Centrale Mathématiques 2 PC 2005Sujet, corrigé et rapport du jury

Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2 . Soit A une matrice carrée d'ordre n, dont les coefficients sont des entiers naturels. On note a_(ij) le coefficient de A appartenant à la i-ème ligne et à la j-ème colonne de A.
On suppose que A est symétrique et que les coefficients de la diagonale principale de A sont égaux à 1 .
On désigne par M la matrice réelle, carrée, d'ordre n, de coefficient m_(ij), définie par:

On remarque que M est symétrique et que les coefficients de sa diagonale principale valent 1.
Soit E un espace vectoriel réel de dimension n et ℬ = (e_k)_(1 ≤ k ≤ n) une base donnée de E.
Pour chaque entier i compris entre 1 et n, on désigne par σ_i l'endomorphisme de E caractérisé par :

On note τ l'endomorphisme de E donné par:

où o désigne la composition des applications.
On désigne par S_i et T les matrices associées aux endomorphismes σ_i et τ dans la base ℬ et par I la matrice unité d'ordre n associé à l'identité (notée Id ).

Dans cette partie I, on suppose n = 2 et on pose:

I.A.1) Expliciter M en fonction de m puis en fonction de a.
I.A.2) Donner en fonction de m les matrices S_1, S_2 et T.

I.B - On suppose dans cette question I.B que a ∈ {0, 1} et donc que |m| = 1.
I.B.1) Déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres de τ
I.B.2) La matrice T est-elle diagonalisable ? (Justifier la réponse).
I.B.3) Diagonaliser ou trigonaliser, si possible, la matrice T.
I.B.4) Montrer que τ est d'ordre infini (c'est à dire qu'il n'existe pas d'entier naturel strictement positif k tel que τ^k = Id, où τ^k = τ ∘ τ ∘ …τ désigne la puissance k-ième de τ pour la loi de composition).
I.C - On suppose dans cette question I.C, que a est supérieur ou égal à 2 , et donc que |m| < 1.
On définit la forme bilinéaire φ sur E × E par:

I.C.1) Montrer que φ est un produit scalaire.

Muni de ce produit scalaire, E est un plan euclidien, que nous noterons aussi E.
I.C.2) Pour quelle valeur de a la base ℬ est-elle orthonormale?
I.C.3) Montrer que les sous-espaces propres de σ_1 sont orthogonaux.
I.C.4) Montrer que σ_1 et σ_2 sont des symétries orthogonales en précisant par rapport à quelles droites vectorielles.
I.C.5) Montrer que τ est une rotation et déterminer une mesure en radians de l'angle de cette rotation, en supposant la base ℬ directe.
I.C.6) En déduire que τ est d'ordre a, c'est-à-dire que a est le plus petit entier strictement positif k tel que τ^k = Id.
I.D - On suppose dans cette question que a ∈ {2, 3, 4, 6}.
I.D.1) Dans chacun des cas a = 2, 3, 4, 6, déterminer un réel μ_a, 1 ≤ μ_a < 2, tel que les matrices associées à σ_1 et σ_2 relativement à la base ( e_1, μ_a e_2 ), aient tous leurs coefficients dans ℤ.
I.D.2) Dans chacun des cas a = 2, 3, 4, 6, faire une figure soignée où l'on indiquera e_1 et f_2 = μ_a e_2, ainsi que leurs images par σ_1 et σ_2. On représentera le plan euclidien E de façon usuelle, c'est-à-dire que des vecteurs orthogonaux seront représentés par des flèches perpendiculaires et des vecteurs de même norme par des flèches de même longueur.

Dans cette partie n désigne un entier quelconque supérieur ou égal à 2 .

II.A.1)
a) Pour i compris entre 1 et n, calculer σ_i(e_i).
b) Exprimer σ_i^2 = σ_i ∘ σ_i en fonction de l'identité.
c) Montrer que E = Ker(σ_i − Id) ⊕ Ker(σ_i + Id).
II.A.2) On pose ε_1 = e_1 et, pour tout k ∈ {2, …, n}, ε_k = σ_1 ∘ σ_2…σ_(k − 1)(e_k).
a) Montrer par récurrence sur i < k, que, pour tout k ∈ {2, …, n}, on a :

b) Vérifier que la famille ℱ = (ε_i)_(1 ≤ i ≤ n) est une base de E.
II.A.3)
a) Exprimer τ(e_n) en fonction de ε_n.
b) Montrer que pour tout k ∈ {1, 2, …, n − 1} on a :

II.A.4) Soit C la matrice carrée d'ordre n, triangulaire supérieure, dont les coefficients c_(ij) sont donnés par:

On notera ^t C la matrice transposée de la matrice C.
On désigne par P la matrice de passage de la base ℬ à la base ℱ.
a) Exprimer P^(− 1) en fonction de C.
b) Montrer que :

c) En déduire que, pour tout λ ∈ ℝ, on a :

II.B - Soient i, j vérifiant : 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ n, i ≠ j; on note E_(ij) le sous-espace vectoriel de E engendré par e_i et e_j.
II.B.1)
a) Montrer que dimE_(ij) = 2.
b) Montrer que E_(ij) est stable par σ_i, σ_j, σ_i ∘ σ_j et σ_j ∘ σ_i.

On note π_(ij) et π_(ji) les restrictions de σ_i ∘ σ_j et σ_j ∘ σ_i à E_(ij).
c) Donner les matrices Π_(ij) et Π_(ji) associées à π_(ij) et π_(ji) relativement à la base ( e_i, e_j ) de E_(ij).
d) Vérifier que Π_(ij) et Π_(ji) sont inverses l'une de l'autre. Pouvait-on prévoir ce résultat?
II.B.2)
a) Montrer que, si pour tous i et j on a a_(ij) ∈ {0, 1}, alors π_(ij) et π_(ji) sont d'ordre infini.
b) Quels sont les ordres de π_(ij) et π_(ji) lorsque a_(ij) ≥ 2 ?
II.C - On suppose dans cette section que :
i) n ≥ 3
ii) a_(ij) = 2 pour 1 < |i − j| < n − 1
iii) {a_(12), a_(23), …, a_((n − 1)n), a_(n1)} ⊂ {3, 4, 6}.

On pose β_n = 2m_(1n) et β_i = 2m_(i(i + 1)) pour i ∈ {1, 2, …, n − 1}.
On désigne par p (resp. q ) le nombre de couples (i, j), i < j, tels que a_(ij) = 4( resp. a_(ij) = 6).
II.C.1) Montrer que si p et q sont pairs, alors il existe un n-uplet de réels (v_1, v_2, …, v_n) tel que les matrices de tous les σ_k, pour k ∈ {1, 2, …, n}, relativement à la base ( v_1 e_1, v_2 e_2, …, v_n e_n ), ont leurs coefficients dans ℤ.
II.C.2) det(λI − T) est un polynôme réel en λ, de degré n, que l'on écrira det(λI − T) = ∑α_k λ^k.
a) Justifier que α_n = 1 et α_(n − 1) = − trT, où tr T désigne la trace de T.
b) Calculer, pour n = 3, det(λI − T) en fonction de λ, β_1, β_2 et β_3.
c) Montrer que

(on pourra utiliser la question II.A. 4 et démontrer la relation par récurrence sur n).
II.C.3)
a) Montrer que, s'il existe une base de E dans laquelle toutes les matrices des σ_k ont tous leurs coefficients entiers, alors la trace de τ est un entier.
b) Montrer que si p est impair ou q est impair, alors la trace de τ est irrationnelle.
c) Montrer qu'il existe une base de E dans laquelle les matrices de tous les σ_k ont tous leurs coefficients entiers si et seulement si p et q sont pairs.

On suppose dans cette partie que n = 3 et que :

III.A - Peut-on trouver une base de E dans laquelle les matrices de σ_1, σ_2 et σ_3 ont tous leurs coefficients entiers?
III.B - On définit la forme bilinéaire Φ sur E × E par :

pour tous x_1, x_2, x_3, y_1, y_2, y_3 réels.
III.B.1) Vérifier que Φ est un produit scalaire.

On considérera donc E comme un espace vectoriel euclidien muni de ce produit scalaire.
III.B.2) Donner une équation cartésienne de l'orthogonal, pour Φ, du vecteur ae_1 + be_2 + ce_3 en fonction de a, b, c.

III.C.1) Pour i ∈ {1, 2, 3}, déterminer les sous-espaces F_i = Ker(σ_i − Id) et G_i = Ker(σ_i + Id).
III.C.2) En déduire que les σ_i, i ∈ {1, 2, 3}, sont des symétries orthogonales par rapport à des plans (ou réflexions) de E.
III.D - Montrer que les σ_i ∘ σ_j, pour 1 ≤ i, j ≤ 3, sont des rotations et les caractériser.

III.E.1) Que peut-on dire de τ = σ_1 ∘ σ_2 ∘ σ_3 ?
III.E.2) Déterminer la matrice T.

Déterminer un vecteur non nul u de norme 1 tel que τ(u) = − u, puis une base directe de E, de premier vecteur u, orthonormale pour Φ, 𝒟 = (u, v, w).
III.E.3) Montrer que τ est la composée d'une rotation d'axe ℝu, dont on précisera l'angle et de la symétrie orthogonale par rapport au plan (ℝu)^⊥.
Donner l'ordre de la matrice T, c'est-à-dire le plus petit entier k > 0 tel que T^k = I.