Formation des stalactites : ruissellement d'eau, diffusion du dioxyde de carbone, croissance de stalactites de calcaire et de glace
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Le sujet est consacré à l'étude de la formation des stalactites. La première partie établit un modèle d'écoulement en film mince adapté au ruissellement sur une stalactite. La deuxième étudie la formation d'une stalactite de calcaire pilotée par la diffusion du dioxyde de carbone. Les trois parties suivantes portent sur les stalactites de glace : conditions de formation, croissance par diffusion thermique et interprétation des ondulations de leur surface.
1Partie I : ruissellement d'eau sur une stalactiteÉtablissement d'un modèle d'écoulement classique en film mince, puis application au calcul du débit et de l'épaisseur du film sur une stalactite.
2Partie II : formation d'une stalactite dans une grotteÉtude de la diffusion du dioxyde de carbone et de la précipitation du carbonate de calcium, puis de la croissance et de la forme de la stalactite.
3Partie III : formation d'un germe de stalactite sur une main courante cylindrique en boisBilans de masse puis bilans d'énergie sur l'eau qui s'écoule sur la main courante.
4Partie IV : croissance d'une stalactite de glaceModèle conducto-convectif de croissance radiale, puis étude de l'effet de pointe par analogie avec l'électrostatique.
5Partie V : ondulations sur la surface des stalactitesInterprétation de l'instabilité à l'origine des ondulations et calcul de leur période spatiale.
Difficile. Le rapport souligne la longueur du sujet : même les très bons candidats n'ont pas traité les dernières parties, qui ne représentent en moyenne que 25% des points acquis alors qu'elles pèsent près de la moitié du barème.
Ce qu'a observé le jury
6 erreurs relevées
Nullité de l'accélération confondue avec le caractère stationnaire · Équation différentielle obtenue par un raisonnement faux · Notation du débit utilisée sans être définie
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La première partie, abordée par la quasi-totalité des candidats, a été relativement bien réussie malgré un niveau d'exigence sévère. Les parties suivantes, plus calculatoires ou plus originales, ont donné lieu à de nombreuses confusions et à des résultats modestes, la longueur du sujet limitant la progression même des meilleurs candidats.
Les erreurs les plus sanctionnées
1
Nullité de l'accélération confondue avec le caractère stationnaireI.A
Le fait que l'écoulement soit stationnaire ne suffit pas à annuler l'accélération convective.
« Rappelons que le caractère stationnaire de l’écoulement ne suffit pas à établir la nullité de l’accélération. »
2
Équation différentielle obtenue par un raisonnement fauxII.A.5
De nombreux candidats mélangent variation spatiale et temporelle pour retrouver l'équation donnée par l'énoncé, sans bilan de production correct.
« Confusion entre variation spatiale et temporelle, entre variation temporelle et terme de production, erreurs de signe »
3
Notation du débit utilisée sans être définieIII.A
La plupart des candidats emploient la notation du débit massique sans maîtriser sa signification ni définir le système associé.
« La plupart des candidats a utilisé cette notation sans en maîtriser la signification »
4
Confusion entre enthalpie, transfert thermique et bilan enthalpiqueIV
Ces trois notions distinctes sont souvent mélangées dans le modèle conducto-convectif de croissance.
« Il y a souvent confusion entre l’expression de la variation d’enthalpie (variation d’une fonction d’état entre deux états voisins), l’expression du transfert thermique »
5
Conductivité thermique de dimension incorrecteIV
La conductivité thermique obtenue par analogie avec l'électrostatique n'est pas toujours homogène, ni même positive.
« n’est pas toujours de dimension physique correcte, ni même positive. »
6
Confusion entre période spatiale et période temporelleV
Une période spatiale ne se mesure pas en secondes, alors que l'énoncé précisait bien qu'il s'agissait d'une période spatiale.
« Notons qu’une période n’est pas toujours un temps et ne se mesure pas toujours en secondes ! »
Ce qui a été bien réussi
L'expression de l'incompressibilité et son exploitation pour l'écoulement en film mince sont en général maîtrisées.
La première partie a été abordée par la quasi-totalité des candidats et a rapporté plus de 40% des points malgré un barème de 25%.
La partie III sur les bilans d'énergie, très directive, a été accessible même à des candidats moyens.
Conseils du jury
Procéder à une lecture complète de l'énoncé avant de commencer.
Rédiger de façon explicite : préciser le système étudié et la loi physique mise en oeuvre.
Faire des schémas clairs et lisibles.
Soumettre systématiquement le résultat final à un contrôle d'homogénéité dimensionnelle.
Pour les applications numériques, se soucier de l'unité, du nombre de chiffres significatifs et porter un jugement critique sur les ordres de grandeur obtenus.
Assurer une gestion rigoureuse des expressions vectorielles et ne jamais égaler un vecteur à un scalaire.
Ne pas falsifier un raisonnement pour retrouver un résultat donné par l'énoncé.
Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.
Le ruissellement d'eau sur une surface est un phénomène très courant (Partie I) qui joue un rôle essentiel dans la formation de stalactites. Ainsi, sur la voûte d'une grotte où ruisselle une eau chargée en carbonate de calcium, des concrétions de calcaire appelées stalactites peuvent se former et croître à partir de la voûte (cf. figure 1) par précipitation du carbonate de calcium selon la réaction chimique :
Ca^(2 +) + 2HCO_3^−⇌CaCO_3(s) + CO_(2, aq)
La croissance de la stalactite est pilotée par la diffusion du dioxyde de carbone rejeté par la solution dans l'atmosphère (Partie II).
De même lorsque de l'eau de pluie ruisselle en hiver sur un garde-corps, on observe souvent la formation de stalactites de glace (figure 2). Après avoir étudié les conditions nécessaires à leur formation (Partie III) on étudie leur croissance pilotée par la diffusion thermique (Partie IV) et enfin on tente d'interpréter les ondulations de leur surface (Partie V).
Dans tout le problème, le référentiel terrestre est supposé galiléen, e_Z est un vecteur-unitaire orienté selon la verticale descendante et le champ de pesanteur g⃗ = ge_Z^(→−) est uniforme avec g = 9, 8→−^m ⋅ s^(− 2). On prendra garde à ne pas confondre e_Z ˆ et le vecteur unitaire e_z qui est introduit dans certaines parties pour repérer la direction perpendiculaire à l'écoulement.
Figure 1
Figure 2
Filière PC
Partie I - Ruissellement d'eau sur une stalactite
I.A - Étude d'un écoulement modèle
On étudie dans un premier temps un écoulement incompressible et stationnaire d'eau (masse volumique μ et viscosité dynamique η uniformes et constantes) sur un plan incliné faisant un angle θ avec l'horizontale (cf. figure 3 ). On note h l'épaisseur du film liquide à l'abscisse x, supposée uniforme et constante et on cherche un champ des vitesses de la forme u⃗(M) = u(x, z)e⃗_x. On rappelle l'équation de Navier-Stokes qui pilote l'écoulement :
μ(Du⃗)/(Dt) = − grad^(→−)p + ηΔ⃗u⃗ + μg⃗.
I.A.1) Montrer que u(x, z) ne dépend pas de x. Comment se simplifient alors les expressions de Du⃗/Dt et de Δ⃗u⃗ ?
I.A.2) Expliciter la projection de l'équation de Navier-Stokes sur e_z→ et en déduire l'expression de la pression p en fonction de h, θ, z, μ, g et de la pres-
sion p_0 imposée par l'atmosphère à l'interface liquide-air.
I.A.3) Établir l'équation différentielle dont est solution u(z) et en déduire son expression en fonction de z, g, θ de la viscosité cinématique v = η/μ et de deux constantes d'intégration.
I.A.4) Quelle est la condition aux limites imposée par le plan incliné en z = 0 ? On néglige la viscosité de l'air. En considérant un élément de surface dS de l'interface eau-air sans masse, justifier la condition aux limites :
((∂u)/(∂z))_((z = h)) = 0.
I.A.5) Achever la détermination de u(z) en fonction de θ, g, v = η/μ, z et h.
I.A.6) En déduire que le débit volumique pour une profondeur b selon e_y→ vaut:
q = (gsinθh^3 b)/(3v)
PHYSIQUE II
Filière PC
I.B - Application aux stalactites
On étudie désormais l'écoulement d'eau le long d'une stalactite réelle d'axe OZ et de rayon R(Z) pour laquelle on peut définir un angle θ(Z) local (cf. figure 4) sur des échelles de temps telles que la croissance de la stalactite est imperceptible : R(Z) et θ(Z) ne dépendent pas du temps.
Du fait que h(Z) « R et que R et θ varient doucement avec Z, on peut exprimer le débit volumique q(Z) à travers le plan de cote Z à l'instant t en utilisant l'expression (1) établie en I.A.6) en y remplaçant b par 2πR(Z).
I.B.1) À quel endroit de la stalactite l'expression de q(Z) ainsi obtenue est-elle erronée?
I.B.2) Le débit q(Z = 0) = q_0 en haut de la stalactite est supposé indépendant du
temps. Proposer une méthode de mesure expérimentale de q_0.
I.B.3) Montrer que l'épaisseur du film h est de la forme :
h = l_c^(4/3)(Rsinθ)^(− 1/3)
où l_c est une longueur caractéristique qu'on exprimera en fonction de q_0, g, v. I.B.4) Pour une stalactite de calcaire on prend q_0 = 50 mL ⋅ h^(− 1), R_0 = R(Z = 0) = 5 cm et θ(Z = 0) = π/2. La viscosité cinématique de l'eau vaut v = 10^(− 6) m^2 ⋅ s^(− 1).Calculer l_c, h_0 = h(Z = 0) et la vitesse moyenne u_m(Z = 0) définie comme la vitesse d'un écoulement uniforme qui aurait le même débit volumique.
I.B.5) Expliciter un nombre de Reynolds associé à cet écoulement en adoptant h_0 comme distance caractéristique. Le calculer numériquement avec les valeurs de la question I.B.4. Commenter.
I.B.6) Le modèle n'est valable que si h/R < 10^(− 1). Quelle condition numérique en déduit-on sur R ?
Partie II - Formation d'une stalactite dans une grotte
Pour toute cette partie, on adopte les valeurs caractéristiques suivantes, données en ordre de grandeur pour la stalactite étudiée :
Longueur de la stalactite
L_0
10 à 100 cm
Rayon à la base
R_0
5 à 10 cm
Épaisseur du film liquide
h_0
10μ m
Vitesse moyenne de l'écoulement
u_m
1 à 10 mm/s
Coefficient de diffusion pour tout soluté
D
10^(− 5) cm^2 s^(− 1)
Taux d'allongement
δL/δt
1 cm par siècle
II.A - Diffusion de CO_2 dans le film liquide et précipitation de CaCO_3
II.A.1) Justifier qu'on peut négliger le mouvement de l'eau lors de l'étude de la diffusion d'une espèce chimique dans le film liquide en évaluant numériquement le temps de diffusion τ_d des espèces chimiques dans l'épaisseur h de film liquide et le temps τ_L nécessaire pour que l'eau parcoure la stalactite de la base à la pointe.
II.A.2) Justifier qu'on peut supposer le régime de diffusion stationnaire en comparant τ_d et la durée τ_h nécessaire pour que la stalactite croisse d'une longueur égale à l'épaisseur h_0 du film.
II.A.3) On admet dans cette question que l'allongement de la stalactite équivaut formellement à l'ajout d'un disque de CaCO_3 à sa base. Estimer la masse de CaCO_3 (de masse volumique ρ_(CaCO_3) = 2, 7 kg ⋅ m^(− 3) ) déposée par siècle, puis la masse de calcium correspondante. On donne le rapport des masses molaires M_(Ca)/M_(CaCO_3) = 0, 4.
Si on suppose que la concentration moyenne en ions Ca^(2 +) est de 150mg ⋅ L^(− 1) pour l'eau qui ruisselle sur la stalactite, trouver en ordre de grandeur la proportion d'ions calcium qui précipite. Commenter en liaison avec la présence de stalagmites sous les stalactites.
II.A.4) Compte tenu de la faible épaisseur h du film d'eau, on adopte un modèle de diffusion plane (cf. figure 5): le système est contenu dans un cylindre d'axe Oz et de section droite dS et le nombre n(z) de molécules de CO_2 par unité de volume, est indépendant de x et y. Le carbonate de calcium
Figure 5
solide CaCO_3 occupe le domaine z ≤ 0, l'eau le
domaine 0 ≤ z ≤ h et l'air le domaine z ≥ h. Dans la solution aqueuse, la réaction de précipitation de CaCO_3 engendre une production de CO_2 telle que le nombre de molécules de CO_2 créé dans une tranche d'épaisseur dz pendant une durée dt vaut:
δ^2 N_c = (n_0 − n)/(τ_c)dSdzdt
où τ_c est une durée liée à la cinétique de la réaction de précipitation (en ordre de grandeur τ_c ≈ 10^4 s et n_0 une concentration liée à [Ca^(2 +)] et au pH qu'on peut raisonnablement supposer constante d'après l'étude de la question II.A.2.
Montrer que n(z) est solution de l'équation différentielle :
(∂^2 n)/(∂z^2) − n/(δ^2) = − (n_0)/(δ^2)
et expliciter δ en fonction de τ_c et D et donner son ordre de grandeur.
II.A.5) Exprimer n(z) en fonction de z, δ et de deux constantes d'intégration A et B.
II.A.6) Quelle idée simple traduit la condition aux limites ∂n/∂z = 0 en z = 0 ? Comment se simplifie alors l'expression de n(z) précédente?
II.A.7) Le coefficient de diffusion de CO_2 dans l'air étant très supérieur à sa valeur dans l'eau, on le suppose infini, ce qui conduit à supposer que le nombre de molécules de CO_2 par unité de volume dans l'air est uniforme, égal à sa valeur n_∞ loin de la stalactite. Par ailleurs la condition d'équilibre chimique entre le dioxyde carbone dissous dans l'eau et le dioxyde de carbone présent dans l'air impose la condition aux limites n(z = h_−) = χn(z = h_+)avec χ ≈ 1, 3 à T = 280 K (loi de Henry). En déduire l'expression de n(z) en fonction de n_∞, n_0, χ, h, z et δ.
II.A.8) On suppose que h « δ. Exprimer le vecteur densité de flux de molécules de CO_2 en z = h en limitant les calculs à l'ordre un en h/δ. En utilisant le bilan chimique de la réaction de précipitation donné dans l'introduction du problème, en déduire que le nombre de molécules de CaCO_3 qui se dépose par unité de temps et par unité de surface de stalactite au voisinage d'un point où le film d'eau a pour épaisseur h est de la forme :
(δ^2 N)/(dSdt) = σh et expliciter σ en fonction de n_0, n_∞, χ et τ_c.
II.A.9) La figure 6 donne l'allure des variations de σ en fonction du pH pour une pression partielle en CO_2 dans la grotte égale à 3 ⋅ 10^(− 4) bar. Commenter sachant que le pH de l'eau qui ruisselle est égal à 9 .
II.B - Croissance et forme de la stalactite
On revient à la stalactite réelle, décrite par le profil R(Z). L'étude de la Partie I a montré que l'épaisseur du film d'eau en un point où le rayon de la stalactite vaut R et où son inclinaison par rapport à l'horizontale vaut θ est donnée par l'expression (2) établie en I.B. 3 :
h = l_c^(4/3)(Rsinθ)^(− 1/3)
où l_c est une longueur caractéristique du problème, dépendant notamment du débit de l'eau de ruissellement.
II.B.1) En utilisant les relations (2) et (3), montrer que la vitesse de croissance V_⊥ perpendiculairement à la surface de la stalactite est de la forme: V_⊥ = γ(Rsinθ)^(− 1/3) et exprimer γ en fonction de σ, l_c, du volume molaire v_m du carbonate de calcium et du nombre d'Avogadro 𝒩_a.
II.B.2) L'observation de stalactites conduit à supposer qu'elles tendent vers une forme asymptotique telle que la stalactite grandisse comme si elle se translatait verticalement avec une vitesse caractéristique V_p constante. Exprimer à l'aide d'une figure, la relation très simple entre V_p, V_⊥ et θ qui traduit cette hypothèse.
II.B.3) On suppose désormais que θ ≈ π/2 de telle sorte que sinθ ≈ 1 et cosθ ≈ − dR/dZ. Établir l'équation différentielle dont est solution R(Z). L'intégrer et obtenir le profil Z(R) en prenant R(Z = 0) = R_0.
Tracer l'allure du graphe et commenter.
Partie III - Formation d'un germe de stalactite sur une main courante cylindrique en bois
Un cylindre en bois, horizontal d'axe Ox, de longueur L et de rayon a, est soumis à une pluie verticale (cf. figure 7). Pour simplifier, on ne prend pas en compte le fait que la pluie tombe en gouttes, et on la modélise par un vecteur densité de flux de masse j_m^(→−) = ψ_m e_Z^(→−) uniforme et stationnaire. La température de l'air est T_a inférieure à la température
de fusion de la glace T_f = 273 K sous la pression atmosphérique. La température de l'eau de pluie est T_g > T_f.
On repère un point M de la surface du cylindre par son angle polaire α par rapport à la verticale ascendante. On se place en régime stationnaire et on note T(α) (respectivement D_m(α) ), la température (respectivement le débit massique), de l'eau qui s'écoule à la surface du cylindre. Les gouttes de pluie ne rebondissent pas sur le cylindre et l'eau ne peut quitter le cylindre qu'en α = π.
On néglige l'énergie cinétique et l'énergie potentielle de pesanteur de l'eau. On suppose l'eau incompressible et on note c sa capacité thermique massique. On suppose dans un premier temps que T(α) > T_f en tout point.
III.A - Bilans de masse
On envisage le système ouvert et fixe ( S ) constitué à chaque instant de l'eau s'écoulant sur le cylindre et comprise entre α et α + dα.
III.A.1) On suppose tout d'abord que 0 < α < π/2.
a) Établir l'équation différentielle :
(dD_m)/(dα) = Laψ_m cosα
b) Justifier sommairement que D_m = 0 pour α = 0.
c) En déduire l'expression de D_m en fonction de a, L, ψ_m et α tracer l'allure du graphe de D_m en fonction de α pour 0 < α < π/2.
III.A.2) On suppose désormais que π/2 < α < π. En quoi la situation est-elle différente de celle qui prévalait en III.A. 1 ? Compléter sans nouveaux calculs le graphe de D_m pour π/2 < α < π.
III.A.3) Justifier par ailleurs par un raisonnement global que D_m(α = π) = aLψ_m et vérifier la cohérence avec la question précédente.
III.B - Bilans d'énergie
On envisage toujours le système ouvert et fixe ( S ) constitué à chaque instant de l'eau s'écoulant sur le cylindre et comprise entre α et α + dα et on note H son enthalpie, supposée indépendante du temps (régime stationnaire).
III.B.1) Indiquer sans calculs la valeur de T(α) si on néglige tout transfert thermique de l'eau aussi bien vers l'atmosphère que vers la main courante cylindrique. Dans la suite, on néglige toujours les transferts thermiques entre l'eau et la main courante mais on suppose désormais que l'eau en écoulement sur la main courante, reçoit de la part de l'atmosphère, à travers un élément de surface dS pendant dt, un transfert thermique de la forme δ^2 Q = h^(cc)(T_a − T(α))dSdt où h^(cc) est une constante positive. On admet que l'enthalpie massique de l'eau liquide à la température T s'écrit cT + K et on prend la constante K nulle pour alléger les calculs.
III.B.2) On étudie le cas 0 < α < π/2.
a) On envisage le système fermé ( S^∗ ) constitué de ( S ) et de la masse d'eau qui va y entrer pendant dt soit par ruissellement sur la main courante en α, soit par captation directe de la pluie. Exprimer son enthalpie H^∗(t) en fonction de H, a, L, ψ_m, α, D_m(α), c, T(α) et T_g.
b) À l'instant t + dt, ( S^∗ ) est constitué de ( S ) et de la masse d'eau qui en est sortie pendant dt par ruissellement en α + dα. Exprimer son enthalpie H^∗(t + dt) en fonction de D_m(α + dα), T(α + dα), c, T(α + dα) et H.
c) On pose β = h^(cc)/cψ_m. Établir l'équation différentielle :
d/(dα)((T − T_g)sinα) = β(T_a − T)
d) En α = 0, on a dT/dα = 0; interpréter sommairement. En exploitant (5), exprimer T(α = 0) en fonction de T_a, T_g et β. La figure 8 donne T(α) pour 0 < α < π/2, pour T_a = 272 K, T_g = 274 K et diverses valeurs de β. Vérifier la pertinence de l'expression de T(α = 0).
III.B.3) On se place dans le domaine π/2 < α < π. En opérant comme en III.B.2, on montre (travail non demandé) que T(α) est solution de l'équation différentielle :
(dT)/(dα) + β(T − T_a) = 0.
Figure 8
a) En déduire l'expression de T(α) en posant T(α = π/2) = T(π/2). Tracer l'allure d'un graphe de T(α) pour 0 < α < π en utilisant une des courbes au choix de la figure 8 et en admettant la continuité de dT/dα en θ = π/2.
b) Quel est le point de la main courante le plus propice à la formation de glace ?
c) Indiquer en justifiant brièvement la réponse si l'apparition de glace est favorisée ou défavorisée lorsqu'on remplace la main courante en bois par une main courante en métal.
Figure 9
Partie IV - Croissance d'une stalactite de glace
On schématise la stalactite de glace (cf. figure 9) par un cylindre d'axe vertical, de rayon R(t) et de longueur L(t), accroché en Z = 0 à un support fixe. De l'eau ruisselle avec un débit massique q_0 constant à la base Z = 0 de la stalactite.
L'épaisseur h du film de liquide est uniforme sur la surface de la stalactite. On suppose pour simplifier que toute la stalactite et l'eau de ruissellement sont à la température de fusion T_f, alors que l'atmosphère est à la température T_a < T_f loin de la stalactite. On suppose également que l'eau liquide et la glace ont même masse volumique μ. On donne l'enthalpie massique de fusion de la glace l_F.
IV.A - Modèle conducto-convectif
Dans cette question, on suppose que l'atmosphère fournit pendant une durée dt à travers un élément d'interface air-eau dS une chaleur donnée par la loi de Newton : δ^2 Q = h^(cc)(T_a − T_f)dSdt où h^(cc) est une constante positive donnée et T_a la température de l'atmosphère loin de l'interface stalactite-air. Cette loi
prend en compte de manière phénoménologique le couplage entre la diffusion thermique et la convection au voisinage de l'interface stalactite-air.
IV.A.1) On définit un système fermé constitué à l'instant t de la tranche de stalactite de rayon R(t) comprise entre les cotes Z et Z + dZ et de l'eau liquide qui stagne à sa surface (on peut ici négliger son mouvement). On néglige ici tout phénomène de croissance verticale. À l'instant t + dt, ce système est constitué de la tranche de stalactite de rayon R(t + dt) et de l'eau qui ne s'est pas condensée. Exprimer la variation d'enthalpie de ce système fermé entre les instants t et t + dt.
IV.A.2) Exprimer la chaleur δQ reçue par ce système de la part de l'atmosphère entre les instants t et t + dt.
IV.A.3) En déduire la vitesse de croissance radiale dR/dt en fonction de h^(cc), μ, l_F, T_f et T_a.
IV.A.4) Un raisonnement analogue (non demandé) conduit à une vitesse de croissance axiale dL/dt ayant la même valeur que dR/dt. Évaluer grossièrement à l'aide des clichés (cf. figure 2), le rapport L˙/R˙ du taux de croissance vertical dL/dt sur le taux de croissance radial dR/dt et conclure.
IV.B - Effet de pointe
On modifie le modèle précédent au niveau de la pointe : on suppose les effets conducto-convectifs négligeables devant les effets purement diffusifs, de telle sorte qu'on n'exprime plus la chaleur échangée avec l'atmosphère avec la loi de Newton. On modélise désormais la pointe de la stalactite comme une boule de rayon a et de centre O supposée isolée dans une atmosphère de conductivité thermique λ qui remplit le reste de l'espace. On cherche un champ de température T(r) à symétrie sphérique, solution de l'équation de la diffusion thermique en régime stationnaire à l'extérieur de la boule ( r ≥ a ). On néglige la convection.
IV.B.1) Donner sans justification l'équation aux dérivées partielles dont est solution T(r). Montrer que le potentiel électrique créé par une charge ponctuelle est solution de la même équation. Justifier qu'on peut chercher un champ de température de la forme T(r) = α + β/r.
IV.B.2) Achever la détermination de T(r) avec les conditions aux limites T(r = a) = T_f et T(r = ∞) = T_a.
IV.B.3) En déduire que le flux thermique φ reçu algébriquement par la pointe de la stalactite se met sous la forme φ = G(T_a − T_f) et expliciter G en fonction de λ et a.
IV.B.4) On suppose que le flux thermique reçu algébriquement par la pointe hémisphérique d'une stalactite est en ordre de grandeur égal à la moitié du flux évalué en IV.B.3. En déduire le facteur d'amplification de dL/dt qui en résulte au voisinage de la pointe par rapport à sa valeur obtenue en IV.A avec la loi de Newton en fonction de λ, h et a.
Figure 10
λ = 10^(− 2) W ⋅ K^(− 1) ⋅ m^(− 1) et h^(cc) = 10 W ⋅ K^(− 1) ⋅ m^(− 2),
cet effet vous paraît-il à même de résoudre les difficultés apparues en IV.A. 4 ?
IV.B.5) L'effet de pointe se manifeste aussi en électrostatique : au voisinage d'une pointe, le champ électrique peut atteindre le champ critique E_m permettant l'air de s'ioniser. Quel est l'analogue thermique du champ électrique?
IV.B.6) On observe expérimentalement que la stalactite est «creuse» et remplie d'eau liquide dans sa phase de croissance. Au niveau de la pointe, l'eau se solidifie donc seulement sur un anneau d'épaisseur e « a, à la base de la goutte d'eau liquide hémisphérique (cf. figure 10).
En déduire le nouveau facteur d'amplification de dL/dt en fonction de λ, h^(cc), e et a. Faire l'application numérique pour L˙/R˙ avec les valeurs expérimentales e = 80μ m et a = 5 mm.
Partie V - Ondulations sur la surface des stalactites
On observe très souvent des ondulations sur la surface des stalactites (cf. figure 11) dont la période spatiale Λ est de l'ordre de quelques millimètres.
V.A - Interprétation de l'instabilité
On suppose que la stalactite est ondulée, son rayon R(Z) étant modélisé par une fonction créneau de période Λ et de valeurs extrêmes R_−et R_+(cf. figure 12). L'étude de la Partie I a montré que l'épaisseur du film d'eau en un point où le rayon de la stalactite vaut R est donnée par l'expression :
h = l_c^(4/3)R^(− 1/3)
où l_c est une longueur caractéristique du problème, dépendant notamment du débit de l'eau de ruissellement. On note h_+et h_−les
épaisseurs du film d'eau associées respectivement à R_+et R_−. On suppose la température de l'atmosphère uniforme égale à T_a et celle de la glace uniforme égale à T_f.
V.A.1) On considère une couronne cylindrique de hauteur L, de conductivité thermique λ, comprise entre deux surfaces cylindriques de même axe OZ, de rayons respectifs r_1 et r_2 ( r_1 < r_2 ), maintenues respectivement aux températures constantes T_1 et T_2. Déterminer l'expression de la densité volumique de courant thermique, la diffusion thermique étant radiale. En déduire le flux thermique Φ s'écoulant vers l'extérieur, puis la conductance G = Φ/(T_1 − T_2) en fonction de λ, L, r_1 et r_2.
V.A.2) En déduire la conductance thermique G_−(respectivement G_+) du film d'eau liquide de hauteur Λ/2 et de rayon R_−(resp. R_+) en fonction de R_−(resp. R_+), Λ, λ, l_c.
V.A.3) À l'aide de bilans thermiques analogues à ceux faits dans la Partie IV, on montre (travail non demandé) que le rapport des taux de croissance des rayons vaut :
(dR_+/dt)/(dR_−/dt) = (G_+R_−)/(G_−R_+).
Figure 12
En déduire qu'une irrégularité de la surface initialement faible peut s'amplifier.
V.A.4) La formation d'une interface glace-eau est associée à une énergie potentielle E_p = AS où A > 0 est le coefficient de tension superficielle et S l'aire de l'interface. Justifier que la prise en compte de cette énergie potentielle
modère l'effet d'origine thermique décrit en V.A.3. Cette modération est-elle plus efficace pour les grandes ou les petites valeurs de Λ ?
V.B - Période spatiale des ondulations
V.B.1) → L'analyse précédente suppose qu'il n'y a pas de conduction thermique selon e_Z^(→−), ce qui est inexact. Du fait du mouvement de l'eau, l'équation dont est solution le champ de température s'écrit :
D_(th)ΔT = (∂T)/(∂t) + v⃗ ⋅ grad^(→−)T
où D_(th) = 10^(− 7) m^2 ⋅ s^(− 1) est la diffusivité de l'eau liquide. Interpréter sans calculs la forme du membre de droite de l'équation (6). Dans la suite, on néglige le terme ∂T/∂t.
V.B.2) Par une simple analyse en ordre de grandeur de l'équation (6), exprimer la période spatiale Λ des ondulations en fonction de la vitesse moyenne u_m de l'écoulement, de son épaisseur h_0 et de D_(th).
V.B.3) L'article de Furukawa et Ogawa publié dans Physical Review E 66,041202 (2002) montre qu'une résolution effective de l'équation (6) ne modifie l'expression de Λ que par un facteur multiplicatif supplémentaire égal à 2,2 .
En déduire la valeur numérique de Λ avec h_0 = 0, 1 mm et u_m = 3 ⋅ 10^(− 2) m ⋅ s^(− 1). Conclure.
Questions fréquentes
4 questions
Sur quoi porte le sujet de Physique II Centrale PC 2009 ?
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Le sujet porte sur la formation des stalactites, du ruissellement de l'eau à la diffusion du dioxyde de carbone, jusqu'à la croissance de stalactites de calcaire et de glace.
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de l'eau de ruissellement.
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