Centrale Physique 1 PC 2026Sujet et corrigé

Physique 1

Autour des gouttes et des bulles

Partie A - Évaporation d'une goutte d'eau

I - Évolution du rayon d'une goutte sphérique

Figure 1 - Évaporation d'une goutte d'eau sphérique.

• Q1.Rappeler la définition de la pression de vapeur saturante. Préciser sa variation avec la température.
• Q2.Justifier que le flux diffusif des molécules d'eau est à symétrie sphérique et que la concentration en masse de vapeur d'eau dans l'air c(r⃗, t) ne dépend que du rayon r et du temps t.

• Q3.Énoncer la loi de Fick reliant la concentration en masse de vapeur d'eau c(r, t) et le vecteur densité de courant diffusif de masse j⃗_m. Citer les unités de chaque grandeur.
• Q4.Établir une relation entre la concentration c(r, t) et la pression partielle en vapeur d'eau p(r, t). Préciser alors les conditions aux limites vérifiées par c(r, t) en fonction notamment des pressions p_(sat) et p_∞.

• Q5.Donner un critère quantitatif qui permettrait de confirmer la validité de cette approximation. Nous vérifierons le respect de ce critère à la question Q9.
• Q6.Dans le cadre de l'approximation des régimes quasi-stationnaires, montrer que le flux de masse d'eau φ_m sortant de la goutte a pour expression :
  φ_m = 4πr_g(M_(eau)Dp_(sat)(T))/(RT)(1 − R_H)
• Q7.Exprimer de deux manières la variation de masse de la goutte d'eau entre les instants t et t + dt. En déduire l'équation d'évolution du rayon r_g(t) de la goutte :
  r_g(t)(dr_g(t))/(dt) = − (M_(eau)Dp_(sat)(T))/(μ_(eau)RT)(1 − R_H)
• Q8.Déterminer la loi d'évolution du rayon de la goutte r_g(t). Faire apparaitre le temps t_0 d'évaporation de la goutte.
• Q9.Application numérique : La goutte a initialement un rayon r_(g0) = 1 mm. Calculer sa durée de vie t_0 dans le cas d'une atmosphère sèche (R_H = 0). Discuter alors de la validité de l'approximation des régimes quasi-stationnaires utilisée dans cette partie.

II - Température de la goutte

II. 1 - Mise en équation

• Q11.L'évaporation est-elle une transformation exothermique ou endothermique ? La température de la goutte est-elle plus grande ou plus petite que T_∞ ?
• Q12.Montrer que le flux thermique reçu par la goutte s'écrit φ_(th, d) = (T_∞ − T_g)/R_(th, d). On exprimera R_(th, d) en fonction de la conductivité thermique λ_(air) de l'atmosphère et du rayon r_g de la goutte. Préciser l'unité dans le Système International de R_(th, d).
• Q13.Dans la situation où la température de la goutte est différente de la température ambiante T_∞, l'expression du flux de masse (2) établi à la question Q6 est légèrement modifiée :
  φ_m = 4πr_g(M_(eau)D)/R((p_(sat)(T_g))/(T_g) − (p_∞(T_∞))/(T_∞))
  À partir d'un bilan d'énergie appliqué à la goutte, démontrer la relation suivante :
  T_∞ − T_g = (Δh_(vap)M_(eau)Dp_(sat)(T_∞))/(λ_(air)RT_∞)((p_(sat)(T_g))/(T_g)(T_∞)/(p_(sat)(T_∞)) − R_H)
  où Δh_(vap) est l'enthalpie massique de vaporisation de l'eau, M_(eau) la masse molaire de l'eau, D le coefficient de diffusion moléculaire de l'eau dans l'air, λ_(air) la conductivité thermique de l'air, R_H = p_∞(T_∞)/p_(sat)(T_∞) l'humidité relative et R la constante des gaz parfaits.

II. 2 - Résolution numérique

import numpy as np
from scipy.optimize import bisect
# Constantes :
R = 8.314 # constante des gaz parfaits (en J/K/mol)
D = 2.4e-5 # coefficient de diffusion moléculaire (en m**2/s)
Lambda = 2.6e-2 # coefficient de diffusion thermique (en W/m/K)
Dhv = 2.4e6 # enthalpie massique de vaporisation (en J/K/kg)
M = 18e-3 # masse molaire de l'eau (en kg/mol)
Ps = 2.34e3 # pression de vapeur saturante loin de la goutte (en Pa)
Tinf = 273+20 # température loin de la goutte (en K)
RH = 0.0 # taux d'humidité (compris entre 0 et 1)
# Deux constantes intermédiaires :
C1 = Dhv*D*M*Ps/(Lambda*R*Tinf)
C2 = Dhv*M/R
# à compléter :
def f(x):
    return
a = # borne inférieure à compléter
b = # borne supérieure à compléter
tolerance = 1e-2
racine = bisect(f, a, b, xtol=tolerance)
print("Tg = ", racine, "K")

II. 3 - Résolution approchée

III - Effets radiatifs

IV - Application : mesure du taux d'humidité

Figure 3 - Psychromètre.

• Q22.À l'aide des résultats précédents, établir une expression du coefficient psychrométrique A. On introduira la température moyenne T¯.

Partie B - Spin coating

Figure 4 - Étapes de la procédure d'enduction centrifuge.

I - Équation de Stokes

Figure 5 - Goutte liquide sur le substrat.

• Q23.Interpréter chacun des termes présents dans l'équation de Navier-Stokes, rappelée en annexe à la fin de l'énoncé. On précisera les différentes forces volumiques f⃗_(vol) à considérer dans le référentiel lié au plateau tournant.
• Q24.Montrer par une analyse en ordre de grandeur et une application numérique que le terme centrifuge est prépondérant par rapport au terme de Coriolis.
• Q25.Justifier alors que la vitesse ne possède pas de composante orthoradiale : v_θ = 0 et que la norme de la vitesse ne dépend pas de θ.
• Q26.En exploitant l'incompressibilité de l'écoulement, montrer que celui-ci est principalement radial : v⃗(r⃗, t) ≃ v_r(r, z, t)e⃗_r.
• Q27.Comparer par ordre de grandeur chacun des termes diffusifs présents dans (Δv⃗) ⋅ e⃗_r. Montrer que l'un d'entre eux est dominant.
• Q28.Rappeler la définition du nombre de Reynolds. L'évaluer numériquement et en déduire une simplification dans l'équation de Navier-Stokes.
• Q29.Justifier que l'écoulement est quasi-stationnaire.

• Q30.En déduire l'équation différentielle suivante vérifiée par v_r :
  (∂^2 v_r)/(∂z^2) = − (μω^2 r)/η
• Q31.Préciser la condition à la limite en z = 0. Justifier que la condition en z = h(r, t) est ((∂v_r)/(∂z))_(z = h) = 0.
• Q32.Exprimer le champ de vitesse v_r.
• Q33.En déduire le débit volumique Q(r, t) sortant d'un cylindre de rayon r et de hauteur h(r, t) :
  Q(r, t) = (2πμω^2 r^2)/(3η)h(r, t)^3

II - Bilan de masse

Figure 6 - Bilan de masse. Vue de dessus et vue de profil.

• Q34.Exprimer la variation d^2 m(r, t) de la masse du système ouvert entre les instants t et t + dt.
• Q35.Exprimer la quantité de masse δm_e(r, t) entrant dans le système ouvert par la surface en r ainsi que la quantité de masse δm_e(r + dr, t) entrant par la surface en r + dr entre les instants t et t + dt. En déduire la quantité de masse δ^2 m_e qui entre dans le système ouvert entre les instants t et t + dt. On exprimera les résultats en fonction de μ, dr, dt et du débit volumique Q(r, t).
• Q36.Démontrer l'équation-bilan vérifiée par h(r, t) :
  (∂h)/(∂t) = − (μω^2)/η[2/3h^3 + rh^2(∂h)/(∂r)]

III - Loi d'évolution de h(t) et r(t)

Figure 7 - Modèle d'une goutte cylindrique.

Partie C - Mesure de l'épaisseur d'une bulle par interférométrie

Figure 8 - Photographie de la bulle d'huile de silicone, éclairée par une lampe à vapeur de sodium à l'arrière. La photographie a été prise 306 secondes après la formation de la bulle [1].

Figure 9 - Schéma de l'expérience, vue de profil et vue en coupe sur le dessus.

Figure 10 - Lame liquide à faces parallèles.

I - Intensité transmise par la bulle

II - Analyse des images

Figure 11 - Fonction de transmission du film. Le tracé est réalisé avec m = 11.

Figure 12 - Drainage de la bulle à la surface d'un bain d'huile. Ici, le rayon de la bulle est r_0 = 12 mm et sa viscosité est η = 2300 Pa ⋅ s [1].

Figure 13 - Coefficient de réflexion en intensité R = r^2 en fonction de l'angle d'incidence α, pour une lumière non polarisée.

• Q49.En vous appuyant sur vos réponses précédentes et les figures 12 et 13, expliquer précisément les observations faites lors de cette expérience : position, aspect des franges. Proposer un protocole permettant de déterminer l'épaisseur du film au cours du temps, pour tous les angles de colatitude θ.
• Q50.
  Le tableau 1 présente la position angulaire des franges brillantes sur le pourtour de la bulle, à la date t = 220 s (voir la figure 12d). Au sommet, on observe la dernière frange brillante apparaitre.
  Montrer que la relation entre l'épaisseur h du film et l'angle θ peut être modélisée par la loi :
  h(θ) = h_0 cos^(− ℓ)(θ)
  avec le nombre ℓ > 0 à déterminer.

  Numéro de la frange brillante	θ(^∘)
  1	0
  2	28,4
  3	35,2
  4	39,3
  5	42,0
  6	44,1
  7	45,8
  8	47,2
  9	48,3

  Tableau 1 - Position angulaire des franges brillantes à la date t = 220 s [1]. À cette date, on voit apparaitre au sommet la dernière frange brillante avant l'éclatement de la bulle.

Données et formulaire

Données numériques (Partie A)

• -à T_(fus) = 273, 15 K :
• -à T_∞ = 293, 15 K :

Formulaire

• -Gradient en coordonnées sphériques (r, θ, φ) :
  grad^(→−)f = (∂f)/(∂r)e⃗_r + 1/r(∂f)/(∂θ)e⃗_θ + 1/(rsinθ)(∂f)/(∂φ)e⃗_φ
• -Équation de Navier-Stokes pour un fluide newtonien en écoulement incompressible :
  μ[(∂v⃗)/(∂t) + (v⃗ ⋅ grad^(→−))v⃗] = f⃗_(vol) − grad^(→−)p + ηΔv⃗
• -Divergence en coordonnées cylindriques :
  divA⃗ = 1/r(∂(rA_r))/(∂r) + 1/r(∂A_θ)/(∂θ) + (∂A_z)/(∂z)
• -Laplacien d'un champ de vecteurs A⃗ en coordonnées cylindriques, projeté selon e⃗_r :
  (ΔA⃗) ⋅ e⃗_r = 1/r∂/(∂r)(r(∂A_r)/(∂r)) − (A_r)/(r^2) + 1/(r^2)(∂^2 A_r)/(∂θ^2) − 2/(r^2)(∂A_θ)/(∂θ) + (∂^2 A_r)/(∂z^2)
• -Laplacien d'une fonction scalaire f(r, t) en coordonnées cylindriques :
  Δf(r, t) = 1/r∂/(∂r)(r(∂f)/(∂r))
• -Linéarisation de x ↦ sin^2(x/2) :
  sin^2(x/2) = (1 − cos(x))/2

Fonctions Python (Partie A)

• -np.exp(a) crée un tableau de même forme que a dont les éléments sont les exponentielles des éléments de a.
• -bisect (f,a,b,xtol=tolerance) détermine la racine de la fonction f(x) dans un intervalle compris entre x=a et x = b, avec une tolérance xtol pour la précision de la racine.

• [1] Casey Bartlett et al. «Universal non-monotonic drainage in large bare viscous bubbles ». In : Nature Communications 14.1 (2023), p. 877.
• [2] Marie Corpart. «Évaporation de gouttes sur des fibres ». Thèse de doctorat. Université Paris-Saclay, déc. 2022. URL : https://theses.hal.science/tel-04124399.