CCINP Mathématiques 1 PC 2008Sujet, corrigé et rapport du jury

N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction.

Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

Pour tout n entier naturel supérieur ou égal à 1 , on note M_n(ℝ) le ℝ-espace vectoriel des matrices carrées d'ordre n à coefficients dans ℝ et M_(n, 1)(ℝ) le ℝ-espace vectoriel des matrices colonnes à n lignes à coefficients dans ℝ.
S_n(ℝ) désigne l'ensemble des matrices symétriques de M_n(ℝ), O_n(ℝ) l'ensemble des matrices orthogonales de M_n(ℝ) et I_n la matrice identité d'ordre n.

Tout vecteur x = (x_i)_(1 ⩽ i ⩽ n) de ℝ^n est identifié à un élément X de M_(n, 1)(ℝ) tel que l'élément de la i^(ème) ligne de X soit x_i. Dans toute la suite, nous noterons indifféremment X = (x_i)_(1 ⩽ i ⩽ n) un élément de M_(n, 1)(ℝ) aussi bien que le vecteur de ℝ^n qui lui est associé.

Selon le contexte, 0 désigne soit le réel nul, soit la matrice nulle de M_n(ℝ), soit encore la matrice nulle de M_(n, 1)(ℝ).
ℝ^n est muni de son produit scalaire canonique noté (⋅ | ⋅)_n et de la norme associée notée ‖ ⋅ ‖_n.
Une matrice carrée réelle M sera dite positive si tous ses coefficients sont positifs ou nuls et on notera dans ce cas M ⩾ 0. De même un vecteur X de ℝ^n sera dit positif si toutes ses composantes x_i sont positives ou nulles et on notera aussi X ⩾ 0. L'ensemble des matrices carrées réelles d'ordre n, positives et symétriques est noté S_n(ℝ_+).

L'objectif de ce problème est d'étudier des conditions pour lesquelles, étant donnés n nombres réels distincts ou non, λ_1, λ_2, …, λ_n, il existe une matrice carrée réelle d'ordre n positive et symétrique admettant pour valeurs propres λ_1, λ_2, …, λ_n comptées avec multiplicité, c'est-à-dire dont le polynôme caractéristique est égal à ∏_(k = 1)^n(λ_k − X).

Dans la première partie on considérera quelques exemples simples.
Dans la seconde, on montrera que si S est une matrice carrée réelle positive et symétrique de plus grande valeur propre α, alors α est positif, S admet pour la valeur propre α un vecteur propre positif et toute valeur propre λ de S vérifie |λ| ⩽ α.

La troisième partie, assez technique, permettra de connaître les valeurs propres d'une matrice carrée réelle positive et symétrique d'ordre n + p construite à partir de deux matrices A et B carrées réelles positives et symétriques d'ordres respectifs n et p dont on connaît les valeurs propres.

Enfin la dernière partie donnera des conditions suffisantes pour qu'il existe une matrice carrée réelle positive et symétrique d'ordre n admettant pour valeurs propres comptées avec multiplicité, n réels donnés.

I. 1 Montrer que si λ_1, λ_2, …, λ_n sont des réels positifs, distincts ou non, il existe une matrice S carrée réelle positive et symétrique d'ordre n et de valeurs propres λ_1, λ_2, …, λ_n, comptées avec multiplicité.
I. 2 a) Soit M une matrice carrée réelle d'ordre 2 admettant -1 et 1 pour valeurs propres. Montrer que son polynôme caractéristique P est donné par P(X) = X^2 − 1.
b) En déduire une matrice S carrée réelle positive et symétrique d'ordre 2 admettant pour valeurs propres -1 et 1 .
I. 3 Déterminer une matrice S carrée réelle positive et symétrique d'ordre 3 admettant pour valeurs propres − 1, 0 et 1 .
I. 4 Déterminer une matrice S carrée réelle positive et symétrique d'ordre 4 admettant pour valeurs propres comptées avec multiplicité : − 1, − 1, 1 et 1 .
I. 5 Montrer qu'il n'existe aucune matrice S carrée réelle positive et symétrique d'ordre 3 admettant pour valeurs propres comptées avec multiplicité : − 1, − 1 et 0 .
I. 6 a) Pour a et b réels, on note H la matrice carrée d'ordre n dont les coefficients diagonaux valent tous a et les autres valent tous b. Déterminer les valeurs propres de H.
b) Une matrice carrée réelle symétrique d'ordre n dont toutes les valeurs propres sont positives ou nulles est-elle nécessairement positive ?

II. 1 Soit (X, Y) ∈ (M_(n, 1)(ℝ))^2, S ∈ S_n(ℝ) et P ∈ O_n(ℝ). Établir les égalités :
a) (X|Y)_n = ^t XY = ^t YX.
b) ^t XSY = (X|SY)_n = (SX|Y)_n.
c) ‖PX‖_n = ‖X‖_n.
II. 2 Soit (X, Y) ∈ (M_(n, 1)(ℝ))^2 et (U, V) ∈ (M_(p, 1)(ℝ))^2. On note Z et T les matrices de M_(n + p, 1)(ℝ) définies par blocs sous la forme

a) Montrer que (Z|T)_(n + p) = (X|Y)_n + (U|V)_p.
b) Montrer que si X, Y sont orthogonaux dans ℝ^n et U, V orthogonaux dans ℝ^p, Z et T sont orthogonaux dans ℝ^(n + p).
c) La réciproque est-elle vraie ?

Dans la suite de cette partie S désigne une matrice de S_n(ℝ) et D = diag(λ_1, …, λ_n) une matrice diagonale semblable à S. On pose α = max_(1 ⩽ i ⩽ n)λ_i.
II. 3 a) Montrer que pour tout Y ∈ M_(n, 1)(ℝ), (DY|Y)_n ⩽ α‖Y‖_n^2.
b) En déduire que pour tout X ∈ M_(n, 1)(ℝ)∖{0}, ((SX|X)_n)/(‖X‖_n^2) ⩽ α.
c) En utilisant une décomposition du vecteur X sur une base orthonormée de vecteurs propres de S, montrer que cette dernière inégalité est une égalité si et seulement si X est vecteur propre de S associé à la valeur propre α.
II. 4 Soit E = {X ∈ M_(n, 1)(ℝ)|X ⩾ 0}, Σ = {X ∈ M_(n, 1)(ℝ)|‖X‖_n = 1} et C = E ∩ Σ.
a) Montrer que E est un fermé de M_(n, 1)(ℝ).
b) Montrer que C est un fermé borné de M_(n, 1)(ℝ).
c) Soit φ : M_(n, 1)(ℝ) ⟶ ℝ, X ⟼ (SX|X)_n. Donner l'expression de φ(X) en fonction des coefficients de S et de ceux de X; en déduire que φ est continue sur M_(n, 1)(ℝ).
d) On pose μ = sup_(X ∈ C)φ(X). Justifier l'existence de μ et montrer qu'il existe X_0 appartenant à C tel que φ(X_0) = μ.
e) Montrer que μ ⩽ α.
II. 5 On suppose dans cette question S ⩾ 0.
a) Si X = (x_i)_(1 ⩽ i ⩽ n) est un vecteur propre unitaire de S associé à la valeur propre α, on pose W = (|x_i|)_(1 ⩽ i ⩽ n).
i) Montrer que W est élément de C.
ii) Montrer que |φ(X)| ⩽ φ(W).
iii) Montrer que |α| ⩽ μ.
b) En déduire α ⩾ 0, puis que la matrice S admet un vecteur propre positif associé à la valeur propre α.
c) Montrer que pour tout i ∈ {1, 2, …, n}, |λ_i| ⩽ α.

Soit n et p deux éléments de ℕ^∗, A, B deux matrices symétriques réelles d'ordres respectifs n et p, (X_1, X_2, …, X_n) une base orthonormée de ℝ^n formée de vecteurs propres de A, (Y_1, Y_2, …, Y_p) une base orthonormée de ℝ^p formée de vecteurs propres de B et α_1, α_2, …, α_n, β_1, β_2, …, β_p les réels tels que :

Pour tout réel s, on note M_s la matrice de M_(n + p)(ℝ) donnée sous forme de blocs par :

et on considère les vecteurs (Z_i)_(1 ⩽ i ⩽ n) de ℝ^(n + p) définis par Z_i = ((X_i)/0), ainsi que les vecteurs (T_j)_(1 ⩽ j ⩽ p) de ℝ^(n + p) définis par T_j = (0/(Y_j)).
III. 1 Montrer que Z_2, Z_3, …, Z_n et T_2, T_3, …, T_p sont vecteurs propres de M_s et préciser les valeurs propres correspondantes.
III. 2 Pour θ réel, on note V(θ) le vecteur défini par V(θ) = (((cosθ)X_1)/((sinθ)Y_1))
a) Montrer que V(θ) est unitaire dans ℝ^(n + p).
b) Déterminer le spectre de M_0.
c) On suppose dans cette question s ≠ 0. On note θ_1 l'unique réel de l'intervalle ] − π/2, + π/2[ tel que :

et on pose θ_2 = θ_1 + π/2.
i) Montrer que θ_1 est non nul.
ii) Évaluer le produit (tanθ_1)(tanθ_2).
iii) Montrer que θ_1 et θ_2 vérifient l'équation :

iv) En déduire que V(θ_1) et V(θ_2) sont vecteurs propres de M_s et exprimer les valeurs propres correspondantes μ_1 et μ_2 en fonction de α_1, β_1 et s.
v) Montrer que les vecteurs V(θ_1), V(θ_2), Z_2, Z_3, …, Z_n, T_2, T_3, …, T_p forment une base orthonormée de ℝ^(n + p) et donner l'ensemble des valeurs propres de M_s.
vi) Montrer que les formules exprimant μ_1 et μ_2 en fonction de α_1, β_1 et s donnent encore des valeurs propres de M_s lorsque s = 0.

Dans cette partie on se propose de démontrer par récurrence la propriété ( P_n ) suivante : si (λ_1, λ_2, …, λ_n) est un élément de ℝ^n tel que :

alors il existe A ∈ S_n(ℝ_+)tel que λ_1, λ_2, …, λ_n soient les valeurs propres de A comptées avec multiplicité.
IV. 1 Vérifier que ( P_1 ) est vraie.
IV. 2 Soit n ∈ ℕ^∗ tel que (P_n) soit vraie et soit (λ_1, λ_2, …, λ_n, λ_(n + 1)) ∈ ℝ^(n + 1) vérifiant :

On pose a = λ_1 + λ_(n + 1).
a) Montrer qu'il existe A ∈ S_n(ℝ_+)tel que a, λ_2, …, λ_n soient valeurs propres de A. Dans la suite de cette question IV.2, A désignera une telle matrice.
b) Montrer que A admet un vecteur propre X_1 unitaire et positif associé à la valeur propre a.
c) Pour s réel, soit M_s la matrice de M_(n + 1)(ℝ) définie par :

i) Vérifier que M_s est bien de la forme (1) : préciser p, B et Y_1.
ii) En déduire les valeurs propres de M_s.
iii) Montrer que si s = √(− λ_1 λ_(n + 1)), les valeurs propres de M_s sont : λ_1, λ_2, …, λ_n, λ_(n + 1) et conclure.

a) Déterminer le spectre de la matrice A = (1, 2, 3; 2, 1, 3; 3, 3, 0)
b) Déterminer une matrice B carrée réelle positive et symétrique d'ordre 4 , admettant pour valeurs propres λ_1 = 9, λ_2 = − 1, λ_3 = λ_4 = − 3.