WikiPrépaLivrets

Mines Mathématiques 1 PC 2007Sujet, corrigé et rapport du jury

Pas encore noté
Logo concours Mines

Explorer les annales

BanqueMinesAnnée2007FilièrePCMatièreMathématiques
Annales Mines PC MathématiquesMines PC 2007PC MathématiquesMathématiques 2007

Téléchargements

Télécharger le sujet (PDF)
Corrigé
Corrigé 2
Corrigé 3
Rapport du juryLire en ligneLaTeXWord

Présentation du sujet

Difficile
Pseudo-inverse et matrice stochastique
Afficher ou masquer la section

Le problème construit la notion de pseudo-inverse d'une matrice puis l'applique au calcul de la limite de Cesàro des puissances d'une matrice stochastique strictement positive. Il enchaîne des préliminaires sur les normes matricielles, une étude du pseudo-inverse par réduction, puis le calcul explicite de la limite X∞.

  1. 1I. PréliminairesÉtablir des propriétés de la norme matricielle utilisée et montrer que les puissances de P restent stochastiques.
  2. 2II. Pseudo-inverseCaractériser l'existence et l'unicité du pseudo-inverse d'une matrice à l'aide du rang et d'une décomposition par blocs.
  3. 3III. Calcul de X∞Passer par les complexes pour établir rang(a) = rang(a²) = n-1, puis calculer la limite de Cesàro des puissances de P.

Difficile. Le rapport indique une moyenne légèrement supérieure à 8 sur 20, avec près de 10% de notes inférieures ou égales à 4.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées
Interversion d'indices oubliée · Notation matricielle incorrecte · Récurrence rédigée trop vite
Afficher ou masquer la section

L'épreuve portait essentiellement sur l'algèbre linéaire et a bien permis d'évaluer les connaissances des candidats sur cette partie du programme. Les résultats restent stables par rapport aux années précédentes, avec la proportion habituelle de très bonnes et de très mauvaises copies.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Interversion d'indices oubliéeQ1

    Dès la première question, beaucoup de candidats ne voient pas qu'il fallait intervertir les indices dans une somme double, ce qui entraîne des abus dans les majorations.

    « beaucoup ne voient pas qu'il convenait d'effectuer une interversion des indices dans une somme double »
  2. 2
    Notation matricielle incorrecteQ1

    Écrire C = A/B pour représenter le produit matriciel AB = C reste une erreur, non conforme à l'énoncé ni aux programmes officiels.

  3. 3
    Récurrence rédigée trop viteQ3

    Le raisonnement par récurrence devait être présenté complètement, avec l'hypothèse de récurrence, sans se contenter d'affirmer que le résultat se voit de proche en proche.

    « De proche en proche on voit que »
  4. 4
    Passage aux complexes non comprisQ12, Q13

    La question 12, presque jamais traitée, nécessitait de trigonaliser A dans le domaine complexe ; l'utilité de passer par les complexes n'a pas été comprise.

    « l'utilité de passer par les complexes n'a pas été comprise »
  5. 5
    Stabilité affirmée sans vérificationQ8

    Il convenait de rappeler la signification de la stabilité et de la vérifier sur les éléments, plutôt que d'invoquer le cours sans justification.

    « D'après le cours, on a le résultat »
  6. 6
    Identités scalaires appliquées aux matricesQ14

    On ne pouvait pas appliquer directement à des matrices des identités valables pour des scalaires, sauf pour des identités polynomiales.

Ce qui a été bien réussi

  • La question 6, assez largement notée ainsi que la question 8, a permis de distinguer les candidats maîtrisant les changements de bases.
  • La récurrence de la question 14 était facile et a souvent été faite.
  • Les questions 11 et 16 étaient faciles et ont généralement été traitées.

Conseils du jury

  • Soigner particulièrement les premières questions, en général bien notées et pas les plus difficiles, car elles forment l'opinion du correcteur.
  • Il est inutile de traiter toutes les questions pour obtenir une bonne note, la qualité important davantage.
  • Viser la plus grande précision sans allonger exagérément la rédaction.
  • Éviter les impasses sur des parties du programme, préjudiciables dans un concours de bon niveau.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

Ces sujets peuvent vous intéresser

Lecture du sujet en ligne

L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
Afficher ou masquer la section
Sujet en PDF
ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES. ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE. ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI).
CONCOURS D'ADMISSION 2007

PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Filière PC

(Durée de l'épreuve : 3 heures) L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit.
Sujet mis à la disposition des concours : ENSAE (Statistique), ENSTIM, INT, TPE-EIVP, Cycle international
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie :
MATHÉMATIQUES I - PC.
L'énoncé de cette épreuve comporte 5 pages de texte.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Pseudo-inverse et matrice stochastique

Pour 𝕂 = ℝ ou ℂ, on note M_(n, m)(𝕂) l'ensemble des matrices à n lignes et m colonnes à coefficients dans 𝕂. Pour toute matrice M ∈ M_(n, n)(ℝ), on appelle endomorphisme canoniquement associé à M, l'endomorphisme de ℝ^n, noté m, dont M est la matrice dans la base canonique de ℝ^n.
Si M ∈ M_(n, m)(𝕂), M(i, j) représente le coefficient en ligne i et colonne j de la matrice M. On note I_n la matrice identité de M_(n, n)(ℝ). La matrice (colonne) de M_(n, 1)(ℝ) dont tous les coefficients valent 1 est notée J_n. Pour M ∈ M_(n, r)(𝕂), on considère la norme
‖M‖ = max_(1 ≤ i ≤ n)∑_(j = 1)^r|M(i, j)|
Définition 1 On dit qu'une matrice M ∈ M_(n, m)(ℝ) est positive (respectivement strictement positive), lorsque tous ses coefficients sont positifs (respectivement strictement positifs).
Une matrice positive M ∈ M_(n, m)(ℝ) est dite stochastique lorsque MJ_m = J_n.
On désigne par K_n ⊂ M_(1, n)(ℝ) l'ensemble des matrices lignes stochastiques.
On admet le théorème suivant:
Théorème 1 (CCMP 2006, filière MP) Soit P une matrice stochastique strictement positive de M_(n, n)(ℝ). Le réel 1 est valeur propre simple de P et il existe un unique élément de K_n, noté X_∞, tel que
X_∞ = X_∞P
De plus, quel que soit X ∈ K_n,
X_∞ = lim_(k → + ∞)1/k∑_(j = 0)^(k − 1)XP^j
L'objectif de ce problème est de trouver une méthode de calcul de X_∞ en utilisant la notion de pseudo-inverse.
Définition 2 Soit A ∈ M_(n, n)(ℝ), une matrice A^′ ∈ M_(n, n)(ℝ) est un pseudoinverse de A lorsque les trois propriétés suivantes sont satisfaites:
AA^′, = A^′ A; A, = AA^′ A; A^′, = A^′ AA^′.
Dorénavant, P est une matrice stochastique, strictement positive, de M_(n, n)(ℝ).

I Préliminaires

  • 1 - Montrer que ‖MN‖ ≤ ‖M‖‖N‖ pour toutes les matrices M ∈ M_(n, r)(𝕂) et N ∈ M_(r, m)(𝕂).
  • 2 - Montrer que ‖P‖ = 1.
  • 3 - Montrer que pour tout k ≥ 1, P^k est une matrice stochastique.

II Pseudo-inverse

Soit A une matrice de M_(n, n)(ℝ) et a l'endomorphisme de ℝ^n canoniquement associé.
  • 4 - Montrer que l'existence d'un pseudo-inverse implique que
rang(a) = rang(a^2)
Inversement, on suppose maintenant que rang(a) = rang(a^2). On note r cet entier.
  • 5 - Montrer que le noyau et l'image de a sont en somme directe:
ℝ^n = Im(a) ⊕ Ker(a).
  • 6 - Montrer qu'il existe B ∈ M_(r, r)(ℝ), B inversible et W ∈ M_(n, n)(ℝ), W inversible, telles que
A = W(B, 0; 0, 0)W^(− 1)
  • 7 - Montrer que A admet au moins un pseudo-inverse.
Considérons un pseudo-inverse quelconque A^′ de A et a^′ l'endomorphisme canoniquement associé à A^′.
  • 8 - Montrer que Ker(a) et Im(a) sont stables par a^′ et montrer qu'il existe D ∈ M_(r, r)(ℝ) telle que
A^′ = W(D, 0; 0, 0)W^(− 1)
  • 9 - Montrer que aa^′ est un projecteur dont on précisera le noyau et l'image en fonction de ceux de a et préciser ce que vaut W^(− 1)(AA^′)W.
  • 10 - Montrer que A admet au plus un pseudo-inverse.

III Calcul de X_∞

À tout endomorphisme u de ℝ^n, on associe l'endomorphisme u_c de ℂ^n défini par
u_c(x + iy) = u(x) + iu(y),
pour tout x, y appartenant à ℝ^n. Dans les questions suivantes, on note a l'endomorphisme de ℝ^n dont la matrice dans la base canonique de ℝ^n est A = I_n − P.
  • 11 - Montrer que a_c ∘ a_c = (a^2)_c.
  • 12 - Montrer que
a_c(ℂ^n) = a_c^2(ℂ^n)
  • 13 - Montrer que rang(a) = rang(a^2) = n − 1.
On note A^′, le pseudo-inverse de A dont l'existence et l'unicité sont garanties par ce qui précède.
  • 14 - Soit C ∈ M_(n, n)(ℝ) inversible. Établir, pour tout entier non nul k, l'identité
∑_(j = 0)^(k − 1)(I_n − C)^j = (I_n − (I_n − C)^k)C^(− 1)
  • 15 - Établir, pour tout entier non nul k, l'identité suivante:
∑_(j = 0)^(k − 1)P^j = (I_n − P^k)A^′ + k(I_n − AA^′)
  • 16 - Montrer que
lim_(k → + ∞)1/k∑_(j = 0)^(k − 1)P^j
existe et donner sa valeur.
  • 17 - Montrer que ( I_n − AA^′ ) est stochastique et que (I_n − AA^′)A = 0.
  • 18 - Montrer que I_n − AA^′ = J_n X_∞.

FIN DU PROBLÈME

Questions fréquentes

3 questions
Sur quels chapitres porte le sujet Mathématiques 1 Mines PC 2007 ?
Afficher ou masquer la section

Sur quels chapitres porte le sujet Mathématiques 1 Mines PC 2007 ?

Le sujet porte sur l'algèbre linéaire, avec le pseudo-inverse d'une matrice et l'étude des matrices stochastiques par réduction et passage aux complexes.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées dans ce sujet ?

Le jury a surtout relevé des majorations mal justifiées faute d'interversion d'indices, des récurrences rédigées trop vite, et une incompréhension de l'intérêt de passer par les complexes.

Le sujet Mathématiques 1 Mines PC 2007 est-il difficile ?

La moyenne était légèrement supérieure à 8 sur 20 avec près de 10% de notes très faibles, ce qui en fait un sujet exigeant.

Pas de description pour le moment