CCINP Physique 1 PC 2008Sujet, corrigé et rapport du jury

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Les deux problèmes sont indépendants. On fera l'application numérique chaque fois que cela est possible, en veillant à préciser l'unité et à ne donner que les chiffres significatifs du résultat.

N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

Problème I Eau et micro-ONDES

Ce problème aborde divers aspects de l'interaction entre les molécules d'eau et un rayonnement micro-onde.

I. 1 Traitement classique de la rotation d'une molécule d'eau

Une molécule d'eau est constituée d'un atome d'oxygène O et de deux atomes d'hydrogène

H_1

H_2

. La longueur de la liaison

O - H

, centre à centre, est

a = 96pm

, et l'angle entre les deux liaisons O-H est

β = 104, 5^\circ

(figure I.1). Les atomes sont considérés comme des masses ponctuelles. L'eau possède un moment dipolaire permanent

p⃗

(représenté sur la figure) :

‖p⃗‖ = 6, 11 \times 10^(- 30)

C.m.

Figure I. 1

On donne les valeurs numériques des constantes physiques suivantes :

masse d'un nucléon (proton ou neutron) : $m_n = 1, 67 \times 10^(- 27) kg$
nombre de nucléons d'un noyau d'oxygène (nombre de masse) : $A = 16$
perméabilité magnétique du vide : $μ_0 = 4π \times 10^(- 7)H.m^(- 1) = 1, 26 \times 10^(- 6)Ω.s.m^(- 1)$
permittivité du vide : $ε_0 = 8, 85 \times 10^(- 12) F.m^(- 1)$
constante de Planck : $h = 6, 62 \times 10^(- 34)$ J.s
célérité de la lumière dans le vide : $c = 3, 00 \times 10^8 m \cdot s^(- 1)$
constante de Boltzmann : $k_B = 1, 38 \times 10^(- 23) J.K^(- 1)$
conductivité électrique du cuivre : $γ = 5, 96 \times 10^7 Ω^(- 1) \cdot m^(- 1)$

On rappelle qu'un picomètre

(pm)

vaut

10^(- 12) m

, que le préfixe giga ( G ) représente

10^9

, que le symbole de l'unité de résistance ohm est noté

Ω

, et que le henry (H) s'exprime également en "ohmseconde" (

Ω.s

).
On donne les valeurs numériques suivantes :

cos(β/2) = 0, 61; sin(β/2) = 0, 79

.
On donnera si possible le résultat des applications numériques avec trois chiffres significatifs.

- I.1.1

Calculer et donner la valeur, en picomètre

(pm)

, des coordonnées

x_(H_1), y_(H_1)

du premier atome d'hydrogène, puis des coordonnées

x_(H_2), y_(H_2)

du second atome d'hydrogène, en supposant que l'atome d'oxygène occupe l'origine du repère, et que l'orientation de la molécule est telle que représentée sur la figure I.1.

- I.1.2

Calculer et donner la valeur, en picomètre, des coordonnées

x_G

y_G

du centre de masse G de la molécule d'eau.
Représenter, sur un schéma semblable à celui de la figure I.1, la position de G par rapport aux autres atomes constituant la molécule d'eau.

- I.1.3

Calculer et donner la valeur, en picomètre, des coordonnées

x¯_O, y¯_O

de l'atome d'oxygène, puis des coordonnées

x¯_(H_1), y¯_(H_1), x¯_(H_2)

, et

y¯_(H_2)

des deux atomes d'hydrogène, exprimées dans le référentiel du centre de masse de la molécule d'eau.

- I.1.4

On définit le moment d'inertie d'un système indéformable de

N

points matériels, indexés par

i

, de masse

m_i

, par rapport à un axe

D

comme

J_D = \sum_(i = 1)^N m_i d_i^2(D)

où

d_i(D)

désigne la distance du point

i

à l'axe

D

.
Donner l'unité, dans le cadre du Système International, d'un moment d'inertie.
Calculer les trois moments d'inertie

J_x, J_y

J_z

de la molécule d'eau par rapport aux axes passant par le centre de masse G , et orientés respectivement suivant les vecteurs unitaires

e⃗_x

e⃗_y, e⃗_z

.
Faire les applications numériques.

- I.1.5

On considère une molécule d'eau, en rotation à vitesse angulaire constante

ω_x

autour de l'axe
(

Gx

) passant par le centre de masse et orienté par

e⃗_x

. Donner l'expression, dans le référentiel du centre de masse, de l'énergie cinétique

E_(cx)

associée à ce mouvement de rotation, en fonction de

ω_x

et du moment d'inertie

J_x

- I.1.6

Donner, dans les mêmes conditions, l'expression du moment cinétique

σ_x

associé à une vitesse angulaire de rotation

ω_x

autour de l'axe (

Gx

).
En déduire une relation entre

E_(cx), σ_x

J_x

- I.1.7

Le théorème d'équipartition de l'énergie prédit que la valeur moyenne de l'énergie cinétique de rotation, notée

⟨E_(cx)⟩

, est égale, pour une température

T

, à

⟨E_(cx)⟩ = (k_B T)/2

Appliquer le théorème d'équipartition de l'énergie à une molécule d'eau en phase vapeur à

100^\circC

.
En déduire la valeur numérique de la vitesse angulaire quadratique moyenne

ω_q = \sqrt(⟨ω_x^2⟩)

, la fréquence

f_q

, ainsi que la période

τ_q

associées à cette vitesse angulaire

ω_q

I. 2 Les rayonnements micro-ondes

- I.2.1

Dans le vide, un rayonnement électromagnétique de fréquence

f

est transporté par des photons d'énergie

E = hf

.
Quelle énergie, en Joule, est transportée par un photon de fréquence

f = 2, 45GHz

?
Quelle est la longueur d'onde

λ

d'un rayonnement de fréquence

f = 2, 45GHz

?
Peut-on négliger, dans un circuit électrique dont les fils conducteurs présentent une dizaine de centimètres de longueur, les effets de retard et de propagation d'un tel signal?

- I.2.2

On sait qu'aux fréquences élevées, le courant électrique circule au voisinage de la surface des conducteurs métalliques (effet de peau). La profondeur de peau

δ

, dépend de la conductivité

γ

du matériau d'une part, de la fréquence du courant

f

, et de la perméabilité magnétique du vide

μ_0

d'autre part. Trouver, par un raisonnement d'analyse dimensionnelle, la dépendance de la longueur

δ

, fonction de

γ, f

μ_0

.
Estimer

δ

dans le cas d'un courant de fréquence

f = 2, 45GHz

, circulant dans du cuivre.

- I.2.3

Dans un four à micro-ondes, on suppose que toute la puissance du four est convertie en rayonnement électromagnétique. Le but des questions suivantes est d'estimer la valeur du champ électrique

E⃗

régnant dans la cavité du four.

Flux incident d'énergie

Figure I. 2

Pour cela, on commence par modéliser l'onde électromagnétique comme une onde plane monochromatique se propageant dans le vide suivant la direction

- e⃗_z

(figure I.2)

E⃗ = Re{E_0 exp[2πj(ft + z/λ)]e⃗_x}

j

est le nombre imaginaire pur de carré -1 , et

Re{ \cdot }

désigne la partie réelle des nombres complexes.
Rappeler l'expression du vecteur de Poynting

Π⃗

dans le vide.
Que vaut la valeur moyenne temporelle

⟨Π⃗⟩

du vecteur de Poynting pour l'onde électromagnétique considérée ici?

- I.2.4

Pour quelle valeur du champ électrique

E_0

, la puissance de l'onde électromagnétique traversant une section carrée

S = 0, 1 m^2

est-elle égale à

10^3 W

- I.2.5

L'application numérique de la question I.1.7 nous montre que la variation temporelle du champ électrique est lente devant la vitesse de rotation des molécules d'eau. Le champ électrique peut donc, à l'échelle de la picoseconde, être considéré comme constant. Donner l'expression de l'énergie potentielle d'interaction entre le moment dipolaire

p⃗

permanent de la molécule d'eau, et le champ

E_0^(\to-) = E_0 e⃗_x

précédemment calculé. Calculer en Joule, l'ordre de grandeur de cette énergie potentielle. Comparer cette énergie à l'énergie d'agitation thermique des molécules d'eau en phase vapeur à

100^\circC

. Conclure.

I. 3 Absorption du rayonnement électromagnétique

- I.3.1

A la fréquence considérée, le vecteur d'onde

k_-

et la pulsation

ω

de l'onde électromagnétique

E⃗_0 exp[j(ωt + k_-z)]

ayant pénétré dans le milieu diélectrique et non conducteur, vérifient la relation :

k_-^2 - (ε_-_r(ω))/(c^2)ω^2 = 0

où la constante diélectrique relative

ε_-_r(ω)

est un nombre complexe qui se décompose en

ε_-_r(ω) = ε^'(ω) - jε^('')(ω)

, avec

ε^'

partie réelle,

ε^('')

partie imaginaire et

ε^('')≪ε^'

. Que peut-on dire de la nature de l'onde dans un tel milieu?

Quelle est la conséquence physique, pour ce milieu, du passage de l'onde électromagnétique?

- I.3.2

En 1912, P. Debye a proposé un modèle théorique pour la variation de

ε_-_r(ω)

et obtenu, dans le cas de l'eau, l'expression suivante :

ε_-_r(ω) = 1, 77 + (65, 00)/(1 + jωτ)

où

τ

est un temps de relaxation, dépendant de la température du fluide, et valant à

60^\circC

τ(60^\circC) = 4, 0 \times 10^(- 12) s

.
Donner l'expression littérale, puis l'application numérique, de la partie réelle

ε^'

et imaginaire

- ε^('')

de la constante diélectrique à

60^\circC

, pour une onde de pulsation

ω = 1, 54 \times 10^(10)

rad.s

^(- 1)

correspondant à la fréquence de

2, 45GHz

ci-dessus.

- I.3.3

Déduire de la relation de dispersion que le vecteur d'onde

k_-

est complexe et se met sous la forme

k_- = k^' - jk^('')

. Donner l'expression de

k^'

k^('')

en fonction de

ω, c, ε^'

ε^('')

, en faisant l'hypothèse que

k^'

est grand devant

k^('')

- I.3.4

Quelle épaisseur d'eau

L

60^\circC

l'onde devrait-elle traverser pour que son flux d'énergie soit divisé par 2, dans le cadre du présent modèle ?

Remarques : en pratique, les ondes vont être réfléchies un grand nombre de fois par les bords métalliques de la cavité du four. La constante diélectrique

ε_-_r(ω)

dépend fortement de la température. Le temps de relaxation

τ

est du même ordre de grandeur que le temps de rotation des molécules d'eau déterminé dans la partie I.1.

Problème II Mouvement de spheres dans les fluides

On définit le repère de coordonnées sphériques (figure II. 1 ci-dessous) :

Figure II. 1

La relation entre coordonnées sphériques et cartésiennes est :

x = rsin(θ)cos(φ); y = rsin(θ)sin(φ); z = rcos(θ)

Les champs de vecteurs au point

M(r, θ, φ)

seront exprimés dans le repère local (

e⃗_r, e⃗_θ, e⃗_φ

). L'axe (

Oz

) désigne la verticale ascendante du référentiel d'observation.

On pourra, tout au long du problème, utiliser le formulaire d'analyse vectorielle suivant, pour les champs scalaires :

grad^(\to-)(f), = (\partialf)/(\partialr)e⃗_r + 1/r(\partialf)/(\partialθ)e⃗_θ + 1/(rsin(θ))(\partialf)/(\partialφ)e⃗_φ; Δf, = 2/r(\partialf)/(\partialr) + (\partial^2 f)/(\partialr^2) + 1/(r^2)(\partial^2 f)/(\partialθ^2) + (cos(θ))/(r^2 sin(θ))(\partialf)/(\partialθ) + 1/(r^2 sin^2(θ))(\partial^2 f)/(\partialφ^2)

et pour les champs vectoriels

X⃗ = X_r e⃗_r + X_θ e⃗_θ + X_φ e⃗_φ

div(X⃗) =, 2/rX_r + (\partialX_r)/(\partialr) + (cos(θ))/(rsin(θ))X_θ + 1/r(\partialX_θ)/(\partialθ) + 1/(rsin(θ))(\partialX_φ)/(\partialφ); rot^(\to-)(X⃗) =, (1/r(\partialX_φ)/(\partialθ) + (cos(θ))/(rsin(θ))X_φ - 1/(rsin(θ))(\partialX_θ)/(\partialφ))e⃗_r; + (1/(rsin(θ))(\partialX_r)/(\partialφ) - (X_φ)/r - (\partialX_φ)/(\partialr))e⃗_θ; + ((\partialX_θ)/(\partialr) + (X_θ)/r - 1/r(\partialX_r)/(\partialθ))e⃗_φ

On utilisera, pour les applications numériques, les données suivantes :

viscosités dynamiques de l'air et de l'eau dans les conditions usuelles : $η_(air) = 1, 8 \times 10^(- 5)Pl$ ; $η_(eau) = 1, 0 \times 10^(- 3)Pl$
masses volumiques de l'air et de l'eau : $ρ_(air) = 1, 3 kg \cdot m^(- 3); ρ_(eau) = 10^3 kg \cdot m^(- 3)$ .
accélération de la pesanteur $g = 9, 8 m \cdot s^(- 2)$ .

II. 1 Fluide parfait dans un champ de pesanteur

II.1.1

On note

ρ

la masse volumique du fluide,

g⃗

le champ de pesanteur,

P_t

la pression et

v⃗

le champ de vitesse. Ecrire l'équation d'Euler pour un fluide parfait, en supposant le référentiel d'observation galiléen.

II.1.2

En déduire, à une constante près, la valeur de la pression hydrostatique

P_h(z)

, lorsque le fluide, supposé incompressible, est au repos dans le référentiel galiléen.

II. 2 Ecoulement stationnaire d'un fluide parfait autour d'une sphère immobile

On note

ρ

la masse volumique du fluide et

v⃗

le champ de vitesse. On définit la surpression

P

comme la différence entre la pression

P_t

et la pression hydrostatique

P_h

définie dans la partie précédente. Dans toute cette partie, on remplacera dans l'équation d'Euler la pression

P_t

par la surpression

P

, et on négligera totalement l'influence du champ de pesanteur.

- II.2.1

Donner la condition d'incompressibilité de l'écoulement.

- II.2.2

On considère un écoulement potentiel,

v⃗(r⃗) = grad^(\to-)(Φ(r⃗))

, où

Φ

est une fonction arbitraire de l'espace, et

r = ‖OM⃗‖

la distance à l'origine du repère de coordonnées sphériques.
Que vaut alors le rotationnel du champ de vitesse

v⃗

- II.2.3

Soit le potentiel

Φ_u(r⃗) = uz

, avec

u

une constante. Reconnaître le champ de vitesse

v⃗_u

associé.

- II.2.4

Exprimer

Φ_u

à l'aide des coordonnées sphériques

r, θ, φ

.
Exprimer dans la base locale (

e⃗_r, e⃗_θ, e⃗_φ

) le champ de vitesse

v⃗_u

associé à

Φ_u

- II.2.5

On donne maintenant le potentiel

Φ_s(r, θ, φ) = (ur + b/(r^2))cos(θ)

où

b

est une constante. Calculer le champ de vitesse

v⃗_s

associé.

- II.2.6

Vérifier que le champ de vitesse

v⃗_s

correspond bien à un écoulement incompressible.

- II.2.7

Montrer que pour une valeur particulière

a

de la distance

r

, la composante radiale de la vitesse
(c'est-à-dire la composante orientée suivant

e⃗_r

) s'annule. Exprimer

b

en fonction de

u

et de

a

. Réécrire le champ de vitesse en fonction de

u, a, r

θ

- II.2.8

On s'intéresse désormais à la région de l'espace

r \geq a

, extérieure à la sphère de rayon

a

, et on souhaite représenter sur un schéma l'allure du champ de vitesse dans le demi-plan défini par

φ = 0

θ \in [0, π]

Reproduire et compléter le tableau de valeurs ci-dessous, pour une constante

u

égale à 1 .

$r$	$θ$	$v_r$	$v_θ$	$r$	$θ$	$v_r$	$v_θ$
$a$	0			$2a$	0
$a$	$π/4$			$2a$	$π/4$
$a$	$π/2$			$2a$	$π/2$
$a$	$3π/4$			$2a$	$3π/4$
$a$	$π$			$2a$	$π$

- II.2.9

A l'aide des valeurs du tableau, représenter graphiquement le champ de vitesse pour

r \geq a

. Tracer l'allure de quelques lignes de courant.

- II.2.10

On rappelle que dans le cas d'un écoulement potentiel, le terme de dérivée convective peut-être mis sous la forme :

(v⃗ \cdot grad^(\to-))(v⃗) = grad^(\to-)((v⃗^2)/2)

Déduire de l'équation d'Euler pour un écoulement parfait potentiel stationnaire, en l'absence de pesanteur, l'existence d'une quantité

C

dépendant de

v⃗, ρ

P

, et dont la valeur est uniforme dans l'espace.
Quel nom donne-t-on à ce résultat?
En faisant tendre

r

vers l'infini, et en faisant l'hypothèse que

lim_(r \to \infty)P(r) = 0

, déterminer la constante

C

- II.2.11

En déduire la valeur de la surpression

P(r = a, θ, φ)

au voisinage de la sphère

r = a

.
La sphère subit-elle de la part de l'écoulement une force de trainée, c'est-à-dire une force dirigée suivant

e⃗_z

? (répondre sans faire de calcul.)

II. 3 Sphère en mouvement de translation dans un fluide visqueux : approche qualitative

Une sphère de rayon

a

en mouvement de translation à vitesse

u⃗

dans un fluide de viscosité

η

, subit de la part de ce fluide une force de trainée

F⃗

égale à

F⃗ = - 6πηau⃗

, pourvu que cette vitesse de déplacement soit suffisamment faible (loi de Stokes).

- II.3.1

Une bille de rayon

a

et de masse volumique

ρ_b

est lachée sans vitesse initiale dans un fluide de viscosité

η

et de masse volumique

ρ

. La bille et le fluide sont soumis à l'influence de la pesanteur, dont l'accélération est notée

g⃗

. Etablir l'expression de la vitesse de la bille, fonction du temps, ainsi que la vitesse limite

u⃗_\infty

atteinte par celle-ci, dans le cadre de la loi de Stokes.

- II.3.2

Calculer la vitesse limite de chute associée respectivement à une gouttelette de brouillard (rayon

1μ m

), puis à une goutte de pluie (rayon 1 mm ) dans l'air. Ce dernier résultat vous paraît-il réaliste?

- II.3.3

Pour juger de la validité de la formule de Stokes, il faut calculer le nombre de Reynolds associé à l'écoulement du fluide autour de la bille. Proposer une expression du nombre de Reynolds

Re

associé au mouvement de chute d'une bille dans un fluide de viscosité

η

.
A quelle condition peut-on considérer que la loi de Stokes est valable ?
Cela est-il le cas dans les exemples de la question précédente?
Comment se comporte la force de traînée à grande vitesse ?

II. 4 Interactions hydrodynamiques dans un fluide visqueux

Les interactions hydrodynamiques sont des forces transmises par le fluide sur les objets qui s'y déplacent. Elles expliquent divers effets observés durant la sédimentation de petits objets (processus par lequel des particules dans un fluide au repos se déposent), comme la tendance de ceux-ci à tomber les uns à la verticale des autres, ou à tomber à une vitesse différente s'ils sont proches les uns des autres.

Lorsqu'une bille sphérique se déplace verticalement vers le bas à vitesse

u⃗ = - ue⃗_z

, elle crée un déplacement du fluide autour d'elle, dont le champ de vitesse à grande distance et dans un repère de coordonnées sphériques dont l'origine est occupée par la particule, est donné par (forme d'Oseen) :

v⃗(r⃗) = (3au)/(4r)[ - 2cos(θ)e⃗_r + sin(θ)e⃗_θ]

(voir figure II. 2 à gauche). L'expression ci-dessus, que l'on admettra, n'est valable que pour des distances

r

très supérieures au rayon

a

de la bille qui se déplace. Le champ de vitesse

v⃗(r⃗)

représente la vitesse d'écoulement du fluide dans le référentiel du laboratoire.

Figure II. 2

- II.4.1

Reproduire et compléter le tableau de valeurs suivant, pour une valeur de la constante

3au/(4r)

égale à 1 (où

v_r

v_θ

désignent respectivement les composantes radiales et orthoradiales du champ de vitesse) :

$θ$	$v_r$	$v_θ$
0
$π/4$
$π/2$
$3π/4$
$π$

- II.4.2

Neuf billes identiques occupent les positions de la figure II. 2 à droite. Les huit billes extérieures sont à égale distance

d

de la bille centrale et immobiles par rapport au fluide. La bille centrale est animée d'un mouvement vertical, et d'une vitesse

u⃗

dirigée vers le bas.
Reproduire la figure II. 2 de droite sur la copie, puis dessiner l'allure des forces exercées par le déplacement de la bille centrale sur chacune des huit billes périphériques voisines, supposées immobiles, et causées par la nature visqueuse de l'écoulement.

- II.4.3

Figure II. 3

Deux sphères identiques

A

B

soumises à leur poids et à la friction visqueuse du fluide descendent à la même vitesse

u⃗

(figure II.3). On note

r⃗_A

r⃗_B

les positions respectives des sphères A et

B, r⃗_(AB)

la séparation

r⃗_B - r⃗_A

, et

d

la distance

‖r⃗_(AB)‖

. On suppose que le déplacement de la bille A crée au point B un champ de vitesse

v⃗(r⃗_(AB))

par rapport au référentiel du laboratoire. La bille B subit donc de la part du fluide une force de friction de Stokes égale à :

F⃗_s = - 6πηa[u⃗ - v⃗(r⃗_(AB))]

En faisant un bilan des forces exercées sur la bille B, déduire sa vitesse de descente

u⃗

en fonction de sa masse

m

, de l'accélération de la pesanteur

g

, de la viscosité du fluide

η

et du rayon

a

.
En comparant avec le résultat obtenu en II.3.1, conclure sur le fait que deux billes proches sédimentent plus vite, moins vite ou aussi vite qu'une bille isolée.

Fin de l'énoncé

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