Mines Physique 1 PC 2008Sujet, corrigé et rapport du jury

CONCOURS D'ADMISSION 2008

Dans tout ce problème, les vecteurs sont surmontés d'un chapeau aˆ s'ils sont unitaires, d'une flèche a⃗ dans le cas contraire. Les nombres complexes sont soulignés : z_– ∈ ℂ.
Lorsqu'une bille sphérique roule sur une piste de forme circulaire suspendue en un point, le couplage entre la bille et la piste engendre un mouvement spectaculaire, objet de ce problème.

Une sphère homogène, de centre C, de rayon r et de masse m, est mobile dans un plan vertical en restant en contact avec un rail PP^′, de masse M, que l'on modélise par une portion de cercle de centre O et de rayon R, dont l'axe de symétrie est vertical.

Le moment d'inertie de la sphère par rapport à un axe passant par C est J = 2mr^2/5. Le référentiel fixe orthonormé direct R_g = ( O, iˆ, jˆ, kˆ ) où iˆ est vertical dirigé vers le bas est supposé galiléen (voir Figure 1). On pourra également utiliser les vecteurs mobiles polaires unitaires rˆ et αˆ représentés sur la Figure 1. Le mouvement de la sphère est repéré par deux paramètres : l'angle α que fait OC^(→−) avec iˆ et l'angle de rotation θ autour de l'axe horizontal qui porte kˆ. À chaque instant t, on appelle I le point de contact de la sphère avec le rail. On note A le point du rail situé sur son axe de symétrie. L'accélération de la pesanteur est g⃗ = ggiˆ.

La sphère roule sans glisser sur le rail fixe. Initialement, elle est au repos et OC^(→−) fait un angle α_o avec iˆ. Le système comprend deux degrés de liberté cinématiques, α et θ.
◻1 - Écrire la condition de roulement sans glissement de la sphère sur le rail sous la forme d'une relation linéaire liant r, R, θ˙ = dθ/dt et α˙ = dα/dt. Contrôler la pertinence de la relation obtenue, d'une part en comparant les signes respectifs de θ˙ et de α˙, et d'autre part en analysant la situation lorsque r = R.
◻2 - Déterminer l'expression de l'énergie mécanique totale E_t du système. En déduire l'équation différentielle vérifiée par la fonction α(t).
◻3 - Déterminer la période T_(po) des petites oscillations.
On considère deux rails circulaires de même rayon R. Sur chaque rail, on place à l'instant initial une sphère de rayon r, de masse m en des points repérés par le même angle α_o (situation déjà représentée sur la Figure 1). Les sphères sont lâchées au même instant, avec une vitesse initiale nulle. Les deux rails sont de nature différente, de sorte que la première sphère roule sans glisser et que la seconde glisse sans rouler.
-4 - En utilisant des arguments énergétiques qualitatifs, déterminer quelle est la sphère qui arrive la première au point le plus bas A. Le résultat est-il modifié si les masses des sphères sont différentes ?
◻5 - Établir une expression intégrale du temps τ mis par la sphère la plus rapide pour atteindre le point A. Comment peut-on, sans calcul supplémentaire, obtenir le temps τ^′ mis par la sphère la plus lente pour atteindre ce point? Déterminer le rapport τ^′/τ.

Les points P et P^′ sont attachés en O par des fils inextensibles de masse négligeable, ce qui permet au rail d'osciller autour de l'axe horizontal passant par O. La position du milieu A du rail est repérée par l'angle β représenté sur la Figure 2. Le centre de masse G du rail se trouve à chaque instant sur la droite OA à une distance ℓ de O. On note J^′ = MR^2 le moment d'inertie du rail par rapport à son axe de rotation. On appelle respectivement N et T les composantes de la force de réaction du rail sur la sphère au point I selon rˆ et αˆ. La sphère roule sans glisser sur le rail, qui est maintenant en forme de quart de cercle, les grandeurs α et θ sont les mêmes que celles utilisées dans la partie I.

◻6 - Écrire la condition de roulement sans glissement reliant θ˙, α˙ et β˙ = dβ/dt.
◻7 - Exprimer dans R_g le moment cinétique σ_(1C)^(→−) de la sphère en C et en déduire l'expression du moment cinétique σ_(1O)^(→−) de la sphère en O.
◻8 - Exprimer dans R_g le moment cinétique σ_(2O)^(→−) du rail en O.
◻9 - Exprimer dans R_g, l'énergie cinétique E_(CS) de la sphère, l'énergie cinétique E_(CR) du rail et enfin l'énergie cinétique E_(CT) de l'ensemble rail-sphère.
◻10 - Appliquer le théorème du moment cinétique en O à l'ensemble rail-sphère et en déduire une équation différentielle liant les fonctions α(t) et β(t).
◻11 - Appliquer le théorème du moment cinétique en C à la sphère seule et en déduire l'expression de T en fonction de θ¨ = d^2 θ/dt^2, puis, en utilisant le résultat de la question 6, en fonction de α¨ = d^2 α/dt^2 et β¨ = d^2 β/dt^2.
12 - Appliquer le théorème du moment cinétique en O au rail seul et en déduire la relation différentielle

On exprimera la constante A en fonction de M, m et R et la constante B en fonction de m, r et R
◻13 - Déduire des résultats précédents la relation

On exprimera la constante A^′ en fonction de m, r et R. Vérifier que l'équation (2) est en accord avec le résultat de la question 2 .
14-Retrouvez les équations (1) et (2) à partir de considérations énergétiques. Démontrer que AA^′ > B^2.

15-Que traduit l'absence de termes en α˙ et β˙ dans les équations (1) et (2)?

On considère dans cette sous-partie que les angles α et β sont l'un et l'autre voisins de zéro, ce qui permet de linéariser les équations (1) et (2). On pose D = Mgℓ et D^′ = mg(R − r). On cherche les solutions du système linéarisé sous la forme

où α_o_– et β_o_– sont deux nombres complexes, i^2 = − 1.
On appelle pulsation propre du système tout réel positif ω qui permet d'obtenir des solutions non nulles du système linéarisé sous la forme (3).
◻16 - Déterminer les pulsations propres ω_1 et ω_2 du système ( ω_1 > ω_2 ) en fonction de A, A^′, B, D et D^′.
On considère dorénavant que les conditions initiales du système sont

On réalise le montage expérimental de la Figure 2 avec les paramètres physiques suivants
r = 1, 27 × 10^(− 2) m, R = 19 × 10^(− 2) mM = 90 × 10^(− 3) kg, m = 67 × 10^(− 3) kgℓ = 17, 7 × 10^(− 2) m, g = 9, 81 m.s^(− 2)

On dispose d'un système de mesure qui permet d'enregistrer la valeur de l'angle β en fonction du temps. Pour des conditions initiales du type (4), avec α_o suffisamment faible, on obtient l'enregistrement représenté sur la Figure 3.

18 - Déterminer à partir de la Figure 3, une valeur approximative des pulsations propres du système expérimental. Cette estimation est-elle compatible avec les valeurs théoriques?

19 - On considère le montage électrique de la Figure 4. Trouver les équations différentielles vérifiées par les charges q_1(t) et q_2(t) des deux condensateurs.

20 - Quel est le lien entre ce montage et l'oscillateur mécanique de la partie II. Relier les constantes A, A^′, B, D et D^′ de la partie II aux caractéristiques des composants du montage de la Figure 4.