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E3A Physique PC 2008Sujet, corrigé et rapport du jury

Pas encore noté
  • Diffusion thermique : loi de Fourier, résistance thermique en régime permanent
  • Thermodynamique des systèmes ouverts : bilans d'énergie sur un fluide en écoulement
  • Mécanique des fluides visqueux : écoulement de Poiseuille, débit
  • Induction électromagnétique : inductance mutuelle, courants de Foucault
  • Électromagnétisme : symétries du champ magnétique, épaisseur de peau
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Annales E3A PC PhysiqueE3A PC 2008PC PhysiquePhysique 2008

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Présentation du sujet

Difficile
Échangeur thermique à fluide caloporteur : transferts thermiques, régulation par contrôle de débit et contrôle par courants de Foucault
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Épreuve de physique de quatre heures en filière PC, construite autour des échangeurs thermiques à fluide caloporteur. Le problème comporte trois parties indépendantes : conduction thermique à travers un tube et bilans sur un fluide en écoulement, régulation de la température d'une pièce par le débit d'eau chaude, puis contrôle non destructif des tubes par courants de Foucault.

  1. 1Partie I : échanges thermiques à travers un tube cylindriqueLoi de Fourier et conductance thermique d'un tube, premier principe appliqué à une portion de fluide en écoulement, thermalisation du fluide et chauffage d'une pièce.
  2. 2Partie II : contrôle du débit de fluideÉcoulement visqueux entre deux plans, conductance hydraulique et analogie électrocinétique, rétrécissement de section, vanne thermostatique à gaz de contrôle et stabilisation en température.
  3. 3Partie III : contrôle non destructif des tubes métalliques par courants de FoucaultCourants induits dans le tube par une bobine excitatrice, champ magnétique créé par ces courants, épaisseur de peau et impédance apparente de la bobine.

Difficile. Le jury indique que l'épreuve n'a pas été très bien réussie, que les calculs sont restés insurmontables pour la plupart des candidats et la moyenne s'établit à 8,70 sur 20.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 8,7 / 20 · écart-type 4,08 · où vous situez-vous ?
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Moyenne
8,7/ 20
Écart-type
4,08
moyenne 8,705101520
Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : rapport du jury. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées
Bilans sans système ni instants précisés · Enthalpie et énergie interne confondues · Justifier par la seule analyse dimensionnelle
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Le sujet mobilise surtout le programme de deuxième année, avec quelques notions de première année, et sa difficulté est progressive. Le jury juge l'épreuve peu réussie : le manque de rigueur mathématique bloque de nombreux candidats, les bilans thermiques sont mal posés et les applications numériques sont souvent négligées. Des points de bonification, environ 10 % du barème, récompensaient les séquences de questions traitées de façon cohérente.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Bilans sans système ni instants précisésPartie I, 1d, 3c, 4a

    Les bilans thermiques, nombreux dans le sujet, ne valent rien si le système étudié et les instants initial et final ne sont pas définis. Les signes des échanges thermiques sont rarement justifiés.

    « un bilan n’a de sens que si l’on spécifie avec soin le système étudié et les instants initiaux et finaux de la transformation »
  2. 2
    Enthalpie et énergie interne confonduesPartie I, 2b

    La question de cours sur le premier principe pour un fluide en écoulement, pourtant guidée, est mal traitée. Les capacités thermiques à volume et à pression constants sont aussi confondues.

    « plus de 80% des candidats confondent l’enthalpie et l’énergie interne »
  3. 3
    Justifier par la seule analyse dimensionnellePartie I, 3d

    La longueur caractéristique est souvent trouvée mais justifiée uniquement par l'homogénéité. Le jury rappelle qu'une expression homogène peut être fausse.

  4. 4
    Association de conductances hydrauliquesPartie II, 3a, 3b

    Les portions de conduite sont en série : ce sont les résistances hydrauliques qui s'ajoutent, pas les conductances. Le développement limité qui suit est très rarement correct.

    « Beaucoup ajoutent les conductances de chaque section sans réaliser qu’il s’agit d’une association en série »
  5. 5
    Symétries et épaisseur de peauPartie III, 1a, 3g

    Raisonner seulement sur les plans de symétrie suffit sur l'axe mais pas en dehors. La fréquence optimale du contrôle, liée à l'épaisseur du tube, n'a été trouvée par personne.

    « La fréquence optimale, qui est celle où la profondeur de peau correspond à l’épaisseur du tube, n’a jamais été trouvée. »
  6. 6
    Applications numériques bâclées

    L'énoncé imposait deux chiffres significatifs, faute de quoi le résultat n'était pas compté. Cette consigne est peu respectée.

    « Le nombre de chiffres significatifs, pourtant imposé explicitement en préambule n'est respecté qu'une fois sur trois. »

Ce qui a été bien réussi

  • La loi de Fourier est connue et les premières questions de la partie I (1a à 1c) sont bien traitées.
  • Les questions 3 et 4b, 4c de la partie I sont assez bien traitées dans l'ensemble.
  • En partie II, les questions 1a à 1c et 2 sont bien traitées, et quelques bonnes copies expliquent clairement le principe de la vanne thermostatique (4d).
  • En partie III, les résultats de la question 1a sont bien connus et presque tous les candidats reconnaissent l'épaisseur de peau en 2b.

Conseils du jury

  • Apprendre le cours de façon exigeante : comprendre le sens concret des formules et leur domaine d'application.
  • S'entraîner pendant l'année aux questions qualitatives, très valorisées dans le barème.
  • Travailler le calcul en résolvant soi-même les exercices plutôt qu'en lisant des corrigés, et mener les calculs jusqu'au bout.
  • Traiter des séquences complètes et cohérentes de questions plutôt que des questions éparses.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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CONCOURS ENSAM - ESTP - ARCHIMEDE

Épreuve de Physique PC

Durée 4 h

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

L'usage de calculatrices est autorisé.

Echangeur thermique à fluide caloporteur

Le problème comprend trois parties qui s'intéressent à divers aspects des échangeurs thermiques à fluide caloporteur. La première partie concerne les transferts thermiques entre le milieu extérieur et un fluide s'écoulant dans une conduite. La seconde partie est consacrée à l'étude simplifiée d'un système de régulation thermique par contrôle de débit. La troisième partie, presque totalement indépendante des deux autres, décrit une technique électromagnétique de contrôle non destructif des tubes métalliques, couramment utilisée pour contrôler les échangeurs thermiques.
Remarques préliminaires importantes : il est rappelé aux candidat(e)s que
  • les explications des phénomènes étudiés interviennent dans la notation au même titre que les développements analytiques et les applications numériques ;
  • tout au long de l'énoncé, les paragraphes en italique ont pour objet d'aider à la compréhension du problème ;
  • tout résultat fourni dans l'énoncé peut être admis et utilisé par la suite, même s'il n'a pas été démontré par les candidat(e)s ;
  • les applications numériques seront toutes données avec deux chiffres significatifs. A défaut, elles ne seront pas comptabilisées.

PREMIERE PARTIE ECHANGES THERMIQUES A TRAVERS UN TUBE CYLINDRIQUE

1 / CONDUCTANCE THERMIQUE A TRAVERS UN TUBE CYLINDRIQUE

Considérons un tube cylindrique d'axe Oz , de rayon intérieur R_1 de rayon extérieur R_2 et de très grande longueur (figure 1). Le tube est réalisé dans un matériau de conductivité thermique notée λ.
1*a. Dans le cas général, rappeler la loi de Fourier qui relie le vecteur densité de courant thermique, noté j_Q^(→−), au gradient de la température.
1*b. Justifier en quelques mots que la conductivité thermique, telle qu'elle apparaît dans la loi de Fourier, est toujours un nombre positif.
Le système est en régime permanent : la température T(r) en un point M du tube ne dépend donc que de r, la distance de M à l'axe (coordonnées cylindriques). Les températures de surface sont notées T_1 = T(R_1) et T_2 = T(R_2).
Figure 1
1c. Préciser la direction du vecteur j_Q^(→−) dans le tube.
1d. Exprimer la puissance thermique 𝒫_(th) sortant d'un cylindre de rayon r(r_1 < r < r_2) et de longueur ℓ, en fonction de j_Q(r) et r .
1*e. En appliquant le premier principe de la thermodynamique à un système correctement choisi, montrer que la puissance thermique 𝒫_(th) est indépendante de r .
1f. En déduire l'expression de la température T(r) en fonction de 𝒫_(th), r, R_1, λ, T_1 et ℓ.
1g. Etablir que la puissance thermique 𝒫_(th) peut s'écrire :
𝒫_(th) = gℓ(T_1 − T_2),
en exprimant g en fonction de λ, R_1 et R_2.
1*h. Calculer g pour un tube possédant les caractéristiques suivantes:
conductivité thermique λ = 0, 40 kW ⋅ m^(− 1) ⋅ K^(− 1), rayons R_1 = 8, 0 mm et R_2 = 8, 5 mm.
Le tube précédent est utilisé comme «échangeur thermique» permettant les transferts thermiques entre un fluide (appelé fluide caloporteur - ici il s'agit d'eau) transporté dans le tube et le milieu extérieur.
Le fluide caloporteur est supposé incompressible, de masse volumique ρ constante et de capacité thermique massique à pression constante C_p (phase condensée idéale) ; il s'écoule dans le tube avec un débit massique D_m.
Dans cette partie, tout phénomène de viscosité est négligé. L'écoulement est supposé uniforme et stationnaire, la vitesse d'écoulement s'écrivant en tout point : v⃗ = ve_z→, (v est une constante positive). Dans une section d'abscisse z constante, la température du fluide est uniforme et notée T_(fl)(z).

2 / PREMIER PRINCIPE DE LA THERMODYNAMIQUE APPLIQUE A UNE PORTION DE FLUIDE

Afin d'effectuer un bilan thermique permettant de déterminer T_(fl)(z), envisageons le système fermé ( Σ ) constitué par le fluide qui, à l'instant t, se trouve entre deux cotes z_e et z_s dans le tube (figure 2).
Figure 2
La pression, uniforme sur une section droite du tube, est notée P_e en z_e et P_s en z_s. La section S = πR_1^2 du tube est supposée constante. Entre les instants t et t + dt, le système ( Σ ) se translate de vdt (voir figure 2) selon Oz .
2a. Exprimer le débit massique D_m à travers la section S du tube en fonction de ρ, S et v.
2b. Déterminer la puissance 𝒫_(pr) des forces de pression agissant sur ( Σ ) en fonction de D_m, P_e, P_s et ρ.
2*c. Montrer que la variation d'énergie interne de ( Σ ) entre t et t + dt s'écrit :
dU = D_m(u_s − u_e)dt, où u_s (resp. u_e ) désigne l'énergie interne par unité de masse du fluide en z_s (resp. en z_e ).
2*d. La puissance thermique totale entrant dans (Σ) est notée 𝒫_(th). En appliquant le premier principe de la thermodynamique, établir la relation suivante :
D_m C_p[T_(fl)(z_s) − T_(fl)(z_e)] = 𝒫_(th)

3 / THERMALISATION DU FLUIDE

Le tube, parcouru par le fluide caloporteur est mis en contact, sur une longueur L (comprise entre les sections z = 0 et z = L ) avec un milieu extérieur de température T_m, qui demeure constante et uniforme dans tout l'espace, comme l'illustre la figure 3.
Les contacts thermiques sur les faces internes et externes du tube sont supposés parfaits : la température T_2 de la surface externe du tube est égale à T_m et, localement, la température T_1 de la surface interne est égale à T_(fl)(z). Le fluide pénètre dans le tube à la température d'admission : T_(adm) = T_(fl)(0).
Figure 3
Sauf indication contraire, toute conduction thermique au sein du fluide est négligée.
3*a. En appliquant les relations (1) et (2) à une portion élémentaire située entre z et z + dz, exprimer (dT_(fl))/(dz) en fonction de T_m − T_f(z) et de la longueur ℓ_1 = (D_m C_p)/g.
3b. Déterminer T_(fl)(z) en fonction de z, T_(adm), T_m et ℓ_1.
Représenter graphiquement T_(fl)(z).
3c. Exprimer la puissance thermique totale 𝒫_(th,ech) fournie par le fluide caloporteur au milieu en fonction de D_m, C_p, T_m, T_(adm), L et ℓ_1.
La longueur L est suffisamment grande pour que la puissance thermique 𝒫_(th,ech) puisse s'écrire: 𝒫_(th,ech) = D_m C_p(T_(adm) − T_m)
Les questions 3^∗ d_– et 3^∗ e_– qui suivent prennent en compte la conductivité thermique du fluide de façon à déterminer le domaine de validité de l'analyse précédente.
3*d. Le fluide possédant une conductivité thermique λ_(fl) non nulle, reprendre l'analyse du 3^∗ a_– et écrire l'équation différentielle vérifiée par T_(fl)(z) sous la forme :
ℓ_1(dT_(fl))/(dz) = [T_m − T_(fl)(z)] + ℓ_2^2(d^2 T_(fl))/(dz^2)
où ℓ_2 est une longueur qui sera exprimée en fonction de λ_(fl), S et g.
3*e. Par un raisonnement en ordre de grandeur, établir une condition sur ℓ_2 et ℓ_1 pour que la contribution des transferts thermiques diffusifs au sein du fluide puisse être négligée.
Montrer que cette condition est vérifiée si le débit massique est beaucoup plus grand qu'une valeur critique D_(mc), à exprimer en fonction de S, g, λ_(fl) et C_p.
Calculer D_(mc) avec les données numériques suivantes:
λ_(ff) = 0, 58 W ⋅ m^(− 1) ⋅ K^(− 1), C_p = 4, 2 kJ ⋅ K^(− 1) ⋅ kg^(− 1), g = 40 kW ⋅ m^(− 1) ⋅ K^(− 1) et S = 2, 0 ⋅ 10^(− 4) m^2.
Nous supposerons dans toute la suite que l'équation (3) décrit correctement les échanges thermiques entre le fluide et le milieu.

4 / CHAUFFAGE D'UNE PIECE

Le tube modélise un radiateur dans une installation domestique de chauffage central. Le milieu extérieur est l'air d'une pièce, considérée comme une enceinte fermée où règne une température uniforme mais pouvant dépendre du temps, notée T_m(t) et une pression constante.
La capacité thermique de la pièce à pression constante est notée Γ. La pièce n'est pas parfaitement isolée thermiquement par rapport à l'extérieur, où règne la température constante T_(ext); la puissance thermique perdue par la pièce vers l'extérieur s'exprime alors sous la forme:
𝒫_(th,fuite) = G_(fuite)[T_m(t) − T_(ext)].
4*a. Montrer que la température de la pièce évolue avec le temps selon une équation différentielle de la forme :
(dT_m)/(dt) = 1/τ[T_(st) − T_m(t)]
Exprimer T_(st) et τ en fonction de T_(adm), T_(ext), Γ, D_m, G_(fuite) et C_p.
4b. Que représentent concrètement la température T_(st) ainsi que le temps τ ?
4c. Commenter les valeurs limites de T_(st) dans les cas respectifs suivants:
G_(fuite)≫D_m C_p et G_(fuite)≪D_m C_p.
4*d. Calculer numériquement le débit massique D_(m0) nécessaire pour obtenir T_(st) = 292 K, à l'aide des données suivantes : température extérieure T_(ext) = T_0 = 283 K; température d'admission du fluide T_(adm) = 333 K, ainsi que les caractéristiques pour la pièce considérée : Γ = 56 kJ ⋅ K^(− 1) et G_(fute) = 40 W ⋅ K^(− 1).
4*e. Comparer les débits D_(m0) et D_(mc), puis commenter ces résultats.
Calculer la grandeur τ pour le débit D_(m0).
Les valeurs de température et de débit étudiées dans la suite sont proches des valeurs numériques de la question 4^∗ d_–, si bien qu'en première approche l'équation (4) pourra être remplacée par l'équation simplifiée suivante (justification non demandée) :
(dT_m)/(dt) = 1/(τ_0)[(D_m C_p)/(G_(fuite))(T_(adm) − T_(ext)) + T_(ext) − T_m(t)], avec τ_0 = Γ/(G_(fuite))

DEUXIEME PARTIE

CONTROLE DU DEBIT DE FLUIDE

Dans une pièce d'habitation ou un bâtiment de stockage, il est souvent souhaitable de maintenir la température constante, indépendamment des variations de la température extérieure T_(ext). Parmi les différents systèmes de régulation envisageables, le plus simple consiste à agir sur le débit du fluide caloporteur dans la conduite.
Cette partie est consacrée à l'analyse simplifiée d'un tel système de régulation.
La viscosité η du fluide s'écoulant dans le tube est désormais prise en compte. La pesanteur est négligée. Il est rappelé qu'alors, le champ de vitesse v⃗(M, t) et le champ de pression P(M, t) dans un fluide incompressible sont reliés par l'équation de Navier-Stokes :
ρ((∂v⃗)/(∂t) + (v⃗ ⋅ grad^(→−))v⃗) = − grad^(→−)P + ηΔv⃗
Pour simplifier les calculs, considérons une géométrie plane (figure 4) :
Figure 4

1 / ECOULEMENT D'UN FLUIDE ENTRE DEUX PLANS FIXES

L'espace étant rapporté au trièdre cartésien Oxyz de base orthonormée directe ( e_x^(→−), e_y→, e_z→ ), considérons un fluide en écoulement stationnaire et unidirectionnel entre les deux plans x = − a/2 et x = a/2 (figure 4). Le champ de vitesses est de la forme : v⃗ = v(x)e_z→.
1a. Exprimer grad P^(→−) en fonction de η et (d^2 v)/(dx^2).
1b. En déduire que la pression P ne dépend que de z et montrer que la quantité K = − (dP)/(dz) est une constante.
1c. Rappeler les conditions aux limites vérifiées par v(x) en x = ± a/2.
1d. Déterminer v(x) en fonction de x, K, a et η.
Représenter graphiquement le profil de vitesse entre les deux plans. Justifier physiquement pourquoi la grandeur K doit être strictement positive pour que l'écoulement soit dirigé selon e_z→.
1*e. Montrer que le débit massique total transporté suivant e_z→, à travers une section de largeur H selon Oy, s'écrit: D_m = αKa^3, en explicitant α en fonction de η, ρ et H.

2 / CONDUCTANCE HYDRAULIQUE

Considérons le système précédent, compris entre les abscisses z = 0 et z = L.
2a. Exprimer la quantité K en fonction de P(0), P(L) et L.
2b. Montrer que le débit à travers une section de largeur H selon Oy peut s'écrire :
D_m = G_h[P(0) − P(L)],
où le terme G_h sera exprimé en fonction de α, a et L.
2*c. Justifier le nom de «conductance hydraulique» pour G_h en faisant une analogie électrique. Préciser en particulier l'équivalent électrique de D_m et celui de la chute de pression P(0) − P(L).

3 I CONTROLE DU DEBIT PAR CHANGEMENT DE SECTION

Le système, toujours invariant selon Oy, présente maintenant un rétrécissement ajustable (figure 5) de longueur L_r. Ce rétrécissement est obtenu à l'aide d'une pièce plane (C) (dite «pièce d'obstruction») coulissant (de façon étanche!) selon Ox dans une ouverture pratiquée dans le plan inférieur. La position de cette pièce est repérée par le débordement x représenté en figure 5 ; au-dessus de (C), la largeur de la conduite devient a - x.
II est admis que chaque portion (rétrécie ou non) se comporte comme le système infini étudié aux sous-parties 1 et 2 précédentes.
3*a. En considérant le système comme une association de conductances hydrauliques, exprimer le débit massique à travers une section droite de largeur H selon Oy en fonction de P(0) − P(L), α, L, L_r, a et x.
Figure 5
La différence de pression P(0) − P(L) étant fixée, le débit est ajusté en modifiant la valeur de x autour d'une valeur moyenne x_0. Les déplacements de (C) sont de faible amplitude, si bien qu'il est possible de poser x = x_0 + ε, avec ε≪x_0.
3*b. Montrer qu'au premier ordre en ε, le débit massique peut s'écrire :
D_m = D_(m0)(1 − bε),
en posant D_(m0) = (α[P(0) − P(L)])/((L − L_r)/(a^3) + (L_r)/((a − x_0)^3)) et où b est une constante positive à exprimer en fonction de L, L_r, a et x_0.

4 I CONTROLE DU DEBIT PAR LA TEMPERATURE DE LA PIECE VANNE THERMOSTATIQUE

Le dispositif étudié reproduit le principe des vannes thermostatiques les plus courantes : pour asservir le débit de fluide dans la conduite à la température qui règne à l'extérieur ( T_m ), la pièce d'obstruction (C) est reliée par une tige rigide sans masse à un piston coulissant dont la position est sensible à la température (figure 6).
Le piston, de masse négligeable, ferme un réservoir cylindrique de section s, contenant un gaz parfait (dit «gaz de contrôle») qui est à chaque instant à la température T_m. L'espace entre le piston et le tube est vide.
Le poids est négligé ainsi que tout frottement. Le référentiel d'étude est considéré comme galiléen. La pièce (C) a un simple mouvement de translation selon Ox.
Le système est à l'équilibre lorsque la pièce est à la température (dite de consigne) T_(m0). Dans cette situation, le volume du gaz de contrôle est V_0 et le débordement de (C) est tel que x = x_0. La pression qui règne dans le fluide est indépendante de la position de (C).
Figure 6
4*a. L'évolution est très lente, si bien que l'accélération de (C), (d^2 x)/(dt^2) peut être négligée. Montrer que le gaz de contrôle évolue à pression constante.
4*b. La température T_m est voisine de la température de consigne: T_m = T_(m0) + δT_m. Exprimer la variation de volume δV du gaz de contrôle en fonction de V_0, δ T_m et T_(m0).
4*c. En utilisant l'équation (6) du 3^∗ b_–, écrire l'expression du débit D_m dans la conduite sous la forme :
D_m = D_(m0)(1 − βδT_m),
en exprimant β en fonction de b, V_0, s et T_(m0).
4*d. Expliquer qualitativement pourquoi ce système peut être utilisé comme dispositif de régulation de la température de la pièce (considérer une situation de chauffage où T_(adm) > T_m > T_(ext) ) 。

5 / STABILISATION EN TEMPERATURE

Les résultats établis ci-dessus sont généralisables au cas d'un tube cylindrique (moyennant une modification du paramètre b).
La température T_(ext) de l'air hors de la pièce subit de petites fluctuations autour d'une valeur moyenne T_0 : T_(ext) = T_0 + δT_(ext)(t). La température d'admission T_(adm) reste inchangée.
La température de consigne T_(m0) est la température stationnaire obtenue quand l'extérieur est à la température T_0 et quand le débit de fluide vaut D_(m0).
Les relations (5) et (7) ci-dessus conduisent, après linéarisation, à l'équation :
(d(δT_m))/(dt) = (δT_(ext))/(τ_0)(1 − (D_(m0)C_p)/(G_(fuite))) − (δT_m)/(τ_(st)), avec 1/(τ_(st)) = 1/(τ_0)(1 + (D_(m0)C_p)/(G_(fuite))β(T_(adm) − T_0))
A l'instant t = 0, alors que la température dans la pièce est T_(m0), la température extérieure passe brusquement de T_0 à T_0 + δT_0, où δT_0 est constante.
Considérons pour commencer un système de chauffage pour lequel T_(adm) > T_0.
5*a. Montrer que δT_m tend, lorsque le temps devient infini, vers une valeur limite notée δT_(m, ∞). Ecrire δT_(m, ∞) en fonction de δT_0, τ_(st), τ_0, D_(mo), C_p et G_(fuite).
5*b. Sans régulation (c'est à dire pour β = 0 ), la température de la pièce tendrait vers une limite δT_(m, ∞, nr) au bout d'un temps infini. Exprimer le rapport ξ = (δT_(m, ∞))/(δT_(m, ∞, nr)) en fonction de τ_(st) et τ_0.
5^∗ c._– Quelle propriété le rapport ξ doit-il vérifier pour que le dispositif de régulation puisse limiter les variations de température dans la pièce ? Est-ce le cas ici ?
5*d. Exprimer le rapport ξ en fonction des paramètres D_(mo), C_p, β, (T_(adm) − T_0) et G_(fuite). Pour chacun de ces paramètres, indiquer si une augmentation favorise ou défavorise le bon fonctionnement du système ; commenter ces résultats.
5e. Quel sens concret peut-on donner à τ_(st) ?
Enfin, envisageons le cas d'un dispositif de climatisation par eau froide, où T_(adm) < T_0.
5f. Montrer que le dispositif de régulation conduit à une température stationnaire seulement si T_0 − T_(adm) est inférieur à une valeur critique T_c à exprimer en fonction de β, D_(m0), C_p et et G_(fuite).
5*g. Expliquer que, même dans le cas d'une évolution stable, ce système est inadapté à la régulation de la température de la pièce.

TROISIEME PARTIE

CONTROLE NON DESTRUCTIF DES TUBES METALLIQUES PAR COURANTS DE FOUCAULT

Nota : en dehors des paramètres géométriques du tube, les notations de cette partie sont indépendantes de celles des parties précédentes.
Cette partie s'intéresse à une méthode de contrôle des caractéristiques des tubes métalliques, non destructive et qui ne nécessite pas le démontage de l'installation où ces tubes sont utilisés.
Le tube étudié a les mêmes caractéristiques qu'en première partie (axe Oz, rayon intérieur R_1, rayon extérieur R_2 - voir figure 1). II est constitué d'un métal de conductivité électrique σ. Son épaisseur est notée e = R_2 − R_1.
Une bobine (dite «excitatrice») d'axe Oz comportant n spires circulaires par unité de longueur, de rayon b et de longueur totale ℓ (figure 7) entoure localement le tube. Elle est parcourue par un courant sinusoïdal d'intensité I(t) = I_0 cos(ωt), dont les variations sont suffisamment lentes pour que l'approximation des régimes quasi-stationnaires soit valable. L'ensemble est plongé dans l'air dont les propriétés électromagnétiques sont celles du vide.
Utilisons le système des coordonnées cylindriques ( r, θ, z ) de base locale ( e_r→, e_θ→, e_z→ ).
Vue en perspective
Vue en coupe

1 / COURANTS INDUITS DANS LE TUBE

La bobine, située entre z = 0 et z = ℓ est assimilée à un solénoïde infini : en dehors du volume cylindrique intérieur (de rayon b et de longueur ℓ ) qu'elle délimite, le champ magnétique créé par I(t) est nul. Dans ce volume, il est uniforme et s'écrit B⃗ = B_0(t)e_z→.
Dans cette sous-partie 1, ce champ magnétique est le seul à prendre en compte. En particulier, l'éventuel champ magnétique créé par les courants susceptibles d'exister dans le tube est négligé.
1*a. Justifier la direction de B⃗ par un argument de symétrie.
Rappeler sans démonstration l'expression de B_0(t) en fonction de n, l(t) et μ_0 (perméabilité du vide).
Soit une portion du tube comprise entre z et z + dz. L'épaisseur du tube étant très faible, cette portion peut être assimilée à une spire circulaire quasi-filiforme de rayon moyen R_m = (R_1 + R_2)/2, comme le montre la figure 8.
Figure 8
Portion de tube assimilée à une spire filiforme
1b. Exprimer la conductance électrique dg d'une telle spire en fonction de e, dz, R_m et σ.
1c. Déterminer la force électromotrice d'induction e_(ind) qui apparaît dans la spire du fait des variations de B_0(t) en fonction de (dB_0)/(dt) et R_m (l'orientation est celle de la figure 8 : sens direct par rapport à e_z→ ).
1*d. En déduire l'expression de l'intensité induite dlind (orientée comme sur la figure 8) qui circule dans cette portion de tube, en fonction de σ, e, dz, R_m, μ_0, n et (dl)/(dt).

2 / CHAMP MAGNETIQUE CREE PAR LES COURANTS INDUITS

Avec la description précédente, il est possible de considérer la portion de tube située entre z = 0 et z = ℓ comme une bobine circulaire comportant n^′ = 1/(dz) spires par unité de longueur, parcourues par un courant d'intensité dl_(ind.).
2*a. Avec les mêmes approximations qu'à la sous-partie 1, donner l'expression en tout point du champ magnétique induit B⃗_(ind) en fonction de σ, e, R_m, μ_0, n et (dl)/(dt).
2*b. Les calculs précédents sont valables si ‖B_(ind)^(→−)‖≪‖B→‖. Montrer que cette condition est valable (en ordre de grandeur) si e ≪e_c, où e_c sera exprimée en fonction de la grandeur δ = √(2/(ωμ_0 σ)) et de R_m.
Calculer le rapport e/ e_c à l'aide des données suivantes, puis commenter la valeur obtenue.
Données : σ = 6, 0.10^7 S.m^(− 1), R_m = 8, 3 mm, e = 0, 50 mm, μ_0 = 4π.10^(− 7)H.m^(− 1) fréquence de travail : f = 100 Hz.
2*c. Que représente la grandeur δ ? Quel est le phénomène de l'électromagnétisme des conducteurs qui est négligé s'il est admis que ‖B_(ind)^(→−)‖≪‖B→‖ ?
Cette approximation ‖B_(ind)^(→−)‖≪‖B⃗‖ sera supposée vérifiée dans toute la suite de l'étude.

3 / IMPEDANCE APPARENTE DE LA BOBINE EXCITATRICE

3*a. Exprimer le flux Φ_(ind) de B⃗_(ind) à travers la bobine excitatrice en fonction de n, ℓ, B_(ind) et R_m.
3*b. Montrer que la force électromotrice totale d'induction à travers la bobine excitatrice peut s'écrire sous la forme :
e_(total) = − L(dl)/(dt) + Γ(d^2 l)/(dt^2)
où L est l'inductance propre de la bobine et en posant Γ = kμ_0^2 n^2 σℓeR_m^3, k étant une constante numérique à expliciter.
3*c. La bobine excitatrice a une résistance interne R. Quelle est l'impédance complexe Z_–(ω) de cette bobine «à vide» (c'est-à-dire en l'absence du tube), exprimée en fonction de L, ω et R ?
3d. Expliquer comment le tube entraîne une modification de la résistance apparente de la bobine, qui devient alors R^′ = R + δR.
Exprimer δR en fonction de Γ et ω.
3e. Calculer δR pour le tube précédent, à une fréquence de travail f = 100 Hz, avec les caractéristiques suivantes pour la bobine : n = 3, 0.10^4 spires. m^(− 1) et ℓ = 0, 10 m. Commenter le résultat obtenu.
La mesure de δR permet de mettre en évidence les modifications locales des caractéristiques du tube et donc d'en analyser les défauts éventuels.
3*f. Discuter qualitativement les types de défauts du tube qui sont susceptibles d'être mis en évidence par la mesure de δR.
3*g. Quelle est selon vous la fréquence optimale f_(opt) à utiliser pour accéder aux caractéristiques «en volume» du tube ?
Réaliser l'application numérique avec les valeurs précédentes.
Que se passerait-il si, comme c'est souvent le cas en pratique, une fréquence nettement plus élevée était utilisée ? Quels types de défauts pourraient alors être mis en évidence?

FIN DE L'EPREUVE

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte le sujet de physique e3a PC 2008 ?
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Sur quels chapitres porte le sujet de physique e3a PC 2008 ?

Le sujet porte sur la diffusion thermique et les bilans d'énergie en système ouvert, la mécanique des fluides visqueux (loi de Poiseuille, conductance hydraulique) et l'induction électromagnétique avec les courants de Foucault.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées en physique e3a PC 2008 ?

Des bilans thermiques sans système ni instants définis, la confusion entre enthalpie et énergie interne, des conductances hydrauliques additionnées à tort et des applications numériques qui ne respectent pas le nombre de chiffres significatifs imposé.

Quelle est la moyenne de l'épreuve de physique e3a PC 2008 ?

Le rapport donne une moyenne de 8,70 sur 20 avec un écart-type de 4,08.

Le sujet de physique e3a PC 2008 est-il faisable en première année ?

Pas entièrement : selon le jury, les notions sont tirées essentiellement du programme de deuxième année, avec quelques appels au programme de première année.

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