dimension finie, que peut-on dire de plus?
Pour x ∈ E, on note p_F(x) la projection orthogonale de x sur F.
II.2. Démontrer que inf_(z ∈ F)‖x − z‖ est bien défini et que cette borne inférieure est atteinte en un unique élément z de F défini par z = p_F(x).
Cette borne inférieure est notée d(x, F). On a donc d(x, F) = ‖x − p_F(x)‖.
On dit qu'une application (x, y) ↦ (x|y)_F de E^2 dans ℝ est un produit subordonné à F si elle vérifie les 4 propriétés suivantes :
i) ∀x ∈ E, l'application y ↦ (x|y)_F est une forme linéaire sur E;
ii) ∀(x, y) ∈ E^2, (x|y)_F = (y|x)_F;
iii) ∀x ∈ E, ∀y ∈ F, (x|y)_F = 0;
iv) ∀x ∈ F^⊥, ∀y ∈ F^⊥, (x|y)_F = (x|y).
II.3.
II.3.a. Montrer que si (x, y) ↦ (x|y)_F est un produit subordonné à F, alors :
  • ∀(x, y) ∈ E^2, (x|y)_F = (x − p_F(x)|y − p_F(y));
  • ∀x ∈ E, (x|x)_F = (d(x, F))^2;
  • ∀x ∈ E, (x|x)_F ⩾ 0;
  • ∀x ∈ E, (x|x)_F = 0 ⟺ x ∈ F.
    II.3.b. Vérifier qu'il existe un unique produit subordonné à F.
On note alors (⋅ | ⋅)_F ce produit subordonné à F et pour x ∈ E, on pose ‖x‖_F = √((x|x)_F).
II.4. Montrer que pour tout (x, y) ∈ E^2, |(x|y)_F| ⩽ ‖x‖_F ⋅ ‖y‖_F; à quelle condition sur x et y peut-on dire que : |(x|y)_F| = ‖x‖_F ⋅ ‖y‖_F ?
II.5.
II.5.a. Montrer l'existence d'un élément de E, noté u, tel que ‖u‖ = 1.
On note alors D = Vect(u) la droite vectorielle engendrée par u et p_D la projection orthogonale sur D.
II.5.b. Vérifier que pour tout x ∈ E, p_D(x) = (x|u)u.
Pour tout élément x ∈ E, on pose m_x = (x|u), σ_x = ‖x‖_D.
Pour tout couple (x, y) ∈ E^2, on pose cov(x, y) = (x|y)_D.
II.5.c. Montrer que σ_x = ‖x − m_x u‖ et que cov(x, y) = (x|y) − m_x m_y.
On suppose dans la suite de cette partie que x et y sont deux éléments de E tels que la famille ( u, x, y ) soit libre.
II.6. Montrer que σ_x et σ_y sont deux réels strictement positifs.
On pose alors x^∗ = (x − m_x u)/(σ_x), y^∗ = (y − m_y u)/(σ_y) et ρ = (cov(x, y))/(σ_x σ_y).

II.7.

II.7.a. Montrer que m_(x^∗) = 0, que σ_(x^∗) = 1 et que ρ ∈ ] − 1, 1[.
II.7.b. Vérifier alors que ( u, x^∗ ) est une base orthonormale de F = Vect(u, x).
II.7.c. Montrer que inf_((a, b) ∈ ℝ^2)‖y − ax − bu‖ est bien défini et vaut d(y, F).
II.7.d. Établir que inf_((a, b) ∈ ℝ^2)‖y − ax − bu‖ = ‖y − m_y u − (y|x^∗)x^∗‖.
II.7.e. Vérifier que inf_((a, b) ∈ ℝ^2)‖y − ax − bu‖ = σ_y‖y^∗ − ρx^∗‖.
II.7.f. Déterminer, en fonction de x, y et u, l'unique couple de réels ( a_0, b_0 ) tel que :
inf_((a, b) ∈ ℝ^2)‖y − ax − bu‖ = ‖y − a_0 x − b_0 u‖
Dans le plan P, on définit D_0 comme étant la droite dont l'équation dans R est : y = a_0 x + b_0.
II.8. Montrer que D_0 a pour équation dans R : (y − m_y)/(σ_y) = ρ ⋅ (x − m_x)/(σ_x).
II.9. Montrer de même qu'il existe un unique couple de réels ( a_1, b_1 ) tel que :
inf_((a, b) ∈ ℝ^2)‖x − ay − bu‖ = ‖x − a_1 y − b_1 u‖
Dans le plan P, on définit D_1 comme étant la droite dont l'équation dans R est : x = a_1 y + b_1.
II.10. Montrer que D_1 a pour équation dans R : (x − m_x)/(σ_x) = ρ ⋅ (y − m_y)/(σ_y) avec le même réel ρ défini précédemment.
II.11. Vérifier que D_0 et D_1 se coupent en un unique point M ∈ P de coordonnées dans R : (m_x, m_y).
II.12. Montrer que les droites D_0 et D_1 sont orthogonales si et seulement si (x|y) = m_x m_y.

PARTIE III : BASE ADAPTÉE À UN PRODUIT SCALAIRE DANS UN ESPACE EUCLIDIEN

Soit E_n un espace euclidien de dimension n avec n ⩾ 1.
On note (⋅ | ⋅) le produit scalaire sur E_n et ‖ ⋅ ‖ la norme associée à ce produit scalaire.
Soit B = (e_1, …, e_n) une base de E_n. Pour tout élément z ∈ E_n, on notera M_B(z) la matrice de z dans la base B, et on posera Z = M_B(z). Ainsi Z est la matrice-colonne à n lignes donnée par la relation Z = (z_1; ⋮; z_n) ∈ M_(n, 1)(ℝ) si z = ∑_(i = 1)^n z_i e_i.
III.1. Vérifier que pour tout (x, y) ∈ E_n^2, (x|y) = ^t XSY si X = M_B(x), Y = M_B(y) et S = ((e_i|e_j))_((i, j) ∈ {1, …, n}^2).
On dit alors que S est associée à B.

III.2.

III.2.a. Vérifier que si S est associée à B, alors S est une matrice carrée symétrique réelle d'ordre n et que le spectre de S dans ℂ est inclus dans ℝ_+^∗.
III.2.b. À quelle condition sur B la matrice S associée à B est-elle diagonale ?
III.3. On considère deux matrices A et B carrées d'ordre n telles que pour tout X ∈ M_(n, 1)(ℝ) et Y ∈ M_(n, 1)(ℝ), ^t XAY = ^t XBY. Montrer que A = B.
Notons B^′ = (e_1^′, …, e_n^′) une base de E_n et P la matrice de passage de B à B^′.

III.4.

III.4.a. Pour x ∈ E_n, on note X = M_B(x) et X^′ = M_(B^′)(x). Donner la relation entre X, X^′ et P.
III.4.b. On note S^′ = ((e_i^′|e_j^′))_((i, j) ∈ {1, …, n}^2). Pour (x, y) ∈ E_n^2, X^′ = M_(B^′)(x) et Y^′ = M_(B^′)(y), donner l'expression de ( x|y ) en fonction de X^′, Y^′ et S^′. En déduire que S^′ = ^t PSP.
III.4.c. Montrer qu'il existe une base B^′ de E_n telle que, pour tout (x, y) ∈ E_n^2,
(x|y) = ∑_(i = 1)^n x_i^′ y_i^′ si x = ∑_(i = 1)^n x_i^′ e_i^′ et y = ∑_(i = 1)^n y_i^′ e_i^′.
III.4.d. À quelle condition sur B la matrice de passage P de B à la base précédente B^′ est-elle une matrice orthogonale?
III.5. Étant donné une matrice M_1 ∈ M_n(ℝ) diagonale avec des réels (d_1, …, d_n) strictement positifs sur la diagonale, M_1 est-elle la matrice associée à une base de E_n ?
III.6. Soit M_2 = (1, 1; 1, 1), B = (e_1, e_2) une base orthonormale de E_2 et f_2 l'endomorphisme de E_2 dont la matrice dans B est M_2.
III.6.a. Déterminer le spectre de f_2 et une base orthonormale de chaque sous-espace propre de f_2.
III.6.b. M_2 est-elle la matrice associée à une base de E_2 ?
III.7. Soit M_3 = (3, − 1, − 1; − 1, 3, − 1; − 1, − 1, 3) et B = (e_1, e_2, e_3) une base orthonormale de E_3.
On note f_3 l'endomorphisme de E_3 dont la matrice dans B est M_3.
III.7.a. Déterminer le spectre de f_3 et une base orthonormale de chaque sous-espace propre de f_3.
III.7.b. M_3 est-elle la matrice associée à une base de E_3 ?
III.8. M_4 = (0, 0, 2, 1; 0, 0, 1, 2; 2, 1, 0, 0; 1, 2, 0, 0) est-elle la matrice associée à une base de E_4 ?
On dit qu'une famille B = (e_1, …, e_n) d'éléments de E_n est adaptée si les conditions suivantes sont remplies :
  • pour tout (i, j) ∈ {1, …, n}^2, (e_i|e_j) = 0 si i ≠ j;
  • pour tout i ∈ {1, …, n}, (e_i|e_i) = 1/n.
    III.9.
    III.9.a. Montrer qu'une famille adaptée est une base de E_n.
    III.9.b. Montrer l'existence d'une base adaptée.
    III.9.c. E_n admet-il une unique base adaptée ?
    III.9.d. On suppose que B est une base adaptée. Pour (x, y) ∈ E_n^2, déterminer l'expression de (x|y) en fonction des coordonnées de x et de y dans la base B.
    III.9.e. Calculer alors la norme du vecteur ∑_(i = 1)^n e_i.

PARTIE IV : DROITES DES MOINDRES CARRÉS DANS LE CAS GÉNÉRAL

Soit n un entier supérieur ou égal à 3 .
On considère A_1, …, A_n, n points distincts du plan P qui ne sont pas alignés.
On note (x_1, y_1), …, (x_n, y_n) leurs coordonnées respectives dans R.
On définit deux applications f_0 et f_1 de ℝ^2 dans ℝ en posant : pour tout (a, b) ∈ ℝ^2,
f_0(a, b) = ∑_(i = 1)^n‖p_(a, b)(A_i)A_i^(→−)‖_2^2 et f_1(a, b) = ∑_(i = 1)^n‖p_(a, b)^′(A_i)A_i^(→−)‖_2^2
IV.1. Donner un exemple d'espace préhilbertien réel de dimension infinie, puis un exemple d'espace euclidien de dimension n (dans les deux cas, on donnera l'expression du produit scalaire).
On considère dans toute la suite du problème un espace euclidien E_n de dimension n, dont le produit scalaire et la norme associée sont notés respectivement ( ⋅ | ⋅ ) et ‖ ⋅ ‖.
IV.2. Justifier l'existence d'une base B = (e_1, …, e_n) de E_n telle que :
∀(z, t) ∈ E_n^2, (z|t) = 1/n∑_(i = 1)^n z_i t_i si z = ∑_(i = 1)^n z_i e_i et t = ∑_(i = 1)^n t_i e_i.
On pose u = ∑_(i = 1)^n e_i, si bien que ‖u‖ = 1.
On définit alors, à partir des points A_1, …, A_n, deux éléments x et y dans E_n en posant : x = ∑_(i = 1)^n x_i e_i et y = ∑_(i = 1)^n y_i e_i.
IV.3. Montrer que ( u, x, y ) est une famille libre de E_n.
IV.4. Montrer que pour tout (a, b) ∈ ℝ^2, f_0(a, b) = n‖y − ax − bu‖^2 et f_1(a, b) = n‖x − ay − bu‖^2. IV.5.
IV.5.a. En déduire que f_0 admet un minimum sur ℝ^2 qui est atteint en un unique couple de réels, noté (a_0, b_0), et qu'il en est de même de f_1 avec un unique couple de réels noté (a_1, b_1).
Dans le plan P, on définit alors les droites D_0 et D_1 d'équation dans R : y = a_0 x + b_0 et x = a_1 y + b_1. On les appelle les droites des moindres carrés associées à A_1, …, A_n.
IV.5.b. Montrer que les droites D_0 et D_1 se coupent en un unique point M ∈ P qui est l'isobarycentre de ( A_1, …, A_n ).
IV.5.c. À quelle condition sur les x_1, …, x_n, y_1, …, y_n, les droites D_0 et D_1 sont-elles orthogonales? Donner dans ce cas les équations dans R de D_0 et D_1.
IV.5.d. Donner un exemple de quatre points distincts et non alignés A_1, …, A_4 de P tels que les droites des moindres carrés D_0 et D_1 associées à A_1, …, A_4 soient orthogonales et donner dans ce cas les équations dans R de D_0 et D_1.

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