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X ENS Mathématiques PC 2024Sujet, corrigé et rapport du jury

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Présentation du sujet

Difficile
Déplacements de R^d et écart quadratique minimal entre deux familles de points à déplacement près
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Le sujet étudie les déplacements de R^d, vus comme couples formés d'une translation et d'une rotation, puis une distance entre familles de n points à déplacement près. Après des préliminaires sur les matrices orthogonales et le produit scalaire de Frobenius, il ramène le calcul de cette distance à un problème d'optimisation sur SO_d(R), résolu à l'aide des valeurs singulières selon le signe d'un déterminant.

  1. 1Partie 1 : préliminairesDéterminant d'une matrice orthogonale, produit scalaire (A, B) ↦ tr(A^T B) et majoration de ⟨D, R⟩ par la trace de D.
  2. 2Partie 2 : ensemble des déplacements de R^dConservation des distances, composition, élément neutre et inverse des déplacements, puis question de commutativité.
  3. 3Partie 3 : distance à déplacement prèsAction des déplacements sur les familles de n points, symétrie et inégalité triangulaire de l'écart δ, classes c(x).
  4. 4Partie 4 : un problème d'optimisationDécomposition de l'écart quadratique autour des barycentres, compacité de SO_d(R) et existence d'une rotation optimale.
  5. 5Partie 5 : calcul de δ(x, y) quand det(Z) > 0Diagonalisation de Z^T Z en base orthonormée, décomposition Z = V D U^T et calcul du maximum de ⟨Z, R⟩.
  6. 6Partie 6 : le cas où det(Z) < 0Étude des matrices orthogonales de déterminant -1 et majoration fine de ⟨D, R⟩ pour conclure.

Difficile. Le jury décrit un sujet assez long dont les parties 4, 5 et surtout 6 ont été peu abordées, avec une moyenne de 8,14 sur 20.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 8,18 / 20 · écart-type 3,44 · 1 430 présents · où vous situez-vous ?
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Moyenne
8,18/ 20
Écart-type
3,44
Présents
1 430
Durée
4 h
moyenne 8,1805101520
Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : document officiel du concours, épreuve du 15 avril 2024. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées
Rédaction mal calibrée · Réponse devinée sans preuve · Reparamétrage d'un infimum
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Le sujet, assez long, portait sur la géométrie affine sans exiger de connaissances spécifiques, et aucune question ne demandait de calcul long. La principale difficulté était de s'approprier les notations introduites au fil du texte et de gérer son temps. Les deux premières parties et le début de la troisième ont été largement traités ; la note maximale a été atteinte par quelques candidats sans traiter la partie 6.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Rédaction mal calibrée2

    Pour vérifier qu'on a une distance, certains bâclent la vérification des axiomes tandis que d'autres y consacrent plusieurs pages.

  2. 2
    Réponse devinée sans preuve8

    Beaucoup proposent la valeur de d pour laquelle les déplacements commutent sans aucun argument.

    « Rappelons qu’une réponse même correcte mais sans justification adéquate ne peut être valorisée. »
  3. 3
    Reparamétrage d'un infimum10b, 10d

    Pour prouver la symétrie et l'inégalité triangulaire de δ, il fallait utiliser que g ↦ g^{-1} est une bijection des déplacements ; seule une poignée de candidats l'a vu.

  4. 4
    Décomposition de la variance non reconnue12a, 12b

    La décomposition autour des moyennes, pourtant classique, a été très peu traitée convenablement.

  5. 5
    SO_d(R) fermé et borné13b, 14a

    Le seul déterminant ne suffit ni à prouver que SO_d(R) est fermé ni qu'il est borné. Il fallait combiner deux images réciproques de fermés et calculer la norme d'une matrice orthogonale.

    « Le fait quedetM = 1 pourM∈SOd ne suffit pas non plus pour conclure queSOd est borné. »
  6. 6
    Théorème spectral mal invoqué16

    Il fallait dire que Z^T Z est symétrique réelle, donc diagonalisable en base orthonormée, puis que ses valeurs propres sont positives.

    « Question classique et pourtant assez mal réalisée. »

Ce qui a été bien réussi

  • Les questions 1, 3a, 3b et 4b ont été traitées par une grande majorité de candidats.
  • La question 5a a été abordée dans quasiment toutes les copies et l'élément neutre a été bien identifié en 5c.
  • La question 17a et les exemples de la question 18 ont été bien traités.
  • Les questions 21a, 21b, 21c et 22a ont été assez largement abordées et réussies.

Conseils du jury

  • Rédiger avec rigueur et soin, en numérotant les questions et en mettant les résultats en valeur.
  • Citer explicitement et précisément les questions antérieures utilisées.
  • Rédiger correctement même les résultats élémentaires : survoler le sujet en ne traitant que les questions faciles ne suffit pas.
  • Identifier dans quel espace vit chaque objet et se référer aux bonnes définitions.
  • Privilégier des démonstrations synthétiques pour avancer suffisamment dans un sujet long.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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ECOLE POLYTECHNIQUE - ESPCI ECOLES NORMALES SUPERIEURES

CONCOURS D'ADMISSION 2024

LUNDI 15 AVRIL 2024
08h00-12h00
FILIERE PC - Epreuve n^∘1
MATHEMATIQUES (XEULS)
Durée : 4 heures
L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve

Notations

  • Dans toute la suite, d désignera un entier strictement positif. On désignera par ℳ_d(ℝ) l'espace vectoriel sur ℝ des matrices carrées de taille d × d à coefficients dans ℝ. Pour tous A, B ∈ ℳ_d(ℝ) on notera
⟨A, B⟩ = tr(A^T B)
où tr(M) = ∑_(i = 1)^d M_(ii) est la trace de la matrice M ∈ ℳ_d(ℝ) et M^T sa transposée. Selon la convention habituelle, M_(ij) désigne le coefficient de la i-ème ligne et de la j-ème colonne de la matrice M pour tout 1 ⩽ i, j ⩽ d.
  • Pour tout vecteur u ∈ ℝ^d, on notera |u| sa norme euclidienne canonique. Un tel vecteur sera considéré comme un vecteur colonne et u^T sera le vecteur ligne associé. On notera ⟨u, v⟩_(ℝ^d) = u^T v le produit scalaire usuel sur ℝ^d lorsque u et v sont dans ℝ^d. En particulier on aura |u|^2 = ⟨u, u⟩_(ℝ^d) = u^T u.
  • On notera I_d la matrice identité de ℳ_d(ℝ). On désignera par
O_d(ℝ) = {M ∈ ℳ_d(ℝ)|M^T M = I_d}
le groupe orthogonal sur ℝ^d et par
SO_d(ℝ) = {M ∈ O_d(ℝ)|det(M) = 1}
le groupe spécial orthogonal, où det(M) désigne le déterminant de M ∈ ℳ_d(ℝ). On notera
Dep(ℝ^d) = ℝ^d × SO_d(ℝ)
  • Pour toute famille (a_i)_(1 ⩽ i ⩽ d) de vecteurs de ℝ^d, on notera A = (a_1|…|a_d) la matrice de ℳ_d(ℝ) dont la i-ème colonne de A est formée des coordonnées du vecteur a_i.
  • Pour toute famille de réels (α_i)_(1 ⩽ i ⩽ d), on notera Diag(α_1, …, α_d) la matrice diagonale de ℳ_d(ℝ) de coefficients diagonaux (α_i)_(1 ⩽ i ⩽ d).

1. Préliminaires

(1) Soit R ∈ O_d(ℝ). Vérifier que det(R) ∈ { − 1, + 1}.
(2) Vérifier que (A, B) ↦ ⟨A, B⟩ est un produit scalaire sur l'espace vectoriel ℳ_d(ℝ). On notera ‖A‖ = √(⟨A, A⟩) la norme associée.
(3) (a) Montrer que pour tous u, v ∈ ℝ^d et A ∈ ℳ_d(ℝ), on a ⟨u, Av⟩_(ℝ^d) = ⟨uv^T, A⟩.
(b) Montrer que tr(AB) = tr(BA) pour A, B ∈ ℳ_d(ℝ).
(c) En déduire que pour tous A, B et C dans ℳ_d(ℝ) on a
⟨A, BC⟩ = ⟨B^T A, C⟩ = ⟨AC^T, B⟩
(4) Soit D = Diag(α_1, …, α_d) une matrice diagonale à coefficients positifs et soit R ∈ O_d(ℝ).
(a) Montrer que pour tout 1 ⩽ i ⩽ d, on a |R_(ii)| ⩽ 1 où R_(ii) est le i-ème coefficient diagonal de R.
(b) En déduire que ⟨D, R⟩ ⩽ tr(D).

2. Ensemble des déplacements de ℝ^d

Pour tout g = (τ, R) ∈ Dep(ℝ^d), on note φ_g : ℝ^d → ℝ^d l'application définie par
φ_g(x) = Rx + τ
On remarquera que lorsque τ = 0, φ_g est une rotation vectorielle de l'espace ℝ^d, et lorsque R = I_d, φ_g est une translation. Dans le cas général, on dira que φ_g est un déplacement de l'espace ℝ^d.
(5) (a) Vérifier que pour tous a, b ∈ ℝ^d et g ∈ Dep(ℝ^d), on a |φ_g(a) − φ_g(b)| = |a − b|.
(b) Montrer pour tous g, g^′ ∈ Dep(ℝ^d), on a φ_g = φ_(g^′) si et seulement si g = g^′.
(c) Montrer qu'il existe un unique e ∈ Dep(ℝ^d) tel que φ_e soit l'application identité sur ℝ^d c'est-à-dire que φ_e(x) = x pour tout x ∈ ℝ^d.
(6) (a) Vérifier que pour tous g, g^′ ∈ Dep(ℝ^d), il existe un unique g^(′′) ∈ Dep(ℝ^d) tel que φ_(g^(′′)) = φ_(g^′) ∘ φ_g. On notera g^′ g cet élément dans la suite.
(b) Vérifier que pour tous g_1, g_2 et g_3 dans Dep(ℝ^d) on a g_1(g_2 g_3) = (g_1 g_2)g_3.
(7) Soit g ∈ Dep(ℝ^d).
(a) Montrer que φ_g est bijective. On note φ_g^(− 1) son application réciproque.
(b) Montrer qu'il existe un unique g^′ ∈ Dep(ℝ^d), que l'on explicitera en fonction de g, tel que φ_(g^′) = φ_g^(− 1). On notera g^′ = g^(− 1).
(c) Vérifier que ge = eg = g puis que gg^(− 1) = g^(− 1)g = e.
(8) Pour quelles valeurs de d a-t-on gg^′ = g^′ g pour tous g, g^′ ∈ Dep(ℝ^d) ?

3. Distance À déplacement près

On considère n un entier strictement positif et
ℰ_d^n(ℝ) = {z = (z_i)_(1 ⩽ i ⩽ n)|z_i ∈ ℝ^d, 1 ⩽ i ⩽ n}
l'espace vectoriel des familles de n points dans ℝ^d muni de la norme ‖z‖ = √(∑_(i = 1)^n|z_i|^2). Pour tous g ∈ Dep(ℝ^d) et z ∈ ℰ_d^n(ℝ) on note
g ⋅ z = (φ_g(z_i))_(1 ⩽ i ⩽ n)
(9) (a) Montrer que pour tous g, g^′ ∈ Dep(ℝ^d) et z ∈ ℰ_d^n(ℝ), on a g ⋅ (g^′ ⋅ z) = (gg^′) ⋅ z.
(b) Montrer que pour tous x, y ∈ ℰ_d^n(ℝ) et tout g ∈ Dep(ℝ^d), si x = g ⋅ y alors y = g^(− 1) ⋅ x.
Pour tous x, y ∈ ℰ_d^n(ℝ), on note
δ(x, y) = inf{‖y − g ⋅ x‖|g ∈ Dep(ℝ^d)}.
(10) (a) Montrer que pour tous x, y ∈ ℰ_d^n(ℝ) et tout g ∈ Dep(ℝ^d), on a
‖g ⋅ y − g ⋅ x‖ = ‖y − x‖
(b) En déduire que δ(x, y) = δ(y, x).
(c) Montrer que pour tous (x, y, z) ∈ ℰ_d^n(ℝ)^3 et (g, g^′) ∈ (Dep(ℝ^d))^2, on a
‖z − g ⋅ x‖ ⩽ ‖z − (gg^′) ⋅ y‖ + ‖g^′ ⋅ y − x‖
(d) En déduire que δ(x, z) ⩽ δ(x, y) + δ(y, z).
(11) Pour tout x ∈ ℰ_d^n(ℝ), on note c(x) = {y ∈ ℰ_d^n(ℝ)|∃g ∈ Dep(ℝ^d), g ⋅ x = y}.
(a) Montrer que si c(x) ∩ c(y) ≠ ∅ alors c(x) = c(y).
(b) Montrer que si c(x) = c(y) alors δ(x, y) = 0.

4. Un problème d'optimisation

On fixe dans cette partie x, y ∈ ℰ_d^n(ℝ) et on introduit pour tout (τ, R) ∈ Dep(ℝ^d)
J(τ, R) = ∑_(i = 1)^n|y_i − (Rx_i + τ)|^2 = ‖y − g ⋅ x‖^2
où g = (τ, R).
(12) On note x^– = 1/n∑_(i = 1)^n x_i et y^– = 1/n∑_(i = 1)^n y_i.
(a) Montrer que J(τ, R) = (∑_(i = 1)^n|y_i − y^– − R(x_i − x^–)|^2) + n|y^– − Rx^– − τ|^2.
(b) En déduire que pour tout R ∈ SO_d(ℝ), l'application τ ↦ J(τ, R) de ℝ^d dans ℝ a un unique minimum, noté τ(R), que l'on explicitera.
(13) On munit ℳ_d(ℝ) de la topologie associée à la norme ‖M‖ = √(⟨M, M⟩).
(a) Montrer que l'application f : ℳ_d(ℝ) → ℳ_d(ℝ) définie par f(M) = M^T M est continue.
(b) Montrer que SO_d(ℝ) est un sous-ensemble fermé borné de ℳ_d(ℝ).
(14) (a) Montrer qu'il existe R_∗ ∈ SO_d(ℝ) tel que J(τ(R_∗), R_∗) ⩽ J(τ, R) pour tout (τ, R) ∈ Dep(ℝ^d).
(b) Montrer que R_∗ n'est pas forcément unique.
(15) Montrer que si V_n(x) = 1/n∑_(i = 1)^n|x_i − x^–|^2 et V_n(y) = 1/n∑_(i = 1)^n|y_i − y^–|^2 alors
δ(x, y)^2 = nV_n(x) + nV_n(y) − 2sup_(R ∈ SO_d(ℝ))⟨Z(x, y), R⟩
où Z(x, y) est une matrice que l'on précisera.

5. Calcul de δ(x, y) dans le cas où det(Z(x, y)) > 0.

Soit Z ∈ ℳ_d(ℝ) une matrice inversible. On note S = Z^T Z.
(16) Montrer qu'il existe une famille décroissante (λ_i)_(1 ⩽ i ⩽ d) de réels strictement positifs et une base orthonormée (u_1, …, u_d) de ℝ^d telle que Su_i = λ_i u_i pour tout 1 ⩽ i ⩽ d.
On appellera valeurs singulières de Z la famille (√(λ_1), …, √(λ_d)).
(17) On considère v_i = 1/(√(λ_i))Zu_i pour tout 1 ⩽ i ⩽ d.
(a) Montrer que (v_1, …, v_d) est une base orthonormée de ℝ^d.
(b) Vérifier que si U = (u_1|…|u_d), V = (v_1|…|v_d) et D = Diag(√(λ_1), …, √(λ_d)) alors Z = VDU^T.
(18) Mettre sous la forme précédente Z = VDU^T, en spécifiant vos choix de U, V et D, les matrices Z_1 = (0, 1; 2, 0) et Z_2 = (0, 1; − 2, 0).
(19) On considère que det(Z) > 0.
(a) Montrer que si R ∈ SO_d(ℝ) alors V^T RU ∈ SO_d(ℝ).
(b) Montrer que
sup_(R ∈ SO_d(ℝ))⟨Z, R⟩ = sup_(R ∈ SO_d(ℝ))⟨D, R⟩
(20) Donner la valeur de δ(x, y) en fonction de V_n(x), V_n(y) et des valeurs singulières de Z(x, y) dans le cas où det(Z(x, y)) > 0.

6. Le cas où det(Z(x, y)) < 0

On considère R ∈ O_d(ℝ).
(21) (a) Montrer que si λ est une valeur propre de R alors λ ∈ { + 1, − 1}.
(b) Montrer que det(R + I) = det(R)det(I + R^T).
(c) En déduire que si det(R) = − 1 alors det(R + I) = 0.
On suppose dorénavant que det(R) = − 1.
(22) (a) Montrer qu'il existe une base orthonormée ( u_1, …, u_d ) de ℝ^d telle que l'on a Ru_d = − u_d et u_d^T Rx = 0 pour tout x ∈ E_1 où E_1 = Vect(u_1, …, u_(d − 1)).
(b) En déduire que R(E_1) ⊂ E_1 puis que R(E_1) = E_1.
On considère une matrice D = Diag(α_1, …, α_d) ∈ ℳ_d(ℝ) diagonale de coefficients diagonaux α_i ⩾ 0 décroissants. On note U = (u_1|…|u_d).
(23) (a) Vérifier que ⟨D, R⟩ = ⟨S, R^′⟩ où R^′ = U^T RU et S = U^T DU.
(b) Montrer que si R_0 = (R_(ij)^′)_(1 ⩽ i, j ⩽ d − 1) ∈ ℳ_(d − 1)(ℝ) alors R_0 ∈ O_(d − 1)(ℝ).
(24) On pose S_0 = (S_(ij))_(1 ⩽ i, j ⩽ d − 1) ∈ ℳ_(d − 1)(ℝ).
(a) Montrer que ⟨D, R⟩ = tr(S_0 R_0) − S_(dd).
(b) Montrer que tr(S_0 R_0) ⩽ tr(S_0).
(c) Montrer que tr(S_0) + S_(dd) = tr(D) et en déduire que ⟨D, R⟩ ⩽ tr(D) − 2S_(dd).
(25) (a) Montrer que S_(dd) = ∑_(j = 1)^d α_j U_(jd)^2 où U = (U_(ij))_(1 ⩽ i, j ⩽ d).
(b) En déduire que ⟨D, R⟩ ⩽ (∑_(i = 1)^(d − 1)α_i) − α_d.
(26) Donner la valeur de δ(x, y) en fonction de V_n(x), V_n(y) et des valeurs singulières de Z(x, y) dans le cas où det(Z(x, y)) < 0.

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte le sujet X-ENS Maths PC 2024 ?
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Sur quels chapitres porte le sujet X-ENS Maths PC 2024 ?

Il mobilise l'algèbre bilinéaire et les matrices orthogonales, les déterminants, le théorème spectral et la topologie des espaces normés (fermés bornés, compacité) autour des déplacements de R^d.

Quelle est la moyenne de l'épreuve X-ENS Maths PC 2024 ?

Selon le rapport, la moyenne des 1495 candidats est de 8,14 sur 20 avec un écart-type de 3,43.

Quelles erreurs le jury a-t-il relevées en X-ENS Maths PC 2024 ?

Des réponses devinées sans justification, l'oubli de la bijectivité de g ↦ g^{-1} pour reparamétrer un infimum, des preuves incomplètes que SO_d(R) est fermé et borné et un théorème spectral mal invoqué.

Faut-il finir le sujet X-ENS Maths PC 2024 pour avoir une bonne note ?

Non. Le jury indique que la partie 6, la plus difficile, n'était pas indispensable pour obtenir la note maximale, atteinte par un petit nombre de candidats.

Pas de description pour le moment