Centrale Physique 2 PC 2008Sujet, corrigé et rapport du jury

Calculatrices autorisées.

La mesure du débit massique d'un écoulement est une opération très courante dans l'industrie. Les débitmètres à effet Coriolis, utilisés depuis le début des années 1980 prennent aujourd'hui de plus en plus d'importance en raison de leurs atouts considérables. Le problème comporte quatre parties largement indépendantes. La première partie constitue un préliminaire traité dans le cadre de la mécanique du point. Les notions qui y sont développées sont reprises dans la deuxième partie qui développe le principe physique de base d'un débitmètre à effet Coriolis. La troisième partie est consacrée à l'étude d'un capteur de vitesse, élément essentiel de ce type de débitmètre. La quatrième partie enfin est l'étude du module électronique permettant de traiter les signaux issus des capteurs de vitesse.

On s'intéresse dans cette étude à la force exercée par une particule sur un tube en rotation dans lequel elle se déplace.
On note (R) le référentiel galiléen du laboratoire et (O, u⃗_x, u⃗_y, u⃗_z) un repère cartésien de ce référentiel, défini de sorte que u⃗_z soit vertical ascendant. On note g⃗ = − gu⃗_z le champ de pesanteur. On considère un tube en mouvement de rotation dans un plan horizontal autour de l'axe fixe Oz (figure 1). On note ( R^′ ) le référentiel du tube et ( O, u⃗_X, u⃗_Y, u⃗_Z ) un repère cartésien de ce référentiel défini de sorte que u⃗_X soit parallèle à l'axe du tube et u⃗_Z = u⃗_Z. Soit θ(t) l'angle entre les axes Ox et OX.

Une bille M, assimilée à un point matériel de masse m de coordonnées ( X, 0, 0 ) dans le repère ( O, u⃗_X, u⃗_Y, u⃗_Z ), se déplace sans frottements à l'intérieur du tube à la vitesse v⃗^′ = v^′ u⃗_X uniforme dans (R^′). On notera F⃗ = F(t)u⃗_X la force qui permet de maintenir la vitesse v⃗^′ constante dans (R^′) (cette force est générée par un dispositif annexe dont on ne s'occupe pas ici.On notera Ω⃗ = Ωu⃗_z, avec Ω = dθ(t)/dt, le vecteur rotation instantané du mouvement de ( R^′ ) par rapport à ( R ). Pour l'ensemble des questions de cette partie, on suppose Ω constant. On considérera qu'à l'instant origine t = 0, θ(0) = 0 et X(0) = 0.
I.A - Établir dans la base ( u⃗_X, u⃗_Y, u⃗_Z ), en fonction de v^′, Ω et t, les expressions des accélérations d'entraînement et de Coriolis de M intervenant dans le changement de référentiel de ( R ) vers ( R^′ ).

I.B - On étudie ici les forces d'interaction entre le tube ( T ) et la bille M.
I.B.1) En appliquant la loi fondamentale de la dynamique du point matériel dans ( R '), établir l'expression dans la base( u⃗_X, u⃗_Y, u⃗_Z ) de la force R⃗_(T → M) que le tube exerce sur la bille M, en fonction de m, g, v^′ et Ω.
I.B.2) En déduire l'expression de la force R⃗_(M → T) que la bille exerce sur le tube.

Un débitmètre à effet Coriolis est constitué d'un tube parcouru par l'écoulement dont on désire mesurer le débit massique, maintenu en vibration par un système excitateur. Des capteurs de vitesse permettent de suivre les vitesses de deux points particuliers du tube afin de pouvoir, grâce à un module électronique approprié, en mesurer le déphasage. Il existe plusieurs géométries de tube (tube rectiligne, tube en U, … ). Tout d'abord, afin de dégager le principe physique de base d'un débitmètre à effet Coriolis, nous étudierons le cas limite d'un tube rectiligne sans raideur fixé à ses extrémités et oscillant à la manière d'une corde vibrante. Ensuite nous analyserons dans la partie II.D le cas d'un tube en U rigide. Cette dernière partie est indépendante des parties précédentes.

Le repère cartésien (O, u⃗_x, u⃗_y, u⃗_z) du référentiel galiléen ( R ) du laboratoire est défini de sorte que ( O, u⃗_z ) soit vertical ascendant. Un tube OD de section intérieure s que nous assimilerons à un fil de longueur L, de masse linéique μ, de raideur négligeable (tube de caoutchouc par

exemple) est maintenu fixe à ses deux extrémités O et D. Le déplacement vertical d'un point M du tube, d'ordonnée y, est noté z(y, t). Un dispositif excitateur (non décrit) impose au point milieu B de ce tube un déplacement transversal vertical z_B = Z_0 cos(2πft) de faible amplitude Z_0. Des capteurs de vitesse, dont l'étude fera l'objet de la partie III permettent d'enregistrer les vitesses des points A et C d'ordonnées respectives y = L/4 et y = 3L/4. Les hypothèses du modèle développé sont les suivantes:

On considère le tronçon de tube infinitésimal compris entre les ordonnées y et y + dy. On note dl⃗ sa longueur à une date quelconque ; T(y, t) et T(y + dy, t) les modules des tensions T⃗_g et T⃗_d exercées dessus par les parties du tube respectivement situées à sa gauche et à sa droite.
II.A.1) Montrer que l'hypothèse H − II − 1 conduit à négliger les forces de pesanteur.
II.A.2) Établir deux équations différentielles liant au premier ordre z(y, t), α(y, t) et T(y, t). On indiquera explicitement la prise en compte des hypothèses du modèle.
II.A.3) En déduire une équation différentielle du deuxième ordre aux dérivées partielles de la fonction z(y, t). Nous noterons ( E1 ) cette équation.
II.A.4) Quel nom porte cette équation ? Expliquer en quelques mots en quoi elle constitue une équation de propagation des ébranlements transversaux le long du tube. Donner l'expression de la célérité c des ondes le long du tube.
II.A.5) On s'intéresse aux solutions de ( E1 ) de la forme

a) Quelle est la signification physique de ces solutions ?
b) Montrer que f(y) et g(t) sont des fonctions sinusoïdales dont on notera respectivement k et ω les pulsations spatiale et temporelle.
c) Montrer que k et ω appartiennent à deux suites de valeurs que l'on déterminera.

On rappelle que dans la suite le tube en vibration est le siège d'un écoulement parfait et incompressible de débit massique D_m d'un fluide de masse volumique ρ.

On considère l'élément infinitésimal de tube compris entre les ordonnées y et y + dy. On définit la particule fluide limitée par la surface de ce tronçon et ses sections droites (figure 3). On note :

L' écoulement est supposé stationnaire dans ( R^′ ). On y note D_m son débit massique, v⃗(M) = v(M)u⃗_Y sa vitesse en M et P(Y) la pression au niveau de la section d'ordonnée Y.
II.B.1) Justifier que ‖v(M)^(→−)‖ peut-être considéré uniforme.
II.B.2) Que peut-on dire de la direction de dF⃗_(T → F) dans le cadre de l'hypothèse de l'écoulement parfait?
II.B.3) Faire un bilan complet des forces s'exerçant dans ( R^′ ) sur la particule fluide considérée.
On peut établir que les accélérations d'entraînement et de Coriolis en M dans le changement de référentiel qui permet de passer du référentiel ( R ) au référentiel ( R ') valent respectivement:

où v⃗_(R^′) est la vitesse du point dont on étudie le mouvement dans ( R^′ ). Dans la suite on utilisera ces expressions sans chercher à les établir.
II.B.4) Exprimer les forces d'inertie d'entraînement et de Coriolis, respectivement notées dF⃗_(ie) et dF⃗_(ic), subies dans ( R^′ ) par la particule fluide.
II.B.5) On note dp⃗ la quantité de mouvement dans ( R^′ ) du système ouvert constitué du fluide intérieur à la portion de tube considérée et dp⃗^∗ celle du système fermé coïncidant à la date t avec le système ouvert précédent. Déduire d'un bilan de quantité de mouvement la variation temporelle de dp⃗^∗ dans ( R^′ ), entre t et t + dt, et montrer qu'elle conduit au premier ordre en α à l'expression :

II.B.6) Établir l'expression de la force exercée par la particule fluide sur le tube. Montrer qu'elle peut se mettre, au premier ordre en α, sous la forme :

II.B.7) Analyse physique du résultat (aucun calcul, aucune formule ne sont ici demandés).
a) Préciser l'origine des différents termes de dF⃗_F → T.
b) Pour comprendre l'origine du troisième terme on peut considérer un élément du tube à la date t. Cet élément pivote dans le référentiel ( R ) entre les dates t et t + dt (figure 4).
En analysant physiquement le comportement dans (R) des molécules du fluide, entre ces deux dates, justifier l'existence dans (2) du troisième terme de dF⃗_(F → T).

On reprend dans cette partie l'étude des vibrations du tube sans raideur faite en II.A en considérant maintenant qu'il est le siège de l'écoulement envisagé en II.B. L'hypothèse H − II − 1 est notamment étendue au tube au repos parcouru par l'écoulement du fluide.
II.C.1) Montrer que ce dernier point concernant l'hypothèse H − II − 1 permet de négliger un des termes de l'expression de dF⃗F → T.
II.C.2) Reprendre la question II.A. 2 en appliquant le théorème de la résultante cinétique à l'élément de tube compris au repos entre les ordonnées y et y + dy, à l'exclusion de la particule fluide qu'il contient et dont l'étude a fait l'objet du II.B. En déduire, qu'au premier ordre, z(y, t) obéit à une équation différentielle de la forme :

Où K_1 et K_2 sont des coefficients positifs. On exprimera K_1 en fonction de μ, T_0, ρ, s, v, D_m et K_2 en fonction de T_0, v et D_m.
II.C.3) Le tube étant maintenu en vibration tel qu'indiqué dans la description du dispositif, on étudie le régime forcé. À cette fin on utilise la notation complexe et, en posant ω = 2πf, on s'intéresse aux solutions de la forme z_–(y, t) = G(y)exp(jωt) où G(y) est une fonction de y à valeurs complexes.
a) Établir l'équation différentielle, que l'on notera (4), satisfaite par G(y).

On montre que la résolution de l'équation (4) dans le corps des complexes conduit à une solution générale de la forme :

où A et B sont des constantes d'intégration appartenant à ℂ. On ne demande pas d'établir cette expression.
b) Établir les expressions ω_n des pulsations propres en fonction de K_1, K_2, L et D_m et montrer que les solutions physiquement acceptables de (4) sont de la forme :

II.C.4) Analyse physique de la situation Dm = 0.

La situation envisagée dans cette question est la suivante : le fluide est présent dans le tube mais ne s'y écoule pas; la tension T_0 du tube est choisie de façon à observer le premier mode propre à la fréquence f du vibreur qui impose au point milieu B du tube son déplacement z_B = Z_0 cos(2πft).
a) Montrer, en commentant la forme que prend l'équation (3) dans ce cas, que l'expression de K_1 peut directement se déduire à l'étude faite en II.A.
b) Calculer la valeur numérique à donner à T_0 pour observer le premier mode propre à la fréquence f = 80 Hz.
c) Établir l'expression de la cote z(y, t) d'un point quelconque du tube. Puis représenter dans un même système d'axes l'allure de ce tube à différentes dates, en indiquant claire-
ment la courbe correspondant à chaque cas envisagé. On prendra: t = 0, t ∈ ]0, T/4[, t = T/4, t ∈ ]T/4, T/2[, t = T/2, t ∈ ]T/2, 3T/4[, T = 3T/4, t ∈ ]3 T/4, T[.
d) Quelle remarque peut-on faire concernant les mouvements de deux points symétriques par rapport au point B ?
On reprend l'étude générale pour laquelle D_m est non nul. La tension T_0 du tube est alors automatiquement adaptée par un dispositif d'asservissement non décrit, de sorte que l'on observe toujours le premier mode propre à la fréquence f du vibreur.
II.C.5) Montrer que dans ces conditions la fonction z(y, t) qui traduit l'état vibratoire du tube est de la forme :

On établira l'expression du coefficient K en fonction de f, K_2 et D_m.
II.C.6) Analyse physique de la situation D_m non nul.
a) Que peut-on remarquer concernant les mouvements des points du tube situés entre
O et B d'une part, entre B et D d'autre part, lorsqu'on compare la situation D_m ≠ 0 à la situation D_m = 0 ?
b) Faire deux figures superposant chacune les allures du tube pour D_m = 0 (représentée en pointillés) et pour D_m ≠ 0 (représentée en trait plein), l'une pour une date comprise entre 0 et T/4, l'autre pour une date comprise entre 3T/4 et T. On tiendra compte du fait que le terme K(y − L/2) dans l'expression de z(y, t) reste faible pour les débits envisagés.
c) Sur les deux figures précédentes, représenter, sans faire de calcul, pour chaque demipartie du tube, la force qui est à l'origine des déformations par rapport au cas D_m = 0, en justifiant qualitativement sa direction et son sens à l'aide de la question II.B.4. Représenter également le vecteur vitesse de rotation.
II.C.7) On s'intéresse aux points A et C du tube, d'ordonnées respectives y = L/4 et y = 3L/4.
a) Calculer numériquement l'amplitude Z_1 de leurs mouvements.
b) Exprimer le déphasage φ = φ_C − φ_A du mouvement de C sur celui de A en fonction de f, L, K_2 et D_m.
Si D_m reste inférieur à 0, 45 kg.s^(− 1), on peut considérer K_2 comme indépendant du débit, à 1% près. On peut alors adopter l'expression approchée correspondante :

On ne demande pas d'établir cette relation.
c) Montrer que dans ces conditions φ peut-être considéré proportionnel à D_m et calculer numériquement le coefficient de proportionnalité.

Cette partie fait exclusivement appel aux capacités d'analyse et de compréhension du candidat, aucune mise en équation ne lui est demandée. Celui-ci devra argumenter ses réponses de façon synthétique, en quelques lignes, en s'aidant de schémas clairs et en exploitant qualitativement l'étude du phénomène faite en II.B et II.C.
Un autre type de débitmètre à effet Coriolis est représenté sur la figure 5 . Il est constitué d'un tube métallique en U solidaire d'un bâti fixe AF et parcouru par l'écoulement dont on veut mesurer le débit massique. Le fluide y entre en A et en sort en F. Un vibreur placé au point I, milieu de la branche CD impose à ce tube un mouvement de «rotation» sinusoïdal autour de l'axe vertical ascendant z^′ z, de fréquence f = 80 Hz et de faible amplitude (l'amplitude du point I est de l'ordre de 1 mm ). Oxy est un plan horizontal. OX est un axe lié au tube et parallèle à ses branches AC et FD. Au repos les axes OX et Ox sont confondus. L'angle θ(t) que fait OX avec l'axe Ox dans le plan horizontal Oxy est de la forme: θ(t) = θ_0 cos(2πft). Deux capteurs de vitesse placés en B et E permettent d'enregistrer les vitesses de ces points.
II.D.1) Que peut-on dire des mouvements des points B et E en absence d'écoulement?
II.D.2) Quels sont la direction et le sens des forces exercées par le fluide sur les branches AC et FD du tube et ayant pour origine la force de Coriolis ? (On examinera deux cas, l'un correspondant à un sens de rotation positif, l'autre à un sens de rotation négatif).
II.D.3) Décrire en quelques lignes l'idée que vous vous faites du mouvement de la branche CD du tube lorsque celui-ci est parcouru par un écoulement.
II.D.4) Que peut-on raisonnablement penser des mouvements des points B et E dans ces conditions?
II.D.5) Les capteurs de vitesse utilisés sont composés de deux pièces en mouvement l'une par rapport à l'autre et élaborent une tension électrique proportionnelle à la vitesse relative de ces deux pièces. Dans le modèle précédent, pour chaque capteur, une des pièces est fixe, l'autre est liée au tube, respectivement en B et E.
Pour améliorer les performances du débitmètre en U le constructeur propose un autre modèle composé de deux tubes parallèles parcourus dans le même sens par l'écoulement et dans lesquels celui-ci se répartit par

moitié (figure 6). En ce qui concerne chaque capteur de

vitesse, une pièce est fixée à chacun des tubes.

Comment, selon vous, doit-on faire vibrer les tubes pour que ce modèle présente un avantage par rapport au précédent? Justifier votre réponse en faisant un schéma sur lequel vous indiquerez la direction et le sens des forces exercées par le fluide sur les différentes branches du dispositif et ayant pour origine la force de Coriolis.

Les capteurs de vitesse utilisés sont constitués de deux pièces. La première est une bobine de N spires, solidaire du tube et connectée à un module électronique d'impédance d'entrée

infinie qui sera étudié dans la partie IV. La seconde est un petit aimant droit cylindrique. Dans le cas du débitmètre étudié dans la partie II cet aimant est fixe.
Les axes de l'aimant et du solénoïde sont confondus. Lorsque le tube vibre la bobine est animée d'un mouvement de translation parallèle à son axe. L'objet de cette partie est la compréhension et la modélisation d'un tel capteur. Aucune connaissance sur les aimants permanents n'est nécessaire.

La bobine est modélisée comme une bobine plate constituée d'un ensemble de N spires circulaires occupant la même position de l'espace, de rayon R^′ à peine supérieur au rayon R de l'aimant. Dans les applications numériques on prendra N = 100 et R^′ = R = 2, 0 mm. La position de la bobine est repérée par la cote z(t) de son centre O^′ comptée à partir du centre O de l'aimant (figure 7). Lorsque le tube du débitmètre vibre, z(t) est de la forme : z(t) = d + z_0 cos(2πft + ψ).
III.A.1) La figure 7 représente l'allure des lignes du champ magnétique de l'aimant au voisinage de la bobine. Les spires de celle-ci sont orientées de sorte que leur normale soit dans le sens de l'axe Oz. On note φ le flux au travers de la bobine,

supposée électriquement refermée sur elle-même, du champ magnétique crée par l'aimant. En utilisant une propriété fondamentale du champ magnétique, montrer que ce flux est fonction de z.
III.A.2) Lorsque le tube du débitmètre vibre on observe une tension u_(PQ) = V_P − V_Q aux bornes de la bobine. Justifier physiquement l'apparition de cette tension.
III.A.3) Un tronçon filiforme de conducteur ohmique, de conductivité σ, de résistance R, est plongé dans un champ magnétique non stationnaire. On note u la tension à ses bornes et i l'intensité du courant qui y circule

(figure 8).
a) Définir l'approximation des régimes quasi-stationnaires et préciser, en régime harmonique, son domaine de validité.
b) Établir la relation entre u et i dans le cadre de l'approximation des régimes quasistationnaires en introduisant la notion de force électromotrice induite.
III.A.4) Montrer, en utilisant une loi physique dont on citera le nom, que la tension aux bornes de la bobine peut s'exprimer, en première approximation, à l'aide de φ. On précisera la nature de l'approximation faite.
III.A.5) Établir la relation entre cette tension observée aux bornes de la bobine et la vitesse de O^′.

L'aimant a la forme d'un cylindre de longueur l = 1, 0 cm et de rayon R = 2, 0 mm. Son champ magnétique présente une structure analogue à celui d'un solénoïde à spires jointives de mêmes dimen-

sions comportant n spires par unité de longueur, parcourues par un courant d'intensité I. On rappelle l'expression du champ magnétique créé par un solénoïde à spires jointives en un point M de son axe :

Dans le cas d'un aimant cylindrique on peut reconduire cette expression en remplaçant le produit nI par un coefficient M caractéristique de l'aimantation du matériau le constituant. On prendra pour l'aimant utilisé M = 5, 4 ⋅ 10^5 A ⋅ m^(− 1).
III.B.1) Calculer numériquement la valeur du champ magnétique créé par l'aimant au niveau de son extrémité de cote l/2. En évoquant des ordres de grandeur, montrer l'intérêt qu'il y a à utiliser un aimant permanent plutôt qu'une bobine parcourue par un courant.
III.B.2) On note z la cote d'un point M de l'axe Oz de l'aimant, comptée à partir de son centre O et B⃗(M) = B(z)u⃗_z le champ magnétique créé par l'aimant en ce point. Établir l'expression de la fonction B(z).
III.B.3) La figure 10 fournit la courbe représentative sur l'intervalle [0 mm; 10 mm], de la fonction :

En vous aidant de cette courbe et en justifiant votre réponse préciser la valeur du paramètre d, défini en III.A, qui correspond à une réponse maximale du capteur lorsque le tube du débitmètre vibre.

On repère un point M de l'espace par ses coordonnées ( r, θ, z ) dans la base cylindrique (u⃗_r, u⃗_θ, u⃗_z). On admet que le champ magnétique créé par l'aimant en ce point est de la forme :

On admet qu'au deuxième ordre en r, au voisinage de l'axe Oz, B_z(r, z) peut s'écrire:

On rappelle que la bobine du capteur est modélisée comme un ensemble de N = 100 spires circulaires de rayon R occupant la même position de l'espace ; cette position est repérée par la cote z du centre O^′ des spires comptée à partir du centre O de l'aimant.
La figure 11 fournit, sur l'intervalle [ 0 mm; 10 mm ], la courbe représentant la fonction :

où f(z) est la fonction définie en III.B. 3 et f^(′′)(z) sa dérivée seconde.
III.C.1) Établir une expression littérale approchée du flux magnétique φ au travers de la bobine en fonction de B(z) et de sa dérivée seconde.
III.C.2) L'amplitude des mouvements de la bobine lorsque le débitmètre est en fonction étant de l'ordre de 0, 7 mm, montrer, en utilisant la courbe de la figure 11, que le flux du champ magnétique de l'aimant au travers de la bobine peut-être considéré comme fonction affine de z dont on calculera numériquement la pente.
On peut remarquer ici que le fait de légèrement sortir du domaine linéaire aurait pour conséquence de déformer le signal élaboré par le capteur sans en modifier la période.
III.C.3) En déduire que la tension aux bornes de la bobine est proportionnelle à la vitesse v(y, t)du point du tube du débitmètre auquel la bobine du capteur est fixée. Calculer
numériquement ce coefficient de proportionnalité.
III.C.4) Calculer numériquement l'amplitude U_0 des tensions fournies par les capteurs fixés aux points A et C du débitmètre étudié dans la deuxième partie.
III.C.5) Analyse critique.

En fait la valeur du coefficient de proportionnalité calculé en III.C. 3 n'est qu'approchée.
a) Pouvez-vous en donner les deux raisons principales? En exposant brièvement vos arguments préciser si selon vous le coefficient calculé est sous-évalué ou au contraire surévalué?
b) Est-il par ailleurs nécessaire, pour l'utilisation que l'on fait des capteurs de vitesse dans le débitmètre à effet Coriolis de connaître ce coefficient de proportionnalité avec exactitude?
Malgré son caractère approché l'étude précédente a le mérite de permettre la compréhension du fonctionnement du capteur et de permettre son dimensionnement (ordre de grandeur de ses différentes caractéristiques géométriques et magnétiques).

La partie IV.A correspond à l'étude du filtrage des signaux provenant des capteurs étudiés dans la partie III et placés aux points A et C (partie II). Deux méthodes de mesure du déphasage entre les deux signaux sont ensuite successivement étudiées dans les parties IV.B et IV.C. Ces diverses parties sont largement indépendantes. On se place en régime sinusoïdal forcé pour les parties IV.A et IV.B. Tous les amplificateurs opérationnels utilisés sont idéaux et de gain infini.

On rappelle que les signaux issus des deux capteurs de vitesse étudiés dans la partie III sont théoriquement des sinusoïdes déphasées d'un angle φ proportionnel au débit massique que l'on cherche à mesurer. On constate en fait expérimentalement que le signal est brouillé par des signaux de fréquences différentes.

IV.A.1) Donner une origine possible pour des signaux de fréquence inférieure à f et une autre pour des signaux de fréquence supérieure à f(f = 80 Hz).
IV.A.2) Quel type de filtrage peut-on envisager pour réduire l'amplitude de ces signaux parasites?

On s'intéresse à un filtre de Sallen Key (figure 12) composé de 4 dipôles (1), (2), (3) et (4) d'admittances complexes respectives Y_1, Y_2, Y_3 et Y_4 et de deux résistors de résistances r et (k − 1)r où k est un réel

positif tel que 1 < k < 5. L'amplificateur opérationnel est en fonctionnement linéaire.
La fonction de transfert s'écrit alors sous la forme (calcul non demandé) :

Pour toute la suite, les composants (1) et (2) sont des résistors identiques de résistance R, (3) est un condensateur de capacité C et (4) est constitué d'un résistor de résistance R en parallèle avec un condensateur de capacité C.
IV.A.3) Déterminer la nature du filtre en prévoyant, sans calculs, les comportements asymptotiques à haute fréquence et à basse fréquence.
IV.A.4) La fonction de transfert peut se mettre sous la forme :

Établir les expressions de ω_0, G_0 et Q en fonction de k, R et C. À quelles caractéristiques du filtre correspondent ces grandeurs?
IV.A.5) Déduire de l'expression de H_–(jω) l'équation différentielle qui relie u_e(t) à u_s(t). A quelle condition sur k ce filtre est-il stable?
IV.A.6) La figure 13 ci-après (page suivante) correspond au diagramme de Bode pour une valeur de Q donnée. En exploitant graphiquement ce diagramme, donner l'expression du signal de sortie pour chacun des trois signaux suivants : u_(e1)(t) = Ecos(100πt), u_(e2)(t) = Ecos(160πt) et u_(e3)(t) = Ecos(200πt).

Commenter les résultats obtenus.

IV.A.7) On remarque que l'intensité i_e(t) (voir figure 12) est non nulle. Est-ce en accord avec la description faite au début de la partie III du module de traitement électronique du signal ? Si non, comment peut-on très simplement modifier l'entrée du filtre étudié ici pour y remédier?
Dans la suite on s'intéresse successivement à deux méthodes de mesure du déphasage entre les signaux sinusoïdaux u(t) = Ucos(2πft) et u^′(t) = U^′ cos(2πft + φ) avec f = 80 Hz.

On utilise un oscilloscope pour visualiser les signaux u(t) et u^′(t).
IV.B.1) Quel couplage d'entrée ( AC ou DC ) de l'oscilloscope doit-on choisir? Pourquoi?
IV.B.2) On obtient l'oscillogramme ci-après (figure 14). On suppose que les déclenchements des deux signaux sont synchrones. Déduire de l'oscillogramme le déphasage φ entre les deux signaux. Lequel des deux signaux est en avance de phase sur l'autre?
IV.B.3) Préciser, en justifiant la réponse comment choisir les sensibilités verticales pour améliorer la précision de la mesure du déphasage entre les deux courbes?

Pour de nombreux débitmètres conçus dans les années 1980 le déphasage est en fait mesuré selon le principe développé dans cette partie.

Le montage étudié, représenté figure 15, est décomposé en blocs notés « A », « B », « C » et « D ». Les blocs de type « C » font intervenir une diode Zener «idéale» à propos de laquelle aucune connaissance préalable n'est nécessaire. On considère que le régime permanent est atteint. Les amplificateurs opérationnels des blocs « A » fonctionnent en régime saturé et ceux des blocs « B » en régime linéaire.
Les signaux sinusoïdaux u(t) et u^′(t) de période T sont transformés en signaux u_B(t) et u^′_B(t) composés d'impulsions déphasées. Les blocs « C » et « D » permettent de construire à partir de ces impulsions un signal dont on peut tirer le déphasage entre u(t) et u^′(t). Les impédances d'entrée des entrées E et E^′ du bloc « D » sont considérées infinies. Les «impulsions» seront considérées ici comme des signaux rectangulaires de largeur temporelle Δt très faible devant T et de hauteur algébrique V (voir figure 16). Toutes les impulsions intervenant dans ce problème sont telles que |V| ≥ 5 V.
IV.C.1) Étude des blocs « A »
a) Représenter la caractéristique de transfert statique u_s(ε) d'un amplificateur opérationnel idéal de gain infini (cf. figure 17).
b) Justifier que le montage de la figure 18 s'appelle «comparateur à zéro». On supposera pour la suite du problème que les résultats obtenus dans cette question en régime statique restent valables pour un signal sinusoïdal.
c) On considère le bloc « A » en entrée duquel on injecte le signal sinusoïdal u = Ucos(2πft).

On note Δt la durée du basculement de la sortie de l'amplificateur opérationnel d'un état de saturation à l'autre. Tracer sur deux périodes la courbe représentative du signal u_A(t). On indiquera soigneusement sur l'axe des temps les dates t_1, t_2, …t_8 entre lesquelles la sortie de l'amplificateur opérationnel se trouve