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Centrale Mathématiques 1 PC 2009Sujet, corrigé et rapport du jury

Séries factorielles

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Présentation du sujet

Difficulté moyenne
Accélération de la convergence de séries numériques et étude des séries factorielles
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Le sujet part de l'accélération de la convergence des sommes partielles d'une série numérique de type factorielle, puis étudie les fonctions développables en série factorielle. Il combine une partie sur la majoration du reste d'une série par une intégrale, un exemple calculatoire d'accélération de convergence, puis l'étude de la dérivabilité de ces fonctions via une représentation intégrale.

  1. 1Partie I : préliminairesÉtude d'une série numérique et majoration du reste de la série par une intégrale.
  2. 2Partie II : un exemple d'accélération de la convergencePartie très calculatoire donnant un exemple d'accélération de convergence à partir de la majoration établie en partie I.
  3. 3Partie III : séries factoriellesÉtablit que toute série développable en série factorielle est dérivable, à dérivée continue.
  4. 4Partie IV : représentation intégraleDonne une représentation intégrale d'une fonction développable en série factorielle.
  5. 5Partie V : dérivabilité d'une série factorielleMontre que la dérivée d'une fonction développable en série factorielle l'est elle-même.

Difficulté moyenne. Le rapport indique que le problème ne présente pas de difficultés majeures mais demande de la rigueur et de la précision, tout en ayant permis de bien classer les candidats.

Ce qu'a observé le jury

5 erreurs relevées
Réflexe systématique du critère de D'Alembert · Confusion convergence absolue et convergence normale · Hypothèse de récurrence mal formulée
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Le jury juge ce sujet bien adapté à une classe de PC, de longueur raisonnable, et estime qu'il a permis de bien classer les candidats. Les candidats maîtrisant leur cours ont été récompensés sur les questions d'application directe. La notion de convergence normale, très présente dans le problème, reste souvent mal maîtrisée et confondue avec la convergence absolue.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Réflexe systématique du critère de D'AlembertI.A.1

    Dès la première question, de nombreux candidats s'obstinent à vouloir utiliser le critère de D'Alembert, souvent hors de propos.

    « apparaît une véritable obsession pour utiliser le critère de D’Alembert »
  2. 2
    Confusion convergence absolue et convergence normaleIII.C.1

    Le jury relève une confusion très fréquente entre ces deux notions de convergence.

    « Il y a très souvent confusion entre convergence absolue et convergence normale »
  3. 3
    Hypothèse de récurrence mal formuléeII.A.1

    La formulation précise de l'hypothèse de récurrence est rarement obtenue, ce qui entraîne de grosses fautes de logique.

    « l’hypothèse de récurrence est rarement formulée de façon précise et est l’occasion de grosses fautes de logique »
  4. 4
    Justification insuffisante de la dérivabilitéIII.E.1

    Invoquer les théorèmes généraux sans les citer précisément ne suffit pas à justifier la dérivabilité.

    « La phrase « d’après les théorèmes généraux, la fonction est dérivable » ne suffit pas »
  5. 5
    Résultat aberrant non détectéIV.B

    Certains candidats trouvent un résultat négatif en intégrant une fonction positive sans s'en inquiéter.

    « trouver un résultat négatif en intégrant une fonction positive sur [0, 1] ne semble pas gênant pour certains »

Ce qui a été bien réussi

  • Les copies sont, dans leur grande majorité, agréables à lire et bien présentées.
  • Ceux qui connaissaient bien leur cours ont été récompensés car certaines questions étaient des applications directes.
  • Le produit de Cauchy a beaucoup de succès et son terme général est en général correctement écrit.

Conseils du jury

  • Ne pas hésiter à citer intégralement un théorème que l'on veut appliquer, surtout si toutes les hypothèses ne sont pas prouvées.
  • Faire un dessin pour éviter les erreurs d'encadrement dans les comparaisons série-intégrale.
  • Ne pas négliger les questions techniques ou calculatoires, qui rapportent aussi des points.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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Lecture du sujet en ligne

L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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Sujet en PDF

MATHÉMATIQUES I

Les calculatrices sont autorisées.
Le problème porte sur l'étude des séries factorielles, séries de fonctions de la forme
∑_(n ≥ 0)a_n(n!)/(x(x + 1)(x + 2)…(x + n))
Les parties I et II traitent d'un exemple. Les parties III, IV et V, indépendantes des deux premières, ont pour objet l'étude de propriétés de la somme d'une série factorielle convergente sur l'intervalle ]0, + ∞[.

Partie I - Préliminaires

I.A - Pour tout entier p naturel non nul, on pose :
∀n ∈ ℕ^∗, u(n, p) = 1/(n(n + 1)…(n + p))
I.A.1) Montrer que la série ∑_(n ≥ 1)u(n, p) est convergente.
I.A.2) On pose :
σ(p) = ∑_(n = 1)^(+ ∞)u(n, p)
Calculer σ(1).
I.A.3) Pour p ≥ 2, et pour n quelconque dans ℕ^∗, exprimer u(n, p − 1) − u(n + 1, p − 1) en fonction de p et u(n, p).
I.A.4) En déduire la valeur de σ(p) en fonction de p, pour p ≥ 2.
I.B - Soient q un entier ≥ 2 et N un entier naturel ≥ 1.
Donner une majoration du reste
R(N, q) = ∑_(n = N + 1)^(+ ∞)1/(n^q)
en le comparant à une intégrale.

Filière PC

Partie II - Un exemple d'accélération de la convergence

II.A -

II.A.1) Montrer par récurrence l'existence de trois suites ( a_p ), ( b_p ) et ( c_p ) d'entiers naturels définies pour p ≥ 2 telles que, pour tout réel x strictement positif et pour tout entier p on ait:
1/(x^3) = ∑_(k = 2)^p(a_k)/(x(x + 1)…(x + k)) + (b_p x + c_p)/(x^3(x + 1)(x + 2)…(x + p))
II.A.2) Exprimer a_(p + 1), b_(p + 1) et c_(p + 1) à l'aide de p, b_p et c_p.
II.A.3) Montrer que: ∀p ≥ 2, b_p ≥ c_p ≥ 0.
II.A.4) Calculer a_p, b_p, c_p pour p = 2, 3 et 4.
II.B - On désire calculer une valeur décimale approchée de
ζ(3) = ∑_(n = 1)^(+ ∞)1/(n^3)
avec une erreur inférieure ou égale à ε = 5 ⋅ 10^(− 5).
II.B.1) En utilisant I.B, déterminer un entier naturel N suffisant pour que
∑_(n = N + 1)^(+ ∞)1/(n^3) soit inférieur à ε
II.B.2) Donner un majorant simple de :
∑_(n = N + 1)^(+ ∞)(b_4 n + c_4)/(n^3(n + 1)…(n + 4))
et montrer, à l'aide de tout ce qui précède, comment calculer ζ(3) pour la même valeur de ε avec une valeur de N moins grande que celle trouvée à la question II.B.1.
II.B.3) Donner une valeur décimale approchée à ε près (par défaut) de ζ(3) en utilisant ce qui précède.

Partie III - Séries factorielles

III.A -

III.A.1) Pour tout entier naturel n et pour tout réel x strictement positif, on pose:
u_n(x) = (n!)/(x(x + 1)…(x + n)), v_n(x) = 1/((n + 1)^x), w_n(x) = (u_n(x))/(v_n(x))
Montrer que la série de terme général
ln((w_n(x))/(w_(n − 1)(x))), définie pour n ≥ 1, est convergente.
III.A.2) En déduire qu'il existe l(x) (dépendant de x et strictement positif) tel que:
lim_(n → + ∞)(u_n(x))/(v_n(x)) = l(x)
III.B - Soit (a_n)_(n ≥ 0) une suite de complexes et x un réel strictement positif.
Montrer que la série ∑_(n ≥ 0)a_n u_n(x) est absolument convergente (en abrégé AC) si et seulement si la série ∑_(n ≥ 0)a_n v_n(x) est AC.
III.C - On désigne désormais par 𝒜 l'ensemble des suites (a_n)_(n ≥ 0) indexées par IN telles que la série ∑_(n ≥ 0)a_n u_n(x) soit AC pour tout réel x strictement positif.
Soit a = (a_n)_(n ≥ 0) un élément de 𝒜, montrer que :
III.C.1) la fonction f_a définie par :
x a f_a(x) = ∑_(n = 0)^(+ ∞)a_n u_n(x)
est continue sur l'intervalle ]0, + ∞[.
III.C.2) la fonction f_a tend vers 0 en + ∞.

III.D -

III.D.1) Donner un exemple d'un élément a de 𝒜 avec a_n non nul pour tout entier n.
III.D.2) Donner un exemple d'une suite (a_n)_(n ≥ 0) qui ne soit pas un élément de 𝒜.
III.E - Soit a un élément de 𝒜.
III.E.1) Montrer que, pour tout entier n la fonction x a u_n(x) est de classe C^1 sur l'intervalle ]0, + ∞[ et que :
∀x > 0, |u_n^′(x)| ≤ u_n(x)(1/x + ln(1 + n/x))
III.E.2) En déduire que la fonction f_a est de classe C^1 sur l'intervalle ]0, + ∞[.
N.B. On dira alors que la fonction f_a est développable en série factorielle (sousentendu ici sur ]0, + ∞[ et en abrégé DSFA) et on admettra qu'un tel développement est unique.

Partie IV - Représentation intégrale

IV.A -

IV.A.1) Soit n un entier naturel. On pose:
∀k = 0…n, P_k = ∏_(i = 0, i ≠ k)^n(X + i).
Montrer que les polynômes P_k forment une base de l'espace vectoriel ℝ_n[X] des polynômes à coefficients réels et de degré inférieur ou égal à n.
IV.A.2) En déduire qu'il existe des rationnels indépendants de x notés α_0, α_1, …α_n tels que :
∀x > 0, (n!)/(x(x + 1)(x + 2)…(x + n)) = ∑_(k = 0)^n(α_k)/(x + k).
Exprimer α_k en fonction de k et n.
IV.B - Montrer, pour x > 0 et k entier naturel, l'existence de l'intégrale :
∫_0^1(1 − y)^(x − 1 + k)dy
et calculer sa valeur en fonction de k et x.
IV.C - Montrer que :
∀x > 0, ∀n ∈ ℕ, ∫_0^1(1 − y)^(x − 1)y^n dy = (n!)/(x(x + 1)…(x + n))
En déduire que, pour tout élément a de 𝒜, on a :
∀x > 0, f_a(x) = ∑_(n = 0)^(+ ∞)a_n∫_0^1(1 − y)^(x − 1)y^n dy
IV.D - Soit a un élément de 𝒜.
IV.D.1) Montrer que la série entière ∑_(n ≥ 0)a_n y^n a un rayon de convergence supé-
rieur ou égal à 1 . rieur ou égal à 1 .
On note φ_a la fonction définie sur [ 0, 1[ par :
φ_a(y) = ∑_(n = 0)^(+ ∞)a_n y^n.
IV.D.2) Montrer que la fonction x a ∫_0^1(1 − y)^(x − 1)φ_a(y)dy est définie sur ]0, + ∞[, DSFA sur ce même intervalle et égale à f_a.

Partie V - Dérivabilité d'une série factorielle

V.A - On reprend les notations des parties III et IV.
V.A.1) Montrer que la fonction x a f_a(x) est dérivable sur l'intervalle ]0, + ∞[ et que :
∀x > 0, f_a^′(x) = ∫_0^1(1 − y)^(x − 1)φ_a(y)ln(1 − y)dy
V.A.2) Montrer que la fonction ψ_a : y a φ_a(y)ln(1 − y) est développable en série entière sur l'intervalle ]-1, 𝕀.
V.A.3) On pose :
∀n ∈ ℕ, b_n = (ψ_a^((n))(0))/(n!)
Vérifier que b_0 = 0 et que:
∀n ∈ ℕ^∗, b_n = − ∑_(p = 0)^(n − 1)(a_p)/(n − p)
V.B - Soient x > 0 et N ≥ 1. Montrer :
∑_(n = 1)^N(|b_n|)/((n + 1)^x) ≤ ∑_(p = 0)^(N − 1)|a_p|(∑_(k = 1)^(N − p)1/(k(k + p + 1)^x))
V.C - Montrer que, pour tout entier p tel que 0 ≤ p ≤ N − 1, on a :
∑_(k = 1)^(N − p)1/(k(k + p + 1)^x) ≤ 1/((p + 1)^x) + ∫_1^(+ ∞)(dt)/(t(t + p + 1)^x)
V.D - Montrer que :
∑_(k = 1)^(N − p)1/(k(k + p + 1)^x) ≤ (ln(p + 1))/((p + 1)^x) + (1 + 1/x)1/((p + 1)^x).
V.E - En déduire que la série de terme général (b_n)/((n + 1)^x) est AC pour x > 0.
V.F - Montrer enfin que la fonction f^′_a est DSFA sur l'intervalle ]0, + ∞[ et que :
∀x > 0, f_a^′(x) = ∑_(n = 0)^(+ ∞)b_n u_n(x).
V.G - Exemple
Montrer que la fonction x a f(x) = 1/x est DSFA sur ]0, + ∞[ et calculer les coefficients notés a^′_n et a^(′′)_n pour les fonctions f^′ et f^(′′) pour n = 0, 1, 2, 3, 4.
Vérifier qu'on retrouve ainsi les calculs faits en seconde partie.

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte le sujet de Mathématiques 1 Centrale PC 2009 ?
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Sur quels chapitres porte le sujet de Mathématiques 1 Centrale PC 2009 ?

Le sujet porte sur les séries numériques, la comparaison série-intégrale, les séries de fonctions, la convergence normale et la dérivation sous le signe intégral, autour de la notion de série factorielle.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur Mathématiques 1 Centrale PC 2009 ?

Un usage réflexe et souvent hors de propos du critère de D'Alembert, une confusion entre convergence absolue et convergence normale, et des hypothèses de récurrence mal formulées.

Le sujet Mathématiques 1 Centrale PC 2009 est-il difficile ?

Le rapport indique qu'il ne présente pas de difficultés majeures mais demande de la rigueur et de la précision, et qu'il a bien classé les candidats.

Comment bien préparer l'épreuve de Mathématiques 1 Centrale PC 2009 ?

Le rapport conseille de citer intégralement les théorèmes utilisés, de faire des dessins pour éviter les erreurs d'encadrement, et de ne pas négliger les questions calculatoires.

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