CCINP Mathématiques 2 PC 2011Sujet, corrigé et rapport du jury

CONCOURS COMMUNS POLYTECHNIQUES

EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PC

Durée : 4 heures
N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

Soit ∑u_n la série de fonctions d'une variable réelle de terme général u_n défini pour tout n ∈ ℕ^∗ par : pour tout x ∈ ℝ, u_n(x) = (2x)/(x^2 + n^2 π^2).

I.1.1. Montrer que ∑u_n converge simplement sur ℝ tout entier.

On note U = ∑_(n = 1)^(+ ∞)u_n la somme de la série de fonctions ∑u_n.
I.1.2. Montrer que, pour tout a > 0, ∑u_n converge normalement sur [ − a, a].

La série ∑u_n converge-t-elle normalement sur ℝ ?
I.1.3. Montrer que U est continue sur ℝ.

I.2.1. Soit n ∈ ℕ^∗. Déterminer la primitive qui s'annule en 0 de la fonction u_n.
I.2.2. Soit (v_n)_(n ∈ ℕ^∗) la suite de fonctions définie par :

Montrer que ∑v_n converge simplement sur ℝ.
I.2.3. On note V = ∑_(n = 1)^(+ ∞)v_n la somme de la série de fonctions ∑v_n.

Montrer que V est la primitive qui s'annule en 0 de la fonction U.
I.3. On considère la suite (p_n)_(n ∈ N) de fonctions polynômes sur ℝ définie par :

pour tout n ∈ ℕ^∗ et pour tout x ∈ ℝ, p_n(x) = x∏_(k = 1)^(k = n)(1 + (x^2)/(k^2 π^2)).
Montrer que la suite (p_n)_(n ∈ ℕ) converge simplement sur ℝ, lorsque n tend vers + ∞, vers une fonction p que l'on exprimera à l'aide de V puis de U.
Pour tout x ∈ ℝ, la limite donnant p(x) sera alors notée : p(x) = x∏_(k = 1)^(+ ∞)(1 + (x^2)/(k^2 π^2)).

Pour tout x ∈ ℝ, on note g_x la fonction d'une variable réelle, périodique de période 2π, telle que, pour tout t ∈ ] − π, π], on ait : g_x(t) = ch((xt)/π).

II.1.1. Préciser pourquoi g_x est égale en tout point t ∈ ℝ à la somme de sa série de Fourier :

II.1.2. Pour tout n ∈ ℕ^∗ et tout x ∈ ℝ, calculer b_n(x).
II.1.3. Pour tout n ∈ ℕ et tout x ∈ ℝ, calculer a_n(x). On distinguera les cas x = 0 et x ≠ 0.

II.2.1. En donnant à t une valeur particulière dans la série de Fourier de g_x, montrer que, pour tout x ∈ ℝ^∗, U(x) = (ch(x))/(sh(x)) − 1/x.
II.2.2. A partir de V(x) = ∫_0^x U(t)dt et du résultat de II.2.1, donner à l'aide des fonctions usuelles une expression de la fonction V définie à la question I.2.3.
II.2.3. En déduire que, pour tout x ∈ ℝ, on a :

Soit h la fonction définie sur ℝ × ]0, + ∞[ par :

III.1.1. Soit x ∈ ℝ. Montrer que la fonction t ↦ h(x, t) admet, quand t tend vers 0 par valeurs positives, une limite finie que l'on déterminera.
III.1.2. Montrer que, pour tout x ∈ ℝ, la fonction t ↦ h(x, t) est intégrable sur ]0, + ∞[.

III.2.1 Montrer que h possède des dérivées partielles par rapport à x en tout point de ℝ × ]0, + ∞[ et à tout ordre. Calculer, pour tout (x, t) ∈ ℝ × ]0, + ∞[ et tout n ∈ ℕ^∗, (∂^n h)/(∂x^n)(x, t). On distinguera les cas n pair et n impair.
III.2.2. Montrer que, pour tout x ∈ ℝ et tout n ∈ ℕ, la fonction t ↦ (∂^n h)/(∂x^n)(x, t) est continue et intégrable sur ]0, + ∞[.
III.3. Soit f la fonction définie sur ℝ par : f(x) = ∫_0^(+ ∞)(sin(tx))/(exp(πt) − 1)dt pour tout x ∈ ℝ.

Montrer que f est de classe C^∞ sur ℝ et que, pour tout x ∈ ℝ et tout m ∈ ℕ,
on a : f^((2m))(x) = ∫_0^(+ ∞)((− 1)^m t^(2m)sin(tx))/(exp(πt) − 1)dt et f^((2m + 1))(x) = ∫_0^(+ ∞)((− 1)^m t^(2m + 1)cos(tx))/(exp(πt) − 1)dt.

III.4.1. Montrer que, pour tout t > 0, on a : 1/(exp(πt) − 1) = ∑_(n = 1)^(+ ∞)exp(− nπt).
III.4.2. Montrer que, pour tout n ∈ ℕ^∗ et tout x ∈ ℝ, la fonction t ↦ exp(− nπt)sin(tx) est intégrable sur [0, + ∞[ et exprimer ∫_0^(+ ∞)exp(− nπt)sin(tx)dt à l'aide de u_n(x).
III.4.3. Pour tout n ∈ ℕ^∗, pour tout x ∈ ℝ, pour tout t ∈ [0, + ∞[, on pose : h_n(x, t) = ∑_(k = 1)^(k = n)exp(− kπt)sin(tx). Montrer que, pour tout x ∈ ℝ et tout t ∈ ]0, + ∞[,

Puis, montrer que : f(x) = lim_(n → + ∞)∫_0^(+ ∞)h_n(x, t)dt pour tout x ∈ ℝ.
En déduire une expression simple de la fonction f à l'aide de la fonction U.