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Centrale Mathématiques 1 PC 2011Sujet, corrigé et rapport du jury

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Présentation du sujet

Difficulté moyenne
Le théorème de Borel : fonctions C∞ à dérivées successives fixées en 0
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Le sujet étudie l'existence, puis l'unicité sous conditions, d'une fonction de classe C∞ de R dans C dont les dérivées successives en 0 sont fixées à l'avance. Il démontre le théorème de Borel à l'aide d'une fonction en cloche et d'une série de fonctions normalement convergente, avant d'étudier une classe de fonctions entièrement déterminées par leurs dérivées en 0.

  1. 1I. Intervention des séries entièresChercher des fonctions sommes de séries entières vérifiant des valeurs de dérivées successives en 0 imposées, et montrer les limites de cette approche.
  2. 2II. Le théorème de BorelConstruire une fonction en cloche puis une fonction en plateau pour démontrer le théorème de Borel par une série de fonctions normalement convergente.
  3. 3III. Construction d'une fonction à support compactConstruire une fonction C∞ à support compact dont les dérivées sont uniformément majorées par une suite fixée à l'avance.
  4. 4IV. Étude d'une classe de fonctionsÉtudier une classe de fonctions dont les dérivées successives en 0 déterminent complètement la valeur sur R tout entier.

Difficulté moyenne. Le rapport décrit un sujet long mais plutôt facile, bien adapté au programme de PC, qui a permis de discriminer correctement les candidats sans réelle difficulté conceptuelle.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées
Valeurs absolues mal maniées · Rayon de convergence non justifié · Dérivée mal assimilée au raccord de classe Ck
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Ce sujet, bien adapté aux étudiants de PC, a permis de discriminer très correctement les candidats. La partie sur les séries entières, notamment le rayon de convergence, n'a pas été la mieux réussie, et de nombreuses questions font appel à un raisonnement par récurrence exigeant une rédaction claire.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Valeurs absolues mal maniéesIII.A.2.a

    Les étudiants perdent énormément de points pour des erreurs de maniement des valeurs absolues, avec apparition ou disparition de valeurs absolues au gré des lignes.

  2. 2
    Rayon de convergence non justifiéI.B.2

    La justification du rayon de convergence est souvent omise ou mal rédigée, alors que certains termes de la série sont nuls.

  3. 3
    Dérivée mal assimilée au raccord de classe CkII.A.2.b

    Les candidats constatent trop brièvement que les dérivées se prolongent par continuité, sans évoquer clairement le théorème de raccord de classe Ck.

    « ce qui prouve que la notion de dérivée est dans l'ensemble mal assimilée »
  4. 4
    Confusion intégrale et primitiveII.B.1

    Le caractère C∞ de g est souvent mal démontré, avec une confusion fréquente entre intégrale et primitive.

    « On constate d'ailleurs souvent une confusion entre intégrale et primitive »
  5. 5
    Permutation d'intégrales non justifiéeIII.C.5

    De nombreux candidats permutent sans se poser de question deux intégrales dont l'une possède des bornes variables, ce qui trahit une mauvaise compréhension de la définition d'une intégrale.

  6. 6
    Théorèmes de dérivation des séries mal connusII.C.4

    Trop peu de copies énoncent correctement le théorème de dérivation des séries de fonctions et ses hypothèses de convergence simple et normale.

Ce qui a été bien réussi

  • Un nombre important de copies arrive au bon résultat en II.A.1.a, ce qui rassure sur l'aisance calculatoire des candidats.
  • La question II.B.2.c a souvent été bien traitée.
  • Dans les toutes meilleures copies, les techniques du théorème fondamental de l'analyse sont très bien réinvesties en III.D.1.a.
  • Un quart des copies sont bien rédigées et font preuve de finesse sur ce long sujet.

Conseils du jury

  • Consacrer quelques minutes à bien lire le sujet en entier avant de commencer, pour anticiper les outils à appliquer.
  • Soigner la rédaction des raisonnements par récurrence avec un énoncé non ambigu de la proposition à prouver.
  • Maîtriser précisément les majorations en valeur absolue et vérifier les signes avant de les retirer.
  • Ne pas négliger les questions de calcul formel, qui figurent explicitement au programme.
  • Accepter d'admettre certains résultats intermédiaires plutôt que de perdre du temps sur un sujet long.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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Mathématique 1

Le but des deux premières parties est d'étudier l'existence d'une fonction de classe C^∞ de ℝ dans ℂ, dont on a fixé a priori les valeurs des dérivées successives en 0 . Les deux parties suivantes sont consacrées à des classes de fonctions pour lesquelles les dérivées successives en 0 de f déterminent complètement la fonction f.
On note W l'ensemble des fonctions C^∞ de ℝ dans ℂ nulles en dehors d'un segment (qui dépend de la fonction considérée dans W ). On notera (n/p) ou C_n^p les coefficients binomiaux.

I Intervention des séries entières

Soit (u_n)_(n ∈ ℕ) une suite complexe. On cherche dans cette partie des fonctions f ∈ C^∞(ℝ, ℂ), qui sont somme d'une série entière sur un intervalle ] − δ, δ[ pour au moins un réel δ > 0 et vérifiant ∀n ∈ ℕ, f^((n))(0) = u_n.
I.A − Si f(x) = ∑_(n = 0)^(+ ∞)a_n x^n pour tout x ∈ ] − δ, δ[, avec δ > 0, donner une expression de f^((k))(x) sur ] − δ, δ[, et en déduire f^((k))(0) en fonction de a_k pour tout k ⩾ 0.
I. B - Dans les exemples suivants, proposer une solution f, en précisant une valeur de δ convenable :
I.B.1) ∀n ∈ ℕ, u_n = 2^n.
I.B.2) Pour tout n ∈ ℕ pair, u_n = (− 1)^(n/2)n!, et pour tout n impair, u_n = 0.
I. C - Pour la suite (u_n)_(n ∈ ℕ) définie par ∀n ∈ ℕ, u_n = (2n)!, montrer qu'aucune fonction du type considéré dans cette partie n'est solution du problème.

II Le théorème de Borel

II.A - Une fonction en cloche

Soit g la fonction de ℝ dans ℝ définie par g(x) = {e^(1/(x(x − 1))), si x ∈ ]0, 1[; 0, sinon
II.A.1)
a) Montrer que pour tout naturel p il existe un polynôme Q_p ∈ ℝ[X] tel que
∀x ∈ ]0, 1[, g^((p))(x) = (Q_p(x))/((x(x − 1))^(2p))e^(1/(x(x − 1)))
Pour tout entier p ⩾ 1, exprimer Q_p en fonction de Q_(p − 1) et Q_(p − 1)^′.
b) En déduire que, pour tout entier naturel p non nul, Q_p est de degré 3p − 2.
c) Écrire dans le langage de calcul formel de votre choix un algorithme d'argument un entier p renvoyant la valeur de Q_p en fonction d'une indéterminée X.
On pourra utiliser la commande renvoyant, à partir d'une expression E et d'une variable x, la valeur de la dérivée de cette expression par rapport à cette variable que l'on pourra noter diff(E, x) ou D[E, x] selon le langage choisi.

II.A.2)

a) Montrer que pour tout entier naturel p
lim_(x → 0^+)g^((p))(x) = lim_(x → 1^−)g^((p))(x) = 0
b) En déduire que g ∈ W.

II.B - Une fonction en plateau

Soit h la fonction de ℝ dans ℝ définie, pour tout réel x, parh(x) = (∫_(x − 1)^1 g(t)dt)/(∫_0^1 g(t)dt).
II.B.1) Montrer que h est de classe C^∞ sur ℝ, constante sur ] − ∞, 1] et sur [2, ∞[.
II.B.2) Soit φ la fonction de ℝ dans ℝ définie par φ(x) = h(2x)h(− 2x) pour tout réel x.
a) Montrer que φ est de classe C^∞ sur ℝ et que φ^((p))(0) = 0 pour tout p ⩾ 1.
b) Montrer que φ est nulle en dehors de [ − 1, 1] et tracer sommairement l'allure de son graphe.
c) Justifier pour tout entier naturel p non nul l'existence du réel
λ_p = max_(k ∈ {0, …, p − 1})max_(x ∈ [ − 1, 1])|φ^((k))(x)|

II.C - Le théorème de Borel

Soit (u_n)_(n ∈ ℕ) une suite complexe. On définit pour tout entier naturel n une fonction g_n par
∀x ∈ ℝ g_0(x) = φ(x) et si n ⩾ 1 g_n(x) = (x^n)/(n!)φ(β_n x)
où β_n = max(1, 4^n|u_n|λ_n).
II.C.1)
a) Montrer que pour tout entier naturel n, la fonction g_n est de classe C^∞ sur ℝ.
b) Montrer que g_n est nulle hors du segment [ − 1/(β_n), 1/(β_n)].
II.C.2) Soit n et j des entiers naturels tels que j < n.
a) Montrer que
∀x ∈ ℝ g_n^((j))(x) = ∑_(i = 0)^j(j/i)β_n^i φ^((i))(β_n x)(x^(n − j + i))/((n − j + i)!)
b) En déduire que g_n^((j))(0) = 0.
c) Montrer que, pour tout réel x tel que |x| ⩾ 1/(β_n), on a g_n^((j))(x) = 0.
d) Montrer que, pour tout réel x tel que |x| ⩽ 1/(β_n), on a |u_n g_n^((j))(x)| ⩽ 2^(− (n + 1)).
II.C.3) Déduire des questions précédentes que pour n, j ∈ ℕ,
g_n^((j))(0) = {0, si j ≠ n; 1, si j = n
II.C.4) En considérant σ = ∑_(n = 0)^∞u_n g_n, montrer qu'il existe une fonction f de classe C^∞ sur ℝ telle que ∀j ∈ ℕ, f^((j))(0) = u_j (théorème de Borel).

III Un autre élément de W

On considère une suite (a_n)_(n ∈ ℕ) de réels strictement positifs, décroissante de limite nulle, et telle que la série ∑a_n converge.

III.A - Une fonction affine par morceaux

On pose pour tout x réel
f_0(x) = 1/(2a_0^2)(|x + a_0| + |x − a_0| − 2|x|).
III.A.1) Montrer que f_0 est nulle en dehors de [ − a_0, a_0], préciser sa valeur sur [ − a_0, 0] et [0, a_0], justifier sa continuité et tracer rapidement son graphe.
III.A.2) On pose k = 1/(a_0^2).
a) Pour tout réel x, montrer que |f_0(x)| ⩽ 1/(a_0).
b) Montrer que f_0 est lipschitzienne de rapport k sur ℝ.

III.B - La première étape

On pose pour tout x réel
f_1(x) = 1/(2a_1)∫_(x − a_1)^(x + a_1)f_0(t)dt
III.B.1) Montrer que f_1 est de classe C^1 sur ℝ et calculer f_1^′(x) pour tout x réel.
III.B.2) Montrer que f_1 est nulle en dehors de [ − a_0 − a_1, a_0 + a_1].
III.B.3) Montrer que ∀x ∈ ℝ, |f_1(x)| ⩽ 1/(a_0) et |f_1^′(x)| ⩽ 1/(a_0 a_1).
III.B.4) Montrer que f_1 est lipschitzienne de rapport k sur ℝ.

III.C - Une suite de fonctions

On définit par récurrence une suite (f_n)_(n ∈ ℕ) de fonctions par f_0 et f_1 définies comme dans les questions précédentes et, pour tout naturel n ⩾ 2 et tout x réel,
f_n(x) = 1/(2a_n)∫_(x − a_n)^(x + a_n)f_(n − 1)(t)dt
III.C.1) Montrer que f_n est de classe C^n sur ℝ et calculer f_n^′(x) pour tout x réel.
III.C.2) Montrer que f_n est nulle en dehors de [ − ∑_(i = 0)^n a_i, ∑_(i = 0)^n a_i].
III.C.3) Pour tout x ∈ ℝ, montrer que |f_n(x)| ⩽ 1/(a_0) et que, si p ⩽ n, on a |f_n^((p))(x)| ⩽ 1/(a_0 a_1⋯a_p).
III.C.4) Montrer que f_n est lipschitzienne de rapport k sur ℝ.
III.C.5) Montrer que pour tout naturel n
∫_(− S)^S f_n(t)dt = 1 où S = ∑_(n = 0)^∞a_n.

III.D - La limite

On considère la série de fonctions ∑_(n ⩾ 1)k_n où k_n = f_n − f_(n − 1) pour tout n ⩾ 1.

III.D.1)

a) Pour tout entier n ⩾ 1 et tout réel x, montrer que |k_n(x)| ⩽ k/2a_n.
b) En déduire la convergence normale de la série de fonctions ∑k_n.
Pour tout réel x, on note
s(x) = ∑_(n = 1)^∞k_n(x)

III.D.2)

a) Montrer que pour tout x réel, f_n(x) converge vers une limite que l'on notera w(x) et qui vérifie w(x) = f_0(x) + s(x).
b) Pour tout réel x réel, montrer que |w(x)| ⩽ 1/(a_0).
c) Montrer que w est lipschitzienne de rapport k sur ℝ.
d) Montrer que w est nulle en dehors du segment [ − S, S].

III.D.3)

a) Montrer que
∫_(− S)^S w(t)dt = 1
b) En déduire que w n'est pas constante nulle sur ℝ.

III.D.4)

a) Montrer que ∑_(n ⩾ 2)(f_n^′ − f_(n − 1)^′) converge normalement sur ℝ.
b) Trouver un lien entre w, f_1 et ∑_(n = 2)^∞(f_n − f_(n − 1)).
c) En déduire que w est de classe C^1 sur ℝ.
d) Montrer que pour tout x réel, |w^′(x)| ⩽ 1/(a_0 a_1).

III.D.5) Soit p ⩾ 2.

a) Montrer que ∑_(n ⩾ p + 1)(f_n^((p)) − f_(n − 1)^((p))) converge normalement sur ℝ.
b) Trouver un lien entre w, f_p et ∑_(n = p + 1)^∞(f_n − f_(n − 1)).
c) En déduire que w est de classe C^p sur ℝ.
d) Montrer que pour tout x réel, |w^((p))(x)| ⩽ 1/(a_0 a_1⋯a_p).

IV Classes quasi-analytiques

On considère une suite réelle M = (M_n)_(n ⩾ 0) vérifiant les trois conditions :
∀n ∈ ℕ, M_n > 0; M_0 = 1; ∀n ⩾ 1, M_n^2 ⩽ M_(n − 1)M_(n + 1)
On note C(M) l'ensemble des fonctions f : ℝ → ℂ de classe C^∞ pour lesquelles il existe deux constantes A > 0 et B > 0 (dépendantes de f ) telles que
∀n ∈ ℕ, ∀x ∈ ℝ, |f^((n))(x)| ⩽ AB^n M_n
L'ensemble C(M) est dit classe associée à la suite M.
La classe C(M) est dite quasi-analytique si
∀f ∈ C(M) (∀k ∈ ℕ, f^((k))(0) = 0) ⇒ f = 0
IV.A - Quelques propriétés d'une classe
IV.A.1) Montrer que si f ∈ C(M) et (a, b) ∈ ℝ^2, alors la fonction g : x ↦ f(ax + b) appartient aussi à C(M).
IV.A.2) Vérifier que C(M) est un espace vectoriel sur ℂ.
IV.A.3)
a) Montrer que pour tous n, k ∈ ℕ tels que k ⩽ n, on a M_k M_(n − k) ⩽ M_n. On pourra étudier, pour p fixé, la monotonie de la suite (M_n/M_(n − p))_(n ⩾ p).
b) En déduire que le produit de deux éléments quelconques de C(M) est un élément de C(M).

IV.B - Un exemple de classe quasi-analytique

On note U la suite définie par U_n = n! pour tout n ∈ ℕ.
IV.B.1) Montrer que la suite U vérifie les conditions IV.1, IV. 2 et IV.3.
IV.B.2) Soit f ∈ C(U); on fixe A > 0, B > 0 tels que
∀n ∈ ℕ, ∀x ∈ ℝ, |f^((n))(x)| ⩽ AB^n n!
a) Dans cette question et la suivante, on suppose que le réel α vérifie ∀k ∈ ℕ, f^((k))(α) = 0. Montrer que
∀x ∈ ℝ, ∀n ∈ ℕ, f(x) = ∫_α^x((x − t)^n)/(n!)f^((n + 1))(t)dt
b) En déduire que ∀x ∈ ℝ, |x − α| ⩽ 1/(2B) ⇒ f(x) = 0.
c) Montrer que C(U) est une classe quasi-analytique.

IV.C -

IV.C.1) Montrer que si C(M) est quasi-analytique, alors C(M) ∩ W = {0}.
IV.C.2) Montrer la réciproque; on pourra montrer, lorsque C(M) n'est pas quasi-analytique, l'existence d'une fonction g ≠ 0 dans C^∞(ℝ, ℂ), nulle sur ] − ∞, 0], puis considérer h : x ↦ g(x)g(c − x) pour un c ∈ ℝ bien choisi.
IV.D - On se donne une suite réelle M = (M_n)_(n ⩾ 0) vérifiant les trois conditions IV.1, IV. 2 et IV. 3 et on considère les assertions :
la série ∑_(n ⩾ 1)(1/(M_n))^(1/n) converge; la série ∑_(n ⩾ 1)(M_(n − 1))/(M_n) converge; la classe C(M) n'est pas quasi-analytique
Pour tout n ⩾ 1, on note α_n = M_(n − 1)/M_n.
IV.D.1) Exprimer M_n en fonction de α_1, …, α_n et en déduire que IV. 4 ⇒ IV.5.
IV.D.2) Démontrer en utilisant la partie III que IV. 5 ⇒ IV.6.
On peut montrer à l'aide d'outils mathématiques plus élaborés que IV. 6 ⇒ IV.4, ce qui donne une caractérisation des classes quasi-analytiques. Ce résultat constitue une partie du théorème de Denjoy-Carleman.

Questions fréquentes

3 questions
Sur quels chapitres porte le sujet Mathématiques 1 Centrale PC 2011 ?
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Sur quels chapitres porte le sujet Mathématiques 1 Centrale PC 2011 ?

Le sujet porte sur les séries entières, les séries de fonctions et le théorème de Borel, avec de nombreux raisonnements par récurrence et des intégrales dépendant des bornes du programme de première année.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur ce sujet ?

Le jury relève surtout un mauvais maniement des valeurs absolues, une confusion entre intégrale et primitive, et des permutations d'intégrales non justifiées.

Le sujet Mathématiques 1 Centrale PC 2011 est-il difficile ?

Le rapport le décrit comme long mais plutôt facile, sans réelle difficulté conceptuelle, ce qui en a fait un bon outil pour discriminer les candidats.

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