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Centrale Mathématiques 2 PC 2006Sujet, corrigé et rapport du jury

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Présentation du sujet

Difficile
Alternative de Poncelet : tangentes à une ellipse inscrite dans un cercle, correspondances algébriques et existence de 4-cycles
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Le problème de mathématiques 2, Centrale PC 2006, étudie des suites de tangentes à une ellipse portées par des bipoints successifs de points d'un cercle qui la contient, c'est-à-dire l'alternative de Poncelet sur les « 4-cycles ». Il commence par un exemple pratique de paramétrage rationnel du cercle, introduit ensuite les correspondances algébriques entre deux points du cercle, puis étudie l'existence de 4-cycles pour une 2-correspondance générale à l'aide de familles de polynômes.

  1. 1Partie I : un exemple pratiqueÉtude d'une ellipse et d'un cercle donnés, positions relatives et tangence, paramétrage rationnel du cercle par la tangente de l'arc moitié, puis construction géométrique d'un triangle inscrit dans le cercle dont les côtés sont tangents à l'ellipse.
  2. 2Partie II : correspondances algébriquesDéfinition des 1-correspondances et 2-correspondances entre deux points paramétrés du cercle, avec des exemples liés à une droite passant par un point fixe ou à un second cercle.
  3. 3Partie III : l'alternative de PonceletÉtude de l'existence de paramètres formant un 4-cycle pour une 2-correspondance générale, à l'aide de familles de vecteurs et de polynômes liées ou libres et de déterminants associés.

Difficile. Le rapport indique que les candidats ont montré une certaine maladresse dans les raisonnements, imputable au caractère déstabilisant de questions de géométrie plane peu familières même lorsqu'elles restent élémentaires, tandis que seuls certains candidats à la maîtrise solide ont obtenu de très bons résultats sur ce sujet s'éloignant du cœur du programme.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées
Positions relatives du cercle et de l'ellipse mal justifiées · Tangence d'une droite à une ellipse admise sans démonstration · Paramétrage rationnel du cercle mal appliqué en pratique
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Le sujet portait sur une géométrie plane élémentaire mais peu familière aux candidats, ce qui a généré une certaine maladresse dans les raisonnements. À l'inverse, certains candidats à la maîtrise solide des méthodes mathématiques ont obtenu de très bons résultats sur ce sujet s'éloignant du cœur du programme que constituent l'analyse fonctionnelle et l'algèbre linéaire. Le jury pointe plusieurs lacunes sur lesquelles un travail spécifique semble nécessaire en cours de deuxième année.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Positions relatives du cercle et de l'ellipse mal justifiéesI.B

    Peu d'étudiants savent interpréter le fait que la différence des polynômes définissant deux courbes fermées reste de signe constant ; beaucoup se contentent de dire que le cercle est « au-dessus » de l'ellipse, sans réelle justification.

    « beaucoup disent seulement ici que le cercle est « au-dessus » de l’ellipse »
  2. 2
    Tangence d'une droite à une ellipse admise sans démonstrationI.C.1

    Peu de candidats aperçoivent la philosophie de cette question, qui demandait justement de démontrer qu'une droite ne rencontrant une ellipse qu'en un seul point lui est tangente, et non de l'admettre.

    « admettant sans démonstration qu’une droite ne rencontrant une ellipse qu’en un point lui est tangente »
  3. 3
    Paramétrage rationnel du cercle mal appliqué en pratiqueI.D

    Si le paramétrage rationnel du cercle est assez bien connu en théorie, son application pratique laisse à désirer : de nombreux candidats ne représentent qu'un demi-cercle au lieu du cercle entier.

    « nous avons vu beaucoup de demi-cercles »
  4. 4
    Méthode générale appliquée sans discernementI.E

    Les candidats appliquent un peu trop vite la méthode générale consistant à chercher l'équation d'une droite passant par deux points, alors qu'il suffisait ici de montrer que les deux points satisfont l'équation déjà proposée.

    « il suffisait ici de montrer que les deux points satisfont l’équation proposée »
  5. 5
    Cas dégénéré non vérifiéII.A

    Le fait que deux quantités ne soient pas simultanément nulles n'a pas souvent été vérifié par les candidats, révélant un manque d'attention aux cas « vides » ou « dégénérés » des notions introduites.

    « Le fait que v1 et v2 ne soient pas en l’occurrence nuls simultanément n’a pas souvent été vérifié »
  6. 6
    Erreurs de calcul, notamment de signeIII.C.1

    Cette question a produit de nombreuses erreurs de calcul chez les candidats, en particulier des erreurs de signe.

    « Cette question a produit beaucoup d’erreurs de calcul (erreurs de signe, notamment) »

Ce qui a été bien réussi

  • Le traitement de l'équation de la partie I.A est généralement bien connu.
  • La vision géométrique du cas des autres coniques (question I.C.2) est généralement bonne.
  • Le paramétrage rationnel du cercle par la tangente de l'arc moitié (question I.D) paraît assez bien connu.
  • Quelques candidats montrent une solide intuition « linéaire » et réussissent la question III.B.4.a.

Conseils du jury

  • S'entraîner à la géométrie plane élémentaire (coniques, tangentes, paramétrages), moins familière que l'analyse ou l'algèbre linéaire du cœur du programme.
  • Justifier réellement les affirmations géométriques plutôt que de les énoncer comme évidentes (par exemple une position relative de courbes).
  • Vérifier systématiquement les cas particuliers, vides ou dégénérés, avant d'appliquer une propriété générale.
  • Choisir la méthode la plus économe pour une question donnée plutôt que d'appliquer mécaniquement une méthode générale plus lourde.
  • Soigner la rigueur sur les questions a priori faciles, où les erreurs de signe et de calcul sont fréquentes.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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MATHÉMATIQUES II

Dans ce problème, les figures ou les commentaires, même non demandés, qui éclaireraient les situations ou les hypothèses rencontrées seront les bienvenus.
Dans tout le problème, on désigne par 𝒫 un plan affine euclidien rapporté à un repère orthonormé (O; i⃗, j⃗), par ( C ) le cercle centré en O et de rayon donné R, R > 0, et par A_1, A_2 et A_3 les points de coordonnées respectives ( R, 0 ) , ( 0, R ) et (− R, 0).

Partie I - Un exemple pratique

Dans cette partie, on désigne par ( E ) la courbe d'équation 4x^2 + 5y^2 − 4Ry = 0.
I.A - Montrer que ( E ) est une ellipse. En déterminer deux axes de symétrie et un centre de symétrie.
I.B - Étudier le signe de l'expression (4x^2 + 5y^2 − 4Ry) − 4(x^2 + y^2 − R^2) pour (x, y) ∈ ℝ^2. En déduire les positions relatives de (E) et (C).

I.C -

I.C.1) Soit ( ℰ ) l'ellipse de représentation paramétrique ( x = acosθ, y = bsinθ ) , où a et b sont deux réels non nuls et où le paramètre θ décrit ℝ. Montrer que la droite ( D ) d'équation y = mx + m^′ rencontre ( ℰ ) en un point unique si et seulement si il existe x ∈ ℝ tel que
{(x^2)/(a^2) + ((mx + m^′)^2)/(b^2) = 1; x/(a^2) + m(mx + m^′)/(b^2) = 0
En déduire que, dans ce cas, (D) est tangente à (ℰ).
I.C.2) En se ramenant à la question précédente, montrer que, si dans 𝒫 une droite coupe une ellipse en un seul point, elle lui est tangente. Est-ce encore le cas pour une parabole? Pour une hyperbole?
I.C.3) Montrer que les droites d'équation x + y = R et − x + y = R sont tangentes à ( E ) en des points que l'on précisera. Tracer soigneusement ( C ) et ( E ), ainsi que ces deux droites.

Filière PC

I.D - On considère l'arc paramétré défini par :
OM(t)^(→−) = R((1 − t^2)/(1 + t^2)i⃗ + (2t)/(1 + t^2)j⃗), avec t ∈ ℝ
Montrer que l'on définit ainsi une bijection de ℝ sur une partie ( γ ) de ( C ) que l'on précisera. Si t est réel, on dira que t est le paramètre du point M(t).
I.E - Soit t et u deux réels. Montrer que (1 − p)x + sy − R(1 + p) = 0 est une équation de la droite (M(t)M(u)), si l'on a posé s = t + u et p = tu.
Si t = u, la notation (M(t)M(u)) désignera cette fois la tangente en M(t) à (γ). On admettra sans le vérifier que l'équation trouvée convient encore dans ce cas.

I.F -

I.F.1) Soit M un point de ( γ ), de paramètre t. Montrer que, sauf dans un cas particulier à préciser, son symétrique orthogonal Mˆ par rapport à (O; j⃗) est un point de (γ); en exprimer le paramètre, noté tˆ.
Si A_0 désigne le point de coordonnées ( R, 2R ), montrer que, lorsque t ≠ 1, la droite ( A_0 Mˆ ) recoupe ( γ ) au point de paramètre 1/(1 − t) (on pourra utiliser les résultats de I.E.).

I.F.2)

Dans le cas particulier où t ≠ 1 et u = 1/(1 − t), on pose toujours s = t + u et p = tu. Montrer que la droite (M(t)M(u)) est tangente à ( E ) (on pourra exprimer (p + 1)s en fonction de p seulement et utiliser les résultats de I.C.2.).
I.F.3) En utilisant les questions qui précèdent, montrer que, si un point A de (C) est distinct des points A_1, A_2 et A_3 définis dans le préambule, alors une construction géométrique simple, que l'on détaillera, permet de construire deux autres points A^′ et A^(′′) de ( C ) tels que les côtés du triangle AA^′ A^(′′) soient tangents à (E). Étudier le cas des points A_i pour i ∈ {1, 2, 3}.
I.G - Récapituler les résultats de cette partie à l'aide d'une figure.

Partie II - Correspondances algébriques

Soit P une application de ℝ^2 dans ℝ de la forme
(x, y) ↦ P(x, y) = u_(1, 1)x^2 + 2u_(1, 2)xy + u_(2, 2)y^2 + v_1 x + v_2 y + w
où les coefficients u_(i, j), v_i et w sont des réels.
On lui associe la relation ℛ définie sur (γ) × (γ) par
M(t)ℛM(u) ⇔ P(s, p) = 0
où l'on a posé s = t + u et p = tu. On dira que ℛ est une 2 -correspondance si u_(1, 1), u_(1, 2) et u_(2, 2) ne sont pas tous les trois nuls, et une 1 -correspondance si u_(1, 1) = u_(1, 2) = u_(2, 2) = 0, mais v_1 et v_2 non tous nuls.

II.A - Exemple de 1 - correspondance

Soit A un point donné de 𝒫, différent de A_3. Montrer que la relation sur (γ) × (γ) définie par M(t)ℛM(u) ⇔ A ∈ (M(t)M(u)) est une 1 -correspondance. Donner un exemple simple de 1 -correspondance qui ne soit pas de cette forme.

II.B - Exemple de 2 - correspondance

Soit (Γ) le cercle de centre Ω de coordonnées ( α, 0 ) et de rayon r, r > 0 donnés. II.B.1) Si ( D ) est la droite d'équation ax + by = c, avec (a, b) ≠ (0, 0), donner une expression du carré de la distance de Ω à (D), noté d^2(Ω, D).
II.B.2) En déduire que, si t et u sont des réels, la droite ( M(t)M(u) ) est tangente à (Γ) si et seulement si
((R + α)^2 − r^2)p^2 − r^2 s^2 + 2(R^2 + r^2 − α^2)p + (R − α)^2 − r^2 = 0
puis que cela définit ici une 2 - correspondance.
II.C - Si ℛ est une 1 - correspondance, montrer que l'ensemble des t ∈ ℝ tels que M(t)ℛM(t) est fini (ou vide). Montrer que cette propriété tombe en défaut pour une 2 -correspondance et une seule.
Pour fournir certains des exemples demandés dans la partie qui suit, les candidats pourront mettre à profit l'exemple II.B en choisissant de façon adéquate le cercle (Γ).

Partie III - L'alternative de Poncelet

Le but de cette partie est l'étude de l'existence, étant donné une 2 -correspondance ℛ vérifiant quelques propriétés supplémentaires, de paramètres réels (distincts ou non) t_1, t_2, t_3 et t_4 formant un 4-cycle pour ℛ, c'est-à-dire tels que M(t_i)ℛM(t_(i + 1)) pour 1 ≤ i ≤ 3 et M(t_4)ℛM(t_1).
III.A - Comment interpréter géométriquement un 4-cycle dans le cas où ℛ est la 2 - correspondance définie à la question II.B. 2 ? Montrer par un choix de (Γ) qu'il peut y avoir une infinité de solutions, et qu'il peut n'y avoir aucune solution.

III.B -

Pour t ∈ ℝ, on pose
V(t) = (t^2; t; 1) ∈ ℝ^3
III.B.1) t et u étant réels, à quelle condition la famille {V(t), V(u)} est-elle liée dans ℝ^3 ?
III.B.2) Soit P, Q, R ∈ ℝ_2[X]; on pose:
W(t) = (P(t); Q(t); R(t)) ∈ ℝ^3
Montrer qu'il existe 𝒜 ∈ ℳ_3(ℝ) unique telle que W(t) = 𝒜V(t) pour tout réel t.
III.B.3) Caractériser à l'aide de 𝒜 la liberté de la famille {P, Q, R} dans l'espace vectoriel ℝ[X]. En déduire que si {P, Q, R} est libre, alors la famille {W(t), W(u)} est libre si et seulement si t ≠ u.
III.B.4)
a) On suppose, jusqu'à la fin de ce III.B, que {P, Q, R} est de rang 2 .
Montrer que 𝒜 admet 0 comme valeur propre et en déduire qu'il existe trois réels a, b, c tels que
{W(t), W(u)} liée ⇔ |a, t^2, u^2; b, t, u; c, 1, 1| = 0
b) Montrer que ce déterminant est égal à (t − u)(a − bs + cp), avec s = t + u et p = tu.
Établir alors le résultat suivant, vrai sauf pour des valeurs particulières de (a, b, c) que l'on mettra en évidence :
Il existe une 1 -correspondance ℛ_0 telle que, chaque fois que les réels t et u vérifient M(t)ℛ_0 M(u), la famille {W(t), W(u)} est liée.
III.C - On considère une 2-correspondance de la forme
M(t)ℛM(u) ⇔ P(s, p) = Ap^2 + 2Bps + Cs^2 + 2Dp + 2Es + F = 0
où A, B et C sont des réels non tous nuls, D, E et F des réels, et où p et s désignent encore tu et t + u.
III.C.1) Écrire P(s, p) sous la forme P_1(t)u^2 + 2P_2(t)u + P_3(t), où P_1, P_2 et P_3 sont dans ℝ_2[X].
Exemple 1. Lorsque P(s, p) = s^2 − 4p, déterminer P_1, P_2 et P_3 ainsi que le rang de la famille {P_1, P_2, P_3}.
Exemple 2. On considère, pour ce seul exemple, deux réels α et β strictement positifs tels que α^2 + β^2 = R^2 et on pose P(s, p) = α^2(1 − p)^2 + β^2 s^2 − R^2(1 + p)^2 = 0. Montrer que {P_1, P_2, P_3} vérifie les hypothèses du III.B.4-a) puis déterminer la 1 - correspondance définie comme dans le III.B.4-b).
III.C.2)
Montrer que si, pour u_2 ∈ ℝ, l'équation en u : P_1(u_2)u^2 + 2P_2(u_2)u + P_3(u_2) = 0 possède deux solutions réelles (distinctes ou non) u_1 et u_3, alors on a M(u_1)ℛM(u_2) et M(u_2)ℛM(u_3).
III.C.3)
a) On pose Δ(t) = P_2^2(t) − P_1(t)P_3(t).
Montrer, par un exemple, qu'il est possible que ∀t ∈ ℝ, Δ(t) < 0, ou que Δ(t) < 0 sauf en un point. Que penser dans chacun de ces cas de l'existence de 4 -cycles?
On suppose maintenant qu'il existe t_0 ∈ ℝ, supposé choisi, tel que Δ(t_0) > 0. On suppose en outre que P_1(t_0) ≠ 0 (ce qui, en fait, ne restreint nullement la généralité recherchée).
b) Montrer qu'il existe alors un intervalle ouvert non vide ℐ_0 en tout point duquel Δ(t) > 0 et P_1(t) ≠ 0.
c) En conclure que si la famille {P_1, P_2, P_3} est libre, il n'existe aucun 4-cycle formé de paramètres distincts.
d) Si la famille {P_1, P_2, P_3} est de rang 2 , montrer qu'il existe une 1 -correspondance ℛ_0 telle que, chaque fois que l'on a t_1 ∈ ℐ_0 et M(t_1)ℛ_0 M(t_2), il existe u_1 et u_2 tels que t_1, u_1, t_2, u_2 soit un 4-cycle. Peut-on alors faire en sorte que ces quatre paramètres soient distincts?
III.C.4)
a) Dans le cas de l'exemple de II.B, montrer que l'hypothèse du III.B.4-a) quant au rang de {P, Q, R} équivaut à
(R^2 − α^2)((R^2 − α^2)^2 − 2r^2(R^2 + α^2)) = 0.
b) Que signifie la condition R^2 − α^2 = 0 ? Indiquer une construction géométrique de 4 -cycles dans le cas où elle est vérifiée. Prouver géométriquement que cette construction convient.

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte l'épreuve de mathématiques 2 Centrale PC 2006 ?
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Sur quels chapitres porte l'épreuve de mathématiques 2 Centrale PC 2006 ?

Le sujet porte sur la géométrie des coniques (ellipse et cercle), le paramétrage rationnel d'une courbe, les familles libres et liées de vecteurs et de polynômes, et l'alternative de Poncelet sur les 4-cycles de tangentes.

Quelle est la moyenne à l'épreuve de mathématiques 2 Centrale PC 2006 ?

Le rapport ne communique aucune moyenne ni écart-type chiffrés pour cette épreuve.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées à cette épreuve de mathématiques 2 Centrale PC 2006 ?

Le jury relève des positions relatives de courbes mal justifiées, une tangence admise sans démonstration là où elle était demandée, un paramétrage du cercle mal appliqué en pratique, des cas dégénérés non vérifiés et de nombreuses erreurs de calcul et de signe.

Cette épreuve de mathématiques 2 Centrale PC 2006 est-elle difficile ?

Le rapport la juge déstabilisante pour la majorité des candidats, la géométrie plane élémentaire étant peu familière, même si quelques candidats à la maîtrise solide ont obtenu de très bons résultats sur ce sujet éloigné du cœur du programme.

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