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Mines Mathématiques 1 PC 2006Sujet, corrigé et rapport du jury

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Présentation du sujet

Difficile
Fonctions hypergéométriques construites à partir de la fonction Gamma
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Le problème étudie des intégrales à paramètre liées à la fonction Gamma et débouchant sur des fonctions dites hypergéométriques. Il comporte trois parties presque indépendantes : propriétés de ces intégrales et systèmes différentiels associés, calcul d'un Wronskien, puis développement en série entière.

  1. 1Partie I : fonctions hypergéométriquesÉtude de l'intégrabilité et de la dérivabilité des fonctions I1, I2, K, J1, J2, L et des relations différentielles qui les lient.
  2. 2Partie II : calcul du Wronskien de (S)Détermination d'un équivalent puis d'une expression exacte du Wronskien du système différentiel introduit en partie I.
  3. 3Partie III : développement en sérieExpression polynomiale de l'intégrale quand un paramètre est entier, rayon de convergence et équation différentielle vérifiée par la série F.

Difficile. Le rapport qualifie le problème de relativement long et signale un nombre abondant de copies incapables de surmonter les difficultés allant au-delà des applications immédiates du cours.

Ce qu'a observé le jury

5 erreurs relevées
Calculs simples mais mal exécutés · Théorème de dérivation sous le signe intégral mal maîtrisé · Théorème des accroissements finis peu utilisé
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Le sujet, jugé relativement long, a mis en difficulté une part importante des candidats dès les premières questions calculatoires. La partie I a été la mieux traitée, tandis que la partie III n'a le plus souvent été abordée que ponctuellement. Le jury regrette de nombreuses réponses qui donnent l'illusion d'une justification sans réelle argumentation.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Calculs simples mais mal exécutésQ1, Q2

    Les questions 1 et 2 ne demandaient que des calculs très simples et un peu de soin, mais ont entraîné un très grand nombre d'erreurs graves.

    « ont donné lieu à un très grand nombre d’erreurs graves »
  2. 2
    Théorème de dérivation sous le signe intégral mal maîtriséQ3

    À la question 3, les candidats ont souvent donné une version trop approximative du théorème, ce qui les a empêchés de présenter une réponse motivée.

    « des versions trop approximatives du théorème de dérivation sous le signe »
  3. 3
    Théorème des accroissements finis peu utiliséQ8

    À la question 8, une proportion élevée de candidats s'égare sans aboutir, faute de recourir au théorème des accroissements finis.

    « rares sont ceux qui font appel au théorème des accroissements »
  4. 4
    Notion d'équivalence mal compriseQ9, Q11, Q12, Q13

    Aux questions 9, 11, 12 et 13, le jury relève une incompréhension fréquente de la notion d'équivalence et de la notation o.

    « les candidats ont souvent fait preuve d’une complète incompréhension de la notion d’équivalence »
  5. 5
    Partie III abordée par grappillageQ17

    La longueur du problème a poussé de nombreux candidats à grappiller des points en partie III, en se concentrant surtout sur la question 17.

    « on peut dire que la question 17) a été plébiscitée »

Ce qui a été bien réussi

  • La partie I a été la partie la mieux traitée du problème.
  • Un certain nombre de candidats a manifesté une grande maîtrise et une maturité dans ses réponses, ce qui a impressionné le jury.
  • Le recours à une intégration par parties pour la question 4 a souvent été opéré.

Conseils du jury

  • Soigner les calculs même simples : les questions 1 et 2, pourtant élémentaires, ont donné lieu à de nombreuses erreurs graves.
  • Justifier réellement une formule ou un énoncé du texte plutôt que de se contenter d'une argumentation illusoire.
  • Ne pas consacrer un temps excessif à une seule question, comme cela a été observé pour la question 7.
  • Gérer son temps sur l'ensemble du problème plutôt que d'aborder la dernière partie par grappillage.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES. ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE. ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI).
CONCOURS D'ADMISSION 2006

PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Filière PC

(Durée de l'épreuve : 3 heures) L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit.
Sujet mis à la disposition des concours : ENSTIM, INT, TPE-EIVP, Cycle international
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie :
MATHÉMATIQUES I - PC.
L'énoncé de cette épreuve comporte 6 pages de texte.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.
On rappelle que la fonction Gamma est définie pour tout réel z > 0 par
Γ(z) = ∫_0^∞t^(z − 1)e^(− t) dt
Cette fonction possède les deux propriétés suivantes:
  • pour tout réel z strictement positif, Γ(z + 1) = zΓ(z);
  • il est admis que
∫_0^1 u^(α − 1)(1 − u)^(β − 1)du = (Γ(α)Γ(β))/(Γ(α + β))
pour tous réels α > 0 et β > 0.

I. Fonctions hypergéométriques

  1. Soit z un réel strictement positif. Déterminer des conditions nécessaires et suffisantes sur les réels α et β pour que la fonction
t ⟼ t^(α − 1)(1 + t)^(β − 1)e^(− zt)
soit intégrable sur ℝ^+.
2) Soit z un réel strictement positif. Déterminer des conditions nécessaires et suffisantes sur les réels α, β pour que la fonction
t ⟼ (− t)^(α − 1)(1 + t)^(β − 1)e^(− zt),
soit intégrable sur ] − 1, 0[.
On fixe maintenant deux réels α > 0, β > 0 et on définit les fonctions
K(z) = ∫_0^(+ ∞)t^α(1 + t)^β e^(− zt) dt; I_1(z) = ∫_0^(+ ∞)t^(α − 1)(1 + t)^β e^(− zt) dt; I_2(z) = ∫_0^(+ ∞)t^α(1 + t)^(β − 1)e^(− zt) dt
pour tout réel strictement positif z.
3) Montrer que I_1 et I_2 sont continûment dérivables sur ℝ_+^∗ et que
I_1^′ = − K et I_2^′ = − K + I_2.
  1. Montrer que zK = αI_1 + βI_2.
  2. En déduire que le vecteur I(z) = ((I_1(z))/(I_2(z))) est solution d'un système différentiel linéaire sur ℝ_+^∗ :
I^′(z) = A(z)I(z),
où A(z) est une matrice que l'on explicitera.
6) Montrer que K satisfait sur ℝ_+^∗ une équation différentielle linéaire d'ordre 2 que l'on explicitera.
On définit les fonctions
L(z) = ∫_(− 1)^0(− t)^α(1 + t)^β e^(− zt) dt; J_1(z) = − ∫_(− 1)^0(− t)^(α − 1)(1 + t)^β e^(− zt) dt; J_2(z) = ∫_(− 1)^0(− t)^α(1 + t)^(β − 1)e^(− zt) dt
  1. Montrer que les fonctions J_1, J_2, L satisfont les mêmes relations que respectivement, I_1, I_2, K définies dans l'équation (E), que le vecteur J = ((J_1)/(J_2)) est solution du même système différentiel que I (voir (S)) et que L satisfait la même équation différentielle que K (trouvée à la question 6).

II. Calcul du Wronskien de (S)

  1. Montrer que pour tout t > 0 et z ≥ 1
|(1 + t/z)^(β − 1) − 1| ≤ {t/z|β − 1|(1 + t)^(β − 2), si β ≥ 2; t/z|β − 1|, si β ≤ 2
  1. En déduire que pour tous réels α > 0, β > 0
∫_0^(+ ∞)t^(α − 1)(1 + t)^(β − 1)e^(− zt) dt
est équivalent à Γ(α)z^(− α) quand z tend vers + ∞, c'est-à-dire que
(∫_0^(+ ∞)t^(α − 1)(1 + t)^(β − 1)e^(− zt) dt − Γ(α)z^(− α)) = o(z^(− α))
quand z tend + ∞.
10) Montrer, pour tous réels α > 0 et β > 0 et pour tout réel z, l'identité:
∫_(− 1)^(− 1/2)(− t)^(α − 1)(1 + t)^(β − 1)e^(− zt) dt = e^z z^(− β)∫_0^(z/2)u^(β − 1)(1 − u/z)^(α − 1)e^(− u)du
  1. En déduire que cette intégrale est équivalente à Γ(β)e^z z^(− β) quand z tend vers + ∞.
  2. En déduire que
∫_(− 1)^0(− t)^(α − 1)(1 + t)^(β − 1)e^(− zt) dt
est équivalent à Γ(β)e^z z^(− β) quand z tend vers + ∞. Pour tous réels α > 0, β > 0, z > 0 on définit le Wronskien
w(z) = det(I_1(z), J_1(z); I_2(z), J_2(z))
  1. Donner un équivalent de w(z) quand z tend vers + ∞.
  2. Montrer que w satisfait une équation différentielle linéaire d'ordre 1 que l'on explicitera.
  3. Montrer que, pour tout z réel strictement positif, w(z) = Γ(α)Γ(β)z^(− α − β)e^z.

III. Développement en série

  1. Montrer que si β est un entier strictement positif
∫_0^∞t^(α − 1)(1 + t)^(β − 1)e^(− zt) dt = z^(− α − β + 1)P(z)
où P(z) est un polynôme de degré β − 1 en la variable z, que l'on explicitera.
Pour tout réel x et tout entier positif n, on pose
(x, n) = ∏_(k = 0)^(n − 1)(x + k)
pour n > 0 et (x, 0) = 1.
17) Soient a et b deux réels. On suppose de plus que b n'est pas un entier négatif. Calculer le rayon de convergence de la série entière de terme général
u_k = ((a, k))/(k!(b, k))
On note alors pour tout réel x
F(a, b, x) = ∑_(k = 0)^∞((a, k))/(k!(b, k))x^k
  1. Montrer pour tout réel strictement positif z, l'identité suivante:
∫_(− 1)^0(− t)^(α − 1)(1 + t)^(β − 1)e^(− zt) dt = (Γ(α)Γ(β))/(Γ(α + β))F(α, α + β, z)
  1. Montrer directement (sans utiliser la partie I) que la fonction y(x) = F(a, b, x) est solution sur ℝ de l'équation différentielle suivante
xy^(′′)(x) + (b − x)y^′(x) − ay(x) = 0
  1. Montrer que si b n'est pas un entier, on peut trouver des réels a^′ et b^′ tels que y(z) = z^(1 − b)F(a^′, b^′, z) soit solution sur ℝ_+^∗ de la même équation différentielle.

FIN DU PROBLÈME

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte le sujet de mathématiques 1 Mines PC 2006 ?
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Sur quels chapitres porte le sujet de mathématiques 1 Mines PC 2006 ?

Le problème porte sur des intégrales à paramètre liées à la fonction Gamma et aux fonctions hypergéométriques : dérivation sous le signe intégral, systèmes différentiels linéaires et séries entières.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées ?

Le jury signale de nombreuses erreurs de calcul dès les premières questions, une maîtrise insuffisante du théorème de dérivation sous le signe intégral et de la notion d'équivalence, ainsi que des justifications formelles sans réelle argumentation.

Quelle partie du sujet a été la mieux réussie ?

La partie I, consacrée aux fonctions hypergéométriques, a été la mieux traitée selon le rapport, même si les toutes premières questions calculatoires ont donné lieu à de nombreuses erreurs.

Le sujet de Mines maths 1 PC 2006 est-il long ?

Le rapport qualifie le problème de relativement long ; la partie III n'a le plus souvent été abordée que ponctuellement, par grappillage, faute de temps.

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