Mines Mathématiques 2 PC 2008Sujet, corrigé et rapport du jury

Stabilité d'un polynôme trigonométrique

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Difficulté moyenne

Polynômes trigonométriques : norme et stabilité, construction d'un polynôme trigonométrique non stable par majoration fine des coefficients de Fourier

Le sujet de mathématiques 2, Mines-Ponts PC 2008, étudie la stabilité des polynômes trigonométriques, c'est-à-dire le caractère borné de la suite des normes de leurs puissances successives. Après un critère simple de non-stabilité, le sujet construit un polynôme trigonométrique particulier vérifiant |a(x)| inférieur ou égal à 1 sur R, puis démontre, par des estimations fines d'intégrales oscillantes, que ce polynôme n'est pourtant pas stable.

1Partie I : stabilité d'un polynôme trigonométriqueDéfinition d'une norme sur l'espace des polynômes trigonométriques, formule intégrale de ses coefficients, encadrement de la norme par le sup du module, et critère simple de non-stabilité.
2Partie II : un polynôme trigonométrique particulierÉtude d'un polynôme trigonométrique dépendant d'un paramètre, développement limité à l'ordre 4 au voisinage de 0, et écriture sous forme d'un produit séparant une partie oscillante et une partie décroissante.
3Partie III : majoration des coefficients de a^kEstimations fines d'intégrales oscillantes par intégration par parties, majoration des coefficients de Fourier des puissances du polynôme, puis minoration de la norme de ces puissances montrant que le polynôme n'est pas stable.

Difficulté moyenne. Le rapport indique que le sujet, sans difficulté particulière, demandait une bonne maîtrise du calcul intégral et une certaine aisance en calcul, et qu'il a permis de bien départager les candidats malgré des erreurs fréquentes sur des points élémentaires.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées

Propriétés de la norme incomplètement vérifiées · Inégalité écrite à tort entre nombres complexes · Inégalité de norme utilisée sans justification

Le problème demandait une bonne maîtrise du calcul intégral et une certaine aisance en calcul, sans présenter de difficulté conceptuelle particulière ; il a permis de bien départager les candidats. Le jury relève cependant des oublis récurrents de vérification d'hypothèses, une manipulation approximative des inégalités et des valeurs absolues, ainsi que des questions plus délicates (15, 17, 18, 19) très rarement traitées correctement ou abordées.

Les erreurs les plus sanctionnées

1
Propriétés de la norme incomplètement vérifiéesQuestion 1
Cette première question ne posait pas de difficulté, mais il était nécessaire de connaître les propriétés caractéristiques d'une norme ; beaucoup de candidats ont oublié d'en vérifier une ou deux.
« Beaucoup de candidats ont oublié de vérifier une ou deux propriétés. »
2
Inégalité écrite à tort entre nombres complexesQuestion 3
Cette question est rarement traitée correctement : les candidats semblent oublier les réflexes les plus élémentaires, comme de ne pas écrire d'inégalité entre nombres complexes.
« comme de ne pas écrire d'inégalité entre nombres complexes ! »
3
Inégalité de norme utilisée sans justificationQuestion 4
Peu de candidats ont traité cette question correctement ; beaucoup ont utilisé une inégalité entre la norme de la puissance et la puissance de la norme, certes efficace, mais absolument injustifiée.
« inégalité certes efficace mais absolument injustifiée »
4
Primitive de la valeur absolue prise à tortQuestion 8
La manipulation des valeurs absolues est mal maîtrisée, en particulier dans les intégrales : beaucoup de candidats prennent la primitive de la valeur absolue de l'intégrande, ce qui n'est pas correct.
« Beaucoup de candidats prennent la primitive de la valeur absolue de l'intégrant, ce qui n'est pas correct. »
5
Analyse fine de la limite en 0 non perçueQuestion 15
Cette question, assez délicate, demandait une analyse fine utilisant le fait que la limite en 0 de la fonction epsilon est nulle ; la plupart des candidats sont complètement passés à côté de la difficulté.
« La plupart des candidats sont complètement passés à côté de la difficulté. »
6
Inégalités appliquées à tort après dérivationQuestion 16
Il est important de rappeler que les inégalités ne passent pas à la dérivation, erreur que le jury a dû rectifier à cette question.
« les inégalités ne passent pas à la dérivation ! »

Ce qui a été bien réussi

L'inversion de la somme et de l'intégrale à la question 2 ne posait aucune difficulté, puisqu'il s'agissait seulement de sommes finies.
La question 7 était très simple lorsque la question 6 avait été résolue.
Les questions 13 et 14 ne posaient pas de difficulté particulière pour les candidats ayant les résultats précédents clairement en tête.

Conseils du jury

Lire le sujet en entier avant de commencer pour avoir une vision claire des buts poursuivis.
Ne pas écrire n'importe quoi par impatience de conclure : ne pas retourner une inégalité dans le mauvais sens ni faire disparaître discrètement un terme gênant.
Avoir une idée précise de la solution avant de rédiger, pour se concentrer sur une rédaction claire, concise et dans un français correct.
Bien connaître le programme et les théorèmes du cours, notamment d'analyse élémentaire (accroissements finis, valeurs intermédiaires), et vérifier systématiquement leurs hypothèses avant de les appliquer.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.

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ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES.

ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE. ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI).

CONCOURS D'ADMISSION 2008

SECONDE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Filière PC

(Durée de l'épreuve :

3

heures) L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit.

Sujet mis à la disposition des concours : ENSTIM, TELECOM SudParis (ex TELECOM INT), TPE-EIVP, Cycle international

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie :

MATHÉMATIQUES II - PC

L'énoncé de cette épreuve comporte 6 pages de texte.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Stabilité d'un polynôme trigonométrique

Définition 1. On appelle polynôme trigonométrique toute fonction c de la variable réelle

x

de la forme

c(x) = \sum_(n = - \infty)^\inftyc_n e^(inx)

où les

c_n

sont des nombres complexes, tous nuls sauf un nombre fini d'entre eux. On appelle degré de

c

, noté

degc

, le plus petit entier

K

tel que

c_j = 0

pour tout

|j| > K

.
On désigne par

E

l'ensemble des polynômes trigonométriques; on tiendra pour acquis que

E

est un

C

-espace vectoriel stable par la multiplication des fonctions.

Pour un nombre complexe

z, ℜ(z)

représente sa partie réelle et

ℑ(z)

sa partie imaginaire.

I Stabilité d'un polynôme trigonométrique

Montrer que l'on définit une norme sur $E$ en posant

‖c‖ = \sum_(n = - \infty)^\infty|c_n|

pour tout

c \in E

.
2. Soit

c \in E

, établir pour tout entier

p

{ - degc, \dots, degc}

, l'identité

c_p = 1/(2π)\int_(- π)^π c(x)e^(- ipx) dx.

Montrer que pour tout $c \in E$ , on a

sup_(x \in R)|c(x)| ⩽ ‖c‖ ⩽ (2degc + 1)sup_(x \in R)|c(x)|.

Définition 2. On dira que le polynôme trigonométrique c est stable lorsque la suite

‖c^k‖

des normes de ses puissances successives est bornée quand

k

décrit

N

.
4. Montrer que s'il existe

x_0 \in R

tel que

|c(x_0)| > 1

alors

c

n'est pas stable.

Le but de la suite de ce problème est de montrer que la condition

|c(x)| ⩽ 1

pour tout réel

x

n'est pas suffisante pour que

c

soit stable.

II Un polynôme trigonométrique particulier

Dorénavant,

α

désigne une constante réelle telle que

0 < α < 1

a

désigne le polynôme trigonométrique

a(x) = α^2 cosx - iαsinx + 1 - α^2

Pour tout entier

k ⩾ 2

, on note

a_(k, n)

les nombres complexes tels que la puissance

k

-ième de

a(x)

s'écrive

a^k(x) = \sum_(n = - k)^k a_(k, n)e^(inx)

Établir, pour tout réel $x$ , l'identité

|a(x)|^2 = 1 - 4(α^2 - α^4)sin^4 x/2

En déduire que

a

vérifie les propriétés

a(0) = 1

|a(x)| < 1

pour tout

x

appartenant à

]0, π]

.
6. Donner les développements limités à l'ordre 4 au voisinage de 0 des fonctions

g

h

définies par

g(x) = ln(|a(x)|^2) et h(x) = arctan((ℑ(a(x)))/(ℜ(a(x))))

En déduire que l'on a, au voisinage de 0 , la relation suivante :

a(x) = exp(- iαx + i(α - α^3)/6x^3 - (α^2 - α^4)/8x^4 + o(x^4))

Il existe donc trois réels

α, β

γ

strictement positifs et une fonction

ε : [ - π, π] \to C

, tendant vers 0 quand

x

tend vers 0 tels que l'on ait, pour tout

x

dans un voisinage de 0 ,

a(x) = exp(- iαx + iβx^3 - γx^4(1 + ε(x)))

On admet que la fonction

ε

est définie et de classe

𝒞^1

sur

[ - π, π]

. Dans toute la suite, on posera

d(x) = exp(- iαx + iβx^3) et b(x) = exp(- γx^4(1 + ε(x)))

de sorte que

a(x) = d(x)b(x)

|a(x)| = |b(x)|

III Majoration des coefficients de $a^k$

Soit

[r, s]

un segment de longueur non nulle de

R

, soit

f

une fonction de classe

𝒞^2

sur

R

à valeurs réelles. On suppose qu'il existe

K > 0

tel que

|f^'(t)| ⩾ K

pour tout

t \in [r, s]

et que de plus

f^('')(t) ⩾ 0

pour tout

t \in [r, s]

.
8. Montrer l'inégalité

|\int_r^s(f^('')(t))/((f^'(t))^2) dt| ⩽ 2/K

En intégrant par parties l'intégrale

\int_r^s 1/(f^'(t))(f^'(t)cosf(t))dt

établir que

|\int_r^s cosf(t)dt| ⩽ 4/K

Dans les question 10 à

12, [u, v]

désigne un segment de longueur non nulle de

R

f

une fonction de classe

𝒞^2

sur

[u, v]

, à valeurs réelles. On suppose cette fois que

f^('')(t) ⩾ M > 0

pour tout

t

appartenant à

[u, v]

.
10. On suppose que

f^'(u) ⩾ 0

. Établir, sur

[u + 2/\sqrtM, v]

, l'inégalité suivante

f^'(t) ⩾ 2\sqrtM

En déduire que

|\int_u^v cosf(t)dt| ⩽ 4/(\sqrtM)

On admettra que le résultat est identique lorsque

f^'(v) ⩽ 0

.
12. On suppose que

f^'(u)f^'(v) < 0

. Montrer qu'il existe un unique réel

w

]u, v[

tel que

f^'(w) = 0

. En déduire que

|\int_u^v cosf(t)dt| ⩽ 8/(\sqrtM)

Dans les questions 13 et

14, ζ

désigne un nombre réel,

k

un entier naturel non nul et

J_(k, ζ)

la fonction définie par

J_(k, ζ)(x) = \int_0^x cos(ζt + kβt^3)dt

où

β

est le nombre réel non nul défini après la question 7 .
13. Montrer, pour tout

x

appartenant à

[k^(- 1/3), π]

, l'inégalité :

|\int_(k^(- 1/3))^x cos(ζt + kβt^3)dt| ⩽ (8k^(- 1/3))/(\sqrt(6β))

En déduire qu'il existe une constante $C_1 > 0$ , indépendante de $ζ$ et $k$ , telle que pour tout $x$ de $[0, π]$ on ait la relation

|J_(k, ζ)(x)| ⩽ C_1 k^(- 1/3)

On admet que l'on peut démontrer de la même manière qu'il existe une constante

C_2

, indépendante de

k

ζ

, telle que pour tout

x

[0, π]

on ait la relation suivante :

|\int_0^x sin(ζt + kβt^3)dt| ⩽ C_2 k^(- 1/3)

Montrer qu'il existe une constante $λ > 0$ telle que pour tout $x$ de $[ - π, π]$ , on ait

|b(x)| ⩽ exp(- λx^4)

Montrer qu'il existe une constante $C_3 > 0$ telle que pour tout $x$ de $[ - π, π]$ , on ait

|b^'(x)| ⩽ C_3|x^3|

À l'aide d'une intégration par parties et en utilisant les résultats précédents, montrer qu'il existe une constante $C_4$ indépendante de $n$ et de $k$ telle que pour tout entier non nul $k$ et pour tout entier relatif $n$ , on ait l'inégalité :

|\int_(- π)^π J_(k, αk + n)^'(x)(b(x))^k dx| ⩽ C_4 k^(- 1/3)

En déduire qu'il existe une constante $C_5 > 0$ indépendante de $k$ et $n$ telle que pour tout $k \in N^*$ et pour tout $n \in { - k, \dots, k}$ , on ait l'inégalité

|a_(k, n)| ⩽ C_5 k^(- 1/3)

On admet dorénavant l'existence d'une constante

C_6 > 0

telle que, pour tout entier

k

non nul,

\int_(- π)^π|a(x)|^(2k) dx ⩾ C_6 k^(- 1/4).

Montrer qu'il existe $C_7 > 0$ tel que, pour tout entier $k$ ,

‖a^k‖ ⩾ C_7 k^(1/12)

c'est-à-dire que

a

n'est pas stable !

Fin du problème

Questions fréquentes

4 questions

Sur quels chapitres porte l'épreuve de mathématiques 2 Mines-Ponts PC 2008 ?

Le sujet porte sur les polynômes trigonométriques, leur norme, la notion de stabilité, et sur des majorations fines d'intégrales oscillantes permettant de construire un polynôme trigonométrique borné mais non stable.

Quelle est la moyenne à l'épreuve de mathématiques 2 Mines-Ponts PC 2008 ?

Le rapport ne communique aucune moyenne ni écart-type chiffrés pour cette épreuve.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées à cette épreuve de mathématiques 2 Mines-Ponts PC 2008 ?

Le jury relève des propriétés de norme mal vérifiées, des inégalités écrites à tort entre nombres complexes ou utilisées sans justification, une manipulation incorrecte des valeurs absolues dans des intégrales, et une croyance erronée que les inégalités passent à la dérivation.

Cette épreuve de mathématiques 2 Mines-Ponts PC 2008 est-elle difficile ?

Le rapport la juge sans difficulté conceptuelle particulière, mais exigeante en maîtrise du calcul intégral ; elle a permis de bien départager les candidats, les dernières questions ayant été très rarement traitées correctement.

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Stabilité d'un polynôme trigonométrique

I Stabilité d'un polynôme trigonométrique

II Un polynôme trigonométrique particulier

III Majoration des coefficients de a^k

Fin du problème

Questions fréquentes

Sur quels chapitres porte l'épreuve de mathématiques 2 Mines-Ponts PC 2008 ?

Quelle est la moyenne à l'épreuve de mathématiques 2 Mines-Ponts PC 2008 ?

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées à cette épreuve de mathématiques 2 Mines-Ponts PC 2008 ?

Cette épreuve de mathématiques 2 Mines-Ponts PC 2008 est-elle difficile ?

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III Majoration des coefficients de $a^k$