Corrigé détaillé Centrale Physique 1 PC 2025

Le signal lumineux émis par \mathrm{E} à la date t_k = kT se propage dans le vide à la célérité constante c_0. Il est reçu en \mathrm{R}_k à la date t'_k après avoir parcouru la distance d_k, d'où :

De même, le signal suivant, émis à la date t_{k+1} = (k+1)T = t_k + T, est reçu en \mathrm{R}_{k+1} à la date t'_{k+1} après avoir parcouru la distance d_{k+1} :

Par différence membre à membre entre ces deux relations :

On en déduit l'expression de la distance d_{k+1} :

Par ailleurs, le récepteur \mathrm{R} est animé d'un mouvement rectiligne uniforme à la vitesse v dirigée selon l'axe d'éloignement. Entre les instants de réception t'_k et t'_{k+1}, son déplacement s'écrit :

En identifiant les deux expressions de d_{k+1} - d_k, il vient :

D'où l'intervalle entre deux réceptions successives :

Cette durée est indépendante de l'indice k. La réception est donc rigoureusement périodique de période T' donnée par :

Cet effet correspond à l'effet Doppler (ou effet Doppler-Fizeau pour les ondes lumineuses).

D'après l'énoncé, le déplacement du récepteur \mathrm{R} entre les instants t'_k et t'_{k+1} est quasi-rectiligne et uniforme à la vitesse \vec{v} = v_x \vec{u}_x + v_y \vec{u}_y :

Par la relation de Chasles, on exprime le vecteur \overrightarrow{\mathrm{R}_{k+1}\mathrm{E}} :

En utilisant la convention fixée par l'énoncé, \overrightarrow{\mathrm{R}_k\mathrm{E}} = -d_k \vec{u}_x, il vient :

La distance d_{k+1} correspond à la norme euclidienne de ce vecteur :

D'après la question Q1, la différence entre les instants de réception s'écrit :

soit encore :

D'après le résultat de la question Q2, la distance d_{k+1} vaut :

Le déplacement du récepteur pendant une durée T' est totalement négligeable devant la distance astronomique le séparant de l'émetteur (\|\vec{v}\| T' \ll d_k). On effectue un développement limité au premier ordre :

Il vient donc au premier ordre :

En reportant cette expression dans la relation des temps de parcours :

On en déduit immédiatement :

Dans le référentiel héliocentrique supposé galiléen, le mouvement d'une planète de masse m en orbite circulaire de rayon R autour du Soleil de masse M_\odot \gg m est régi par la force gravitationnelle :

Le principe fondamental de la dynamique appliqué à la planète donne l'accélération normale :

On en déduit la troisième loi de Kepler pour une orbite circulaire de rayon R :

Cette constante ne dépendant que de la masse du Soleil, elle est identique pour la Terre (période T_0, rayon a_0) et pour Jupiter (période T_\mathrm{J}, rayon d_\mathrm{JS}) :

On en déduit l'expression de la période de révolution de Jupiter :

Remarque : On peut également écrire l'expression directement à l'aide de la constante de gravitation :

Application numérique : Avec T_0 = 365\text{ jours}, d_\mathrm{JS} = 7,78 \cdot 10^{11}\text{ m} et a_0 = 1,49 \cdot 10^{11}\text{ m} :

En secondes (avec 1\text{ jour} = 86\,400\text{ s}) :

Dans le référentiel héliocentrique \mathcal{R}_H, supposé galiléen, le centre du Soleil O est fixe. Les mouvements de la Terre (T) et de Jupiter (J) sont circulaires uniformes, coplanaires, de même sens, de rayons respectifs a_0 et d_\mathrm{JS}, et de pulsations orbitales :

Le référentiel d'étude \mathcal{R} a pour origine O et tourne autour de l'axe perpendiculaire au plan orbital avec la vitesse angulaire de Jupiter \vec{\Omega} = \omega_\mathrm{J}\vec{u}_z. Dans ce référentiel :

• la distance de la Terre au Soleil reste constante et égale à a_0 ;
• la longitude de la Terre varie à la vitesse angulaire relative constante \omega = \dot{\theta} = \omega_0 - \omega_\mathrm{J} > 0.

Le mouvement de la Terre dans \mathcal{R} est donc circulaire et uniforme.

La norme de sa vitesse s'écrit :

Avec les données numériques de l'énoncé :

• a_0 = 1,49 \cdot 10^{11}\text{ m},
• T_0 = 365\text{ jours} = 365 \times 86\,400\text{ s} \simeq 3,154 \cdot 10^7\text{ s},
• T_\mathrm{J} \simeq 4,36 \cdot 10^3\text{ jours} \simeq 3,767 \cdot 10^8\text{ s} (calculée en Q4),

on obtient :

Valeurs extrêmes et moyenne de la vitesse d'éloignement La vitesse d'éloignement v_\text{él} de la Terre par rapport à E (confondu avec Jupiter) est la dérivée temporelle de la distance d = \mathrm{ET}, soit la projection de la vitesse relative \vec{v} sur le vecteur unitaire de la ligne de visée \vec{u}_{\mathrm{E}\to\mathrm{T}} :

La norme de \vec{v} étant constante et égale à v :

• La valeur maximale est atteinte lorsque la vitesse est colinéaire et de même sens que la ligne de visée (ce qui se produit lorsque la ligne de visée depuis Jupiter est tangente à l'orbite terrestre, lors de l'éloignement) :

  \boxed{v_{\text{él, max}} = +v \simeq +27\text{ km}\cdot\text{s}^{-1}}

• La valeur minimale est atteinte à l'autre tangente orbitale (lors du rapprochement maximal) :

  \boxed{v_{\text{él, min}} = -v \simeq -27\text{ km}\cdot\text{s}^{-1}}

• La distance d(t) étant une fonction périodique du temps de période synodique T_\mathrm{s} = \frac{2\pi}{\omega_0 - \omega_\mathrm{J}}, la valeur moyenne sur un tour complet est identiquement nulle :

  \langle v_\text{él} \rangle = \frac{1}{T_\mathrm{s}} \int_0^{T_\mathrm{s}} \frac{\mathrm{d}d}{\mathrm{d}t}\,\mathrm{d}t = \frac{d(T_\mathrm{s}) - d(0)}{T_\mathrm{s}} = 0.
  \boxed{\langle v_\text{él} \rangle = 0}

Dans le référentiel accompagnant Jupiter, la Terre décrit une trajectoire circulaire de rayon a_0 autour du Soleil, tandis que Jupiter est fixe sur l'axe (Ox) à la distance d_{\mathrm{JS}}. La distance séparant la Terre de Jupiter varie donc entre :

L'écart maximal de distance parcourue par les signaux lumineux émis par Io est ainsi le diamètre de l'orbite terrestre :

La variation temporelle totale \Delta\tau observée sur une année correspond au temps mis par la lumière pour traverser cette distance supplémentaire à la célérité c_0 :

Or, en négligeant en première approximation la vitesse orbitale de Jupiter devant celle de la Terre (T_{\mathrm{J}} \gg T_0), la vitesse orbitale v de la Terre s'écrit :

On en déduit immédiatement la relation demandée :

On en déduit l'expression de la célérité de la lumière dans le vide :

Application numérique : Avec les données de l'énoncé :

• T_0 = 365\text{ jours} = 365 \times 86\,400\text{ s} \simeq 3,154 \cdot 10^7\text{ s} ;
• v \simeq 27\text{ km}\cdot\text{s}^{-1} = 2,7 \cdot 10^4\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} ;
• \Delta\tau = 22\text{ min} = 22 \times 60\text{ s} = 1\,320\text{ s}.

Commentaire :

• Historiquement, cette démarche menée par Ole Rømer en 1676 (puis exploitée quantitativement par Christian Huygens en 1678) constitue la toute première preuve que la lumière se propage à une vitesse finie et non instantanée.
• La valeur obtenue (\simeq 2,1 \cdot 10^8\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}) est du bon ordre de grandeur, bien qu'inférieure d'environ 30\,\% à la valeur admise aujourd'hui (c_0 = 3,00 \cdot 10^8\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}). Cet écart s'explique principalement par la surestimation de \Delta\tau (la traversée du diamètre 2a_0 par la lumière prend en réalité \approx 16,6\text{ min} \approx 1\,000\text{ s}) ainsi que par l'incertitude sur la valeur de l'unité astronomique a_0 à l'époque.

Dans le cadre de la gravitation newtonienne, la troisième loi de Kepler appliquée à une orbite quasi-circulaire de rayon r et de période T sous l'attraction d'un astre central de masse M (avec une masse en orbite négligeable devant M) s'écrit :

• Pour le mouvement de Jupiter autour du Soleil (de rayon orbital d_\mathrm{JS} et de période T_\mathrm{J}) :

  \frac{T_\mathrm{J}^2}{d_\mathrm{JS}^3} = \frac{4\pi^2}{\mathcal{G}M_\odot}

• Pour le mouvement du satellite Io autour de Jupiter (de rayon orbital d_\mathrm{JI} et de période orbitale T_\mathrm{Io} = \tau_m) :

  \frac{T_\mathrm{Io}^2}{d_\mathrm{JI}^3} = \frac{4\pi^2}{\mathcal{G}M_\mathrm{J}}

En faisant le rapport de ces deux relations, on obtient :

Avec d_\mathrm{JS} = 7,78\cdot 10^{11}\text{ m}, d_\mathrm{JI} = 4,22\cdot 10^8\text{ m}, T_\mathrm{Io} = \tau_m = 42,46\text{ h} = 1,529\cdot 10^5\text{ s} et T_\mathrm{J} \simeq 3,76\cdot 10^8\text{ s} (d'après Q4) :

d'où :

(On trouve plus précisément M_\odot / M_\mathrm{J} \simeq 1040, ce qui correspond à M_\mathrm{J} \simeq 1{,}9\cdot 10^{27}\text{ kg} en utilisant M_\odot = 1{,}99\cdot 10^{30}\text{ kg}).

Déterminons à présent l'écart entre le centre du Soleil S (origine de \mathcal{R}_\mathrm{H}) et le barycentre G du système Soleil-Jupiter (origine de \mathcal{R}_\mathrm{K}). Par définition du barycentre :

Comme M_\mathrm{J} \ll M_\odot, la distance d_\mathrm{HK} = SG entre les centres des deux référentiels vaut :

Application numérique :

Commentaire : On compare cette distance au rayon moyen du Soleil R_\mathrm{S} = 6{,}96\cdot 10^8\text{ m} :

Le barycentre du système solaire (dominé par Jupiter) se situe donc à l'extérieur du Soleil, juste au-delà de sa surface. Le Soleil n'est pas rigoureusement fixe dans le référentiel barycentrique de Copernic mais décrit une petite orbite autour de G. Pour une étude fine des mouvements planétaires séculaires (comme les perturbations keplériennes), le référentiel de Copernic (\mathcal{R}_\mathrm{K}) constitue donc une meilleure approximation d'un référentiel galiléen que le référentiel héliocentrique (\mathcal{R}_\mathrm{H}).

D'après l'équation polaire fournie, la distance r(\theta) = \frac{p}{1 + e \cos \theta} atteint ses extrema lorsque la fonction cosinus vaut \pm 1 :

• au périhélie (\theta = 0, point le plus proche du Soleil) :

  r_{\min} = \frac{p}{1 + e}

• à l'aphélie (\theta = \pi, point le plus éloigné du Soleil) :

  r_{\max} = \frac{p}{1 - e}

En prenant les inverses de ces deux relations :

Par somme et différence :

On en déduit immédiatement les expressions de p (le paramètre de l'ellipse) et de e (l'excentricité) :

Application numérique :

Avec les données de l'énoncé :

• r_{\min} = 4{,}60 \cdot 10^{10}\text{ m}
• r_{\max} = 6{,}98 \cdot 10^{10}\text{ m}

on obtient :

d'où :

On étudie le point matériel \mathrm{M} (planète Mercure de masse m) dans le référentiel héliocentrique réputé galiléen, repéré par les coordonnées polaires (r, \theta) de base mobile (\vec{u}_r, \vec{u}_\theta). La seule force prise en compte est l'attraction gravitationnelle exercée par le Soleil (de masse M_\odot) situé en O :

D'après la deuxième loi de Newton, m\vec{a} = \vec{F}, d'où l'expression de l'accélération :

Par identification avec la forme demandée \vec{a} = -\dfrac{K}{r^2}\vec{u}_r, on obtient :

En coordonnées polaires dans le plan (Oxy), l'accélération de \mathrm{M} s'écrit de manière générale :

Comme la force est purement centrale, la composante orthoradiale a_\theta de l'accélération est nulle :

La quantité r^2\dot{\theta} est donc une constante du mouvement au cours du temps, notée \mathcal{C}_a :

• \mathcal{C}_a est appelée la constante des aires (liée à la vitesse aréolaire par \dfrac{\mathrm{d}\mathcal{A}}{\mathrm{d}t} = \dfrac{1}{2}\mathcal{C}_a).

• L'énoncé précisant que la trajectoire est parcourue dans le sens direct, on a \dot{\theta} > 0. Comme r > 0, la constante \mathcal{C}_a est strictement positive :

  \boxed{\mathcal{C}_a > 0}

Puisque le mouvement est parcouru dans le sens direct, on a \dot{\theta} > 0 à chaque instant. On peut donc exprimer l'accélération en fonction de l'angle polaire \theta à l'aide de la règle de dérivation en chaîne :

D'où :

D'après la question Q9, l'accélération s'écrit \vec{a} = -\frac{K}{r^2}\vec{u}_r, et la constante des aires vérifie r^2 \dot{\theta} = \mathcal{C}_a. On en déduit :

Par ailleurs, dans la base polaire plane (\vec{u}_r, \vec{u}_\theta), la dérivée de \vec{u}_\theta par rapport à \theta est :

En substituant -\vec{u}_r = \frac{\mathrm{d}\vec{u}_\theta}{\mathrm{d}\theta}, il vient directement :

Cette relation est bien de la forme annoncée :

D'après la question Q10, le mouvement vérifie l'équation différentielle :

Par intégration par rapport à l'angle polaire \theta, la quantité entre parenthèses est un vecteur constant du plan de l'orbite, noté \vec{e} :

Dans la base cartésienne (\vec{u}_x, \vec{u}_y), le vecteur unitaire orthoradial s'écrit \vec{u}_\theta = -\sin\theta\,\vec{u}_x + \cos\theta\,\vec{u}_y. En décomposant le vecteur constant sous la forme générale \vec{e} = e_x \vec{u}_x + e_y \vec{u}_y, son produit scalaire avec \vec{u}_\theta vaut :

Or, le repère a été choisi (figure 3 de l'énoncé) de telle sorte que le périhélie (distance minimale au Soleil) corresponde à \theta = 0. Pour retrouver la forme canonique r(\theta) = \frac{p}{1+e\cos\theta} sans terme en \sin\theta, on peut choisir sans perte de généralité l'axe (\mathrm{O}x) colinéaire à l'axe focal, ce qui impose e_x = 0 et e_y = e > 0. Le vecteur constant \vec{e} est donc de norme e et dirigé selon (\mathrm{O}y) :

Projetons la relation H\vec{v} = \vec{u}_\theta + \vec{e} sur \vec{u}_\theta :

En coordonnées polaires, \vec{v} = \dot{r}\vec{u}_r + r\dot{\theta}\vec{u}_\theta, soit \vec{v}\cdot\vec{u}_\theta = r\dot{\theta}. En utilisant la constante des aires \mathcal{C}_a = r^2\dot{\theta} (question Q9) et l'expression H = \frac{\mathcal{C}_a}{K} (question Q10), il vient :

On retrouve bien l'équation polaire de la trajectoire :

1. Estimation du rapport v_\theta/c_0 pour Mercure

Le demi-grand axe de l'orbite de Mercure vaut :

Pour une orbite faiblement excentrique (e \simeq 0{,}21), la vitesse orbitale moyenne v donne un excellent ordre de grandeur de la composante orthoradiale v_\theta :

Numériquement :

Avec c_0 = 3{,}00 \cdot 10^8\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}, on obtient :

2. Estimation de l'effet relativiste cumulé sur un siècle

L'accélération totale s'écrit \vec{a} = \vec{a}_{\text{K}} + \vec{a}_{\text{rel}}. L'importance relative de la correction relativiste est mesurée par le terme adimensionné :

Avec \gamma \sim 1, on a \varepsilon \sim (1{,}6 \cdot 10^{-4})^2 \simeq 2{,}6 \cdot 10^{-8}.

Sur une période orbitale, l'effet d'une telle force perturbatrice centrale se traduit par une rotation de l'axe des absides d'un angle par tour de l'ordre de :

D'après la troisième loi de Kepler, la période de révolution de Mercure T_{\text{M}} vérifie :

En un siècle (\Delta t = 100\text{ ans}), le nombre de révolutions effectuées par Mercure est :

L'avance séculaire cumulée en radians est donc de l'ordre de :

En convertissant en secondes d'arc à l'aide de 1'' = 4{,}85 \cdot 10^{-6}\text{ rad} :

Par définition, la valeur moyenne de l'accélération relativiste sur une période T du mouvement keplérien non perturbé s'écrit :

Dans le mouvement non perturbé, la constante des aires s'écrit \mathcal{C}_a = r^2 \dot{\theta} > 0, d'où :

En injectant l'expression de \vec{a}_\text{rel} = -\dfrac{\gamma K}{r^2} \dfrac{v_\theta^2}{c_0^2} \vec{u}_r, l'élément d'intégration devient :

La composante orthoradiale de la vitesse s'exprime par :

D'après l'équation de la trajectoire établie en Q8 et Q11, r(\theta) = \dfrac{p}{1+e\cos\theta} avec p = \dfrac{\mathcal{C}_a^2}{K}, ce qui donne :

Son carré s'écrit donc :

Dans la base cartésienne, le vecteur unitaire radial est \vec{u}_r = \cos\theta \, \vec{u}_x + \sin\theta \, \vec{u}_y. Intégrons séparément sur une période, c'est-à-dire pour \theta \in [0, 2\pi] :

• Selon \vec{u}_x :

  \begin{aligned} \int_0^{2\pi} v_\theta^2 \cos\theta \, \mathrm{d}\theta &= \frac{K^2}{\mathcal{C}_a^2} \left[ \int_0^{2\pi} \cos\theta \, \mathrm{d}\theta + 2e \int_0^{2\pi} \cos^2\theta \, \mathrm{d}\theta + e^2 \int_0^{2\pi} \cos^3\theta \, \mathrm{d}\theta \right] \\ &= \frac{K^2}{\mathcal{C}_a^2} \left[ 0 + 2e \times \pi + 0 \right] = 2\pi e \frac{K^2}{\mathcal{C}_a^2} \end{aligned}

  en utilisant les intégrales du formulaire de l'énoncé.

• Selon \vec{u}_y :

  \int_0^{2\pi} v_\theta^2 \sin\theta \, \mathrm{d}\theta = \frac{K^2}{\mathcal{C}_a^2} \int_0^{2\pi} (1 + 2e\cos\theta + e^2\cos^2\theta)\sin\theta \, \mathrm{d}\theta = 0

  car chaque terme est la dérivée d'une fonction 2\pi-périodique en \cos\theta.

On en déduit :

Or, d'après la question Q11, \vec{e} = e\,\vec{u}_y, de sorte que :

L'intégrale de l'accélération sur une période vaut ainsi :

En divisant par la période T, la moyenne temporelle prend bien la forme requise :

avec :

Exprimons A en fonction des données de l'énoncé. La troisième loi de Kepler donne \dfrac{2\pi}{T} = \sqrt{\dfrac{K}{a^3}} avec a = \dfrac{r_\text{min} + r_\text{max}}{2}, et p = \dfrac{2 r_\text{min} r_\text{max}}{r_\text{min} + r_\text{max}}, d'où :

Application numérique :

• K = \mathcal{G} M_\odot = 6{,}67 \cdot 10^{-11} \times 1{,}99 \cdot 10^{30} = 1{,}327 \cdot 10^{20}\text{ m}^3\cdot\text{s}^{-2} ;
• a = \dfrac{4{,}60 \cdot 10^{10} + 6{,}98 \cdot 10^{10}}{2} = 5{,}79 \cdot 10^{10}\text{ m} ;
• p = \dfrac{2 \times 4{,}60 \cdot 10^{10} \times 6{,}98 \cdot 10^{10}}{4{,}60 \cdot 10^{10} + 6{,}98 \cdot 10^{10}} = 5{,}545 \cdot 10^{10}\text{ m} ;
• c_0 = 3{,}00 \cdot 10^8\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} ;
• T = 2\pi \sqrt{\dfrac{a^3}{K}} = 7{,}60 \cdot 10^6\text{ s} \simeq 88\text{ jours}.

On obtient :

ce qui est parfaitement conforme à la valeur indicative de l'énoncé.

La vitesse proposée avec correction relativiste s'écrit :

En dérivant cette relation par rapport au temps :

Or, d'après les formules de dérivation des vecteurs de base polaire, \frac{\mathrm{d}\vec{u}_\theta}{\mathrm{d}t} = -\dot{\theta}\vec{u}_r, et par conservation du moment cinétique (constante des aires), r^2 \dot{\theta} = \mathcal{C}_a, d'où :

où \vec{a}_0 est l'accélération keplérienne newtonienne. Le mouvement séculaire de \vec{e}(t) est gouverné par l'accélération relativiste moyennée sur une période, soit :

En utilisant l'expression établie à la question Q13, \langle \vec{a}_\text{rel} \rangle = A \gamma \frac{K}{\mathcal{C}_a} \vec{u}_z \wedge \vec{e}, on obtient directement :

Compatibilité avec la rotation de l'axe des absides :

• La relation \frac{\mathrm{d}\vec{e}}{\mathrm{d}t} = \vec{\Omega} \wedge \vec{e} est la formule de Poisson d'un vecteur en rotation pure à vitesse angulaire vectorielle \vec{\Omega}.

• La norme de \vec{e} est constante au cours du temps car :

  \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \|\vec{e}\|^2 = 2 \vec{e} \cdot \frac{\mathrm{d}\vec{e}}{\mathrm{d}t} = 2 \vec{e} \cdot (\vec{\Omega} \wedge \vec{e}) = 0

  L'excentricité de la trajectoire reste donc inchangée.

• Le vecteur \vec{e} tourne à la vitesse angulaire \Omega = \|\vec{\Omega}\| = A\gamma autour de l'axe (\mathrm{O}z) orthogonal au plan orbital. Comme l'axe des absides (droite joignant le périhélie et l'aphélie) est solidaire de \vec{e}, il tourne à la même vitesse angulaire.
• Puisque A > 0 et \gamma > 0, \vec{\Omega} est dirigé suivant +\vec{u}_z, ce qui correspond bien à une lente précession dans le sens direct, en parfait accord avec les observations.

Détermination numérique de \gamma : L'angle de précession cumulé sur une durée \Delta t = 1\text{ siècle} = 100\text{ ans} vaut \alpha = 42''. Convertissons ces grandeurs en unités SI :

La vitesse angulaire de précession observée est :

On en déduit la valeur du coefficient \gamma :

Sachant que \gamma est un entier dans le cadre de la relativité générale, on en conclut :

La lumière se propage à la célérité constante c_1 dans le tube 1 et c_2 dans le tube 2 sur une même longueur L. Les durées de propagation correspondantes s'écrivent :

La différence des temps de parcours est donc :

En introduisant les grandeurs définies par l'énoncé, \Delta c = c_1 - c_2 et c_m = \sqrt{c_1 c_2} (soit c_1 c_2 = c_m^2), on obtient :

Pour une onde lumineuse monochromatique de pulsation \omega, la phase accumulée lors de la propagation pendant une durée t s'écrit \varphi = \omega t. La différence de phase acquise entre les deux trajets s'exprime donc par :

La longueur d'onde dans le vide \lambda_0 étant liée à la pulsation par \omega = \frac{2\pi c_0}{\lambda_0}, il vient :

Dans le modèle sans entraînement de la lumière par l'eau, la célérité de l'onde lumineuse est totalement indépendante du déplacement du fluide : la lumière se propage à la célérité c_1 = c_2 = c_0/n dans les deux tubes, que l'eau soit au repos ou en mouvement.

On a donc :

D'après l'expression de la différence de phase établie à la question Q15 :

Cette valeur est rigoureusement identique à celle obtenue lorsque l'eau est au repos (v = 0). Par conséquent, la mise en circulation de l'eau ne produit aucun déphasage supplémentaire entre les deux faisceaux. Le déplacement du système de franges d'interférence, compté en nombre de franges par :

est donc nul :

Dans le modèle d'entraînement partiel de Fresnel, on a :

En injectant ces relations dans l'expression de la différence de phase établie en Q15 :

D'après la question Q16, le déplacement en nombre de franges vaut :

La condition de succès de l'expérience, \Delta N > \Delta N_\text{min}, se traduit immédiatement par :

On retrouve bien l'expression demandée :

Application numérique : Avec les valeurs de l'énoncé :

• \lambda_0 = 550\text{ nm} = 5{,}50 \cdot 10^{-7}\text{ m}
• c_0 = 3{,}00 \cdot 10^8\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}
• n = 1{,}33 \implies n^2 - 1 = 1{,}33^2 - 1 \simeq 0{,}769
• v = 7\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}
• \Delta N_\text{min} = 0{,}75

Une longueur d'une dizaine de mètres est certes importante pour un laboratoire, mais reste tout à fait réalisable (par exemple le long d'un couloir, ou en repliant le trajet optique à l'aide de réflexions).

Discrimination du modèle d'entraînement total : Dans le modèle d'entraînement total (\Delta c = 2v, c_m = c_0/n), le déplacement de franges s'écrirait :

Pour L = L_\text{min} (où \Delta N_\text{partiel} = \Delta N_\text{min} = 0{,}75), on obtient :

La différence de déplacement entre les deux modèles vaut alors :

Cet écart d'environ une frange entière étant nettement supérieur au seuil de résolution de 0{,}75 frange, cette longueur suffit amplement pour trancher entre les deux modèles et invalider sans équivoque le modèle d'entraînement total.

En mécanique classique (cinématique galiléenne), la loi de composition des vitesses pour un point ou un signal M s'énonce :

où \vec{v}_{M/\mathcal{R}} est la vitesse absolue dans le référentiel du laboratoire \mathcal{R}, \vec{v}_{M/\mathcal{R}'} est la vitesse relative dans le référentiel \mathcal{R}' lié au fluide et \vec{v}_e la vitesse d'entraînement de \mathcal{R}' par rapport à \mathcal{R}.

La célérité de la lumière dans l'eau au repos (référentiel \mathcal{R}') étant \vec{c}_{\mathrm{ol}/\mathcal{R}'} = \frac{c_0}{n}\vec{u}_x :

• dans le tube 1, l'eau s'écoule dans le sens de propagation de l'onde lumineuse (\vec{v}_e = +v\vec{u}_x), d'où :

  \vec{c}_1 = \left(\frac{c_0}{n} + v\right)\vec{u}_x \quad \implies \quad \boxed{c_1 = \frac{c_0}{n} + v}

• dans le tube 2, l'eau s'écoule en sens opposé à la propagation (\vec{v}_e = -v\vec{u}_x), d'où :

  \vec{c}_2 = \left(\frac{c_0}{n} - v\right)\vec{u}_x \quad \implies \quad \boxed{c_2 = \frac{c_0}{n} - v}

On en déduit l'écart de célérité :

Pour la célérité moyenne, au premier ordre en v/c_0 :

On retrouve ainsi exactement le modèle d'entraînement total de la lumière par l'eau.

Partons de la loi de composition relativiste des vitesses donnée par l'énoncé :

En multipliant par le dénominateur, il vient :

D'où l'expression de la vitesse relative v_{M/\mathcal{R}'} :

Commentaires sur cette expression :

• Principe de relativité : la vitesse de \mathcal{R} par rapport à \mathcal{R}' étant -v_e, cette relation s'obtient directement à partir de la formule initiale en échangeant les rôles de \mathcal{R} et \mathcal{R}' et en substituant -v_e à v_e, ce qui assure la parfaite réciprocité entre les référentiels galiléens.
• Limite classique : à la limite non relativiste (|v_e| \ll c_0 et |v_{M/\mathcal{R}}| \ll c_0), le terme correctif au dénominateur devient négligeable devant 1, et l'on retrouve la loi d'addition galiléenne classique v_{M/\mathcal{R}'} \simeq v_{M/\mathcal{R}} - v_e.

Cas où v_{M/\mathcal{R}} = \pm c_0 : Injectons v_{M/\mathcal{R}} = \pm c_0 dans la formule établie :

De même, dans la loi directe d'addition, si v_{M/\mathcal{R}'} = \pm c_0, on obtient :

On a donc dans les deux cas :

Commentaire : Ce résultat traduit le postulat fondamental de la relativité restreinte formulé par Einstein : la célérité de la lumière dans le vide c_0 est une constante universelle invariante par changement de référentiel galiléen. Elle est totalement indépendante du mouvement de la source et de celui de l'observateur.

D'après la loi de composition relativiste des vitesses, pour une vitesse dans le référentiel de l'eau v_{M/\mathcal{R}'} = \frac{c_0}{n} et une vitesse d'entraînement v_e :

Tube 1 : entraînement dans le sens de la propagation (v_e = +v) La vitesse c_1 de la lumière dans le laboratoire s'écrit de manière exacte :

Puisque v \ll c_0, effectuons un développement limité au premier ordre en v/c_0 en utilisant (1 + \varepsilon)^{-1} \simeq 1 - \varepsilon :

Soit :

Tube 2 : entraînement en sens opposé à la propagation (v_e = -v) De même, pour le tube 2 où v_e = -v :

Au premier ordre en v/c_0 :

Soit :

À partir des célérités obtenues à la question Q20 :

on calcule directement la différence de célérité :

et la célérité moyenne au premier ordre en v/c_0 :

Ces grandeurs sont rigoureusement identiques à celles admises pour le modèle d'entraînement partiel de Fresnel introduit au début de la sous-partie III.1.

L'expérience de Fizeau mesurant le déphasage \Delta \varphi \propto \frac{\Delta c}{c_m^2}, le déplacement de franges obtenu est exactement le même dans les deux théories au premier ordre en v/c_0. Il est donc impossible, dans le cadre de cette expérience, de distinguer le modèle relativiste du modèle de Fresnel.

Pour une onde stationnaire unidimensionnelle de célérité c_a confinée dans une cavité de longueur d avec des conditions aux limites de type « extrémités fixes » (nœuds aux deux extrémités), la longueur de la cavité est un multiple entier de demi-longueurs d'onde :

La fréquence fondamentale (n = 1) est donc donnée par :

D'après le tableau 2, les diamètres moyens des grains de sable sont de l'ordre de d \sim 150\text{ à } 200\ \mu\text{m}. En prenant pour la célérité dans le solide la borne inférieure fournie par l'air, c_a > 350\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} (dans la silice solide, c_a est même de l'ordre de plusieurs milliers de mètres par seconde), on obtient :

Ce modèle de résonance acoustique interne prédit ainsi une fréquence dans le domaine des ultrasons (de l'ordre du mégahertz), alors que les fréquences mesurées pour le chant des dunes sont situées dans le domaine audible, entre 60\text{ Hz} et 100\text{ Hz} selon le tableau 2 (et jusqu'à 1\text{ kHz} pour les plages).

L'écart d'environ quatre ordres de grandeur (10^4) conduit à rejeter totalement ce premier modèle : le chant des dunes ne peut pas provenir d'une résonance acoustique à l'échelle individuelle des grains de sable.

Le grain mobile, sphérique de diamètre d, glisse sans frottement sur la bille fixe de centre O et de même diamètre d. La distance entre le centre O et le barycentre G du grain mobile est donc constante et vaut :

D'après la figure 5, l'angle polaire \theta repère la direction \vec{OG} par rapport à l'axe vertical ascendant (Oz). L'altitude du point G est donc :

En choisissant la référence d'énergie potentielle nulle au niveau du centre O (z = 0), l'énergie potentielle de pesanteur du grain s'écrit :

Déterminons à présent l'angle \theta_i correspondant à la position initiale G_i. Les sphères identiques de la couche inférieure sont au contact les unes des autres le long d'un plan incliné d'un angle \alpha sous l'horizontale. La normale à cette couche, orientée vers le haut, fait donc un angle \alpha avec la verticale ascendante (Oz).

Dans un empilement compact, le centre G_i du grain supérieur et les centres des deux grains inférieurs sur lesquels il repose forment un triangle équilatéral de côté d. La direction joignant le centre O à la position initiale G_i est donc inclinée d'un angle de \pi/6 (30^\circ) vers l'amont par rapport à la normale à la couche. L'angle polaire initial de G par rapport à la verticale ascendante (Oz) vaut donc :

La force exercée par la pesanteur le long de la trajectoire circulaire de rayon d s'obtient par dérivation du potentiel :

• Si \theta_i < 0 (soit \alpha < \pi/6), la position initiale est située en amont du sommet de la sphère de centre O (\theta = 0). La force de pesanteur tend à ramener le grain vers l'amont (F_\theta < 0), ce qui le maintient en appui contre le grain amont : la position G_i constitue alors un équilibre stable.
• Si \theta_i > 0 (soit \alpha > \pi/6), le grain G_i se situe au-delà du sommet de la sphère fixe. La composante du poids devient immédiatement motrice vers l'avant (F_\theta > 0) et le grain s'échappe spontanément du creux vers l'aval sans apport d'énergie extérieur : l'équilibre n'est plus possible.

Il existe donc une valeur minimale d'inclinaison qui interdit l'équilibre stable en G_i :

Dans l'empilement compact considéré, les centres de trois sphères en contact mutuel forment un triangle équilatéral de côté d. La normale à la ligne de pente (inclinée de \alpha par rapport à l'horizontale) fait un angle \alpha avec la verticale descendante, ou encore la normale ascendante fait un angle \alpha avec l'axe vertical ascendant (Oz).

Les positions initiale G_i et finale G_f sont situées de part et d'autre de cette normale à des angles de \pm \frac{\pi}{6} (puisque chaque côté du triangle équilatéral fait un angle de 30^\circ = \frac{\pi}{6} avec la hauteur issue de O). On a ainsi :

Le grain de masse m est en translation circulaire de rayon d autour de O. En l'absence de frottement, la réaction de contact exercée par la sphère support est purement normale à la trajectoire et ne travaille pas. Le système est donc conservatif et l'énergie mécanique se conserve :

D'après le résultat de la question précédente, E_{pp}(\theta) = mgd \cos\theta, d'où :

En posant a = \alpha et b = \frac{\pi}{6}, la relation trigonométrique de l'énoncé s'écrit :

soit :

On en déduit :

Le grain se déplaçant dans le sens de la descente (v_f > 0), on obtient :

D'après le résultat de la question Q24, la vitesse en fin de course s'écrit :

L'énoncé indique que lors du choc en G_f, une fraction \epsilon de l'énergie cinétique est dissipée, si bien que le pas suivant débute avec une vitesse v'_i telle que :

En substituant v_f^2, on obtient directement :

Notons u_n = (v_{i,n})^2 le carré de la vitesse au début du franchissement du n-ième grain de la couche inférieure. La suite (u_n)_{n\in\mathbb{N}} vérifie la relation de récurrence arithmético-géométrique :

avec :

Puisqu'une fraction strictement positive de l'énergie cinétique est dissipée à chaque choc, on a \epsilon \in ]0, 1[, d'où |a| < 1. D'après le formulaire fourni en annexe, la suite converge vers une limite indépendante de la valeur initiale :

Ainsi, la vitesse initiale d'un grain tend vers une valeur limite v_\text{lim} = \sqrt{u_\infty} telle que v_\text{lim}^2 = \kappa gd, avec :

Comme \alpha \in \left]0, \frac{\pi}{2}\right[ et \epsilon \in ]0, 1[, on a bien \kappa > 0.

1. Fréquence d'émission sonore

Lors de chaque étape élémentaire, le centre de masse du grain passe de la position G_i à G_f en décrivant un arc de cercle de rayon d et d'angle au centre :

La longueur de la trajectoire curviligne parcourue entre deux chocs consécutifs vaut ainsi \ell = d\,\Delta\theta = \frac{\pi}{3}d \simeq 1{,}05\,d. On peut également considérer, à l'échelle du réseau régulier sous-jacent, le pas spatial séparant deux cavités successives, qui vaut \ell = d. Les deux choix étant numériquement très proches (écart de 5\%), nous adoptons ici la longueur du pas spatial \ell = d (ou \ell = \frac{\pi}{3}d).

Le mouvement s'effectuant à la vitesse moyenne constante v = \sqrt{\kappa g d}, l'intervalle de temps séparant deux chocs successifs est \tau = \frac{\ell}{v}. La fréquence f des chocs (donc du son émis) s'écrit :

(En retenant la trajectoire curviligne \ell = \frac{\pi}{3}d, on obtiendrait f = \frac{3}{\pi}\sqrt{\frac{\kappa g}{d}}.)

2. Confrontation avec les données du tableau 2

D'après le modèle, le produit f\sqrt{d} = \sqrt{\kappa g} doit être une constante indépendante du site. Calculons ce produit pour chacune des cinq dunes du tableau 2 :

• Al Wagan : f\sqrt{d} = 80 \times \sqrt{200\cdot 10^{-6}} \simeq 1{,}13\text{ Hz}\cdot\text{m}^{1/2} ;
• Dumont : f\sqrt{d} = 83 \times \sqrt{174\cdot 10^{-6}} \simeq 1{,}10\text{ Hz}\cdot\text{m}^{1/2} ;
• Eureka : f\sqrt{d} = 90 \times \sqrt{165\cdot 10^{-6}} \simeq 1{,}16\text{ Hz}\cdot\text{m}^{1/2} ;
• Mar de dunas : f\sqrt{d} = 97 \times \sqrt{168\cdot 10^{-6}} \simeq 1{,}26\text{ Hz}\cdot\text{m}^{1/2} ;
• Omega 1 : f\sqrt{d} = 100 \times \sqrt{155\cdot 10^{-6}} \simeq 1{,}24\text{ Hz}\cdot\text{m}^{1/2}.

On constate que lorsque le diamètre d diminue de 200\,\mu\text{m} à 155\,\mu\text{m}, la fréquence f augmente de 80\text{ Hz} à 100\text{ Hz}. La valeur de f\sqrt{d} est quasiment constante :

avec des fluctuations inférieures à 7\%, largement compatibles avec les incertitudes de mesure sur le diamètre des grains (\pm 20 à \pm 70\,\mu\text{m}). Les données expérimentales sont donc tout à fait compatibles avec ce modèle.

3. Estimation de la constante \kappa

De la relation f\sqrt{d} = \sqrt{\kappa g}, on tire :

Avec g = 9{,}8\text{ m}\cdot\text{s}^{-2} :

(Si l'on retient \ell = \frac{\pi}{3}d, on obtient \kappa = \frac{\pi^2}{9}\frac{f^2 d}{g} \simeq 0{,}15, ce qui ne modifie pas l'ordre de grandeur.)

4. Pertinence dans le cas du chant des plages

Pour le chant des plages, la fréquence observée atteint f \sim 1\text{ kHz} = 10^3\text{ Hz}. Si ce modèle s'appliquait, le diamètre des grains correspondant serait :

Or, les grains de sable d'une plage ont une granulométrie typique comprise entre 100\,\mu\text{m} et 500\,\mu\text{m} ; une taille de l'ordre du micromètre correspond à des argiles ou des poussières très fines, incompatibles avec du sable.

Par conséquent, ce modèle d'avalanche gravitaire n'est pas pertinent pour rendre compte du chant des plages (le phénomène des « sables chantants » ou « sifflants » sur les plages résulte d'autres mécanismes physiques, tels que le cisaillement forcé sous les pas ou la friction inter-granulaire de grains de silice très réguliers).

1. Expression du gradient de pression statique

En l'absence d'onde sonore, le fluide possède une vitesse \vec{v}_0 = v_0 \vec{u}_x uniforme et constante dans le temps, une masse volumique constante \rho_0, et une pression p_{\text{st}}(z). Toutes les dérivées spatio-temporelles du champ de vitesse s'annulent :

L'équation de Navier–Stokes se réduit alors à la relation fondamentale de la statique des fluides :

Comme \vec{g} = -g \vec{u}_z et que p_{\text{st}} ne dépend que de la cote z, la projection sur l'axe vertical \vec{u}_z donne directement :

(Compte tenu de la condition à la surface libre p_{\text{st}}(0) = p_0, on retrouve la loi hydrostatique p_{\text{st}}(z) = p_0 - \rho_0 g z).

2. Forme simplifiée de l'équation de Navier–Stokes

En présence de l'onde acoustique, on décompose les champs sous la forme :

où p_1, \rho_1 et \vec{v}_1 sont des perturbations acoustiques de petite amplitude (grandeurs du premier ordre).

L'équation de Navier–Stokes devient :

Procédons aux simplifications :

• Équilibre de base : D'après le résultat précédent, -\vec{\mathrm{grad}} p_{\text{st}} + \rho_0 \vec{g} = \vec{0}.

• Terme de pesanteur perturbé : Le terme résiduel de gravité est \rho_1 \vec{g}. En ordre de grandeur, \|\rho_1 \vec{g}\| \sim \rho_1 g \sim \frac{p_1}{c_a^2} g, tandis que le gradient de pression acoustique est de norme \|\vec{\mathrm{grad}} p_1\| \sim k p_1 = \frac{\omega}{c_a} p_1. Le rapport de ces deux termes vaut :

  \frac{\|\rho_1 \vec{g}\|}{\|\vec{\mathrm{grad}} p_1\|} \sim \frac{g}{\omega c_a}

  Pour des ondes acoustiques dans l'eau (c_a \simeq 1500\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}), dès que f \ge 10\text{ Hz} (\omega \ge 60\text{ rad}\cdot\text{s}^{-1}), on a \omega c_a \ge 9\cdot 10^4\text{ m}\cdot\text{s}^{-2} \gg g \simeq 9{,}8\text{ m}\cdot\text{s}^{-2}. La force de pesanteur sur les surdensités acoustiques est donc négligeable devant la force de pression : \rho_1 \vec{g} \ll \vec{\mathrm{grad}} p_1.

• Linéarisation du terme d'inertie : Au premier ordre, \rho_0 + \rho_1 \simeq \rho_0. Puisque \vec{v}_0 est uniforme, le terme convectif s'écrit :

  ((\vec{v}_0 + \vec{v}_1)\cdot\vec{\mathrm{grad}})(\vec{v}_0 + \vec{v}_1) = (\vec{v}_0 \cdot \vec{\mathrm{grad}})\vec{v}_1 + \mathcal{O}(v_1^2)
• Terme visqueux : \Delta(\vec{v}_0 + \vec{v}_1) = \Delta \vec{v}_1.

On aboutit ainsi à la forme simplifiée (linéarisée) de l'équation de Navier–Stokes pour l'onde acoustique (notée ici avec \underline{p} et \underline{\vec{v}} conformément à la suite de l'énoncé) :

Dans le cas particulier où l'eau est au repos en moyenne (\vec{v}_0 = \vec{0}, étudié dans la sous-partie II.1), celle-ci se réduit à :

Dans le cadre de l'approximation acoustique, les compressions et dilatations du fluide sont suffisamment rapides pour que les échanges thermiques soient négligeables, et les gradients d'amplitude suffisamment faibles pour négliger la dissipation visqueuse au sein de l'onde : l'évolution est isentropique.

Le coefficient de compressibilité isentropique \chi d'un volume V de fluide est défini par :

Pour une masse de fluide m = \rho V constante, la différentiation logarithmique donne :

On en déduit l'expression de \chi en fonction de la masse volumique \rho :

En se plaçant au premier ordre autour de l'état d'équilibre caractérisé par la masse volumique moyenne \rho_0, la fluctuation de masse volumique \underline{\rho} = \rho - \rho_0 s'écrit directement en fonction de la surpression acoustique \underline{p} :

Dans un fluide parfait (\eta = 0) au repos en moyenne (\vec{v}_0 = \vec{0}), l'équation de Navier-Stokes linéarisée obtenue à la question Q27 s'écrit :

Pour une onde plane progressive monochromatique se propageant selon le facteur de phase \exp[\mathrm{i}(\omega t - \vec{k}\cdot\vec{r})], les opérateurs différentiels deviennent :

L'équation d'Euler linéarisée devient ainsi :

En simplifiant par \mathrm{i}, on obtient la première relation :

L'équation locale de conservation de la masse est :

Avec \rho = \rho_0 + \underline{\rho} et \vec{v} = \underline{\vec{v}}, le terme convectif \operatorname{div}(\rho \vec{v}) = \operatorname{div}((\rho_0 + \underline{\rho})\underline{\vec{v}}) = \rho_0 \operatorname{div}\underline{\vec{v}} + \operatorname{div}(\underline{\rho}\underline{\vec{v}}) se réduit au premier ordre à \rho_0 \operatorname{div}\underline{\vec{v}}. L'équation de continuité linéarisée s'écrit donc :

D'après la relation issue de la compressibilité (question Q28), \underline{\rho} = \rho_0 \chi \underline{p}. En remplaçant \underline{\rho} :

En passant en notation complexe (\operatorname{div} \to -\mathrm{i}\vec{k}\cdot) :

Soit, en simplifiant par \mathrm{i} :

Multiplions scalairement par \vec{k} la première équation :

En y substituant l'expression de \vec{k}\cdot\underline{\vec{v}} issue de la seconde équation :

Pour une onde non triviale (\underline{p} \neq 0), on en déduit la relation de dispersion :

Le milieu est non dispersif et la célérité de phase c_a = \frac{\omega}{k} s'exprime par la relation de Newton-Laplace :

Application numérique :

D'après l'énoncé, le niveau sonore maximal du chant des baleines est I_{\mathrm{dB}} = 180\text{ dB} avec la pression de référence dans l'eau p_{\mathrm{ref}} = 1\ \mu\text{Pa} = 1{,}0\cdot 10^{-6}\text{ Pa}. On en déduit l'amplitude de la surpression acoustique :

Amplitude de l'onde de masse volumique D'après la relation de compressibilité obtenue en Q28, \underline{\rho} = \rho_0 \chi \underline{p}, l'amplitude de la fluctuation de masse volumique s'écrit :

Application numérique avec \rho_0 = 1{,}00\cdot 10^3\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3} et \chi = 4{,}10\cdot 10^{-10}\text{ Pa}^{-1} :

Amplitude de l'onde de vitesse D'après l'équation d'Euler projetée en Q29, \rho_0 \omega \underline{\vec{v}} = \vec{k} \underline{p}. Comme pour une onde plane progressive \|\vec{k}\| = k = \omega / c_a, la norme de la vitesse acoustique s'exprime par :

Application numérique avec c_a \simeq 1{,}56\cdot 10^3\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} (calculée en Q29) :

Commentaires

• Perturbation de la masse volumique et de la pression : Près de la surface libre, la pression statique vaut p_{\mathrm{st}}(0) = p_0 = 1\text{ bar} = 10^5\text{ Pa}. Les fluctuations relatives valent :

  \frac{|\underline{p}|}{p_0} = \frac{10^3}{10^5} = 10^{-2} = 1\% \ll 1, \qquad \frac{|\underline{\rho}|}{\rho_0} = \chi |\underline{p}| \simeq 4{,}1\cdot 10^{-7} \ll 1

  La variation de masse volumique induite par l'onde est infime devant la masse volumique moyenne de l'eau.

• Vitesse des particules fluides : L'amplitude de vitesse acoustique est de l'ordre d'une fraction de millimètre par seconde. En la comparant à la célérité du son :

  \frac{|\underline{\vec{v}}|}{c_a} = \frac{6{,}4\cdot 10^{-4}}{1{,}56\cdot 10^3} \simeq 4{,}1\cdot 10^{-7} \ll 1

  Le nombre de Mach acoustique est extrêmement faible.

• Validité de l'approximation acoustique : Même pour un son émis à un niveau exceptionnel (180\text{ dB}, parmi les plus puissants du règne animal), les hypothèses de linéarisation de l'acoustique (|\underline{p}| \ll p_{\mathrm{st}}, |\underline{\rho}| \ll \rho_0 et |\underline{\vec{v}}| \ll c_a) sont parfaitement vérifiées.

En l'absence de courant d'ensemble (\vec{v}_0 = \vec{0}), l'équation de Navier-Stokes linéarisée (question Q27) relative aux fluctuations acoustiques s'écrit :

Pour une onde plane progressive harmonique dépendant de l'espace et du temps via le facteur \exp\left[\mathrm{i}\left(\omega t - \vec{k}\cdot\vec{r}\right)\right], les opérateurs différentiels spatio-temporels se traduisent par les substitutions :

L'équation de Navier-Stokes devient ainsi :

Par ailleurs, l'équation de conservation de la masse couplée à la compressibilité isentropique établie à la question Q29 reste inchangée :

En effectuant le produit scalaire de l'équation de Navier-Stokes par le vecteur d'onde \vec{k}, on obtient :

En substituant \vec{k}\cdot\underline{\vec{v}} = \chi\omega\underline{p} et sachant que \underline{p} \neq 0 :

En l'absence de viscosité (\eta = 0), on retrouve la relation de dispersion non dissipative :

On en déduit donc l'équation de dispersion sous la forme demandée :

Application numérique :

La fréquence correspondante est f_c = \dfrac{\omega_c}{2\pi} \simeq 3{,}2\cdot 10^{11}\text{ Hz} \simeq 320\text{ GHz}.

1. Justification de la faible atténuation en basse fréquence

D'après la question Q31, l'équation de dispersion s'écrit :

Comme \omega_c = \frac{1}{\eta\chi} \simeq 2{,}0 \cdot 10^{12}\text{ rad}\cdot\text{s}^{-1}, pour toutes les fréquences audibles (f \lesssim 20\text{ kHz}) et même ultrasonores (f \lesssim 10\text{ MHz}), on a \omega \ll \omega_c. En effectuant un développement limité à l'ordre 1 en \omega/\omega_c :

avec :

Pour une onde se propageant selon (Ox), l'amplitude de pression évolue selon :

L'atténuation spatiale est gouvernée par le facteur \mathrm{e}^{-k'' x}. Puisque k'' \propto f^2, l'absorption visqueuse est extrêmement faible aux basses fréquences (domaine audio) et ne devient notable qu'à des fréquences élevées.

2. Expression du coefficient d'atténuation \beta en \mathrm{dB\cdot km^{-1}}

Le niveau sonore I_{\mathrm{dB}} s'écrit :

En notant d_0 = 1\text{ km} = 10^3\text{ m}, le coefficient d'atténuation \beta mesurant la perte en décibels par kilomètre est défini par :

En remplaçant k'' par son expression :

3. Applications numériques

Avec les données de l'énoncé :

Choisissons deux fréquences caractéristiques :

• Domaine audio (chant des cétacés, sonars passifs) : prenons f_1 = 1{,}0\text{ kHz} = 10^3\text{ Hz} :

  \beta_1 \simeq 5{,}4 \cdot 10^{-11} \times (10^3)^2 = 5{,}4 \cdot 10^{-5}\text{ dB/km}

• Domaine ultrasonore (sonars de cartographie des fonds marins, échographie) : prenons f_2 = 100\text{ kHz} = 10^5\text{ Hz} :

  \beta_2 \simeq 5{,}4 \cdot 10^{-11} \times (10^5)^2 = 0{,}54\text{ dB/km}

  Pour f = 1\text{ MHz}, on obtiendrait \beta \simeq 54\text{ dB/km}.

4. Comparaison et conclusion

La valeur mesurée dans l'Atlantique aux fréquences audio est \beta_{\mathrm{mes}} \sim 0{,}12\text{ dB/km}, alors que le modèle purement visqueux prédit à 1\text{ kHz} une valeur \beta_1 \simeq 5{,}4 \cdot 10^{-5}\text{ dB/km}, soit plus de 2000 fois plus faible.

On en conclut que la viscosité de cisaillement du fluide ne constitue pas le mécanisme d'atténuation dominant dans l'eau de mer. L'atténuation réelle y est gouvernée par :

• la relaxation chimique des sels dissous (dissociation/recombinaison ionique du sulfate de magnésium \mathrm{MgSO}_4 et de l'acide borique induite par l'onde de pression) ;
• la viscosité de volume (de compression) du fluide ;
• la diffusion acoustique par les microbulles, les particules en suspension et les gradients de température/salinité.

1. Ordre de grandeur de la vitesse d'un courant océanique :

Les grands courants océaniques de surface (tels que le Gulf Stream) possèdent des vitesses de l'ordre de quelques nœuds, soit typiquement entre 1 et 2\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}. Exprimée en kilomètres par heure :

Cette valeur vérifie très largement la hiérarchie imposée par l'énoncé :

2. Linéarisation de \operatorname{div}(\rho\vec{v}) :

La masse volumique et le champ de vitesse s'écrivent :

Le produit de flux convectif s'écrit donc :

Au premier ordre par rapport aux grandeurs acoustiques perturbations, le terme du second ordre \underline{\rho}\,\underline{\vec{v}} est négligé :

Prenons la divergence de cette expression par linéarité de l'opérateur \operatorname{div} :

• \rho_0 et \vec{v}_0 étant uniformes dans l'espace, \operatorname{div}(\rho_0\vec{v}_0) = 0 ;
• \operatorname{div}(\rho_0\underline{\vec{v}}) = \rho_0 \operatorname{div}\underline{\vec{v}} ;
• d'après la formule d'analyse vectorielle donnée par l'énoncé, \operatorname{div}(\underline{\rho}\vec{v}_0) = \underline{\rho}\operatorname{div}\vec{v}_0 + \overrightarrow{\operatorname{grad}}\,\underline{\rho}\cdot\vec{v}_0 = (\vec{v}_0\cdot\overrightarrow{\operatorname{grad}})\underline{\rho} puisque \vec{v}_0 est uniforme (\operatorname{div}\vec{v}_0 = 0).

Comme \vec{v}_0 = v_0\vec{u}_x, on a (\vec{v}_0\cdot\overrightarrow{\operatorname{grad}})\underline{\rho} = v_0 \dfrac{\partial \underline{\rho}}{\partial x}. On en déduit :

3. Linéarisation de (\vec{v}\cdot\overrightarrow{\operatorname{grad}})\vec{v} :

Développons le terme convectif :

Le champ moyen \vec{v}_0 étant uniforme, toutes ses dérivées spatiales sont nulles :

En négligeant le terme quadratique d'ordre deux (\underline{\vec{v}}\cdot\overrightarrow{\operatorname{grad}})\underline{\vec{v}}, il reste au premier ordre :

Dans le cadre d'un fluide parfait (\eta = 0), l'équation de Navier-Stokes linéarisée établie à la question Q27 s'écrit :

Pour une onde plane progressive harmonique dépendant de l'espace et du temps via le facteur \exp[\mathrm{i}(\omega t - \vec{k}\cdot\vec{r})], les opérateurs différentiels s'expriment par :

Le terme convectif devient alors :

En posant la grandeur scalaire :

l'accélération particulaire s'écrit :

L'équation du mouvement devient :

En simplifiant par \mathrm{i}, on obtient la première relation :

Considérons à présent l'équation locale de conservation de la masse :

Grâce au résultat de la question Q33, l'équation linéarisée s'écrit :

D'après la question Q28, \underline{\rho} = \rho_0 \chi \underline{p}. En divisant par la constante \rho_0, il vient :

En passant aux grandeurs complexes harmoniques :

En divisant par \mathrm{i} et en réarrangeant :

L'expression explicite de la grandeur \Omega est donc :