X ENS Physique B PC 2023Sujet, corrigé et rapport du jury

Mesure de la constante de structure fine

Pas encore noté

Faisable en sup ?

Faisable en partie en PCSI : 13 questions sur 45. Autres questions faisables en PCSI

Autres premières années : PTSI 12 · MP2I 11 · TSI1 12 · BCPST1 9 questions.

Détail par partie

Questions1/1Faisable
Partie I : Principe de la mesure de la constante de structure fine α11/30En partie
- Q2.a
- Q2.b
- Q2.c
- Q3.a
- Q3.b
- Q4.a
- Q4.b
- Q4.c
- Q4.d
- Question 5
- +1
Partie II : Effet systématique sur la mesure de la masse m d'un atome de Rubidium 87 lié à la courbure du front d'onde des lasers1/14En partie
- Question 15

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Annales X-ENS PC Physique X-ENS PC 2023 PC Physique Physique 2023

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Présentation du sujet

Difficile

Mesure de la constante de structure fine par interférométrie atomique

Le sujet suit la détermination expérimentale de la constante de structure fine par interférométrie avec des atomes de rubidium 87, avec les incertitudes comme fil rouge. La première partie relie cette constante à la constante de Rydberg par le modèle de Bohr, puis décrit la mesure de la masse de l'atome par transitions à deux photons et séparatrices atomiques. La seconde étudie les effets systématiques liés à la courbure du front d'onde des lasers, en optique gaussienne.

1Question préliminaireComparaison de deux valeurs expérimentales à l'aide de l'écart normalisé (Q.1).
2I.1 Lien entre la constante de structure fine et la constante de RydbergModèle de Bohr de l'atome d'hydrogène et apparition de la constante de structure fine.
3I.2 Mesure de la masse de l'atome de rubidium 87Effet de recul lors de transitions à un ou deux photons, séparatrices atomiques, interféromètre optique, principe de la mesure et effet de la gravité (Q.4 à Q.14).
4II Effet systématique lié à la courbure du front d'ondeDésalignement du faisceau, impulsion d'un photon pour un front d'onde courbe, laser de profil gaussien et variations locales d'intensité.

Difficile. Sans difficulté calculatoire insurmontable selon le jury, le sujet exigeait par endroits une compréhension très fine de la physique et s'est révélé particulièrement discriminant, avec une moyenne de 9,46.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 9,47 / 20 · écart-type 3,69 · 1 370 présents · où vous situez-vous ?

Moyenne: 9,47/ 20
Écart-type: 3,69
Présents: 1 370

Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Où je me situe ?

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : document officiel du concours. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées

Incertitudes mal discutées · Modèle de Bohr mal compris · États stationnaires ignorés

La grande majorité des candidats a abordé les deux tiers des 45 questions, et seule une poignée a traité presque tout le sujet correctement. Le jury relève de nombreuses lacunes, y compris sur des points élémentaires : incertitudes, états stationnaires, définition du système. Les meilleures copies sont celles qui ont cherché à comprendre la physique au lieu de chasser les points.

Les erreurs les plus sanctionnées

1
Incertitudes mal discutéesQ.1
L'écart normalisé entre deux valeurs et la propagation des incertitudes sont rarement bien traités, alors que ce sont des compétences explicites du programme.
« très peu de candidats ont été capables de discuter convenablement les problématiques d’incertitude »
2
Modèle de Bohr mal comprisI.1
L'adjectif semi-classique vient de la quantification du moment cinétique, pas du caractère non relativiste. Peu de candidats discutent le signe de l'énergie mécanique.
« c’est le caractère non-relativiste du mouvement de l’électron qui justifie l’adjectif semi-classique »
3
États stationnaires ignorésQ.6.a
Le jury en déduit que beaucoup ont fait l'impasse sur la mécanique quantique.
« si peu d’entre eux aient été capables de retrouver (ou simplement de donner) la définition des états stationnaires en mécanique quantique »
4
Bilans sans système définiQ.4.x, Q.5
Les bilans d'énergie et de quantité de mouvement échouent le plus souvent parce que le système n'a pas été défini au préalable.
« ce type de raisonnement impose de définir au préalable le système considéré »
5
Phase d'une fonction d'ondeQ.12.b, Q.14.a,b,c
Peu de candidats ont compris l'intégrale temporelle de la phase cumulée le long d'une trajectoire, ni qu'il fallait discuter l'évolution de la phase plutôt que le travail du poids.
« Très peu de candidats ont réellement réalisé ce que signifiait l’intégrale temporelle »
6
Front d'onde et équations de MaxwellII.2
Le caractère transverse d'une onde est confondu avec les propriétés d'une surface équiphase, qui ne dépendent pas du caractère vectoriel de l'onde.
« de très nombreux candidats ont cherché à répondre à ces questions en invoquant les équations de Maxwell. »

Ce qui a été bien réussi

La première sous-partie de I.2 (Q.4.x et Q.5), faite de bilans d'énergie et de quantité de mouvement, était élémentaire.
La quasi-totalité des candidats a répondu correctement à la Q.7.
La question sur le désalignement du faisceau laser (II.1) a en général été bien traitée.
La partie calculatoire sur le laser gaussien (II.3) et l'exploitation de la figure en II.4 ont été convenablement abordées par ceux qui les ont atteintes.

Conseils du jury

Maîtriser l'écart normalisé et la propagation des incertitudes, au cœur des programmes actuels.
Ne pas faire l'impasse sur la mécanique quantique, même vue en fin d'année.
Justifier rigoureusement chaque étape quand la formule à établir est donnée, plutôt que de survoler plusieurs calculs.
Prendre l'initiative d'un développement limité quand il est adapté.
Argumenter même un simple choix de signe.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

Corrigé détaillé

45 questions

Indice, stratégie puis corrigé complet pour chaque question, avec les remarques du jury.

45 questions corrigées une à une : un indice, puis la stratégie, puis le corrigé complet avec le résultat encadré et les remarques du jury. Chaque question est vérifiée avant publication.

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Description

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Sujet en PDF

ECOLE POLYTECHNIQUE - ESPCI ECOLES NORMALES SUPERIEURES

CONCOURS D'ADMISSION 2023

MERCREDI 19 AVRIL 2023 08h00-12h00

FILIERE PC - Epreuve n

^\circ5

PHYSIQUE B (XEULS)

Mesure de la constante de structure fine

Constantes fondamentales et autres valeurs numériques :

célérité de la lumière dans le vide : $c ≃ 3 \times 10^8 m \cdot s^(- 1)$
permittivité diélectrique du vide : $ε_0 ≃ 9 \times 10^(- 12) F \cdot m^(- 1)$
charge élémentaire : $e ≃ 1, 5 \times 10^(- 19)C$
constante de Planck : $h ≃ 7 \times 10^(- 34) J \cdot s$
constante de Planck réduite : $ℏ = h/2π ≃ 1 \times 10^(- 34) J \cdot s$
constante de Boltzmann : $k_B ≃ 1, 5 \times 10^(- 23) J \cdot K^(- 1)$
masse atomique d'un atome de Rubidium $87 : m ≃ 1, 5 \times 10^(- 25) kg$

Introduction

Ce sujet propose de s'intéresser à la mesure de la constante de structure fine

α

, dont Richard Feynman, célèbre physicien du XX

^e

siècle, disait qu'elle est "l'un des plus grands mystères de la physique : un nombre magique qui nous parvient sans que l'homme puisse le comprendre."

Cette constante, sans dimension, est directement reliée à l'interaction électromagnétique. Elle est donnée par la relation :

α = (e^2)/(4πε_0 ℏc)

Une valeur approchée de

α

est

1/137

. La mesure la plus précise à ce jour donne :

1/α = 137, 035999206 \pm 11 \times 10^(- 9)

soit une incertitude relative de l'ordre de

8 \times 10^(- 11)

. Ce sujet a pour but d'expliquer comment la constante de structure fine

α

a pu être mesurée avec une telle précision.

Question préliminaire

Une autre détermination précise de

α

a pu être effectuée de manière indépendante. Cette autre détermination fait en particulier intervenir des calculs issus du "Modèle standard", qui est le cadre théorique de notre compréhension actuelle des forces forte, faible et électromagnétique. La valeur obtenue est :

1/α = 137, 03599915 \pm 3 \times 10^(- 8)

Comparer les deux valeurs de $1/α$ données par les Éq. (2) et Éq. (3) en calculant leur écart normalisé (que l'on comparera à 2). La théorie du Modèle Standard semble-t-elle valide au regard de ces deux valeurs?

Dans la partie I.1, nous nous intéresserons au lien entre

α

et une autre constante fondamentale connue avec précision : la constante de Rydberg

R_\infty

. Nous étudierons dans toute la suite du sujet le principe de la mesure de la masse

m

de l'atome de Rubidium 87 , qui permet de remonter à

α

La partie I. 2 présentera le principe de cette mesure, réalisée par interférométrie atomique. La partie II traitera la source d'erreur principale de la mesure qui doit être prise en compte pour obtenir une valeur correcte de

α

Les parties I et II sont dans une large mesure indépendantes.

I Principe de la mesure de la constante de structure fine $α$

I. 1 Lien entre la constante de structure fine $α$ et la constante de Rydberg $R_\infty$

En 1888, Johannes Rydberg trouve une formule empirique qui permet d'exprimer les longueurs d'onde des raies d'émission de l'hydrogène :

1/λ = R_\infty(1/(n_1^2) - 1/(n_2^2))

avec

n_1

n_2

deux entiers (

n_1 < n_2

), et

R_\infty

une constante alors appelée constante de Rydberg. Cette observation marque les débuts de l'avènement de la physique quantique.

Niels Bohr propose en 1913 un modèle "semi-classique" permettant d'expliquer ces observations. Il développe un "modèle planétaire" de l'atome d'hydrogène, alors modélisé par un proton de charge

+ e

supposé fixe, et un électron de charge

- e

et de masse

m_e

, non relativiste, soumis à la force électrostatique du proton et en orbite circulaire autour de lui. Niels Bohr fait également l'hypothèse de la quantification du moment cinétique orbital

L

de l'électron en écrivant

L = nℏ

où

n

est un entier naturel non nul. À chaque valeur de

n

correspond une orbite différente.
2.a Pourquoi un tel modèle est-il qualifié de semi-classique?
2.b Exprimer les vitesses

v_n

associées à chaque orbite. Sur quelle orbite la vitesse maximale estelle atteinte? Exprimer sa valeur en fonction de

c

et de

α

. Est-il alors légitime de considérer que l'électron est non relativiste dans le modèle de Bohr de l'atome d'hydrogène?
2.c Calculer l'énergie mécanique

E_n

de l'électron en fonction de

n

. Retrouver la formule de Rydberg (Éq. (4)) et en déduire l'expression de

R_\infty

en fonction de

m_e, e, h, c

ε_0

Si un tel modèle a ses limites, la constante de Rydberg continue d'intervenir dans les modèles théoriques les plus perfectionnés pour décrire les raies d'émission de l'atome d'hydrogène. La mesure précise de ces raies a permis de déterminer

R_\infty

avec une précision relative de

2 \times 10^(- 12)

.
3.a Montrer

α = \sqrt((2R_\infty)/c \times m/(m_e) \times h/m)

avec

m

la masse d'un atome de Rubidium.
On fait ici intervenir le rapport

m_e/m

car il est expérimentalement plus aisé de mesurer indépendamment la masse

m

de l'atome de Rubidium 87 (beaucoup plus grande que celle d'un électron) et la masse relative de l'électron par rapport à cet atome. Le rapport

m/m_e

a pu être mesuré avec une précision relative de

7 \times 10^(- 11)

.
3.b On note

u(α)

l'incertitude-type sur

α

. Donner la formule reliant l'incertitude relative

u(α)/α

sur la mesure de

α

à celle des autres grandeurs

R_\infty, m/m_e

m

qui interviennent dans son expression d'après l'Éq. (5). Pourquoi aucune incertitude ne doit être associée à la valeur de

c

et de

h

? Vérifier que l'on a :

(u(m))/m ≃ 1, 5 \times 10^(- 10)

Mesurer précisément

α

revient donc à mesurer précisément

m

. Dans la suite, nous nous intéressons à la mesure de

m

par interférométrie atomique.

I. 2 Mesure de la masse de l'atome de Rubidium 87

En mécanique quantique, un atome peut être décrit par une fonction d'onde dont l'évolution est donnée par l'équation de Schrödinger. De même qu'en interférométrie optique un faisceau lumineux est séparé en plusieurs sous-faisceaux, qui sont ensuite recombinés en sortie de l'interféromètre, l'interférométrie atomique consiste à "séparer spatialement" et à recombiner la fonction d'onde associée à un atome. Cette séparation de la fonction d'onde peut être effectuée à l'aide de séparatrices atomiques, qui sont des impulsions laser qui tirent profit de l'effet de recul associé à l'absorption ou l'émission d'un photon.

I.2.1 Transitions à un ou à deux photons et effet de recul

On considère un atome de Rubidium 87, de masse

m

. L'énergie mécanique totale de l'atome, notée

E

, peut être décomposée en trois parties : l'énergie cinétique et l'énergie potentielle de l'atome, et l'énergie mécanique des électrons (ou énergie électronique). L'énergie mécanique des électrons peut valoir

E_a, E_b

E_c

: on représente les états électroniques de l'atome sur la Fig. 1a. On prendra l'énergie potentielle

E_p

constante dans ce qui suit, excepté dans la partie I.2.5. L'état

a

est l'état fondamental, de durée de vie infinie. La durée de vie de l'état

b

étant très grande devant celle de l'état

c

, on la considère également comme infinie.

Figure 1 - (a) : Niveaux d'énergie de l'atome de Rubidium 87 ; (b) : Principe de la transition à deux photons

Un atome, initialement au repos dans le référentiel d'étude et dans l'état

a

, absorbe un photon de quantité de mouvement

ℏk⃗

et d'énergie

ℏω

(avec

ω = kc

où

k = ‖k⃗‖

), et effectue une transition vers l'état d'énergie

E_i(i = b

i = c)

.
4.a Usuellement, on néglige la variation de quantité de mouvement et la variation d'énergie cinétique lors de la transition (aussi appelée "énergie de recul"). Quelle est alors l'énergie du photon nécessaire pour effectuer la transition?
4.b On prend en compte l'"effet de recul". Donner les relations de conservation de l'énergie et de la quantité de mouvement lors du processus d'absorption du photon, en notant

v⃗_r

la variation de vitesse de l'atome (appelée "vitesse de recul").
4.c À l'aide des deux relations précédentes, se ramener à une équation sur

k = |k⃗|

et montrer que

k ≃ (E_i - E_a)/(ℏc)

. En déduire la variation de vitesse

v_r = |v⃗_r|

subie par l'atome lors de la transition. Effectuer l'application numérique pour

v_r

pour chacune des transitions

a \to b

a \to c

.
4.d Comme nous le verrons plus loin, on tire profit de l'effet de recul en interférométrie atomique pour séparer la fonction d'onde : plus cet effet est important, mieux on sépare la fonction d'onde et meilleure est la sensibilité sur la mesure. Quels sont l'avantage et l'inconvénient associés à chaque transition (

a \to b

a \to c

) pour transférer de la quantité de mouvement à un atome?

Le "meilleur des deux mondes" peut être obtenu en effectuant des transitions à deux photons (ou transitions "Raman"). Le principe de telles transitions est présenté sur la Figure 1b : l'atome, initialement dans l'état

a

, est plongé deux faisceaux lasers se propageant en sens opposés. L'atome absorbe un photon du premier laser, et émet un photon par émission stimulée par le deuxième laser. On note

k⃗_1

k⃗_2

les vecteurs d'ondes respectifs des deux lasers.
5. On fait l'approximation

k ≃ |k⃗_1| ≃ |k⃗_2|

et on note alors

k⃗_1 = k⃗

k⃗_2 = - k⃗

avec

k⃗ = ke⃗_z

. Justifier que la variation de vitesse de l'atome est alors

2v⃗_r

, où l'on précisera à quelle transition est associée la vitesse de recul

v⃗_r

. Donner la valeur numérique de

k

, valeur que l'on retiendra pour la suite du problème.

I.2.2 Séparatrices atomiques

On s'intéresse dans cette partie à un élément clé des interféromètres atomiques, les séparatrices atomiques. Elles permettent de séparer spatialement la fonction d'onde d'un atome en le plaçant dans une superposition de deux états d'énergie distincts.

Soit

Ψ(r⃗, t)

la fonction d'onde associée à un atome. Dans l'état électronique

a

, l'atome a une impulsion

mv⃗_0

et une énergie

E_1 = E_a + E_(p, a) + E_(c, a)

; dans l'état électronique

b

, l'atome a une impulsion

m(v⃗_0 + 2v⃗_r)

et une énergie

E_2 = E_b + E_(p, b) + E_(c, b)

, avec

E_(c, i)

E_(p, i)

les énergies cinétique et potentielle associées à chaque état

i = a

i = b

Un état stationnaire est associé à chaque état d'énergie. On note

a_1(t)

a_2(t)

les parties temporelles associées à ces états stationnaires. On note

φ_1(r⃗)

φ_2(r⃗)

les fonctions d'ondes spatiales associées à ces états stationnaires, dont on donne la forme explicite :

φ_1(r⃗) = exp(jm/ℏv⃗_0 \cdot r⃗)

φ_2(r⃗) = exp(jm/ℏ(v⃗_0 + 2v⃗_r) \cdot r⃗)

, avec

j^2 = - 1

On peut ainsi écrire :

Ψ(r⃗, t) = a_1(t)exp(jm/ℏv⃗_0 \cdot r⃗) + a_2(t)exp(jm/ℏ(v⃗_0 + 2v⃗_r) \cdot r⃗)

6.a Donner les équations différentielles vérifiées par les coefficients

a_i(t)(i = 1, 2)

.
6.b Résoudre ces équations, et mettre les solutions sous la forme :

a⃗(t) = A(t)a⃗(0)

avec

a⃗(t) = (a_1(t), a_2(t))

A(t)

une matrice diagonale dont les coefficients diagonaux (que l'on explicitera) dépendent du temps.
6.c Initialement on a

a⃗(t = 0) = (1, 0)

, autrement dit l'atome est dans l'état stationnaire d'énergie

E_1

. Justifier que l'atome demeure dans cet état d'énergie

E_1

à tous les instants ultérieurs.
Le principe des séparatrices atomiques consiste à placer un atome, initialement dans l'état 1 , dans une superposition des états 1 et 2 . Cela peut être effectué en utilisant les transitions à deux photons vues précédemment, qui peuvent être effectuées en utilisant deux faisceaux laser. L'atome est plongé dans le champ des deux faisceaux laser pendant une durée finie : on note

τ

la durée des impulsions laser.

Si un atome est soumis à ces impulsions laser à l'instant

t = 0

, et pendant une durée

τ

, la valeur de

a⃗(t)

à l'instant

t = τ

est donnée par :

a⃗(τ) = A(τ)R(Ωτ)A^(- 1)(0)a⃗(0)

où

A^(- 1)(0)

est la matrice inverse de la matrice

A(0)

, et où la matrice

R(Ωτ)

est donnée par :

R(Ωt) = (cos(Ωt/2), - jsin(Ωt/2)e^(jφ_(laser)); - jsin(Ωt/2)e^(- jφ_(laser)), cos(Ωt/2))

avec

φ_(laser)

une constante associée aux déphasages entre les deux faisceaux laser, et

Ω

une grandeur homogène à une pulsation qui dépend de l'intensité des faisceaux laser et du type d'atome étudié.
7. Exprimer

R(Ωτ)

pour une "impulsion

π/2

", c'est-à-dire à une impulsion laser de durée

τ

avec

Ωτ = π/2

. Donner également l'expression de cette matrice pour une "impulsion

π

" (qui correspond à

Ωτ = π)

Figure 2 - Trajectoire d'un atome, de vitesse initiale

v⃗_0

, soumis à

t = 0

à une impulsion

π/2

, qui sert de "séparatrice atomique". Les coefficients

r_a

t_a

sont les coefficients de réflexion et de transmission de l'amplitude de probabilité associée à l'atome.

8.a Initialement on a

a⃗(t = 0) = (1, 0)

. À

t = 0

on soumet l'atome à une "impulsion

π/2

" de durée

τ

. Exprimer la fonction d'onde

Ψ(r⃗, t)

à l'instant

t = τ

, et donner l'évolution de la fonction d'onde pour

t > τ

. Montrer ainsi qu'une telle impulsion présente une analogie optique avec une lame séparatrice de coefficient de réflexion en amplitude

r_a = - (j/\sqrt2)exp(- jφ_(laser))

et de coefficient de transmission en amplitude

t_a = 1/\sqrt2

, comme suggéré sur la Fig. 2 où la trajectoire d'un atome est représentée. C'est pourquoi une impulsion

π/2

est appelée "séparatrice atomique".
8.b Toujours dans le cas d'une "impulsion

π/2

", exprimer les coefficients de réflexion et de transmission en amplitude dans le cas où on a initialement

a⃗(t = 0) = (0, 1)

.
8.c Quel est l'élément optique analogue à une "impulsion

π

L'interférométrie atomique consiste à utiliser des impulsions

π/2

π

pour séparer et recombiner la fonction d'onde.

I.2.3 $A$ parte : étude d'un interféromètre optique

Nous effectuons un bref a parte, en étudiant un interféromètre optique. Un faisceau lumineux monochromatique (longueur d'onde

λ_o

, intensité

I_0

) est séparé en plusieurs sous-faisceaux, puis recombiné à l'aide de plusieurs lames séparatrices, comme représenté sur la Fig. 3. L'intensité lumineuse est mesurée en sortie de l'interféromètre. On notera

r_o

, respectivement

t_o

, le coefficient de réflexion en amplitude, respectivement le coefficient de transmission en amplitude, des lames séparatrices. Pour les lames séparatrices

B, C

et D , il existe deux trajectoires de sortie. On ne s'intéresse qu'aux trajectoires représentées en trait plein (on ne s'intéressera pas aux trajectoires en trait pointillé).

L'indice de l'air est considéré comme égal à 1 . Un des deux sous-faisceaux traverse un milieu d'indice

n

sur une distance

l

. Les longueurs AB et CD d'une part, et AC et BD d'autre part, sont identiques.
9. Exprimer l'intensité lumineuse en sortie de l'interféromètre en fonction de

I_0, r_o, t_o, l, n

λ_o

. Qu'observe-t-on en sortie de l'interféromètre si on change l'épaisseur

l

du milieu d'indice

n

Figure 3 - Schéma d'un interféromètre optique réalisé à partir de plusieurs lames séparatrices, de mêmes coefficients de réflexion et de transmission en amplitude, notés respectivement

r_o

t_o

. Un des sous-faisceaux traverse un milieu d'indice

n

sur une distance

l

I.2.4 Principe de la mesure de $m$

L'interféromètre atomique de Ramsey-Bordé consiste en une série de quatre impulsions

π/2

effectuées à des intervalles de temps réguliers

T

. Pour les deux premières impulsions, l'effet de recul est vers le haut (on transfère

+ 2v⃗_r

à une fraction de la fonction d'onde), pour les deux dernières l'effet de recul est vers le bas (on transfère

- 2v⃗_r

à une fraction de la fonction d'onde). Chacune de ces impulsions joue le rôle de séparatrice atomique, comme vu précédemment. On représente sur la Fig. 4 la trajectoire d'un atome de Rubidium, de vitesse initiale

v⃗_0

et d'état d'énergie électronique initial

a

, lors de leur traversée de l'interféromètre. On note

Ψ(r⃗, t) = Ψ_0 exp(j(mv⃗_0 \cdot r⃗ - E_1 t)/ℏ)

la fonction d'onde initialement associée à l'atome (

t < 0

), avec

E_1

est l'énergie totale de l'atome et

Ψ_0

est une constante complexe. Les trajectoires que nous considérons sont représentées en trait plein sur la figure, on ne s'intéressera pas aux trajectoires représentées en trait pointillé.

Une cinquième impulsion (pour

t

compris entre

T

2T

), appelée "impulsion Bloch", a lieu à l'instant

t^'

(avec

T < t^' < 2T

) et permet d'effectuer

N

transitions à deux photons au cours desquelles l'état final reste le même que l'état initial (état

b

pour les trajectoires considérées ici). On retiendra que cette impulsion permet ainsi d'accroître la vitesse de l'atome de

Δv⃗ = 2Nv⃗_r

, où

N

est un nombre entier.

Comme indiqué sur la Fig. 4, on s'intéresse aux faisceaux suivant les deux trajets ABCD et

AB^' C^' D

, et recombinés en sortie de l'interféromètre. On note

Φ_I

, respectivement

Φ_(II)

, la phase cumulée par la fonction d'onde lors du trajet

ABCD

, respectivement

AB^' C

D

. On mesure en sortie de l'interféromètre la probabilité de détection d'un atome. On note

φ_(laser)(t)

la phase des impulsions lasers

π/2

.
10. Exprimer l'amplitude de probabilité de présence d'un atome de Rubidium en sortie de l'interféromètre en fonction de

Ψ_0, Φ_I, Φ_(II)

et des phases lasers

φ_(laser)(t)

t = 0, T, 2T

3T

. En déduire la probabilité

P

de détection, et montrer qu'elle est donnée par :

P = 1/8|Ψ_0|^2(1 + γcos(ΔΦ + Δφ_(laser)))

avec

γ = 1, ΔΦ = Φ_(II) - Φ_I

Δφ_(laser) = - φ_(laser)(0) + φ_(laser)(T) + φ_(laser)(2T) - φ_(laser)(3T)

.
Il est possible de faire varier

Δφ_(laser)

en changeant la fréquence des lasers. On note

Δφ_(laser) = 2πδ_(laser)T

avec

δ_(laser)

un paramètre pouvant être modifié expérimentalement. On présente en Fig. 5 un interférogramme expérimental typiquement obtenu en faisant varier

δ_(laser)

. L'Éq. (11) est valable pour décrire cet interférogramme expérimental, en prenant cependant

γ < 1

. La position de la frange centrale (qui correspond à

ΔΦ + Δφ_(laser) = 0

) est repérée par le trait en pointillé gris. La valeur de

δ_(laser)

associée est

δ_(laser)^* = - 15907410, 770 \pm 0, 047 Hz

Figure 4 - Interféromètre atomique de Ramsey-Bordé. Les quatre impulsions lasers Raman (à

t = 0, T, 2T

3T)

servent de séparatrice atomique. Une cinquième impulsion (

T < t < 2T

), en orange, peut être utilisée pour communiquer une vitesse

Δv⃗ = Δve⃗_z

à l'atome entre

t = T

t = 2T

(sur le schéma on a

Δv > 0)

À partir de l'interférogramme expérimental présenté en Fig. 5, donner la valeur de $T$ choisie dans l'expérience.

On cherche à relier la position de la frange centrale à la variation de vitesse

Δv⃗

acquise par un atome.

Figure 5 - Interférogramme expérimental.

La phase cumulée par la fonction d'onde le long de la trajectoire

C

d'un atome est :

Φ_C = 1/ℏ(\int_C mv⃗ \cdot dr⃗ - \int_C E dt) = 1/ℏ\int_C(mv^2 - E)dt

avec

v = |v⃗|

.
12.a Justifier que la phase cumulée due aux énergies potentielle

E_p

et électronique

E_i(i = a, b)

est la même sur chacun des trajets ABCD et

AB^' C^' D

.
12.b En déduire que:

ΔΦ = m/ℏ\int_0^(3T)(v⃗_(II)(t) - v⃗_I(t))((v⃗_I(t) + v⃗_(II)(t))/2)dt

où

v⃗_I(t)

v⃗_(II)(t)

sont les vitesses instantanées respectives des atomes sur les trajets ABCD et

AB^' C^' D

.
12.c En exprimant dans un premier temps

v⃗_(II)(t) - v⃗_I(t)

[v⃗_I(t) + v⃗_(II)(t)]/2

sur les intervalles

[0, T], [T, 2T], [2T, 3T]

, montrer que :

ΔΦ = 2Tk⃗ \cdot Δv⃗

On se souviendra à cet effet de la relation entre

v⃗_r

k⃗

(question 4), et on rappelle que

k⃗ = ke⃗_z

. L'interféromètre est donc sensible à la variation de vitesse selon la direction de propagation des lasers (axe (

Oz

) sur le schéma).
13.a En déduire

δ_(laser)^*

, la valeur de

δ_(laser)

associée la frange centrale. L'exprimer en fonction de

k

m

N

, et d'autres constantes fondamentales éventuelles.
13.b Déduire, à partir de la valeur de

δ_(laser)^*

associée à l'interférogramme de la Fig. 5, la valeur de

N

choisie lors de la mesure.
13.c La fréquence

ω/2π = kc/2π

est mesurée avec une incertitude de 1 kHz . Justifier que la mesure de

δ_(laser)^*

permet de mesurer

m

, et que l'incertitude relative sur

m

est environ égale à l'incertitude relative sur

δ_(laser)^*

, soit

u(m)/m ≃ u(δ_(laser)^*)/δ_(laser)^*

.
13.d Un interférogramme expérimental comme celui de la Fig. 5 est typiquement obtenu en une minute. Il est possible de faire des mesures les unes à la suite des autres. Pendant combien de temps doit-on répéter l'expérience pour atteindre la sensibilité requise sur la mesure de

m

(donnée en Éq. (6)) ?

I.2.5 Effet systématique dû à la gravité

Dans cette section, l'énergie potentielle d'un atome n'est plus considérée comme constante au cours de la trajectoire. On cherche à estimer l'effet de la gravité sur la mesure.

Il est essentiel, dans une mesure d'une telle exactitude, d'écarter toute source d'erreur possible. L'Éq. (14) montre que l'interféromètre est sensible à la variation de vitesse des atomes. L'accélération de la pesanteur induit une variation de vitesse au cours de la propagation des atomes, qui résulte en un décalage supplémentaire des franges. Nous allons estimer cet effet. L'accélération de la pesanteur

g⃗

est portée par l'axe (

Oz

) et est dirigée dans le sens des

z

décroissants.
14.a L'énergie potentielle d'un atome n'est pas constante au cours de la trajectoire. Montrer néanmoins que l'Éq. (14) reste valable lorsque le champ de pesanteur est uniforme.
14.b Exprimer les vitesses

v⃗_I(t)

v⃗_(II)(t)

le long des trajets ABCD et AB 'C'D en prenant cette fois en compte l'effet de la pesanteur. En déduire le déphasage

ΔΦ^'

, et l'exprimer sous la forme

ΔΦ^' = ΔΦ + ΔΦ_g

où

ΔΦ = 2Tk⃗ \cdot Δv⃗

et où

ΔΦ_g

est un terme à expliciter. On prend

Δv = 600v_r

. Calculer

ΔΦ_g/ΔΦ

, l'effet relatif du décalage des franges dû uniquement à la pesanteur et dû uniquement à la variation de vitesse

Δv

. L'effet de la pesanteur est-il négligeable au vu de la sensibilité requise sur la mesure?
14.c On effectue une mesure en accélérant les atomes vers le haut (

+ Δv⃗ = Δve⃗_z

), puis une autre en les accélérant vers le bas (

Δv⃗ = - Δve⃗_z

). Expliquer comment ces deux mesures permettent de compenser le décalage des franges dû à la gravité.

On constate qu'il est important de compenser les erreurs associées à une mesure aussi précise. Dans la partie suivante, nous nous intéressons à la source principale d'erreur de la mesure de

m

par interférométrie atomique, qui vient de la courbure du front d'onde des lasers utilisés pour modifier la vitesse des atomes.

II Effet systématique sur la mesure de la masse $m$ d'un atome de Rubidium 87 lié à la courbure du front d'onde des lasers

On résume le principe de la mesure de la masse

m

d'un atome de Rubidium, détaillée dans la partie précédente. On transfère une impulsion

p⃗

à un atome de Rubidium, par absorption du photon d'un laser par exemple, et on mesure avec une grande précision

Δv_z

, sa variation de vitesse selon la direction (

Oz

) de vecteur directeur

e⃗_z

. La masse

m

d'un atome de Rubidium est reliée à

Δv_z

p⃗

par la relation

m = p_z/Δv_z

avec

p_z = p⃗ \cdot e⃗_z

. L'interférométrie atomique, étudiée dans la partie précédente, permet de mesurer de manière très précise

Δv_z

. La connaissance de

p_z

permet alors de déterminer

m

Précédemment on a considéré le cas idéal où le laser est une onde plane, de longueur d'onde

λ

, se propageant selon la direction (

Oz

). L'impulsion

p⃗_(ideal)

du photon dans ce cas est donnée par

p⃗_(ideal) = ℏke⃗_z

, et

p_(z, ideal) = ℏk

, avec

k = 2π/λ

. Ainsi la masse, dans ce cas idéal, est simplement donnée par

m_(ideal) = ℏk/Δv_z

Dans le cas général

p_z = ℏk(1 + δk_(rel))

avec

δk_(rel) \neq 0

. L'erreur relative commise sur l'estimation de la masse par rapport au cas idéal est

m : (m - m_(ideal))/m_(ideal) = δk_(rel)

. Il est donc nécessaire de connaitre avec exactitude

δk_(rel)

afin de corriger cette erreur. Dans cette partie on s'intéresse à la valeur de

δk_(rel)

en considérant plusieurs cas où le faisceau laser s'écarte du cas idéal d'une onde plane se propageant selon (

Oz

)

II. 1 Désalignement du faisceau laser

On considère une onde plane de vecteur d'onde $k⃗$ formant un angle $θ$ avec l'axe ( $Oz$ ). Exprimer $δk_(rel)$ en fonction de $θ$ . Donner un ordre de grandeur de la limite supérieure de $|θ|$ pour que $|δk_(rel)|$ soit inférieur à $10^(- 12)$ .

Ainsi, un désalignement du faisceau laser par rapport à l'axe (

Oz

) peut induire une erreur sur la mesure. Mais le modèle de l'onde plane reste un modèle irréaliste pour décrire le faisceau laser. On s'intéresse dans les partie suivante à la valeur de

p_z

associée à d'autres types de fronts d'onde.

II. 2 Courbure de front d'onde et impulsion d'un photon

16.a Justifier que, dans le cas d'une onde électromagnétique plane dans le vide de vecteur d'onde

k⃗

, les plans équiphases (ou "fronts d'onde") sont des plans perpendiculaires à

k⃗

.
16.b On considère alors le cas général d'une onde électromagnétique de pulsation

ω

et de phase

φ(r⃗) - ωt

. Justifier que

grad^(\to-)φ(r⃗)

est localement orthogonal aux surfaces d'ondes.
On en déduit que pour une onde électromagnétique de front d'onde quelconque, l'impulsion d'un photon est donnée localement par

p⃗ = ℏgrad^(\to-)φ(r⃗)

.
16.c Déduire l'expression

p_z

en fonction de

φ(r⃗)

II. 3 Effet systématique dans le cas d'un laser de profil gaussien

Dans cette partie, on cherche à déterminer

δk_(rel)

pour un faisceau laser de profil gaussien. Le faisceau se propage selon la direction

(Oz)

. Le foyer du laser est situé en

z = 0

Un faisceau gaussien est une superposition d'ondes planes selon une distribution gaussienne de la forme

f(k_x, k_y) = exp(- (k_x^2 + k_y^2)w_0^2/4)

dans l'espace des composantes (

k_x, k_y

) du vecteur d'onde, d'extension typique

\sim 1/w_0

dans les directions

k_x

k_y

, avec

w_0

une constante réelle positive. Ainsi le champ électrique du faisceau (de polarisation linéaire orientée par le vecteur

u⃗

) s'écrit :

E⃗(r⃗) = E(r⃗)u⃗ = E_0 u⃗\iint_(- \infty)^(+ \infty)exp(jk⃗ \cdot r⃗)exp(- (k_x^2 + k_y^2)/4w_0^2)dk_x dk_y

17.a On fait l'approximation

w_0≫λ

, avec

λ

la longueur d'onde du laser. Montrer que

k_z ≃ k - (k_x^2 + k_y^2)/(2k)

. (On rappelle

k = 2π/λ

).
17.b On donne le résultat général :

\iint_(- \infty)^(+ \infty)exp(- 1/2a(k_x^2 + k_y^2) + j(αk_x + βk_y))dk_x dk_y = (2π)/aexp(- 1/(2a)(α^2 + β^2))

où

α

β

sont deux nombres réels, et

a

un nombre imaginaire de partie réelle positive. Montrer que :

E(r⃗) \propto exp(jkz)1/((w_0^2)/2 + (jz)/k)exp(- (x^2 + y^2)/(w_0^2 + (2jz)/k))

18.a En déduire que:

φ(x, y, z) = kz + (r^2)/(w(z)^2)z/(z_R) - arctan(z/z_R)

avec

r^2 = x^2 + y^2, z_R = w_0^2 k/2

w(z) = w_0\sqrt(1 + (z/z_R)^2)

.
18.b En déduire

p_z

l'impulsion du photon projeté sur l'axe (

Oz

). Montrer que, en

z = 0

(foyer optique du laser, où l'intensité est maximale), on a la correction :

δk_(rel)(z = 0) \equiv (p_z(z = 0) - ℏk)/(ℏk) = 2/(k^2)((r^2)/(w_0^4) - 1/(w_0^2))

Cette correction est appelée "correction de Gouy".
18.c On considère un nuage d'atomes d'extension spatiale typique

r ≃ 0, 5 mm

placé en

z = 0

dans le champ du laser, et on s'intéresse à l'impulsion effective transférée aux atomes. On a

w(z) ≃ w_0 ≃ 5 mm

λ ≃ 800 nm

. Quel est le terme dominant dans la correction de Gouy? Quel est donc le signe de

δk_(rel)(z = 0)

au niveau du maximum d'intensité du faisceau laser? Donner la valeur numérique de

δk_(rel)(z = 0)

. Cette erreur relative est-elle importante compte-tenu de l'incertitude relative obtenue sur la mesure de

m

(donnée par l'Éq. (6)) ?

II. 4 Effet dû aux variations locales d'intensité du laser

Les lasers utilisés dans l'expérience traversent des milieux d'indices différents et sont réfléchis par de nombreux éléments optiques, qui peuvent avoir une surface irrégulière (poussières, défauts,...). Il en résulte des fluctuations spatiales de l'intensité du faisceau laser.

Dans cette partie, on s'intéresse à un faisceau laser se propageant selon la direction (Oz). L'intensité

I(x, y, z)

du laser n'est pas uniforme et fluctue autour de la valeur moyenne

I_0

. On note

φ(r⃗) = kz + φ^'(r⃗)

la phase du faisceau, avec

k = 2π/λ

φ^'(r⃗)

un terme qui représente l'écart par rapport au cas idéal d'une onde plane de vecteur d'onde

k⃗ = ke⃗_z

Pour simplifier, on suppose dans la suite que le faisceau ne fluctue que selon les directions (

Ox

) et

(Oz)

(le faisceau est uniforme selon la direction

(Oy)

On donne en Fig. 6 une simulation de la propagation d'un faisceau présentant des fluctuations spatiales d'intensité selon (

Ox

) sur des échelles spatiales de l'ordre de

100μ m

. À gauche est montré le profil d'intensité

I(x, z)/I_0

. La figure de droite montre l'évolution de

φ^'(x, z)

.
19. Comment évolue la phase spatiale

φ^'

selon

(Oz)

dans les régions associées aux maxima d'intensité (repérées par un contour en trait plein) ? Comment évolue-t-elle dans les régions associées aux minima d'intensité (repérées par un trait pointillé) ? En déduire le signe de

δk_(rel)

dans chacun de ces deux cas.

La corrélation

δk_(rel)

est ainsi directement reliée au profil d'intensité. On admet qu'en bonne approximation, pour un faisceau se propageant selon

(Oz)

, cette correction est donnée par l'équation :

δk_(rel) ≃ 1/(4k^2)(Δ_⊥I)/(I_0)

avecΔ_⊥I = (\partial^2 I)/(\partialx^2) + (\partial^2 I)/(\partialy^2)

.
20.a Tracer l'allure du profil d'intensité

I(x, z)

en fonction de

x

pour

z = 52 cm

. Repérer les régions où

(\partial^2 I)/(\partialx^2) > 0

et où

(\partial^2 I)/(\partialx^2) < 0

.
20.b En utilisant l'Éq. 21, en déduire le signe

δk_(rel)

dans les régions associées aux maxima et aux minima d'intensité, et vérifier que l'on retrouve bien les résultats donnés à la question 19. Commenter ce résultat au regard du signe de la correction de Gouy trouvée précédemment (question 18.c), qui est la correction obtenue au foyer optique d'un faisceau gaussien, où l'intensité est maximale.

Le signe de la correction

δk_(rel)

dépend des fluctuations de l'intensité. On note

⟨δk_(rel)⟩

la correction moyenne, où la moyenne est effectuée selon

x

sur une échelle spatiale de l'ordre de la taille du nuage atomique étudié (

\sim 1 mm

On pourrait a priori s'attendre à ce que

⟨δk_(rel)⟩

soit nul, c'est-à-dire que l'effet dû aux régions où

⟨δk_(rel)⟩

est positif soit en moyenne compensé par celui où

⟨δk_(rel)⟩

est négatif. Ce n'est en réalité pas le cas. En effet, dans l'expérience de mesure de

m

, la probabilité d'absorption d'un photon par un atome dépend de l'intensité : il est d'autant plus probable pour un atome d'absorber un photon (et donc de subir une variation de quantité de mouvement

p_z

selon

(Oz)

) que l'intensité est élevée.
21. En déduire le signe de la correction moyenne

⟨δk_(rel)⟩

associée aux fluctuations d'intensité.

Un tel effet doit être estimé afin de corriger la valeur de

m

mesurée. Ceci est permis par des mesures précises du profil d'intensité des faisceaux lasers utilisés.
22. Si expérimentalement on chassait tous les atomes situés dans les maxima d'intensité du faisceau, l'impulsion des photons

p⃗

ne serait alors transférée qu'aux atomes situés dans les minima d'intensité. Comparer

⟨p_z⟩

, la variation moyenne de quantité de mouvement d'un atome selon l'axe (

Oz

) due à l'absorption d'un photon, à la valeur attendue dans le cas où le faisceau laser serait une onde plane de vecteur d'onde

k⃗ = ke⃗_z

. Est-ce surprenant?

Figure 6 - Simulation de la propagation d'un faisceau laser présentant initialement un profil d'intensité hétérogène selon l'axe (

Ox

) sur des échelles spatiales de l'ordre de

100μ m

. Le faisceau se propage selon l'axe (

Oz

) dans le sens des

z

croissants. À gauche : profil d'intensité

I(x, z)/I_0

(où

I_0

est l'intensité moyenne du faisceau). L'échelle de couleurs située à gauche de l'image indique la valeur de

I(x, z)/I_0

(valeur sans unité). À droite : évolution de la phase

φ^'

du champ électrique associé. L'échelle de couleurs située à droite de l'image indique la valeur de

φ^'

en rad.

Fin des questions -

Pour aller plus loin :

Le Modèle standard est actuellement la théorie la plus aboutie pour décrire les particules élémentaires et trois des quatre interactions fondamentales de l'univers (interactions électromagnétique, forte et faible). En revanche, ce modèle n'inclut pas l'interaction gravitationnelle et ne permet ni de comprendre la "matière noire", ni l'"énergie sombre", ni les différences de proportion observées dans l'Univers entre matière et anti-matière. Les mesures extrêmement précises de certaines constantes fondamentales imposent des contraintes fortes sur les nouvelles théories candidates, et permettent d'écarter celles dont les prévisions sont incompatibles avec les résultats de la mesure.

Comme indiqué au début du sujet, la mesure la plus précise de

α

a été effectuée par interférométrie atomique, et repose sur la mesure de la masse de l'atome de Rubidium 87.

La valeur de

1/α

reportée en Éq. (3) est déterminée à partir d'une autre mesure : la valeur du "moment magnétique anomal" de l'électron

^1

, grandeur sans dimension notée

a_e

. Cette grandeur peut être reliée théoriquement à

α

par des calculs effectués dans le cadre du Modèle Standard :

a_e = \sum_(i = 0)^(+ \infty)C_i α^i + a_(e, 0)

Les dix premiers termes de cette série, et le terme

a_(e, 0)

, ont pu être calculés numériquement avec précision. La mesure de

a_e

et l'inversion de l'équation précédente a pu conduire à la valeur de

α

donnée par l'Éq. (3).

L'accord entre ces deux mesures de

α

est à l'heure actuelle l'un des tests les plus robustes du Modèle Standard.

1. Le rapport du moment magnétique et du moment cinétique d'un électron est appelé "facteur de Landé", noté $g_l$ . L'équation de Dirac, qui décrit les particules relativistes de spin $1/2$ , prédit que le facteur de Landé est égal à 2 pour l'électron. Expérimentalement, le facteur de Landé $g_(1, exp)$ mesuré est légèrement différent de 2 (sa valeur expérimentale est très proche de 2,0023 ). Le moment magnétique anomal de l'électron est défini comme : $a_e = (g_(1, exp) - 2)/2$ .

Questions fréquentes

4 questions

Sur quoi porte le sujet de physique B X-ENS PC 2023 ?

Sur la mesure de la constante de structure fine par interférométrie atomique : modèle de Bohr, effet de recul, séparatrices atomiques, puis effets systématiques liés aux faisceaux gaussiens. Les incertitudes servent de fil rouge.

Quelle est la moyenne de l'épreuve de physique B X-ENS PC 2023 ?

Le rapport donne une moyenne de 9,46 et un écart-type de 3,71 sur 1432 copies. Seules 75 copies ont obtenu plus de 16.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées en physique B X-ENS PC 2023 ?

Des incertitudes mal discutées, la définition des états stationnaires ignorée, des bilans menés sans définir le système et le recours aux équations de Maxwell pour une question de surface équiphase.

Faut-il connaître la mécanique quantique pour le sujet de physique B X-ENS PC 2023 ?

Oui, le jury regrette que beaucoup de candidats semblent avoir fait l'impasse sur la mécanique quantique, alors que des notions élémentaires comme les états stationnaires étaient nécessaires.

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ECOLE POLYTECHNIQUE - ESPCI ECOLES NORMALES SUPERIEURES

CONCOURS D'ADMISSION 2023

PHYSIQUE B (XEULS)

Mesure de la constante de structure fine

Constantes fondamentales et autres valeurs numériques :

Introduction

Question préliminaire

I Principe de la mesure de la constante de structure fine α

I. 1 Lien entre la constante de structure fine α et la constante de Rydberg R_∞

I. 2 Mesure de la masse de l'atome de Rubidium 87

I.2.1 Transitions à un ou à deux photons et effet de recul

I.2.2 Séparatrices atomiques

I.2.3 A parte : étude d'un interféromètre optique

I.2.4 Principe de la mesure de m

I.2.5 Effet systématique dû à la gravité

II Effet systématique sur la mesure de la masse m d'un atome de Rubidium 87 lié à la courbure du front d'onde des lasers

II. 1 Désalignement du faisceau laser

II. 2 Courbure de front d'onde et impulsion d'un photon

II. 3 Effet systématique dans le cas d'un laser de profil gaussien

II. 4 Effet dû aux variations locales d'intensité du laser

Pour aller plus loin :

Questions fréquentes

Sur quoi porte le sujet de physique B X-ENS PC 2023 ?

Quelle est la moyenne de l'épreuve de physique B X-ENS PC 2023 ?

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées en physique B X-ENS PC 2023 ?

Faut-il connaître la mécanique quantique pour le sujet de physique B X-ENS PC 2023 ?

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Commentaires• X ENS Physique B PC 2023

I Principe de la mesure de la constante de structure fine $α$

I. 1 Lien entre la constante de structure fine $α$ et la constante de Rydberg $R_\infty$

I.2.3 $A$ parte : étude d'un interféromètre optique

I.2.4 Principe de la mesure de $m$

II Effet systématique sur la mesure de la masse $m$ d'un atome de Rubidium 87 lié à la courbure du front d'onde des lasers