Centrale Mathématiques 2 PC 2023Sujet, corrigé et rapport du jury

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Présentation du sujet

Difficile

Séries entières, sommes doubles et nombres de Catalan dans un jeu de pile ou face infini

Le sujet étudie des séries doubles, dont certaines proviennent d'un problème de probabilités liant les nombres de Catalan au pile ou face infini. Il utilise d'abord les séries entières et les polynômes de Hilbert, avec deux questions de programmation en Python, puis examine l'interversion des sommes doubles sur des applications et des contre-exemples, avant une partie de probabilités.

1Partie I : utilisation de séries entièresSommes de séries entières classiques, décomposition dans la base des polynômes de Hilbert, fonctions Python calculant les coefficients, puis développement de 1/√(1 - 4x) et produit de Cauchy.
2Partie II : étude de sommes doublesApplications du théorème de Fubini pour les séries, puis deux contre-exemples où l'ordre de sommation change le résultat.
3Partie III : probabilitésLoi conjointe, espérance et variance obtenues par conditionnement, puis probabilité de retour à l'équilibre dans un pile ou face infini à l'aide des nombres de Catalan.

Difficile. Le jury indique une moyenne de 21,5 % des points, due à la longueur du texte et aux nombreuses questions difficiles, et les meilleures copies ont seulement approché 70 % des points.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 9,29 / 20 · écart-type 4,04 · 3 474 présents · où vous situez-vous ?

Moyenne: 9,29/ 20
Écart-type: 4,04
Présents: 3 474
Coefficient: 15
Durée: 4 h
1er quartile: 6,4
Médiane: 9,3
3e quartile: 12,2

Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Où je me situe ?

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : document officiel du concours, épreuve du 12 mai 2023. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées

Récurrence utilisée à contresens · Calculs simples mal menés · Absolue convergence oubliée pour intervertir

L'épreuve a bien classé les candidats, mais la moyenne est basse en raison de la longueur et de nombreuses questions demandant une stratégie. Le jury n'a pas relevé de lacune particulièrement grave sur un énoncé assez élémentaire. Il déplore des récurrences bâclées et une confusion fréquente entre fonction polynomiale et polynôme, tout en saluant une rédaction en progrès.

Les erreurs les plus sanctionnées

1
Récurrence utilisée à contresensQ7
Seule une copie sur huit résout la question Q7, qui demandait d'évaluer une égalité précédente en des entiers.
« Beaucoup tentent une récurrence malgré le fait qu'une relation de récurrence se prouve rarement par récurrence. »
2
Calculs simples mal menésQ6, Q12, Q13
Des questions faciles en apparence ont un taux d'échec élevé. En Q6, beaucoup oublient la valeur initiale du coefficient.
« À peine une moitié des candidats produisent un calcul sans erreur. »
3
Absolue convergence oubliée pour intervertirQ20, Q21, Q22
Le théorème de Fubini rappelé par l'énoncé est peu utilisé et ses hypothèses rarement vérifiées. Le critère de d'Alembert exige aussi des termes non nuls.
« L'absolue convergence est très rarement invoquée. »
4
Calcul d'une somme sans vérifier son existenceQ24, Q25, Q27
Dans les contre-exemples, les calculs sont lancés sans justifier l'existence des sommes et comportent beaucoup d'erreurs.
« Le plus souvent on attaque le calcul sans s'assurer que la somme existe. »
5
Cas x = 0 oubliéQ17, Q19
Pour identifier des coefficients, il faut se placer sur un intervalle non vide et traiter à part le point 0.
« Beaucoup de copies oublient ce point. »
6
Indépendance non mentionnéeQ35
Le résultat sur les sommes de variables de Bernoulli suppose l'indépendance, souvent passée sous silence.
« Les candidats oublient souvent de mentionner l'indépendance pour le résultat ayant trait aux sommes de variables de Bernoulli. »

Ce qui a été bien réussi

Les codes Python de la question Q8 sont assez satisfaisants, certains candidats proposant même des versions itératives avec mémoïsation.
Le critère de d'Alembert est utilisé avec succès par une courte majorité en Q16.
Le produit de Cauchy est bien utilisé par ceux qui ont réussi Q16 et Q17 (Q18).
Le vocabulaire probabiliste paraît compris dans la partie III.A, abordée dans deux tiers des copies.

Conseils du jury

Répondre à toutes les demandes d'une question, par exemple le rayon et la somme d'une série entière.
Rédiger soigneusement les récurrences et distinguer polynôme et fonction polynomiale.
Pour une famille positive, calculer dans [0, +∞] : la finitude de la somme prouve la sommabilité.
En Python, ne pas oublier les conditions initiales d'une fonction récursive et indiquer clairement casse et indentation.
Signaler une erreur repérée plutôt que forcer le résultat de l'énoncé : le jury se montre alors plus indulgent.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.

Sujet en PDF

Notations

ℝ_n[X]

désigne l'ensemble des polynômes de degré inférieur ou égal à

n

à coefficient réels.

(H_j)_(j \in ℕ)

désigne la famille de polynômes définie par

H_0 = 1

et, pour tout

j \in ℕ^*, H_j = 1/(j!)\prod_(i = 0)^(j - 1)(X - i)

.
Pour

(k, n) \in ℕ^2

, on note

(n/k)

le coefficient binomial

k

parmi

n

. On a

(0/0) = 1

(n/k) = 0

k > n

[ [a, b] ]

désigne l'ensemble des entiers compris entre

a

b

. Ainsi,

[ [a, b] ] = {n \in ℤ|a ⩽ n ⩽ b}

I Utilisation de séries entières

I.A - Une première formule

Q 1. Donner sans démonstration le rayon de convergence et la somme de la série entière réelle

\sum_(n ⩾ 0)x^n

.
Q 2. En déduire le rayon de convergence et la somme de la série entière réelle

\sum_(n ⩾ 0)nx^n

.
Q 3. Pour

k \in ℕ

, montrer que la série entière

\sum_(n ⩾ 0)(n/k)x^n

admet 1 pour rayon de convergence et que, pour tout

x \in ] - 1, 1[

\sum_(n = 0)^(+ \infty)(n/k)x^n = (x^k)/((1 - x)^(k + 1))

I.B - Utilisation d'une famille de polynômes

Pour tout

k \in ℕ

, on note

f_k : x \mapsto \sum_(n = 0)^(+ \infty)n^k x^n

.
Q 4. Montrer que, pour tout

k \in ℕ, f_k

est définie sur

] - 1, 1[

.
Q 5. Soit

k \in ℕ

. Montrer que

(H_0, \dots, H_k)

est une base de

ℝ_k[X]

et qu'il existe une unique famille

(α_(k, 0), \dots, α_(k, k))

dans

ℝ^(k + 1)

telle que

X^k = \sum_(j = 0)^k α_(k, j)H_j

Q 6. Pour

k \in ℕ

, donner les valeurs de

α_(k, 0)

α_(k, k)

.
Q 7. Pour tout couple

(j, k) \in ℕ^2

tel que

1 ⩽ j ⩽ k

, montrer que

α_(k, j) = j^k - \sum_(i = 0)^(j - 1)(j/i)α_(k, i)

.
Q 8. Écrire une fonction Python alpha qui prend un couple d'entiers

(k, j)

en paramètre et qui renvoie la valeur de

α_(k, j)

. On supposera avoir accès à une fonction binome telle que binome (

n, k

) renvoie le coefficient binomial

(n/k)

Q 9. Montrer que, pour tout

k \in ℕ

, il existe un unique polynôme réel

P_k

tel que, pour tout

x \in ] - 1, 1[

f_k(x) = (P_k(x))/((1 - x)^(k + 1))

et que ce polynôme vérifie la relation

P_k = \sum_(j = 0)^k α_(k, j)X^j(1 - X)^(k - j).

Q 10. À l'aide de la fonction Python alpha, écrire une fonction Python P qui prend l'entier

k

en paramètre et qui renvoie la liste des coefficients de degré 0 à

k

P_k

Q 11. Montrer que, pour tout

k \in ℕ, P_(k + 1) = X(1 - X)P_k^' + (k + 1)XP_k

.
Q 12. Calculer explicitement

P_2

P_3

.
Q 13. Déterminer, pour tout

k \in ℕ

, le degré de

P_k

ainsi que son coefficient dominant.
Q 14. Montrer que, pour tout

k \in ℕ^*

et pour tout

x \in ]0, 1[, x^(k + 1)P_k(1/x) = P_k(x)

.
Q 15. En déduire, pour tout

k \in ℕ^*

et pour tout

j \in [ [0, k] ]

, un lien entre les coefficients de degré

j

k + 1 - j

P_k

I.C - Une dernière formule

On s'intéresse dans cette sous-partie à la série entière

\sum_(n ⩾ 0)((2n)/n)x^n

dont on note

R

le rayon de convergence.
Q 16. Déterminer

R

et montrer que, pour tout

x \in ] - R, R[, \sum_(n = 0)^(+ \infty)((2n)/n)x^n = 1/(\sqrt(1 - 4x))

.
Q 17. Montrer que, pour tout

x \in ] - R, R[∖{0}

\sum_(n = 0)^(+ \infty)((2n)/n)(x^n)/(n + 1) = (1 - \sqrt(1 - 4x))/(2x)

Q 18. En déduire que, pour tout

x \in ] - R, R[∖{0}

\sum_(n = 0)^(+ \infty)\sum_(k = 0)^n 1/(k + 1)((2k)/k)((2n - 2k)/(n - k))x^n = 1/(2x)(1/(\sqrt(1 - 4x)) - 1)

Q 19. Montrer que, pour tout

n \in ℕ

\sum_(k = 0)^n 1/(k + 1)((2k)/k)((2n - 2k)/(n - k)) = 1/2((2n + 2)/(n + 1))

II Étude de sommes doubles

On considère dans cette partie des familles de nombres réels indexées par

ℕ^2

c'est-à-dire du type

(a_(i, j))_((i, j) \in ℕ^2)

. Dans ce contexte, on se demande s'il est possible de définir les quantités

\sum_(i = 0)^(+ \infty)\sum_(j = 0)^(+ \infty)a_(i, j)

\sum_(j = 0)^(+ \infty)\sum_(i = 0)^(+ \infty)a_(i, j)

et si ces quantités, lorsqu'elles sont définies, sont nécessairement égales.

On rappelle et on admet les deux résultats suivants.

Si $a_(i, j) ⩾ 0$ pour tout $(i, j) \in ℕ^2$ , alors les deux sommes $\sum_(i = 0)^(+ \infty)\sum_(j = 0)^(+ \infty)a_(i, j)$ et $\sum_(j = 0)^(+ \infty)\sum_(i = 0)^(+ \infty)a_(i, j)$ existent dans $[0, + \infty]$ et sont égales. En particulier (cas d'une famille sommable de réels positifs), si l'une des sommes est finie, l'autre aussi et elles sont égales.
(Cas d'une famille sommable de réels quelconques.) Si $(a_(i, j))_((i, j) \in ℕ^2)$ est une famille de nombres réels telle que la somme $\sum_(i = 0)^(+ \infty)\sum_(j = 0)^(+ \infty)|a_(i, j)|$ est finie, alors les sommes $\sum_(i = 0)^(+ \infty)\sum_(j = 0)^(+ \infty)a_(i, j)$ et $\sum_(j = 0)^(+ \infty)\sum_(i = 0)^(+ \infty)a_(i, j)$ existent et sont égales.

II.A - Applications

II.A.1) Une première application

Soit

x \in ] - 1, 1[

.
Q 20. Montrer que la série

\sum_(n ⩾ 1)(nx^n)/(1 - x^n)

converge et que

\sum_(n = 1)^(+ \infty)(nx^n)/(1 - x^n) = \sum_(n = 1)^(+ \infty)\sum_(k = 0)^(+ \infty)nx^(n(1 + k))

.
Q 21. Montrer que la série

\sum_(p ⩾ 1)(x^p)/((1 - x^p)^2)

converge et que sa somme est égale à celle de la série

\sum_(n ⩾ 1)(nx^n)/(1 - x^n)

II.A.2) Une seconde application

On admet que

\sum_(k = 1)^(+ \infty)1/(k^2) = (π^2)/6

.
Q 22. Montrer que l'on peut définir, pour tout

n \in ℕ^*, u_n = n\sum_(k = n)^(+ \infty)1/(k^3(k + 1))

.
Q 23. Montrer que la série

\sum_(n ⩾ 1)u_n

converge et calculer sa somme.

II.B - Contre-exemples

II.B.1) Un premier contre-exemple

On considère la famille

(b_(i, j))_((i, j) \in ℕ^2)

définie, pour tout

(i, j) ∈ ℕ^2, parb_(i, j) = {0, si i > j,; − 1, si i = j,; 1/(2^(j − i)), si i < j.

Q 24. Montrer l'existence de

\sum_(i = 0)^(+ \infty)\sum_(j = 0)^(+ \infty)b_(i, j)

et calculer sa valeur.
Q 25. Montrer l'existence de

\sum_(j = 0)^(+ \infty)\sum_(i = 0)^(+ \infty)b_(i, j)

et calculer sa valeur.
Q 26. A-t-on

\sum_(i = 0)^(+ \infty)\sum_(j = 0)^(+ \infty)b_(i, j) = \sum_(j = 0)^(+ \infty)\sum_(i = 0)^(+ \infty)b_(i, j)

II.B.2) Un second contre-exemple

On considère la famille

(c_(i, j))_((i, j) \in ℕ^2)

définie, pour tout

(i, j) ∈ ℕ^2, parc_(i, j) = {0, si i > j,; j, si i = j,; − 2i3^(i − j), si i < j.

Q 27. Montrer l'existence de

\sum_(i = 0)^(+ \infty)\sum_(j = 0)^(+ \infty)c_(i, j)

et calculer sa valeur.
Q 28. Soit

j \in ℕ

. Montrer que la série

\sum_(i ⩾ 0)c_(i, j)

converge et que

\sum_(i = 0)^(+ \infty)c_(i, j) = 1/2(3^j - 1)/(3^(j - 1))

.
Q 29. Quelle est la nature de la série

\sum_(j ⩾ 0)\sum_(i = 0)^(+ \infty)c_(i, j)

III Probabilités

Dans cette troisième partie, toutes les variables aléatoires considérées sont des variables aléatoires discrètes définies sur un même espace probabilisé (

Ω, A, ℙ

La lettre

p

désigne un nombre réel de l'intervalle

]0, 1[

III.A - Un conditionnement

Soit

X

une variable aléatoire à valeurs dans

ℕ^*

suivant la loi géométrique de paramètre

p

\foralln \in ℕ^*, ℙ(X = n) = p(1 - p)^(n - 1).

Soit

Y

une variable aléatoire à valeurs dans

ℕ

telle que, pour tout

n \in ℕ^*

, la loi conditionnelle de

Y

sachant

[X = n]

est la loi de Poisson de paramètre

n

\foralln \in ℕ^*, \forallk \in ℕ, ℙ(Y = k|X = n) = e^(- n)(n^k)/(k!).

Q 30. Déterminer la loi conjointe de

X

Y

.
Q 31. Calculer

ℙ(Y = 0)

et montrer que, pour tout

k \in ℕ^*

ℙ(Y = k) = p/((1 - p)k!)f_k((1 - p)/e),

où

f_k

est la fonction définie en I.B.
Q 32. Vérifier que l'on a bien

\sum_(k = 0)^(+ \infty)ℙ(Y = k) = 1

.
Q 33. Montrer que

Y

admet une espérance finie et calculer cette espérance.
Q 34. Montrer que

Y

admet une variance et calculer cette variance.

III.B - Pile ou face infini

On considère la répétition infinie du lancer d'une pièce dont la probabilité de «faire pile» est

p

. Pour modéliser cette expérience, on admet que l'on peut définir une suite

(X_n)_(n \in ℕ^*)

de variables aléatoires indépendantes de même loi de Bernoulli de paramètre

p

. Pour tout

n \in ℕ^*, [X_n = 1]

désigne l'événement « le

n

-ième lancer donne pile » et [

X_n = 0

] désigne l'événement «le

n

-ième lancer donne face».

Par ailleurs, pour tout

n \in ℕ^*

, on définit

A_n

B_n

par

$A_n$ : «à l'issue des $2n$ premiers lancers, il y a autant de piles que de faces »;
$B_n$ : «à l'issue des $2n$ premiers lancers, il y a pour la première fois autant de piles que de faces ».

Par exemple si les six premiers lancers donnent dans l'ordre (face, face, pile, pile, face, pile),

A_1

n'est pas réalisé mais

A_2

A_3

le sont,

B_2

est réalisé mais

B_1

B_3

ne le sont pas.

Enfin on définit

C

, « au bout d'un certain nombre (non nul) de lancers, il y a autant de piles que de faces ».
On admet que, pour tout

n \in ℕ^*, A_n

B_n

sont des événements, et que

C

est un événement.
Q 35. Soit

n \in ℕ^*

. Exprimer

A_n

à l'aide de la variable aléatoire

X_1 + \dots + X_n

et en déduire

ℙ(A_n)

.
Q 36. Montrer que les événements

(B_n)_(n \in ℕ^*)

sont deux à deux incompatibles.
Q 37. Montrer que

C

est un événement et que

ℙ(C) = \sum_(n = 1)^(+ \infty)ℙ(B_n)

.
Q 38. On pose

A_0 = Ω

. Montrer que, pour tout

n \in ℕ^*, ℙ(A_n) = \sum_(k = 1)^n ℙ(B_k)ℙ(A_(n - k))

.
Q 39. À l'aide notamment de la formule (I.3), montrer que, pour tout

n \in ℕ^*

ℙ(B_n) = 2/n((2n - 2)/(n - 1))(p(1 - p))^n

Q 40. On suppose que

p \neq 1/2

, montrer que

ℙ(C) = 1 - \sqrt(1 - 4p(1 - p))

(on pourra utiliser la formule (I.2)).
Q 41. On suppose que

p = 1/2

, montrer que

ℙ(C) = 1

Questions fréquentes

4 questions

Sur quels chapitres porte le sujet Centrale Maths 2 PC 2023 ?

Il porte sur les séries entières, les bases de polynômes, les sommes doubles et le théorème de Fubini, puis sur les variables aléatoires discrètes. Deux questions demandent d'écrire du code Python.

Quelle est la moyenne du sujet Centrale Maths 2 PC 2023 ?

Le rapport indique une moyenne de 21,5 % des points du barème et un écart-type de 12,4 %. Les meilleures copies ont approché 70 % des points.

Pourquoi le sujet Centrale Maths 2 PC 2023 était-il difficile ?

Selon le jury, le texte était long et contenait de nombreuses questions difficiles dès le début (notamment Q7, Q9, Q11, Q14, Q23, Q38 et Q39), qui demandaient de concevoir une stratégie.

Quelles erreurs le jury a-t-il relevées au Centrale Maths 2 PC 2023 ?

Des récurrences bâclées, la confusion entre polynôme et fonction polynomiale, l'oubli de l'absolue convergence avant d'intervertir des sommes et des calculs simples mal menés.

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