Centrale Physique 1 PC 2023Sujet, corrigé et rapport du jury

Améliorations des performances en cyclisme

Figure 1 Greg Lemond (à gauche) et Laurent Fignon (à droite) lors du dernier contre-la-montre du Tour 1989

Figure 2 Casque de vélo traditionnel (à gauche), en goutte d'eau (au centre) et à flux d'air (à droite)

I Une première évolution de la forme du casque : du casque classique vers le casque profilé en goutte d'eau

I.A - Évaluation du gain en puissance par une approche empirique

Figure 3 Représentation schématique du système étudié

• l'action de la pesanteur, notée P⃗;
• l'action de la route sur les roues, notée R⃗ incluant:
• la réaction normale, notée N⃗,
• la résistance au roulement, notée F⃗_r et supposée telle que F⃗_r = − μ_r Ne⃗_x où N est la norme de la réaction normale et μ_r le coefficient de résistance au roulement ;
• l'action de l'air sur le système.

I.A.1) Étude de la phase de démarrage

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
def r(f, v, t):
    V = [v]
    for i in range(len(t) - 1):
        V.append(V[i] + (t[i+1] - t[i]) * f(V[i]))
    return V
def g(u):
    return 0.92-2.3e-3 * u * u
x = np.linspace(0, 120, 1000)
y = r(g, 0, x)
plt.plot(x, y)
plt.show()

Figure 5

I.A.2) Étude du régime permanent dans la descente de Laffrey

a) Résultats expérimentaux

• celle de précision de la mesure temporelle, résultant du défaut de précision de la localisation par le GPS. Cet aspect est négligé ici et fera l'objet de la sous-partie I.B ;
• celle de répétabilité du protocole, que nous allons quantifier ici.

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy.random as rd
def MonteCarlo(
        vitesseMoyenne:float, # vitesse moyenne du cycliste (m/s)
        incertitudeType:float, # incertitude type sur la vitesse (m/s)
        N:int, # nombre d'échantillons à produire
        ) -> [float]: # tableau de N vitesses simulées
    generateur = rd.default_rng()
    return generateur.normal(vitesseMoyenne, incertitudeType, N)
classique = MonteCarlo( , 10000);
profilé = MonteCarlo(19.25, 0.13, 10000);
plt.hist([classique, profilé], bins=60)
plt.show()

Figure 7 Histogrammes de répartition des vitesse simulées

I.B - Détermination de la précision du repérage par GPS

Figure 8 Variations typiques du DOP au cours d'une journée (d'après Jean-Marc PıÉPlu, GPS et Galileo Systèmes de navigation par satellites, Eyrolles, 2006)

Figure 9 Terre, ionosphère et positions du satellite sur l'horizon et au zénith

II Du casque goutte d'eau au casque flux d'air

Figure 10 Le casque à flux d'air utilisé par Patrick Lange lors de sa victoire à l'Ironman de Kona en 2017

II.A - Modélisation du flux d'air autour du cycliste

Figure 11 Modélisation de l'écoulement de l'air autour du cylindre

Figure 12 Tracé des lignes de courant

II.B - Comportement de la couche limite

Figure 13 Évolution du champ de vitesse dans la couche limite en amont et en aval du point de décollement

II.B.1) Couche limite le long de la paroi

Figure 14 Écoulement unidirectionnel

Figure 15 Profil et repère cartésien local ( x^′, y^′ )

Figure 16 Épaisseur de déplacement

Figure 17 Évolution de la couche limite entre x^′ et x^′ + dx^′

• à l'instant t, du contenu matériel de Σ(t) et de la masse entrante dans la surface de contrôle entre les instants t et t + dt. On note dm_e la masse entrant par la trace AB et dm_(e, sup) la masse entrant par la trace BC;
• à l'instant t + dt, du contenu matériel de Σ(t + dt) et de la masse sortant de la surface de contrôle par la trace CD entre les instants t et t + dt, notée dm_s.
  On admet par ailleurs que
• la force de frottement agissant sur ce système au niveau du contact avec l'obstacle (trace AD ) s'écrit, projetée sur la direction x^′,

• la force de pression s'appliquant sur la partie supérieure du système (trace BC ), projetée sur x^′, s'écrit

• l'on peut négliger la composante de frottement agissant à travers la surface de la frontière supérieure de la couche limite (trace BC ) ;
• l'expression de la quantité de mouvement entrant en x^′ pendant dt, projetée sur x^′, est

Résolution de l'équation de Von Karman

Données et formulaire

Équation de Navier-Stokes

Expression des opérateurs usuels

• Gradient : grad^(→−)(a) = ∇⃗a = (∂a)/(∂x)e⃗_x + (∂a)/(∂y)e⃗_y + (∂a)/(∂z)e⃗_z
• Divergence : div(A⃗) = ∇⃗ ⋅ A⃗ = (∂A_x)/(∂x) + (∂A_y)/(∂y) + (∂A_z)/(∂z)
• Laplacien scalaire : Δ(a) = ∇⃗^2 a = (∂^2 a)/(∂x^2) + (∂^2 a)/(∂y^2) + (∂^2 a)/(∂z^2)
• Laplacien vectoriel : Δ(A⃗) = ∇⃗^2 A⃗ = Δ(A_x)e⃗_x + Δ(A_y)e⃗_y + Δ(A_z)e⃗_z