Centrale Mathématiques 2 PC 2026Sujet

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Introduction à la théorie des distributions et application au théorème d'unicité de Cantor

Le sujet construit pas à pas la théorie des distributions : fonctions tests, définition d'une distribution, dérivation, convergence d'une suite de distributions. La dernière partie applique ces outils pour démontrer un théorème d'unicité sur les séries trigonométriques de somme nulle.

1Partie A : construction d'une fonction testOn construit une fonction de classe C infini à support compact, puis une famille régularisante qui approche la masse de Dirac.
2Partie B : distributions sur ROn définit les distributions comme formes linéaires sur les fonctions tests et on étudie les exemples de la masse de Dirac et de la distribution associée à une fonction continue par morceaux.
3Partie C : dérivation d'une distributionOn définit la dérivée d'une distribution et on l'applique aux fonctions valeur absolue et échelon de Heaviside, avant de caractériser les distributions de dérivée nulle.
4Partie D : suite de distributionsOn définit la convergence d'une suite de distributions et on la relie à la convergence uniforme puis à la convergence en norme 2 des fonctions associées.
5Partie E : théorème d'unicité de CantorOn utilise la dérivation au sens des distributions pour montrer qu'une série trigonométrique convergente et de somme nulle a tous ses coefficients nuls.

L'épreuve en chiffres

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Moyenne: 9,2/ 20
Écart-type: 4,09
Présents: 4 025
Coefficient: 15
Durée: 4 h
1er quartile: 6,3
Médiane: 9,2
3e quartile: 12

Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

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Source : document officiel du concours, épreuve du 7 mai 2026. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

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Mathématiques 2

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Notations et rappels

-Les lettres $ℕ, ℤ$ et $ℝ$ désignent respectivement les ensembles des entiers naturels, des entiers relatifs et celui des nombres réels.
-Si $f : ℝ \to ℝ$ est une fonction bornée, on note $‖f‖_\infty = sup_(x \in ℝ)|f(x)|$ .
-On note $C^\infty(ℝ)$ le $ℝ$ -espace vectoriel des fonctions de classe $C^\infty(ℝ)$ de $ℝ$ dans $ℝ$ et on note $D(ℝ)$ le sous-espace vectoriel de $C^\infty(ℝ)$ constitué des fonctions $f$ pour lesquelles il existe $A > 0$ tel que $f(x) = 0$ si $|x| > A$ :
$D(ℝ) = {f ∈ C^∞(ℝ)|∃A > 0, ∀x ∉ [ − A, A], f(x) = 0}.$

On ne demande pas de vérifier que

D(ℝ)

est un sous-epace vectoriel de

C^\infty(ℝ)

.
Le but de ce sujet est d'introduire les distributions. Après avoir construit une fonction test (partie A), on introduit les distributions (partie B). Les propriétés de dérivation et de convergence sont introduites dans les parties C et D. La partie E donne une application classique de la théorie des distributions et utilise les résultats des parties précédentes.

Partie A - Construction d'une fonction test

Soit

φ

la fonction de

ℝ

dans

ℝ

telle que, pour tout

x ∈ ℝ, φ(x) = {e^(− 1/x), si x > 0; 0, si x ⩽ 0

.
Q1. Justifier que

φ

est de classe

C^\infty

sur

ℝ^*

.
Q2. Montrer que, pour tout

n \in ℕ

, il existe un polynôme

P_n \in ℝ[X]

tel que

\forallx \in ℝ_+^*, φ^((n))(x) = P_n(1/x)e^(- 1/x).

Q3. En déduire que

φ \in C^\infty(ℝ)

.
Q4. Soient

a < b

deux réels. Construire une fonction

ψ_(a, b) \in C^\infty(ℝ)

, telle que

ψ_(a, b)(x) > 0

pour tout

x \in ]a, b[

ψ_(a, b)(x) = 0

pour tout

x \in ℝ∖]a, b[

Soit, pour

ε > 0, ρ_ε(x) = 1/(ε\int_(- \infty)^(+ \infty)ψ_(- 1, 1)(u)du)ψ_(- 1, 1)(x/ε)

.
Q5. Justifier que

ρ_ε

est bien définie, puis que

ρ_ε \in D(ℝ)

.
Q6. Calculer

\int_(- \infty)^(+ \infty)ρ_ε(x)dx

.
Q7. Soit

g

une fonction continue de

ℝ

dans

ℝ

(a)Montrer que
$lim_(ε \to 0^+)\int_(- \infty)^(+ \infty)ρ_ε(x)g(x)dx = g(0)$
(b)En déduire que, pour tout $a \in ℝ$ ,
$lim_(ε \to 0^+)\int_(- \infty)^(+ \infty)ρ_ε(x - a)g(x)dx = g(a)$

Partie B - Distribution sur $ℝ$

Pour tout segment

K

inclus dans

ℝ

, on note

D(K)

l'ensemble des fonctions de

D(ℝ)

nulles en dehors de

K

D(K) = {f \in D(ℝ)|\forallx \notin K, f(x) = 0}.

On appelle distribution sur

ℝ

toute forme linéaire

T

sur

D(ℝ)

telle que, pour tout segment

K \subset ℝ

, il existe un réel

C_K > 0

et un entier

N_K \in ℕ

vérifiant

\forallφ \in D(K), |T(φ)| ⩽ C_K max_(i \in [ [0, N_K] ])‖φ^((i))‖_\infty.

On note

D^'(ℝ)

l'ensemble des distributions sur

ℝ

.
Q8. Montrer que

D^'(ℝ)

est un espace vectoriel.
Q9. Un premier exemple. Soit

a \in ℝ

et soit l'application

δ_a : D(ℝ) \to ℝ

f \mapsto f(a)

Montrer que

δ_a

est une distribution sur

ℝ

.
Q10. Un second exemple. Soit

f

une fonction continue par morceaux sur

ℝ

. Soit l'application

T_f : D(ℝ), \to, ℝ; φ, \mapsto, \int_(- \infty)^(+ \infty)f(t)φ(t)dt

Justifier que l'application

T_f

est bien définie, puis que

T_f

est une distribution sur

ℝ

.
On dit que

T_f

est la distribution associée à

f

.
Q11. Montrer que si

f_1

f_2

sont deux fonctions continues telles que

T_(f_1) = T_(f_2)

, alors

f_1 = f_2

.
Q12. Soit

φ \in D(ℝ)

et soit

ψ

l'application définie sur

ℝ

par

ψ(x) = {(φ(x) − φ(0))/x, si x ≠ 0; φ^′(0), si x = 0

(a)Montrer que, pour tout $x \in ℝ, ψ(x) = \int_0^1 φ^'(tx)dt$ .
(b)En déduire que $ψ \in C^\infty(ℝ)$ .

Q13. (a) Pour tout

φ \in D(ℝ)

, justifier l'existence de la limite :

lim_(ε \to 0^+)(\int_(- \infty)^(- ε)(φ(x))/x dx + \int_ε^(+ \infty)(φ(x))/x dx)

.
On note

V(φ)

cette limite et on dispose ainsi d'une application

V

D

dans

ℝ

(b)Montrer que $V$ est une distribution sur $ℝ$ .

Partie C - Dérivation d'une distribution

Pour tout

T \in D^'(ℝ)

, on définit la forme linéaire

T^'

sur

D(ℝ)

par :

\forallφ \in D(ℝ), T^'(φ) = - T(φ^').

Q14. Soit

T \in D^'(ℝ)

. Montrer que

T^' \in D^'(ℝ)

.
On dit que

T^'

est la distribution dérivée de la distribution

T

, ou simplement dérivée de

T

.
Si

f

est une fonction continue par morceaux de

ℝ

dans

ℝ

, la distribution dérivée

(T_f)^'

de la distribution

T_f

associée à

f

(définie à la question Q10) pourra aussi être notée

T_f^'

T_f^'

Q15. Soit

f

une fonction de classe

C^1

ℝ

dans

ℝ

. Montrer que

T_f^' = T_(f^')

.
Q16. Soit

f

la fonction valeur absolue :

f(x) = |x|

pour tout réel

x

(a)Montrer que $f$ n'est pas dérivable sur $ℝ$ .
(b)Déterminer la distribution dérivée $T_f^'$ de la distribution $T_f$ .

Q17.Soit $H$ la fonction définie de $ℝ$ dans $ℝ$ telle que $H(x) = {1, si x ⩾ 0; 0, si x < 0$ .
Justifier que $H$ est continue par morceaux et montrer que $T_H^' = δ_0$ .
On rappelle que $δ_0$ a été défini à la question $Q9$ .
Q18.Soit $T \in D^'(ℝ)$ telle que $T^' = 0$ .
- (a)Justifier que, pour tout $φ \in D(ℝ), T(φ^') = 0$ .
- (b)Soit $φ \in D(ℝ)$ telle que $\int_(- \infty)^(+ \infty)φ(t)dt = 0$ . Montrer que $T(φ) = 0$ . Indication : On pourra utiliser la fonction $ψ : x \mapsto \int_(- \infty)^x φ(t)dt$ .
- (c)Justifier qu'il existe $φ_0 \in D(ℝ)$ telle que $\int_(- \infty)^(+ \infty)φ_0(t)dt = 1$ .
- (d)Soit $φ \in D(ℝ)$ . Montrer que $T(φ) = T(φ_0)\int_(- \infty)^(+ \infty)φ(t)dt$ . Indication : Écrire $φ = (\int_(- \infty)^(+ \infty)φ(t)dt)φ_0 + (φ - (\int_(- \infty)^(+ \infty)φ(t)dt)φ_0)$ .
- (e)Conclure qu'il existe une fonction constante $h$ sur $ℝ$ telle que $T = T_h$ .
Q19.Déterminer les fonctions $f$ continues de $ℝ$ dans $ℝ$ telles que $T_f^' = 0$ .

T \in D(ℝ)

, la distribution dérivée seconde de

T

est par définition la distribution

T^('') = (T^')^'

.
Si

T = T_f

, on note

(T_f)^('') = T_f^('')

.
Q20. Déterminer les fonctions

f

continues de

ℝ

dans

ℝ

telles que

T_f^('') = 0

.
Soient

f

g

deux fonctions continues sur

ℝ

telles que

T_f^' = T_g

.
Q21. Justifier qu'il existe une fonction

G

définie sur

ℝ

telle que

G^' = g

.
Q22. En déduire que

(T_f - T_G)^' = 0

.
Q23. En déduire que

f

est de classe

C^1

sur

ℝ

et préciser sa dérivée.

Partie D - Suite de distributions

Soit

(T_n)_(n \in ℕ)

une suite de distributions. On dit que la suite

(T_n)_(n \in ℕ)

converge vers une distribution

T

si :

\forallφ \in D(ℝ), lim_(n \to + \infty)T_n(φ) = T(φ).

On notera

lim_(n \to + \infty)T_n = ^D T

.
Q24. Soit

(T_n)_(n \in ℕ)

une suite de distributions qui converge vers une distribution

T

. Montrer que

lim_(n \to + \infty)T_n^' = ^D T^'

.
Q25. Donner un exemple d'une suite de fonctions

(f_n)_(n \in ℕ)

définies et continues de

ℝ

dans

ℝ

telle que

(f_n)_(n \in ℕ)

ne converge pas simplement sur

ℝ

et telle que la suite

(T_(f_n))_(n \in ℕ)

converge vers la distribution nulle.

Q26. Soit

f

une fonction définie et continue de

ℝ

dans

ℝ

. Soit

(f_n)_(n \in ℕ)

une suite de fonctions continues de

ℝ

dans

ℝ

qui converge uniformément vers

f

sur

ℝ

. Montrer que

lim_(n \to + \infty)T_(f_n) = ^D T_f

Pour la question Q27, on donne les définitions suivantes.

-Pour toute fonction $f$ continue de $ℝ$ dans $ℝ$ et telle que $f^2$ soit intégrable sur $ℝ$ , on pose :
$‖f‖_2 = (\int_(- \infty)^(+ \infty)f(t)^2 dt)^(1/2)$

-On dit qu'une suite $(f_n)_(n \in ℕ)$ de fonctions continues de $ℝ$ dans $ℝ$ converge en norme 2 vers une fonction $f$ continue de $ℝ$ dans $ℝ$ si les fonctions $(f_n - f)^2$ sont intégrables sur $ℝ$ et si $lim_(n \to + \infty)‖f_n - f‖_2 = 0$ .
Q27.Soit $(f_n)_(n \in ℕ)$ une suite de fonctions continues définies sur $ℝ$ . On suppose que $(f_n)_(n \in ℕ)$ converge en norme 2 vers une fonction continue $f$ . Montrer que $lim_(n \to + \infty)T_(f_n) = ^D T_f$ .
Indication : On pourra utiliser librement l'inégalité de Cauchy-Schwarz suivante : pour toutes fonctions continues par morceaux $f, g : [a, b] \to ℝ$ ,
$\int_a^b|f(t)g(t)|dt ⩽ (\int_a^b f(t)^2 dt)^(1/2)(\int_a^b g(t)^2 dt)^(1/2)$

Partie E - Une application, le théorème d'unicité de Cantor

Soient

(a_n)_(n \in ℕ^*)

(b_n)_(n \in ℕ^*)

deux suites de réels telles que la série

\sum_(n ⩾ 1)(a_n cos(nx) + b_n sin(nx))

converge pour tout réel

x

et est de somme nulle.

Q28.On souhaite montrer que les suites $(a_n)_(n \in ℕ^*)$ et $(b_n)_(n \in ℕ^*)$ convergent vers 0.
- (a)Montrer que $lim_(n \to + \infty)a_n = 0$ .

On suppose que la suite

(b_n)_(n \in ℕ^*)

ne converge pas vers 0.

- (b)Montrer que pour tout réel $x \in [0, 2π], lim_(n \to + \infty)b_n sin(nx) = 0$ .
- (c)Montrer qu'il existe $ε > 0$ et $φ : ℕ^* \to ℕ^*$ strictement croissante telle que pour tout $n \in ℕ^*, |b_(φ(n))| ⩾ ε$ .
- (d)En déduire que $lim_(n \to + \infty)\int_0^(2π)sin^2(φ(n)x)dx = 0$ .
- (e)Conclure.
Q29.On suppose dans cette question que les séries $\sum_(n ⩾ 1)|a_n|$ et $\sum_(n ⩾ 1)|b_n|$ convergent.
Montrer que pour tout $n \in ℕ^*, a_n = b_n = 0$ .
Indication : Pour $k \in ℕ^*$ , on pourra calculer
$\int_0^(2π)(\sum_(n = 1)^(+ \infty)(a_n cos(nx) + b_n sin(nx)))cos(kx)dx et \int_0^(2π)(\sum_(n = 1)^(+ \infty)(a_n cos(nx) + b_n sin(nx)))sin(kx)dx.$
On revient au cas général et on ne suppose plus que les séries $\sum_(n ⩾ 1)|a_n|$ et $\sum_(n ⩾ 1)|b_n|$ convergent.
Q30.Pour $n \in ℕ^*$ et $x \in ℝ$ , on pose $f_n(x) = (a_n)/(n^2)cos(nx) + (b_n)/(n^2)sin(nx)$ .
Montrer que la série de fonctions $\sum_(n ⩾ 1)f_n$ converge normalement sur $ℝ$ . On note $F$ sa somme.
Q31.En déterminant la distribution dérivée seconde de la distribution $T_F$ , montrer que $F$ est une fonction affine.
Q32.Montrer que $F$ est bornée. En déduire que $F$ est constante.
Q33.Montrer que $F$ est nulle.
Q34.Conclure.

Questions fréquentes

4 questions

Sur quels chapitres porte le sujet Centrale Mathématiques 2 PC 2026 ?

Le sujet porte sur les fonctions de classe C infini, l'intégration, les séries de fonctions et la convergence uniforme, mobilisés pour construire la théorie des distributions et l'appliquer aux séries trigonométriques.

Faut-il connaître le cours sur les distributions pour traiter ce sujet ?

Non, la notion de distribution n'est pas un prérequis : le sujet la construit entièrement à partir de la notion de fonction test et des outils classiques d'analyse.

Quelles parties du sujet Centrale Maths 2 PC 2026 sont indépendantes ?

Les parties A à D forment une progression cumulative où chaque partie s'appuie sur la précédente. La partie E réutilise les résultats des parties C et D.

Quels résultats de cours faut-il maîtriser pour la partie E sur le théorème de Cantor ?

Il faut maîtriser la convergence normale des séries de fonctions, le calcul de coefficients par intégration terme à terme et les propriétés des fonctions affines bornées.

Pas de description pour le moment

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Partie A - Construction d'une fonction test

Partie B - Distribution sur ℝ

Partie C - Dérivation d'une distribution

Partie D - Suite de distributions

Partie E - Une application, le théorème d'unicité de Cantor

Questions fréquentes

Sur quels chapitres porte le sujet Centrale Mathématiques 2 PC 2026 ?

Faut-il connaître le cours sur les distributions pour traiter ce sujet ?

Quelles parties du sujet Centrale Maths 2 PC 2026 sont indépendantes ?

Quels résultats de cours faut-il maîtriser pour la partie E sur le théorème de Cantor ?

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Partie B - Distribution sur $ℝ$