Ce sujet distingue la vitesse d'un objet matériel de la célérité d'une onde, à travers deux problèmes totalement indépendants. La partie A part de la mesure de la célérité de la lumière par Rømer, puis étudie les perturbations relativistes de l'orbite de Mercure et l'entraînement des ondes lumineuses dans l'eau (expérience de Fizeau). La partie B s'appuie sur le chant des dunes et sur la propagation d'ondes acoustiques dans un courant d'eau en mouvement.

1Partie A, I : la mesure de la célérité de la lumière par Rømerpremière annéeÀ partir des occultations du satellite Io par Jupiter, il s'agit de retrouver l'effet Doppler puis d'estimer la célérité de la lumière comme l'a fait Rømer.
2Partie A, II : les perturbations séculaires de l'orbite de Mercurepremière annéeLe mouvement de Mercure est d'abord traité avec les lois de Kepler, puis une correction relativiste (admise) permet de retrouver la rotation de l'axe des absides.
3Partie A, III : propagation de la lumière dans un fluide en mouvementL'expérience historique de Fizeau permet de comparer les modèles d'entraînement de la lumière par l'eau, dans un cadre classique puis relativiste.
4Partie B, I : le chant des dunesdeuxième annéeDeux modèles sont confrontés à des mesures pour expliquer la fréquence du son émis par l'avalanche des grains de sable d'une dune.
5Partie B, II : propagation des ondes acoustiques et entraînement par l'eaudeuxième annéeL'équation de Navier-Stokes sert à établir la célérité et l'atténuation des ondes acoustiques dans l'eau, avec ou sans courant d'ensemble.

Difficile. Le rapport parle d'un sujet présentant un niveau de difficulté soutenu et nécessitant une autonomie importante, et signale que le sujet a été abordé en totalité par peu de candidats.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 9,32 / 20 · écart-type 4,01 · 3 644 présents · où vous situez-vous ?

Moyenne: 9,32/ 20
Écart-type: 4,01
Présents: 3 644
Coefficient: 14
Durée: 4 h
1er quartile: 6,5
Médiane: 9,1
3e quartile: 12,1

Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Où je me situe ?

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : document officiel du concours, épreuve du 29 avril 2025. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées

Développements limités bâclés · Confusion entre vecteur, norme et projection · Ordres de grandeur non vérifiés

Le sujet a été peu traité en totalité et seule la sous-partie sur la propagation de la lumière dans un fluide en mouvement a été plutôt bien réussie. Le jury retient surtout des difficultés de méthodologie, de rédaction et de calcul plus que des problèmes de compréhension des concepts physiques. Les questions ouvertes, plus nombreuses que d'habitude, ont eu un succès limité.

Les erreurs les plus sanctionnées

1
Développements limités bâclésQ3, Q20
Plusieurs questions demandent un développement limité rigoureux (par exemple pour établir la formule de l'effet Doppler ou pour simplifier les célérités dans l'eau). Le jury note un manque de rigueur dans ces calculs.
« Les développements limités méritent d'être conduits proprement, même en physique. »
2
Confusion entre vecteur, norme et projectionQ9
Le jury relève de nombreuses confusions entre grandeurs vectorielles et scalaires, par exemple entre une composante d'un moment cinétique et la norme du vecteur moment cinétique.
« beaucoup de confusions entre vecteur, norme et projection »
3
Ordres de grandeur non vérifiésQ7
Une application numérique fausse n'est pas repérée faute de recul sur le résultat obtenu, par exemple une masse de Jupiter estimée supérieure à celle du Soleil.
« il n'est pas normal de trouver une masse de Jupiter plus grande que celle du Soleil. »
4
Démonstrations incomplètes ou peu rigoureuses
Le jury regrette que peu de candidats mènent une démonstration complète sans oublier une hypothèse ou une flèche sur un vecteur.
« Un trop petit nombre de candidats est capable de mener rigoureusement une démonstration de A à Z sans oublier une hypothèse »
5
Réponses partielles aux questions à plusieurs sous-questions
Quand une question comporte plusieurs sous-questions, une partie seulement est souvent traitée, ce qui fait perdre des points facilement accessibles.
« Trop nombreux sont encore les candidats qui ne répondent que partiellement aux questions, notamment lorsque celles-ci contiennent plusieurs sous-questions. »
6
Opérateurs vectoriels mal maîtrisésQ33
La simplification d'expressions avec gradient et divergence appliqués à un champ de vitesse a donné lieu à de nombreuses erreurs sur la nature scalaire ou vectorielle du résultat.
« beaucoup semblent oublier les relations d'action des différents opérateurs vectoriels »

Ce qui a été bien réussi

La question sur la période de révolution de Jupiter (Q4) a été globalement bien traitée.
La sous-partie sur l'entraînement des ondes lumineuses dans l'eau (III.1) a été bien traitée.
La question ouverte Q6 sur la démarche géométrique de Rømer a obtenu le meilleur taux de réussite parmi les questions ouvertes, avec 15,9 % des candidats ayant obtenu au moins un point.

Conseils du jury

Parcourir l'intégralité du sujet lors d'une première lecture rapide pour repérer les questions faciles.
Bien s'assurer d'avoir compris l'énoncé d'une question, quitte à le relire plusieurs fois.
Référencer correctement les questions traitées et utiliser les notations de l'énoncé.
Préciser les hypothèses nécessaires aux calculs et ne pas négliger les applications numériques.
Il vaut mieux bien répondre aux questions que l'on sait visiblement faire, en justifiant bien et en concluant explicitement, plutôt que de vouloir traiter tout le sujet.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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Vitesses mécaniques et célérités des ondes

Bien qu'exprimées dans les mêmes unités, les notions de vitesse et de célérité sont bien distinctes. Dans tout le sujet, on appellera vitesse (notée

v⃗

V⃗

par exemple) la grandeur cinématique associée au déplacement d'un point ou d'un objet matériel, tandis qu'on parlera de célérité (notée

c_0, c_a, \dots

) pour les grandeurs associées à la propagation des ondes (lumineuses, acoustiques, vagues, ...). Dans toute la suite on retiendra que les célérités d'ondes sont des grandeurs positives tandis que les vitesses des objets sont des grandeurs vectorielles, chaque composante étant elle-même une grandeur algébrique.

Ce sujet est divisé en deux problèmes totalement indépendants, dans lesquelles les notions de vitesse et célérité interviennent dans des contextes distincts.

Dans le problème Partie

A

la célérité des ondes est

c_0

, celle de la lumière dans le vide et, dans l'approximation non relativiste de la mécanique, les vitesses des objets vérifient

‖v⃗‖≪c_0

Dans le problème Partie B c'est la célérité

c_a

des ondes acoustiques (dans des milieux solides, liquides, gaz) qui est étudiée. On rappelle ici que, dans l'approximation acoustique, les vitesses des molécules du fluide vérifient

‖v⃗‖≪c_a

On notera

i^2 = - 1

; la base cartésienne associée au repère (

Oxyz

) sera notée (

u⃗_x, u⃗_y, u⃗_z

). Pour un point du plan (

Oxy

) on utilisera aussi les coordonnées polaires (

r, θ

) associées au repère mobile (

u⃗_r, u⃗_θ

). Toutes les valeurs numériques nécessaires sont regroupées dans un tableau unique en fin d'énoncé, ainsi qu'un formulaire mathématique.

Certaines questions, peu ou pas guidées, demandent de l'initiative de la part du candidat. Leur énoncé est repéré par un numéro de question souligné. Il est alors demandé d'expliciter clairement la démarche, les choix et de les illustrer, le cas échéant, par un schéma. Le barème valorise la prise d'initiative et tient compte du temps nécessaire à la résolution de ces questions.

Partie A - Mécanique et célérité de la lumière

Ce problème Partie A étudie trois situations indépendantes entre elles explorant les liens entre la célérité

c_0

de la lumière (et des ondes électromagnétiques dans le vide) et les vitesses d'objets matériels :

la partie $I$ présente une méthode astronomique de mesure de la célérité de la lumière dans le vide $c_0$ , bien avant bien sûr que celle-ci ne soit définie conventionnellement, par comparaison aux vitesses relatives des planètes;
la partie II étudie une manifestation d'une correction relativiste aux lois de la mécanique céleste : les écarts de trajectoire de la planète Mercure aux lois de Kepler du mouvement gravitationnel ;
enfin, la partie III s'intéresse à la propagation des ondes lumineuses dans un fluide transparent et entraîné; il s'agit d'une expérience de physique fondamentale datant de la fin du XIX $^e$ siècle, peu avant la transition entre mécanique classique et relativiste.

I - La mesure de la célérité de la lumière par Rømer

On étudie d'abord un point E qui émet périodiquement un signal lumineux isotrope aux instants

t_k = kT

, où

T

est la période d'émission et

k \in ℕ

. Ce signal se propage avec la célérité

c_0

puis est reçu au point R qui est en mouvement rectiligne à la vitesse

v⃗

et s'éloigne ainsi de E (figure 1). On note

t_k^'

t_(k + 1)^'

les instants de réception des signaux émis à

t_k

t_(k + 1)

d_k

la distance

R_k E

à l'instant

t_k^'

Q1. Exprimer la distance

d_(k + 1) = R_(k + 1)E

en fonction de

d_k, c_0, T

et des instants

t_k^'

t_(k + 1)^'

. En déduire que la réception des signaux par R est périodique de période

T^'

et exprimer

T^'

en fonction de

T, v

c_0

. Connaissez-vous le nom usuellement donné à l'effet ainsi mis en évidence?

Figure 1 - Réception d'un signal périodique par un récepteur en éloignement longitudinal

On considère maintenant un point E qui émet périodiquement un signal lumineux isotrope aux mêmes instants

t_k = kT

; le signal est reçu au point R en mouvement à la vitesse variable

v⃗

. Comme

c_0≫‖v⃗‖

on pourra admettre qu'entre la réception des

k

-ième et

k + 1

-ième signaux le déplacement de R est quasiment rectiligne et uniforme (figure 2 ). Les instants de réception sont notés

t_k^'

t_(k + 1)^'

et on aura donc

R_k R_(k + 1)^(\to-) ≃ v⃗(t_(k + 1)^' - t_k^')

. On choisira l'axe (

Ox

) de sorte que

R_k E^(\to-) = - d_k u⃗_x

Figure 2 - Réception d'un signal périodique par un récepteur en mouvement arbitraire

Q2. Exprimer

d_(k + 1) = ‖R_(k + 1)E^(\to-)‖

en fonction de

d_k

, des composantes

v_x

v_y

v⃗

et de l'intervalle de temps entre réceptions,

T^' = t_(k + 1)^' - t_k^'

Q3. En déduire l'expression approchée, au premier ordre en

v/c_0

T^' = T/(1 - v_x/c_0)

Dans cette relation, la composante

v_x

peut être qualifiée de vitesse d'éloignement.
L'astronome danois Rømer proposa à la fin du XVII

^e

siècle la première détermination de la célérité

c_0

de la lumière en mesurant la période des occultations de l'astre Io, qui est de tous les satellites de Jupiter le plus proche de sa planète; il a donc une rotation rapide autour de celle-ci, avec une période de l'ordre de 43 heures.
Jupiter est une planète assez éloignée du Soleil et par suite sa position change peu pendant une durée aussi courte; la période de rotation de Io autour de Jupiter est aussi bien sûr constante. Cependant, les moments où l'on observe les apparitions successives de Io (correspondant à des fins d'éclipes) dans son mouvement autour de Jupiter changent lentement au cours du temps, du fait des variations de la distance de la Terre à Jupiter, c'est-à-dire essentiellement du fait de la rotation terrestre.
Ainsi, ces occultations se produisent un peu plus tôt ou un peu plus tard que si la distance de la Terre à Jupiter restait fixe. Le phénomène est bien sûr lié à la propagation des ondes lumineuses de Jupiter à la Terre, et c'est ce qui a permis la mesure de

c_0

.
Le tableau 1 résume les observations de Rømer, c'est-à-dire la mesure de la durée moyenne

τ

séparant deux apparitions consécutives de Io durant l'année 1676. Au moyen de mesures ultérieures menées pendant huit ans, Rømer finit par conclure que la période

τ

de ces apparitions varie annuellement avec une valeur moyenne

τ_m = 42, 46

heures et une amplitude totale de variation

Δτ = τ_(max) - τ_(min)

égale à 22 minutes.

Début des mesures	13 mai	13 juin	7 août	14 août	23 août
Valeur de $τ$ (heures)	42,45	42,54	42,50	42,48	42,63

Tableau 1 - Les premières mesures de Rømer

Q4. On admettra que la Terre et Jupiter ont des orbites circulaires et coplanaires, héliocentriques, parcourues dans le même sens. Les données en fin d'énoncé en donnent certaines propriétés. Exprimer puis calculer la période

T_J

de révolution de Jupiter autour du Soleil.

On poursuit l'étude dans un référentiel qui accompagne Jupiter dans sa rotation autour du Soleil de sorte que l'axe Soleil-Jupiter est fixe, confondu avec l'axe (

Ox

). À l'échelle des mesures réalisées par Rømer, on considérera que le point E d'émission de lumière lors de l'apparition de Io derrière l'ombre de Jupiter est confondu avec le point J qui modélise la position de Jupiter.

Q5. Montrer que dans ce référentiel le mouvement de la Terre est circulaire uniforme de vitesse

‖v⃗‖ = v ≃ 27 km/s

. Quelles sont les valeurs extrêmes et moyenne de la vitesse d'éloignement de la Terre par rapport à E?

Q6. En écrivant que la variation temporelle est directement liée au temps nécessaire à la lumière pour traverser la distance entre Jupiter et la Terre, montrer que

Δτ ≃ (T_0 v)/(πc_0)

; en déduire l'estimation proposée par Rømer pour

c_0

; commenter.

La recherche d'un référentiel galiléen pour l'étude des mouvements des astres a mené à en proposer deux. Le référentiel héliocentrique, noté

(R_H)

, a son origine au centre du Soleil et ses trois axes pointent vers des directions réputées fixes, définies par des étoiles lointaines. Le référentiel de Copernic, noté (

R_K

), a son origine au barycentre du système solaire et pointe vers les mêmes directions fixes.
Les lois de la gravitation de Newton, postérieures (1687) à la mesure de Rømer, ainsi que la mesure précise (bien postérieure) du rayon de la trajectoire de Io autour de Jupiter (voir les données en fin d'énoncé) permettent de comparer les masses des différents constituants du système solaire, donc aussi les positions des centres des référentiels de Copernic

(R_K)

et héliocentrique

(R_H)

. Dans cette comparaison, on ne tiendra compte dans ce qui suit que de la seule planète Jupiter, la plus massive du système solaire.

Q7. Estimer le rapport des masses

M_⊙

du Soleil et

M_J

de Jupiter puis commenter, numériquement, l'écart entre les centres de ces deux référentiels

(R_H)

(R_K)

II - Les perturbations séculaires de l'orbite de Mercure

II. 1 - La trajectoire de Mercure selon les lois de Kepler

Mercure est la planète la plus proche du Soleil ; de plus, sa trajectoire est fortement excentrique, caractérisée par des distances minimale et maximale au Soleil nettement distinctes (cf. données en fin d'énoncé). Notant (Oxy) le plan de la trajectoire parcourue dans le sens direct,

O

le centre du référentiel galiléen d'étude, le mouvement de Mercure sera (cf. figure 3) assimilé à celui d'un point matériel

M

décrit en coordonnées polaires (

r, θ

Figure 3 - Trajectoire de Mercure selon les lois de Kepler

Q8. On admet alors l'expression

r = p/(1 + ecosθ)

de l'équation de la trajectoire, où

p

e

sont des constantes positives. Exprimer puis calculer les paramètres

p

e

de la trajectoire de Mercure en fonction des données

r_(max)

r_(min)

Q9. Exprimer l'accélération de

M

sous la forme

a⃗ = - K/(r^2)u⃗_r

et exprimer la constante

K

. Montrer que

r^2 θ˙ = C_a

; préciser le nom et le signe de la constante

C_a

Q10. On note

v⃗

la vitesse de

M

; sur un tour, c'est une fonction

v⃗(θ)

de l'angle

θ

. Montrer que le mouvement est caractérisé par

(dv⃗)/(dθ) = 1/H(du⃗_θ)/(dθ)

où

H

est une constante positive que l'on précisera.

Q11. En déduire qu'on peut, sans perdre de généralité, choisir un vecteur constant

e⃗

de norme

e

et dirigé selon (

Oy

) de sorte que

Hv⃗ = u⃗_θ + e⃗

puis vérifier que la projection de cette relation sur

u⃗_θ

permet de retrouver l'équation de la trajectoire, avec

p = (C_a^2)/K

II. 2 - Correction relativiste pour la trajectoire de Mercure

La trajectoire de Mercure est en fait perturbée par les autres planètes du système solaire. Cependant, on sait depuis le XIX

^e

siècle que, même après correction de ces influences gravitationnelles, l'axe des absides (la droite qui joint le périhélie et l'aphélie de la trajectoire de Mercure) tourne très lentement dans le sens direct et dans le plan de sa trajectoire de

α = 42^('')

(secondes d'arc) par siècle. Il n'est possible de rendre compte de ce phénomène que dans le cadre de la mécanique relativiste. Nous adopterons ici une expression corrigée de l'accélération utilisée ci-dessus :

a⃗ = - K/(r^2)[1 + γ(v_θ^2)/(c_0^2)]u⃗_r

où

γ

est une constante qui reste à évaluer,

v_θ = v⃗ \cdot u⃗_θ

est la composante orthoradiale de la vitesse et

c_0

est la célérité de la lumière dans le vide. On notera qu'il s'agit toujours d'un problème à force centrale, avec en particulier la constante des aires

C_a

Q12. Proposer, dans le cas de Mercure, une estimation numérique du rapport

v_θ/c_0

. En déduire une estimation de l'effet relativiste sur la rotation de Mercure, cumulé au bout d'un siècle. On pourra supposer que

γ

reste de l'ordre de grandeur de l'unité.

Pour tenir compte de ce qui précède, on cherche une solution des équations du mouvement avec correction relativiste sous la forme :

v⃗ = K/(C_a)[u⃗_θ + e⃗(t)]

et on cherche à caractériser les variations lentes du vecteur

e⃗(t)

, appelé vecteur excentricité sous l'action du supplément d'accélération relativiste

a⃗_(rel) = - (γK)/(r^2)(v_θ^2)/(c_0^2)u⃗_r

, qu'on remplacera dans tout ce qui suit par sa valeur moyenne au cours d'une période

T

du mouvement keplerien (non perturbé).

Q13. Montrer que cette moyenne se met sous la forme

⟨a⃗_(rel)⟩ = AγK/(C_a)u⃗_z \land e⃗

et expliciter la constante

A

en fonction des données; on pourra dans la suite admettre que

A = 2, 2 \cdot 10^(- 14)SI

Q14. Établir une relation de la forme

(de⃗)/(dt) = Ω⃗ \land e⃗

; ce résultat est-il compatible avec la lente rotation signalée plus haut de l'axe des absides de

42^('')

d'arc par siècle? Le cas échéant, proposer une valeur numérique du coefficient

γ

. Dans le cadre de la théorie de la relativité générale d'Einstein,

γ

est un entier.

III - Propagation de la lumière dans un fluide en mouvement

III. 1 - L'entraînement des ondes lumineuses dans l'eau

En 1851, Fizeau réalise une expérience d'interférence dans un dispositif présentant deux tubes contenant de l'eau en mouvement, en sens inverse. La figure 4 en présente le principe : dans deux tubes la célérité de lumière est respectivement dans le même sens et en sens inverse de la vitesse

v

de l'eau, liquide transparent d'indice

n

. La source de lumière utilisée est monochromatique, de longueur d'onde

λ_0

(dans le vide).

Figure 4 - Le principe de l'expérience de Fizeau

On notera respectivement

c_0, c_1

c_2

les célérités (vitesses de phase) de la propagation de la lumière dans le vide et dans les deux tubes, de même longueur

L

. On notera aussi

Δc = c_1 - c_2

c_m = \sqrt(c_1 c_2)

la célérité «moyenne»; comme

|Δc|≪c_m

on peut aussi écrire

c_m ≃ 1/2(c_1 + c_2)

Q15. Exprimer la différence de temps de parcours

Δt = t_2 - t_1

de la longueur

L

par la lumière dans les deux tubes. En déduire la différence de phase

Δφ = φ_2 - φ_1

acquise du fait de la propagation dans ces deux tubes en fonction de

L, λ_0, c_0, c_m

Δc

Le but de l'expérience était de distinguer entre plusieurs modèles théoriques de l'époque :

le modèle sans entraînement de la lumière par l'eau, avec $Δc = 0$ et $c_m = c_0/n$ ;
le modèle d'entraînement total de la lumière par l'eau, avec $Δc = 2v$ et $c_m = c_0/n$ ;
le modèle d'entraînement partiel de la lumière, proposé par Fresnel en 1819, avec un raisonnement assez complexe aboutissant à $Δc = 2v[1 - 1/n^2]$ et $c_m = c_0/n$ .
Si le dispositif est inséré au sein d'un système interférentiel, il sera possible de distinguer entre les différents modèles théoriques seulement si le déplacement de $ΔN$ franges d'interférence (par rapport à une situation où l'eau est immobile) dépasse une valeur seuil $ΔN_(min)$ qui dépend de l'expérience. On supposera que la différence de marche au point d'observation ne dépend que de $Δφ$ calculé en Q15.

Q16. Quel est le déplacement

ΔN

dans un modèle sans entraînement?
Q17. Dans le cadre du modèle d'entraînement partiel, montrer que la longueur minimale des tubes nécessaire au succès de l'expérience est :

L > L_(min) = ΔN_(min)(λ_0 c_0)/(2v(n^2 - 1)).

Faire et commenter l'application numérique si

n = 1, 33, λ_0 = 550 nm, v = 7 m/s

ΔN_(min) = 0, 75

. Une telle longueur suffira-t-elle pour valider ou invalider le modèle d'entraînement total?

III. 2 - Le modèle classique des vitesses d'entraînement

On peut expliciter partiellement les modèles proposés dans un cadre mécanique. La célérité des ondes lumineuses relativement au référentiel

R^'

lié à l'eau est

c⃗_(ol/R^') = (c_0/n)u⃗_x

tandis que la vitesse d'entraînement de ce référentiel relativement au référentiel du laboratoire

R

est

v⃗_e = \pm vu⃗_x

selon le tube étudié. Les célérités cherchées

c⃗_1

c⃗_2

sont alors les vitesses de la lumière relativement à

R

, telles qu'elles se déduisent des lois de composition des vitesses.

Q18. Rappeler la loi de composition des vitesses de la mécanique classique. En déduire

c_1

c_2

puis

Δc

c_m

; quel modèle retrouve-t-on ainsi ?

Les mesures de Fizeau ont conclu à la validité du modèle d'entraînement partiel de Fresnel.

III. 3 - Le modèle relativiste pour les ondes lumineuses dans l'eau

À partir de 1905, un modèle nouveau se substitue au précédent : celui de la relativité restreinte. Dans ce cadre, et toutes les vitesses étant des grandeurs algébriques dirigées par (

Ox

), la loi de composition des vitesses prend la forme (admise ici) :

v_(M/R) = (v_e + v_(M/R^'))/(1 + (v_e \cdot v_(M/R^'))/(c_0^2))

si on note

v_(M/R)

(resp.

v_(M/R^')

) la vitesse de

M

relativement au référentiel

R

(resp.

R^'

) et

v_e

la vitesse d'entraînement de

R^'

relativement à

R

Q19. Écrire et commenter l'expression de

v_(M/R^')

en fonction de

v_(M/R)

v_e

. Que devient la loi d'addition relativiste si

v_(M/R) = \pm c_0

? Commenter.

Q20. On considère maintenant que

v_(M/R^') = c_0/n

tandis que

v_e = \pm v

avec

v≪c_0

. Déterminer les vitesses

c_1

c_2

correspondantes dans

R

Q21. En déduire les expressions de

Δc

c_m

. Est-il possible, dans l'expérience de Fizeau, de distinguer le modèle relativiste du modèle d'entraînement partiel de Fresnel?

Partie B - Mécanique et célérité des ondes acoustiques

Ce problème Partie B étudie deux situations totalement indépendantes entre elles illustrant les liens entre la célérité

c_a

des ondes acoustiques dans divers substrats et les vitesses d'objets matériels :

la partie $I$ décrit le lien entre la vitesse d'avalanche des grains de sable des dunes et les ondes sonores émises à cette occasion : le chant des dunes;
la partie II s'intéresse à la propagation des ondes acoustiques dans un fluide globalement entraîné (comme par exemple l'eau d'un courant marin océanique).

I - Le chant des dunes

Le phénomène étudié ici est connu depuis très longtemps : il s'agit de l'émission d'ondes acoustiques dans l'air qui surmonte les dunes de sable lors de micro-avalanches, c'est le chant des dunes. Des observations scientifiques réalisées depuis la fin du XIX

^e

siècle fournissent les résultats suivante : la fréquence du son émis va de 60 Hz (désert) à 1 kHz (plages) ; le chant produit lors d'écoulements disparaît lorsque le sable est humide ou mélangé avec des poussières.
Une première interprétation est alors proposée, liant le son entendu à la résonance des ondes acoustiques au sein des grains de sable formant des cavités résonantes de la dimension

d

du diamètre des grains de sable eux-mêmes. On cherche à confronter ce modèle à quelques mesures récentes de fréquences moyennes de chant et de diamètres moyens des grains de sable (table 2, extrait de la thèse de S. Dagois-Bohy, 2010).

Dune	fréquence $f, Hz$	diamètre $d, μ m$
Al Wagan (Oman)	$80 \pm 3$	$200 \pm 70$
Dumont (USA)	$83 \pm 7$	$174 \pm 50$
Eureka (USA)	$90 \pm 15$	$165 \pm 50$
Mar de dunas (Chili)	$97 \pm 4$	$168 \pm 40$
Omega 1 (Maroc)	$100 \pm 5$	$155 \pm 20$

Tableau 2 - Caractéristiques du chant de quelques dunes

Q22. Rappeler la relation liant la fréquence fondamentale

f_1

d'oscillation d'une corde vibrante fixée aux deux extrémités d'une cavité de longueur

d

en fonction de la célérité

c_a

de l'onde. Sachant que la célérité des ondes acoustiques dans un solide (comme le sable) est nettement supérieure à sa célérité dans l'air (

≃ 350 m \cdot s^(- 1)

30^\circC

), que penser de ce premier modèle?

Une autre interprétation de ce phénomène a été proposée au Laboratoire Matière et Systèmes Complexes de l'université Paris-Cité. Dans ce cadre une partie de l'écoulement des grains de sable de la dune «a une vitesse homogène, comme un bloc solide

» »

. On décrira la dune de sable comme un empilement compact de sphères de diamètre

d

, alignées en formant un angle

α

avec l'horizontale (figure 5, à gauche) et dont les grains de la couche supérieure sont susceptibles de glisser vers le bas.

Figure 5 - Modèle de glissement d'une bille sur une couche de sable

On étudie (figure 5, à droite) le mouvement de glissement sans aucun frottement d'un grain de sable sphérique, homogène de masse

m

, dont le barycentre passe de la position initiale

G_i

à la position finale

G_f

; il reste en permanence au contact des grains, supposés fixes, de la couche inférieure.

Q23. Exprimer en fonction de

m, g, d

θ

l'énergie potentielle de pesanteur du grain mobile. Montrer qu'il existe une valeur minimale

α_(min)

α

qui empêche la position initiale de former un équilibre stable.

Q24. On ne suppose pas forcément que

α > α_(min)

mais, sous l'influence par exemple du vent, le grain étudié débute en

G_i

un mouvement de translation circulaire de centre

O

avec la vitesse

v_i

. En l'absence de tout frottement, déterminer sa vitesse

v_f

lorsque le centre du grain parvient en

G_f

en fonction de

v_i, g, d

α

. On pourra remarquer que

cos(a + b) - cos(a - b) = - 2sin(a)sin(b)

Q25. Avant de recommencer à tourner autour du grain suivant, l'arrivée en

G_f

se traduit par un choc avec dissipation d'une fraction

ε

de l'énergie cinétique ; ainsi la translation circulaire suivante recommence avec

v_i^('2) = (1 - ε)v_f^2

. Expliciter

v_i^('2)

en fonction de

v_i^2, ε, g, d

α

et en déduire que la vitesse d'un grain tend vers une limite

v_(lim)

telle que

v_(lim)^2 = κgd

où on exprimera la grandeur

κ > 0

en fonction de

α

ε

On suppose enfin que le mouvement des grains pendant la totalité de l'avalanche se fait à vitesse quasiment constante

v

telle que

v^2 = κgd

. Les grains de sable heurtent alors périodiquement la couche sur laquelle ils glissent et émettent le son identifié comme le chant de la dune.

Q26. Expliciter la fréquence

f

de l'émission sonore par l'avalanche des chocs des grains de sable. Les données de la table 2 sont elles compatibles avec ce modèle? Si oui, estimer la constante

κ

. Selon vous, ce modèle reste-il pertinent dans le cas du chant des plages?

II - Propagation des ondes acoustiques et entraînement par l'eau

On s'intéresse dans cette partie II à la propagation d'ondes acoustiques dans l'eau, en présence du champ de pesanteur d'intensité

g⃗ = - gu⃗_z

et d'un éventuel mouvement d'ensemble de l'eau (circulation dans une canalisation, courant marin...) de vitesse uniforme et constante

v⃗_0 = v_0 u⃗_x

. Ainsi, la pression et la vitesse dans l'eau seront caractérisées, en notations complexes, par :

p(r⃗, t) = p_(st)(z) + p_1 exp[i(ωt - k⃗ \cdot r⃗)] v⃗(r⃗, t) = v_0 u⃗_x + v⃗_1 exp[i(ωt - k⃗ \cdot r⃗)]

où

p_(st)(z)

désigne la répartition statique de pression (en l'absence d'onde) avec, à la surface libre

z = 0

de l'eau,

p_(st)(0) = p_0 = 1

bar ; on se limitera à

|p_1|≪p_(st)(z)

‖v⃗_1‖≪v_0≪c_a

où

c_a

désignera la célérité de l'onde ainsi étudiée. On rappelle l'équation dynamique de Navier-Stokes qui lie les évolutions de la pression

p

, de la vitesse

v⃗

et de la masse volumique

ρ

en fonction de la viscosité dynamique de l'eau

η

ρ[(\partialv⃗)/(\partialt) + (v⃗ \cdot grad^(\to-))v⃗] = - grad^(\to-)p + ρg⃗ + ηΔv⃗

Q27. En déduire l'expression de

dp_(st)/dz

puis une forme simplifiée de l'équation de Navier-Stokes.
Dans toute la suite on pourra noter les expressions complexes de la pression

p(r⃗, t) = p_(st)(z) + p_-

, de la masse volumique

ρ(r⃗, t) = ρ_0 + ρ_-

et de la vitesse

v⃗(r⃗, t) = v_0 u⃗_x + v⃗_-

. Dans ces expressions,

p_(st)(z), ρ_0

v_0 u⃗\to_x

désignent les valeurs moyennes en l'absence d'onde tandis que

p_-

ρ_-

v⃗_-

désignent les (petites) fluctuations de ces grandeurs dues à l'onde.

II. 1 - Propagation et atténuation des ondes acoustiques

Q28. Rappeler la définition de la compressibilité

χ

de l'eau en en déduire le lien entre les fluctuations

p_-

de la pression et

ρ_-

de la masse volumique, en se limitant au premier ordre.

Dans l'eau, l'intensité acoustique (des sonars par exemple) est mesurée par

I_(dB) = 20log_(10)(|p_-|)/(p_(ref))

où

p_(ref) = 1μ Pa

; les sonars les plus puissants atteignent (exceptionnellement)

I_(dB) = 240 dB

, dépassant ainsi les chants des baleines qui atteignent au maximum

I_(dB) = 180 dB

.
On s'intéresse d'abord à la propagation des ondes acoustiques dans un fluide parfait (

η = 0

) en l'absence de courant d'ensemble (

v_0 = 0

Q29. Établir les deux équations linéarisées

ρ_0 ωv⃗_- = k⃗p_-

k⃗ \cdot v⃗_- = χωp_-

. En déduire la célérité

c_a

des ondes acoustiques dans l'eau et faire l'application numérique.

Q30. Dans le cas des ondes émises lors du chant d'une baleine près de la surface libre de l'eau, estimer et commenter les amplitudes des ondes de masse volumique

|ρ_-|

et de vitesse

|v⃗_-|

On cherche maintenant à connaître l'effet de la prise en compte de la viscosité de l'eau sur la propagation des ondes acoustiques. On exprime à cet effet l'équation de dispersion donnant

k⃗^2

en fonction de

ω, c_a

et d'autres caractéristiques du fluide (

k⃗^2

peut être une fonction complexe). En l'absence de viscosité,

k⃗^2 = f_0(ω, c_a)

Q31. Montrer que

k⃗^2 = (f_0(ω, c_a))/(1 + iω/(ω_c))

et exprimer

ω_c

en fonction de

η

χ

. Proposer une interprétation simple de la grandeur

ω_c

et commenter sa valeur numérique.

Q32. On lit dans la littérature technique que l'atténuation des ondes acoustiques dans l'eau est faible dans le domaine audio basse fréquence; à plus haute fréquence et pour les ultrasons elle s'exprime par un coefficient d'atténuation

β

qui s'exprime en décibel par kilomètre. Justifier cette affirmation puis exprimer le coefficient

β

en fonction notamment de la viscosité de l'eau, avant de proposer un application numérique pour deux domaines de fréquences dont vous justifierez le choix. Comparer aux mesures effectuées dans l'atlantique pour lesquelles

β \sim 0, 12 dB/km

aux fréquences audio, et conclure.

II. 2 - Entraînement de l'onde acoustique par un courant d'ensemble

On revient ici à l'étude des ondes acoustiques dans un fluide parfait (

η = 0

) mais on tient compte de la vitesse d'ensemble de l'eau, uniforme et constante

v⃗_0 = v_0 u⃗_x

; l'onde se propage dans une direction caractérisée par le vecteur d'onde réel

k⃗ = ku⃗

où

k > 0

u⃗

est un vecteur unitaire. La vitesse des courants océaniques en particulier vérifie

|v_1|≪v_0≪c_a

Q33. Proposer un ordre de grandeur pour

v_0

, en kilomètre par heure. Expliciter ensuite

div(ρv⃗)

(v⃗ \cdot grad ^(\to-))v⃗

avec

v⃗ = v⃗_0 + v⃗_-

ρ = ρ_0 + ρ_-

en vous limitant aux termes du premier ordre en

ρ_-

v⃗_-

Q34. Montrer les deux équations

ρ_0 v⃗_-(ω - Ω) = p_-k⃗

k⃗ \cdot v⃗_- = (ω - Ω)p_-χ

et expliciter la grandeur

Ω

en fonction de

v_0, k

u⃗ \cdot u⃗_x = cosθ

Q35. En déduire la célérité

c_a^'

des ondes acoustiques en fonction de

v_0, cosθ

et de la valeur

c_a

obtenue dans l'eau au repos. Peut-on parler de loi de composition des vitesses?

Données numériques

Grandeur	notation	valeur	unité
Accélération de la pesanteur au sol	$g$	9,8	$m \cdot s^(- 2)$
Célérité de la lumière dans le vide	$c_0$	$3, 00 \cdot 10^8$	$m \cdot s^(- 1)$
Compressibilité isentropique de l'eau	$χ$	$4, 10 \cdot 10^(- 10)$	$Pa^(- 1)$
Constante de la gravitation universelle	$G$	$6, 67 \cdot 10^(- 11)$	$m^3 \cdot s^(- 2) \cdot kg^(- 1)$
Distance moyenne Jupiter-Soleil	$d_(JS)$	$7, 78 \cdot 10^(11)$	m
Distance moyenne Jupiter-Io	$d_(JI)$	$4, 22 \cdot 10^8$	m
Distance minimale de Mercure au Soleil	$r_(min)$	$4, 60 \cdot 10^(10)$	m
Distance maximale de Mercure au Soleil	$r_(max)$	$6, 98 \cdot 10^(10)$	m
Jour (solaire moyen)	24 h	86400	s
Masse du Soleil	$M_⊙$	$1, 99 \cdot 10^(30)$	kg
Masse volumique moyenne de l'eau	$ρ_0$	$1, 00 \cdot 10^3$	$kg \cdot m^(- 3)$
Période de révolution terrestre (année)	$T_0$	365	jour
Rayon moyen du Soleil	$R_S$	$6, 96 \cdot 10^8$	m
Rayon moyen de Jupiter	$R_J$	$6, 99 \cdot 10^7$	m
Seconde d'arc	$1^('')$	$4, 85 \cdot 10^(- 6)$	rad
Unité astronomique (distance Terre-Soleil)	$a_0$	$1, 49 \cdot 10^(11)$	m
Viscosité dynamique de l'eau	$η$	$1, 20 \cdot 10^(- 3)$	$Pa \cdot s$

Suite arithmético-géométrique

u_(n + 1) = αu_n + β

où

|α| < 1

, la suite réelle

{u_n}_(n ∈ ℕ)

tend, pour

n \to \infty

, vers la limite

u_\infty = β/(1 - α)

, quelle que soit la valeur initiale

u_0

Quelques intégrales trigonométriques

\int_0^(2π)cosθdθ = \int_0^(2π)sinθdθ = 0 \int_0^(2π)cos^3 θdθ = \int_0^(2π)sin^3 θdθ = 0; \int_0^(2π)cos^2 θdθ = \int_0^(2π)sin^2 θdθ = π

Analyse vectorielle en coordonnées cartésiennes :

grad^(\to-)F = (\partialF)/(\partialx)u⃗_x + (\partialF)/(\partialy)u⃗_y + (\partialF)/(\partialz)u⃗_z, divA⃗ = (\partialA_x)/(\partialx) + (\partialA_y)/(\partialy) + (\partialA_z)/(\partialz); (A⃗ \cdot grad^(\to-))B⃗ = A_x(\partialB⃗)/(\partialx) + A_y(\partialB⃗)/(\partialy) + A_z(\partialB⃗)/(\partialz), div(FA⃗) = FdivA⃗ + grad^(\to-)F \cdot A⃗

Questions fréquentes

5 questions

Sur quels chapitres porte le sujet de Physique 1 Centrale-Supélec PC 2025 ?

Le sujet mêle mécanique du point et forces centrales (lois de Kepler), effet Doppler, optique interférentielle (expérience de Fizeau) et ondes acoustiques avec mécanique des fluides. Il compare systématiquement la vitesse d'un objet matériel à la célérité d'une onde.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées pour Centrale-Supélec Physique 1 PC 2025 ?

Le rapport pointe surtout un manque de rigueur dans les démonstrations et les développements limités, des confusions entre vecteurs et scalaires, et des applications numériques données sans recul sur l'ordre de grandeur. La forme des copies (ratures, écriture peu soignée) a aussi entraîné des malus.

Le sujet de Physique 1 Centrale-Supélec PC 2025 est-il difficile ?

Le rapport le décrit comme un sujet exigeant, demandant une autonomie importante, et précise qu'il a été abordé en totalité par peu de candidats.

Faut-il traiter tout le sujet de Physique 1 Centrale-Supélec PC 2025 pour avoir une bonne note ?

Non, le jury rappelle explicitement qu'il n'est pas nécessaire de traiter l'intégralité du sujet et qu'il vaut mieux bien répondre aux questions que l'on maîtrise.

Le sujet de Physique 1 Centrale-Supélec PC 2025 demande-t-il des connaissances hors programme ?

Non, le rapport indique qu'aucune connaissance hors programme n'est nécessaire pour traiter la totalité du sujet, la mécanique classique et la propagation d'ondes relevant de la première année, et les ondes acoustiques ainsi que la mécanique des fluides relevant du programme de deuxième année.

Pas de description pour le moment

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