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Centrale Mathématiques 2 PC 2025Sujet, corrigé et rapport du jury

Approximation uniforme des fonctions périodiques par des polynômes trigonométriques

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Présentation du sujet

Difficile
Polynômes trigonométriques : théorème de Fejer, inégalité de Bernstein et caractérisation des fonctions höldériennes
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Le sujet étudie l'approximation des fonctions continues 2π-périodiques par des polynômes trigonométriques. Il établit une version du théorème de Fejer, puis une inégalité de Bernstein qui permet enfin de caractériser les fonctions α-höldériennes par la vitesse de leur meilleure approximation par des polynômes trigonométriques. Le rapport précise que le sujet fait la part belle au programme de première année et que les méthodes suggérées restent élémentaires, le cheminement long testant surtout la capacité de concentration des candidats.

  1. 1Partie A : préliminairesÉtude du module de continuité d'une fonction 2π-périodique et de ses propriétés (sous-additivité, périodicité de l'intégrale).
  2. 2Partie B : approximation uniforme par des polynômes trigonométriquesConstruction d'un noyau positif Jn et démonstration que la suite (Tn g) converge uniformément vers g, d'abord pour g de classe C1 puis pour g continue (théorème de Fejer).
  3. 3Partie C : inégalité de BernsteinÉtude des racines de X^n + 1, décomposition en éléments simples associée, puis démonstration d'une inégalité de Bernstein sur la dérivée d'un polynôme trigonométrique.
  4. 4Partie D : fonctions höldériennesExemples de fonctions höldériennes, puis caractérisation des fonctions α-höldériennes 2π-périodiques par la vitesse de leur approximation par des polynômes trigonométriques.

Difficile. Le rapport indique que les questions plus théoriques, techniques ou à la frontière du programme font souvent perdre leurs moyens aux candidats, et que les dernières parties (D notamment) ont été très peu abordées.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 9,22 / 20 · écart-type 4,11 · 3 624 présents · où vous situez-vous ?
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Moyenne
9,22/ 20
Écart-type
4,11
Présents
3 624
Coefficient
15
Durée
4 h
1er quartile
6,4
Médiane
9,2
3e quartile
12,1
moyenne 9,2205101520
Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : document officiel du concours, épreuve du 2 mai 2025. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées
Manipulations d'inégalités et de valeurs absolues fragiles · Caractère bien défini du sup mal justifié · Convergence des intégrales non vérifiée
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Les candidats maîtrisent certes les fondements du programme, mais les questions plus théoriques ou demandant une compréhension globale du sujet leur font perdre leurs moyens, avec une tendance à écrire des assertions à la limite de l'absurde dès le début de la copie. Le jury regrette aussi que les toutes premières questions, habituellement plus faciles, aient été traitées avec un manque de maîtrise surprenant.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Manipulations d'inégalités et de valeurs absolues fragilesQ1 à Q3

    Dès les toutes premières questions de la partie A, les correcteurs relèvent de mauvaises manipulations d'inégalités et des utilisations erratiques des valeurs absolues, même dans des copies moyennes par ailleurs.

    « on relève ici de mauvaises manipulations d’inégalités, des utilisations erratiques des valeurs absolues »
  2. 2
    Caractère bien défini du sup mal justifiéQ2.a

    À la question 2.a, la périodicité est rarement invoquée pour se ramener à un intervalle borné, et une copie sur cinq seulement traite la question de façon satisfaisante.

    « au total, une copie sur cinq seulement traite la question de façon satisfaisante »
  3. 3
    Convergence des intégrales non vérifiéeQ9 à Q13

    Dans la partie B, les copies qui vérifient la convergence des intégrales considérées sont bien trop rares, et les constantes censées être indépendantes de n s'avèrent en dépendre dans une majorité de copies.

    « la bonne foi des candidats paraît en défaut lorsqu’il faut établir l’existence de constantes indépendantes den »
  4. 4
    Critère de racine multiple par le polynôme dérivé ignoréQ17

    À la question 17, abordée par la moitié des candidats avec un taux d'échec alarmant, le critère de racines multiples utilisant le polynôme dérivé est pratiquement absent.

    « la question est abordée par la moitié des candidats, mais avec un taux d’échec alarmant »
  5. 5
    Étude de fonction incomplète pour l'inégalité höldérienneQ26

    À la question 26, les considérations restent le plus souvent parcellaires, atteignant tout juste la première inégalité, seules les meilleures copies proposant une véritable étude de fonction.

  6. 6
    Dernière sous-partie quasiment non traitéeQ34 à Q38

    Les questions 34 à 38, qui établissent la réciproque de la caractérisation des fonctions höldériennes, sont très peu abordées par les candidats.

    « les questions suivantes sont très peu abordées »

Ce qui a été bien réussi

  • Le fait que l'opérateur Delta envoie un polynôme trigonométrique sur un polynôme trigonométrique (Q5) a été comparativement plutôt bien compris.
  • La question 6, un simple calcul, n'a pas posé de grande difficulté.
  • La question 23 a été bien traitée par les candidats qui ont effectivement pris z = e^(iθ).
  • Le (b) et le (c) de la question 16 n'ont pas posé de grandes difficultés à ceux qui les ont abordés.

Conseils du jury

  • Ne pas relâcher l'attention sur les premières questions d'un sujet, souvent plus faciles mais qui restent des indicateurs de la maîtrise des fondamentaux.
  • Toujours vérifier la convergence d'une intégrale ou l'indépendance d'une constante avant de l'utiliser dans une majoration.
  • Lire l'intégralité de l'énoncé avant de répondre, de nombreuses questions s'éclairant à la lecture de la suite du sujet.
  • S'appuyer sur des dessins ou schémas pour éclairer un raisonnement, notamment pour les changements de variable ou les études de fonction.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
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Sujet en PDF

Notations

Si a et b sont deux entiers tels que a ⩽ b, on note [ [a, b] ] l'ensemble des entiers k tels que a ⩽ k ⩽ b.
Pour n ∈ ℕ, on appelle polynôme trigonométrique de degré inférieur ou égal à n toute fonction de ℝ dans ℂ de la forme
x ↦ ∑_(k = − n)^n c_k e^(ikx)
où, pour tout k ∈ [ [ − n, n] ], c_k ∈ ℂ. On note T_n l'ensemble des polynômes trigonométriques de degré inférieur ou égal à n. C'est un ℂ-espace vectoriel, ce qu'on ne demande pas de vérifier.
On note C_(2π)^0 le ℂ-espace vectoriel des fonctions continues 2π-périodiques de ℝ dans ℂ et C_(2π)^1 le sous-espace vectoriel des fonctions de classe C^1 2π-périodiques. Pour g ∈ C_(2π)^0 et h > 0, on pose :
ω_g(h) = sup_(|t − s| ⩽ h)|g(s) − g(t)|
Pour toute fonction bornée f de ℝ dans ℂ, on pose :
‖f‖_∞ = sup_(t ∈ ℝ)|f(t)|

Partie A - Préliminaires

Q1. Montrer que si g est la fonction sinus, alors, pour tout h > 0, ω_g(h) ⩽ h.
Q2. (a) Montrer que, pour tous g ∈ C_(2π)^0 et h > 0, ω_g(h) est un réel bien défini.
(b) On suppose que g ∈ C_(2π)^1. Montrer que, pour tout h > 0, ω_g(h) ⩽ h‖g^′‖_∞. En déduire que lim_(h → 0)ω_g(h) = 0.
On admet que lim_(h → 0)ω_g(h) = 0 est vrai pour tout g ∈ C_(2π)^0.
Q3. Soit h et h^′ deux réels strictement positifs et soit g ∈ C_(2π)^1.
(a) Montrer que, si h ⩽ h^′, alors ω_g(h) ⩽ ω_g(h^′).
(b) Montrer que ω_g(h + h^′) ⩽ ω_g(h) + ω_g(h^′).
(c) En déduire que pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1 et pour tout réel λ strictement positif :
ω_g(nh) ⩽ nω_g(h) et ω_g(λh) ⩽ (1 + λ)ω_g(h)
Q4. Soit g ∈ C_(2π)^0. Montrer que pour tout x ∈ ℝ,
∫_(− π + x)^(π + x)g(t)dt = ∫_(− π)^π g(t)dt
Q5. Soit g ∈ C_(2π)^0 et n ∈ ℕ. Pour tout p ∈ T_n, on note Δ(p) la fonction de ℝ dans ℂ définie par
∀x ∈ ℝ, Δ(p)(x) = ∫_(− π)^π p(x − t)g(t)dt
Montrer que Δ définit un endomorphisme de T_n.

Partie B -

I - La fonction J_n

Pour tout n ∈ ℕ, on définit la fonctions φ_n de ℝ dans ℂ en posant, pour tout t ∈ ℝ,
φ_n(t) = e^(− nit/2)∑_(k = 0)^n e^(ikt) et f_n(t) = φ_n(t)^4.
Dans cette sous-partie, on fixe un entier n ∈ ℕ.
Q6. Montrer que, pour tout réel t n'appartenant pas à 2πℤ,
φ_n(t) = (sin(n + 1)t/2)/(sint/2) et f_n(t) = ((sin(n + 1)t/2)/(sint/2))^4.
Q7. Montrer que φ_n et φ_n^2 appartiennent à T_n, puis que f_n appartient à T_(2n).
Q8. Montrer qu'il existe un réel strictement positif c_n tel que ∫_(− π)^π c_n f_n(t)dt = 1.
Pour tout n ∈ ℕ, on pose désormais J_n = c_n f_n, de sorte que J_n est une fonction réelle positive vérifiant
J_n ∈ T_(2n) et ∫_(− π)^π J_n(t)dt = 1

II - Une majoration de ∫_(− π)^π|t|J_n(t)dt

Soit n ∈ ℕ.
Q9. Montrer que ∫_(− π)^π|t|J_n(t)dt = (∫_0^π tf_n(t)dt)/(∫_0^π f_n(t)dt).
Q10. Montrer que pour t ∈ [0, π/2], 2/πt ⩽ sint ⩽ t.
Q11. En déduire que ∫_0^π tf_n(t)dt ⩽ π^4((n + 1)/2)^2∫_0^((n + 1)π/2)(sin^4 u)/(u^3)du.
Q12. En déduire également que ∫_0^π f_n(t)dt ⩾ 2(n + 1)^3∫_0^((n + 1)π/2)(sin^4 u)/(u^4)du.
Q13. Montrer qu'il existe a > 0 tel que, pour tout n ∈ ℕ, ∫_(− π)^π|t|J_n(t)dt ⩽ a/(n + 1).

III - Approximation uniforme par des polynômes trigonométriques

Dans cette sous-partie, on fixe g ∈ C_(2π)^0.
Pour tout n ∈ ℕ, on définit la fonction T_n g en posant, pour tout x ∈ ℝ,
T_n g(x) = ∫_(− π)^π J_n(x − t)g(t)dt.
L'objectif de cette sous-partie est de montrer que ( T_n g ) est une suite de polynômes trigonométriques qui converge uniformément vers g sur ℝ.
Q14. Pour tous n ∈ ℕ et x ∈ ℝ, montrer que
T_n g(x) = ∫_(− π)^π J_n(t)g(x − t)dt et g(x) = ∫_(− π)^π J_n(t)g(x)dt
En déduire que |T_n g(x) − g(x)| ⩽ ∫_(− π)^π J_n(t)|g(x − t) − g(x)|dt.
Q15. Le cas C^1. On suppose, seulement dans cette question, que g est C^1.
(a) Montrer que, pour tout n ∈ ℕ,
‖T_n g − g‖_∞ ⩽ (a‖g^′‖_∞)/(n + 1)
où le réel a a été défini à la question Q13.
(b) Conclure que ( T_n g ) est une suite de polynômes trigonométriques qui converge uniformément vers g sur ℝ.
Q16. Le cas C^0. Dans cette question, on ne suppose plus que g est de classe C^1.
On rappelle le résultat admis à la question Q2 : lim_(h → 0)ω_g(h) = 0.
(a) Montrer que, pour tout n ∈ ℕ^∗ et tous réels t et x,
|g(x − t) − g(x)| ⩽ (1 + n|t|)ω_g(1/n)
(b) En déduire qu'il existe b > 0 tel que, pour tout n ∈ ℕ^∗,
‖T_n g − g‖_∞ ⩽ bω_g(1/n)
(c) Conclure que la suite ( T_n g ) converge uniformément vers g sur ℝ.

Partie C -

Dans cette partie, on considère l'espace vectoriel ℂ[X] des polynômes à coefficients complexes. Pour n ∈ ℕ, on note ℂ_n[X] le sous-espace vectoriel des polynômes de degré inférieur ou égal à n.

I -

Dans cette sous-partie on fixe un entier n ∈ ℕ^∗ et on note T le polynôme X^n + 1.
Q17. Montrer que T admet n racines simples dans ℂ.
On note z_1, …, z_n les racines de T.
Q18. Soit k ∈ [ [1, n] ]. Montrer que ∏_(j ≠ k)(z_k − z_j) = T^′(z_k).
Soit ℓ ∈ [ [0, n] ]. On considère la fonction rationnelle F donnée par F = (X^ℓ)/(X^n + 1).
On rappelle que, par décomposition en éléments simples de F, il y a existence et unicité de μ_1, …, μ_n dans ℂ et de E dans ℂ[X] tels que
F = ∑_(k = 1)^n(μ_k)/(X − z_k) + E
Q19. Montrer que, pour tout k ∈ [ [1, n] ], μ_k = − (z_k^(ℓ + 1))/n et que E est soit le polynôme nul, soit le polynôme constant égal à 1 .
Q20. Calculer F^′(1) et en déduire que ℓ = n/2 + 2/n∑_(k = 1)^n(z_k^(ℓ + 1))/((z_k − 1)^2).
Q21. En déduire que :
(a) pour tout polynôme P ∈ ℂ_n[X], XP^′(X) = n/2P(X) + 2/n∑_(k = 1)^n(z_k P(z_k X))/((z_k − 1)^2);
(b) ∑_(k = 1)^n(z_k)/((z_k − 1)^2) = − (n^2)/4.
Pour tout P ∈ ℂ[X], on pose ‖P‖ = sup_(|z| = 1)|P(z)|.
Q22. Montrer que ‖. ‖estunenormesurℂ[X].
Q23. Montrer que, si z est un nombre complexe de module 1 et si z ≠ 1, alors z/((z − 1)^2) est un réel négatif.
Q24. À l'aide de Q21, en déduire que pour tout P ∈ ℂ_n[X], ‖P^′‖ ⩽ n‖P‖.
Q25. En déduire que pour tout q ∈ T_n, ‖q^′‖_∞ ⩽ 3n‖q‖_∞.

Partie D - Fonctions höldériennes

Soit g une fonction définie sur un intervalle I ⊂ ℝ et à valeurs dans ℂ et soit α ∈ ]0, 1].
On dit que g est α-höldérienne s'il existe K > 0 tel que, pour tous réels x et y de l'intervalle I, |g(x) − g(y)| ⩽ K|x − y|^α.

I - Exemples

Soit α ∈ ]0, 1[ et soit h_α la fonction définie sur ℝ_+par h_α : x ↦ x^α.
Q26. Soit y un réel positif, montrer que pour tout x ⩾ y on a : 0 ⩽ x^α − y^α ⩽ (x − y)^α.
Q27. En déduire que h_α est α-höldérienne sur ℝ_+.
Q28. Soit β ∈ ]0, 1] tel que β ≠ α. Montrer que h_α n'est pas β-höldérienne.
Soit k la fonction définie sur ℝ_+par
k : x ↦ {xlnx, si x > 0; 0, si x = 0
Q29. Soit y ∈ ]0, 1]. Montrer que pour tout x ∈ [0, 1 − y], (x + y)ln(x + y) − xlnx ⩽ (y − 1)ln(1 − y).
Q30. En déduire que k est α-höldérienne sur [0, 1] pour tout α ∈ ]0, 1[.

II - Espace H_(2π)^α et approximation uniforme par des polynômes trigonométriques

Dans la suite du problème, pour α ∈ ]0, 1[, on note H_(2π)^α l'ensemble des fonctions α-höldériennes 2π-périodiques de ℝ dans ℂ.
Pour tout f ∈ C_(2π)^0, on pose δ_n(f) = inf_(p ∈ T_n)‖f − p‖_∞.
Q31. Montrer que H_(2π)^α est un sous-espace vectoriel de C_(2π)^0.
Q32. Montrer que si g ∈ H_(2π)^α, alors δ_n(g) = _(n → + ∞)O(1/(n^α)).

III - Étude d'une réciproque

L'objectif de cette sous-partie est d'établir une réciproque à la question Q32.
On fixe un réel α ∈ ]0, 1[ et une fonction f ∈ C_(2π)^0 telle que δ_n(f) = _(n → + ∞)O(1/(n^α)). Il existe ainsi un réel C > 0 tel que, pour tout n ∈ ℕ^∗, δ_n(f) ⩽ C/(n^α).
Q33. Pour n ∈ ℕ, montrer qu'il existe q_n ∈ T_n tel que δ_n(f) = ‖f − q_n‖_∞.
Pour tout n ∈ ℕ, on considère un polynôme p_n ∈ T_(2^n) tel que ‖f − p_n‖_∞ = δ_(2^n)(f).
Q34. Montrer, en appliquant l'inégalité établie à la question Q25, qu'il existe un réel C^′ > 0 tel que, pour tout n ∈ ℕ,
‖p_(n + 1)^′ − p_n^′‖_∞ ⩽ C^′ 2^(n(1 − α))
Q35. En déduire que, pour tout n ∈ ℕ,
‖p_n^′‖_∞ ⩽ ‖p_0^′‖_∞ + (C^′)/(2^(1 − α) − 1)2^(n(1 − α))
Q36. En déduire l'existence d'un réel A > 0 tel que, pour tout n ∈ ℕ,
‖p_n^′‖_∞ ⩽ A2^((1 − α)n)
Q37. Montrer que, pour tout (x, y) ∈ ℝ^2, |f(x) − f(y)| ⩽ C2^(1 − nα) + A2^((1 − α)n)|x − y|.
Q38. En déduire que f est α-höldérienne.
Indication : lorsque 0 < |x − y| ⩽ 1, on pourra choisir n ∈ ℕ tel que 1/(2^(n + 1)) ⩽ |x − y| ⩽ 1/(2^n) et majorer |f(x) − f(y)| à l'aide de la question précédente.

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte le sujet de mathématiques 2 Centrale PC 2025 ?
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Sur quels chapitres porte le sujet de mathématiques 2 Centrale PC 2025 ?

Il porte sur les polynômes trigonométriques et leur approximation des fonctions continues 2π-périodiques, avec le théorème de Fejer, l'inégalité de Bernstein et les fonctions höldériennes, en mobilisant intégration, polynômes et nombres complexes.

Le sujet de mathématiques 2 Centrale PC 2025 est-il difficile ?

Le rapport indique que le sujet fait la part belle au programme de première année avec des méthodes élémentaires, mais que les questions théoriques ou à la frontière du programme font perdre leurs moyens aux candidats, et que la dernière partie a été très peu abordée.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur ce sujet Centrale maths 2 PC 2025 ?

Le jury signale des manipulations d'inégalités et de valeurs absolues fragiles dès les premières questions, un manque de vérification de la convergence des intégrales, et l'absence quasi systématique du critère de racines multiples par le polynôme dérivé.

Ce sujet Centrale PC 2025 est-il accessible dès la première année de prépa ?

Le rapport précise que le sujet fait la part belle au programme de première année et que les méthodes suggérées restent très élémentaires, même si le cheminement long teste la capacité de concentration des candidats.

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