X ENS Mathématiques PC 2022Sujet, corrigé et rapport du jury

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Points fixes des applications réelles, matrices contractantes, fonctions de deux variables réelles et méthode de la sécante

Le sujet porte sur l'existence et les propriétés des points fixes des applications réelles ainsi que sur la justification de la méthode de la sécante. La première partie étudie les applications lipschitziennes contractantes sur des ensembles fermés. La deuxième partie traite le cas bidimensionnel avec les matrices contractantes et leurs normes associées. La troisième partie porte sur certaines applications à deux variables, leurs représentations intégrales et leur régularité. La quatrième partie introduit la méthode de la sécante et ses propriétés de convergence.

1Première partie : points fixesÉtude des applications lipschitziennes contractantes définies sur des ensembles fermés et existence de points fixes.
2Deuxième partie : matrices contractantesÉtude du cas bidimensionnel avec des matrices contractantes et leurs normes associées.
3Troisième partie : fonctions de deux variables réellesÉtude de certaines applications spéciales à deux variables, de leurs représentations intégrales et de leur régularité.
4Quatrième partie : méthode de la sécanteIntroduction de la méthode de la sécante et étude de ses propriétés de convergence.

Accessible. Le rapport indique que le sujet de cette année était facile mais assez long, et que quasiment aucune question ne demandait des arguments vraiment très élaborés.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 8,79 / 20 · écart-type 3,21 · 1 372 présents · où vous situez-vous ?

Moyenne: 8,79/ 20
Écart-type: 3,21
Présents: 1 372
Durée: 4 h

Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

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Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : document officiel du concours, épreuve du 25 avril 2022. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

5 erreurs relevées

Utilisation maladroite du théorème des valeurs intermédiaires · Conclusion fausse sur l'unicité du point fixe · Erreurs répétées sur l'inégalité triangulaire

Le jury juge le sujet facile mais assez long, avec des questions faciles majoritaires mais quelques questions plus difficiles permettant de vraiment départager les candidats. Il regrette un manque de rigueur d'une partie non négligeable des candidats sur des points élémentaires, révélant des lacunes profondes.

Les erreurs les plus sanctionnées

1
Utilisation maladroite du théorème des valeurs intermédiairesI.1
Beaucoup de candidats ont eu l'idée d'utiliser le théorème des valeurs intermédiaires à la question 1 de la première partie mais souvent de manière maladroite.
2
Conclusion fausse sur l'unicité du point fixeI.5.b
Une majorité de candidats a faussement conclu à l'unicité du point fixe à partir de la seule unicité de la limite, à la question 5.b de la première partie.
« Une majorité de candidats a faussement conclu à l'unicité du point fixe à partir de l'unicité de la limite. »
3
Erreurs répétées sur l'inégalité triangulaireII.2.a, II.2.b
Les erreurs dans l'application de l'inégalité triangulaire reviennent à plusieurs reprises dans la deuxième partie.
4
Intégrale à paramètres non identifiéeIII.3.b
Seule une poignée de candidats ont remarqué que la question portait sur la continuité d'intégrales à paramètres et qu'il fallait appliquer le théorème de convergence dominée.
5
Confusion entre convergence d'une suite et de sa normeI.4.a
Le jury relève une confusion fréquente chez les candidats entre la convergence de la norme d'une suite et la convergence de la suite elle-même.

Ce qui a été bien réussi

La question 3.b de la deuxième partie n'a pas posé de problème.
La question 1 de la deuxième partie n'a présenté aucune difficulté.
La question 5.c de la première partie a été réussie par la majorité des candidats.
Les correcteurs ont apprécié les efforts faits par une grande partie des candidats dans leur rédaction.

Conseils du jury

Lire le sujet intégralement avant de commencer à le traiter et faire preuve de perspicacité pendant cette lecture.
Soigner particulièrement les questions un peu difficiles plutôt que de survoler toutes les questions faciles.
Énoncer entièrement les théorèmes et vérifier toutes leurs hypothèses, en mettant en évidence les points clés d'une démonstration.
Mentionner proprement les résultats des questions précédentes lorsqu'ils sont réutilisés.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.

Sujet en PDF

ECOLE POLYTECHNIQUE - ESPCI ECOLES NORMALES SUPERIEURES

CONCOURS D'ADMISSION 2022

LUNDI 25 AVRIL 2022
08h00-12h00
FILIERE PC - Epreuve

n^\circ1

MATHEMATIQUES (XEULS)

Durée : 4 heures
L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve

Notations

Si $z$ est un nombre complexe on note $|z|$ son module.
Si $ℓ$ est un entier strictement positif, on munit l'espace vectoriel $ℂ^ℓ$ de la norme définie par

‖x‖ = \sqrt(\sum_(j = 1)^ℓ|x_j|^2⎷)

pour

x = (x_1, \dots, x_ℓ)

On note $M_ℓ(ℂ)$ l'ensemble des matrices de taille $ℓ \times ℓ$ à coefficients complexes.
Si $A \in M_ℓ(ℂ)$ , on désigne par $σ(A)$ (le spectre de $A$ ) l'ensemble des valeurs propres complexes de $A$ , et

ρ(A) = max{|λ|; λ \in σ(A)}

le rayon spectral de

A

Étant donné un ensemble $E$ , un point fixe d'une application $φ : E \to E$ est un élément $x$ de $E$ tel que $φ(x) = x$ .

Les trois premières parties sont mutuellement indépendantes. La quatrième partie utilise des résultats établis dans la troisième.

Première Partie. Points fixes

Soit $[a, b]$ un intervalle fermé borné de $ℝ$ . Si $φ : [a, b] \to [a, b]$ est continue, montrer que $φ$ possède au moins un point fixe.
Si $φ : ℝ \to ℝ$ est de classe $C^1$ et vérifie

sup{|φ^′(x)|; x ∈ ℝ} < 1,

montrer que

φ

possède au moins un point fixe (on pourra étudier le signe de

x - φ(x)

pour

|x|

assez grand). Montrer que ce point fixe est unique.
3. Au moyen de la fonction

ψ(x) = \sqrt(1 + x^2)

, montrer que dans la question précédente l'hypothèse (1) ne peut pas être remplacée par

\forallx \in ℝ, |φ^'(x)| < 1

Soit $ℓ$ un entier strictement positif. On se donne une suite $(v_n)_(n ⩾ 0)$ de vecteurs dans $ℝ^ℓ$ telle que la série $\sum_n‖v_(n + 1) - v_n‖$ converge.
(a) Montrer que la suite $(v_n)_(n ⩾ 0)$ est convergente.
(b) Notons $v^*$ la limite de cette suite. Majorer $‖v_n - v^*‖$ au moyen d'un reste de la somme de la série $\sum_n‖v_(n + 1) - v_n‖$ .
Soit $ℓ$ un entier strictement positif. Soit $F$ une partie fermée de $ℝ^ℓ$ et soit $φ : F \to F$ une application. On suppose qu'il existe $k \in [0, 1[$ tel que

\forallx \in F, \forally \in F, ‖φ(y) - φ(x)‖ ⩽ k‖y - x‖.

(a) On choisit un point

x_0 \in F

. Montrer que la formule

x_(n + 1) = φ(x_n)

définit une suite

(x_n)_(n ⩾ 0)

d'éléments de

F

, et que cette suite est convergente dans

F

.
(b) En déduire que

φ

possède un unique point fixe dans

F

.
(c) Ce point fixe étant noté

x^*

, majorer

‖x_n - x^*‖

en fonction de

‖x_0 - x^*‖

.
(d) Dans ce qui précède, on suppose que

φ = θ \circ \dots \circ θ_()_(m fois),

où

θ : F \to F

est une application et

m ⩾ 2

est un entier. Montrer que

θ

possède un point fixe, et un seul, dans

F

.
6. Soit

g : [0, 1] \to [0, 1]

une fonction croissante (mais pas nécessairement continue). Montrer que

g

possède au moins un point fixe. Indication: on pourra considérer l'ensemble

E = {x \in [0, 1]; x ⩽ g(x)}

Deuxième Partie. Matrices contractantes

Pour une matrice triangulaire $T = (λ, a; 0, μ) \in M_2(ℂ)$ , calculer explicitement les puissances successives $T^n$ pour $n$ entier strictement positif.
Soit $A \in M_2(ℂ)$ une matrice et soit $ε > 0$ un nombre réel.
(a) Montrer l'existence d'un nombre réel $α > 0$ tel que pour tout entier positif $n$ les valeurs absolues des coefficients de $A^n$ soient majorées par $α(ρ(A) + ε)^n$ .
(b) En déduire l'existence d'un nombre réel $β > 0$ tel que pour tout entier positif $n$ et tout $x \in ℂ^2$ on ait

‖A^n x‖ ⩽ β(ρ(A) + ε)^n‖x‖

Soit $A \in M_2(ℂ)$ une matrice et soit $η$ un nombre réel strictement positif.
(a) Pour $x \in ℂ^2$ , montrer que la série

\sum_n(ρ(A) + η)^(- n)‖A^n x‖

est convergente.
On note

N(x) = \sum_(n = 0)^\infty(ρ(A) + η)^(- n)‖A^n x‖

la somme de cette série.
(b) Montrer que

x \mapsto N(x)

est une norme sur

ℂ^2

, qui satisfait l'inégalité suivante

\forallx \in ℂ^2, N(Ax) ⩽ (ρ(A) + η)N(x)

C > 0

tel que pour tout

x \in ℂ^2

on ait

‖x‖ ⩽ N(x) ⩽ C‖x‖

(a) Si $B \in M_ℓ(ℂ)$ est diagonalisable, montrer qu'il existe une norme $‖ \cdot ‖_B$ sur $ℂ^ℓ$ telle que $‖Bx‖_B ⩽ ρ(B)‖x‖_B$ pour tout $x \in ℂ^ℓ$ . Indication: on pourra vérifier que si $P \in GL_ℓ(ℂ)$ , alors $x \mapsto ‖Px‖$ est une norme sur $ℂ^ℓ$ .
(b) Montrer qu'il existe une matrice $C \in M_2(ℂ)$ telle que, pour toute norme $N$ sur $ℂ^2$ il existe $y \in ℂ^2$ tel que $N(Cy) > ρ(C)N(y)$ .
Soit $φ : ℝ^2 \to ℝ^2$ une application et soit $x^*$ un point fixe de $φ$ . Soit $A \in M_2(ℝ)$ une matrice vérifiant $ρ(A) < 1$ , et soit $M > 0$ un nombre réel. On suppose que $φ$ satisfait

\forallx \in ℝ^2, ‖φ(x) - φ(x^*) - A(x - x^*)‖ ⩽ M‖x - x^*‖^2.

Montrer qu'il existe

ε > 0

tel que pour tout

x_0 \in ℝ^2

satisfaisant

‖x_0 - x^*‖ < ε

, la suite

(x_n)_(n ⩾ 0)

définie par

x_(n + 1) = φ(x_n)

(pour

n ⩾ 0

) converge vers

x^*

quand

n \to + \infty

Troisième Partie. Fonctions de deux variables réelles

Soient $a, b, c, d$ quatre nombres réels tels que $a ⩽ b$ et $c ⩽ d$ . Soit $U$ un ouvert de $ℝ^2$ contenant $[a, b] \times [c, d]$ . Soit $h : U \to ℝ$ une fonction de classe $C^2$ .
(a) Montrer l'identité

h(b, d) - h(a, d) - h(b, c) + h(a, c) = \int_a^b h^(s_1)ds_1

où

h^

est définie par

h^(s_1) = \int_c^d(\partial^2 h)/(\partials_1\partials_2)(s_1, s_2)ds_2.

(b) En déduire qu'il existe un point

(s¯_1, s¯_2)

[a, b] \times [c, d]

tel qu'on ait les deux égalités

h(b, d) - h(a, d) - h(b, c) + h(a, c) = (b - a)h^(s¯_1) = (b - a)(d - c)(\partial^2 h)/(\partials_1\partials_2)(s¯_1, s¯_2).

Soit $I$ un intervalle ouvert de $ℝ$ . On se donne une fonction $f : I \to ℝ$ de classe $C^3$ , telle que $f^'(x) > 0$ pour tout $x \in I$ . Montrer que $f$ est bijective de $I$ sur l'intervalle ouvert $f(I)$ .
On note $g : f(I) \to I$ sa fonction réciproque. Rappeler la valeur de $g^'(f(x))$ . Exprimer $g^('')(f(x))$ en fonction des dérivées successives de $f$ en $x$ .
On conserve, jusqu'à la fin de cette troisième partie, les hypothèses et la notation de la question précédente. Pour $x, y \in I$ tels que $y \neq x$ , on pose

H_f(x, y) = (xf(y) - yf(x))/(f(y) - f(x)).

(a) Montrer que pour tous

x, y \in I

tels que

y \neq x

on a

H_f(x, y) = x - f(x)\int_0^1 g^'(λf(x) + (1 - λ)f(y))dλ

(b) En déduire que

H_f

admet un unique prolongement par continuité à

I \times I

tout entier. On note encore ce prolongement

H_f : I \times I \to ℝ

.
(c) Montrer que

H_f

est de classe

C^2

sur

I \times I

.
(d) Calculer

H_f(x, x)

.
4. On suppose maintenant

0 \in f(I)

et on note

x^* = g(0)

. Pour

x \in I

on note

I_x

l'intervalle fermé d'extrémités

x

x^*

.
(a) Soient

x, y \in I

. Montrer qu'il existe

(x¯, y¯) \in I_x \times I_y

, tel que

H_f(x, y) - x^* = (x - x^*)(y - x^*)(\partial^2 H_f)/(\partialx\partialy)(x¯, y¯)

(b) Calculer

(\partial^2 H_f)/(\partialx\partialy)(x^*, x^*)

en fonction des dérivées de

f

Quatrième Partie. Méthode de la sécante

Soit

I

un intervalle ouvert, borné ou non, de

ℝ

. Soit

f : I \to ℝ

une fonction de classe

C^3

. On désire calculer une approximation d'une solution de l'équation

f(x) = 0

. Pour cela on met en œuvre un procédé itératif appelé méthode de la sécante. En voici le principe :

Initialisation. On choisit deux nombres réels

x_0, x_1 \in I

.
Itération. Soit

n ⩾ 1

. On suppose que les valeurs

x_k

sont bien définies pour

1 ⩽ k ⩽ n

. On considère la droite

L_n

passant par les points (

x_(n - 1), f(x_(n - 1))

) et (

x_n, f(x_n)

) du plan

ℝ^2

, avec la convention que

L_n

est la tangente en (

x_n, f(x_n)

) au graphe de

f

lorsque

x_n = x_(n - 1)

. Si

L_n

intersecte l'ensemble

{(x, 0)|x \in I}

en un unique point (

x, 0

) on définit

x_(n + 1) = x

et on poursuit les itérations. Sinon on considère que la méthode a échoué et on arrête l'itération.

Illustrer la construction ci-dessus au moyen d'une figure. Lorsque $f^' > 0$ sur $I$ , exprimer $x_(n + 1)$ en fonction de $x_(n - 1), x_n$ au moyen de la fonction $H_f$ définie dans la question 3 de la troisième partie.
Dans cette question, on examine le cas particulier d'une fonction polynomiale du second degré $f$ définie par la formule $f(x) = (x - α)(x - β)$ où $α$ et $β$ sont réels et $α > β$ . On prend $I = ](α + β)/2, + \infty[$ .
Pour $x \in ℝ$ on définit $h(x) = (x - α)/(x - β)$ , avec la convention $h(β) = \infty$ .
(a) Pour $x \in ℝ$ montrer qu'on a $|h(x)| < 1$ si et seulement si $x \in I$ .
(b) Expliciter la relation de récurrence satisfaite par la suite $u_n:=h(x_n)$ et en déduire que la suite $(x_n)_(n ⩾ 0)$ est bien définie quels que soient $x_0$ et $x_1$ dans $I$ .
(c) Montrer que la suite $(u_n)_(n ⩾ 0)$ tend vers 0 et en déduire que $(x_n)_(n ⩾ 0)$ tend vers $α$ .
(d) Soit $φ = (1 + \sqrt5)/2$ . Montrer qu'il existe un nombre réel strictement négatif $s$ tel que

x_n - α = O(e^(sφ^n)).

On revient au cas général, $f$ étant une fonction quelconque de classe $C^3$ . On suppose que $f$ s'annule en un point $x^* \in I$ , pour lequel $f^'(x^*) > 0$ .
(a) Montrer qu'il existe $ε > 0$ tel que $[x^* - ε, x^* + ε] \subset I$ et $f^' > 0$ sur l'intervalle $[x^* - ε, x^* + ε]$ . On fixe un tel $ε$ pour la suite et on définit

M = sup_((x, y) \in [x^* - ε, x^* + ε]^2)|(\partial^2 H_f)/(\partialx\partialy)(x, y)|.

(b) On suppose que

x_(n - 1), x_n \in [x^* - ε, x^* + ε]

. Montrer que

|x_(n + 1) - x^*| ⩽ M|x_(n - 1) - x^*| \cdot |x_n - x^*|.

ε^' \in ]0, ε]

tel que

Mε^' < 1

. Montrer que si

x_0, x_1

appartiennent à

[x^* - ε^', x^* + ε^']

alors la suite

(x_n)_(n ⩾ 0)

est bien définie et converge vers

x^*

Questions fréquentes

4 questions

Sur quels chapitres porte l'épreuve de mathématiques X-ENS PC 2022 ?

Le sujet couvre les points fixes des applications contractantes, les matrices contractantes, les fonctions de deux variables réelles avec intégrales à paramètres, et la méthode numérique de la sécante.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur l'épreuve de mathématiques X-ENS PC 2022 ?

Le jury relève un manque de rigueur sur des points élémentaires comme l'inégalité triangulaire, des raisonnements par récurrence simples, et une confusion entre la convergence d'une suite et celle de sa norme.

L'épreuve de mathématiques X-ENS PC 2022 est-elle difficile ?

Le rapport la qualifie de facile mais assez longue, avec quasiment aucune question demandant des arguments très élaborés, même si quelques questions plus difficiles permettent de départager les meilleurs candidats.

Quelle est la moyenne à l'épreuve de mathématiques X-ENS PC 2022 ?

La moyenne des candidats français est de 8,79 sur 20 avec un écart-type de 3,21, sur 1450 candidats ayant passé l'épreuve toutes nationalités confondues.

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