Corrigé détaillé Mines Physique 2 PSI 2025

L'extrémité N du ressort étant fixée en O et l'extrémité mobile M se confondant avec le point matériel P repéré par \vec{OP} = l\,\vec{u}_z, la force de rappel exercée par le ressort sur le point matériel P s'écrit :

Le déplacement élémentaire du point P est \mathrm{d}\vec{OP} = \mathrm{d}l\,\vec{u}_z. Le travail élémentaire de cette force conservative s'exprime sous la forme :

On en déduit :

Par intégration par rapport à l :

En choisissant la référence de l'énergie potentielle élastique en l = l_0, soit \mathcal{E}_{\mathrm{p},k}(l_0) = 0, la constante d'intégration est nulle, d'où :

Le point matériel P a pour vecteur position dans le repère (O, \vec{u}_x, \vec{u}_y, \vec{u}_z) :

Un déplacement virtuel ou élémentaire s'écrit \mathrm{d}\vec{OP} = \mathrm{d}l\,\vec{u}_z.

Le point P est soumis à la force de pesanteur uniforme :

Le travail élémentaire de cette force conservative est relié à la variation d'énergie potentielle de pesanteur \mathcal{E}_{\mathrm{p},\mathrm{p}} par :

On en déduit par intégration :

En choisissant la référence de l'énergie potentielle de pesanteur en O (correspondant à l = 0), on a \mathcal{E}_{\mathrm{p},\mathrm{p}}(0) = 0, d'où \mathrm{C^{te}} = 0.

L'énergie potentielle de pesanteur du point matériel P s'écrit donc :

Le point matériel P a pour vecteur position dans le repère (O, \vec{u}_x, \vec{u}_y, \vec{u}_z) lié au référentiel galiléen \mathcal{R} :

Sa vitesse dans \mathcal{R} s'écrit donc :

L'énergie cinétique du point matériel P est ainsi :

L'énergie potentielle totale dont dérive l'ensemble des forces conservatives s'exerçant sur P (poids et force de rappel élastique) est la somme des énergies potentielles établies aux questions 1 et 2 :

L'énergie mécanique \mathcal{E}_{\mathrm{m}} = \mathcal{E}_{\mathrm{c}} + \mathcal{E}_{\mathrm{p}} du point P dans le référentiel \mathcal{R} s'en déduit :

On étudie le point matériel P de masse m dans le référentiel d'étude \mathcal{R} galiléen.

Le point P est soumis à deux forces :

• son poids : \vec{P} = m\vec{g} = mg\,\vec{u}_z ;
• la force de rappel élastique exercée par le ressort : \vec{F} = -k(l - l_0)\,\vec{u}_z.

Le vecteur accélération de P s'écrit \vec{a}(P/\mathcal{R}) = \ddot{l}\,\vec{u}_z.

D'après le principe fondamental de la dynamique :

En projetant sur l'axe (O, \vec{u}_z), on obtient :

soit, en divisant par m :

Remarque énergétique : toutes les forces appliquées dérivent d'une énergie potentielle et les frottements sont négligés, l'énergie mécanique \mathcal{E}_{\mathrm{m}} (établie à la question 3) est donc une intégrale première du mouvement :

Pour un mouvement non trivial (\dot{l} \not\equiv 0), on retrouve bien l'équation du mouvement précédente.

D'après la question Q4, l'équation différentielle du mouvement s'écrit :

En introduisant la pulsation propre :

et la longueur d'équilibre l_{\mathrm{e}} = l_0 + \frac{mg}{k}, l'équation devient :

La solution générale est la somme d'une solution particulière constante l_{\mathrm{e}} et de la solution générale de l'équation homogène :

La vitesse s'écrit \dot{l}(t) = -A\omega_0 \sin(\omega_0 t) + B\omega_0 \cos(\omega_0 t). Les conditions initiales à t = 0 donnent :

On obtient ainsi l'expression de la longueur l(t) :

Condition de non-collision avec le support fixe : Le support fixe se trouve en O, d'abscisse z = 0. Le point matériel P ne heurte pas le support si sa position vérifie l(t) > 0 à tout instant t \ge 0. La valeur minimale atteinte par l(t) vaut :

La condition l_{\min} > 0 équivaut à :

Comme L > 0 par hypothèse, la condition s'écrit :

Qualification du mouvement et allure de l(t) : Le mouvement observé est un mouvement harmonique (oscillations sinusoïdales non amorties) de pulsation \omega_0 autour de la position d'équilibre l_{\mathrm{e}}.

Expression et calcul de la période propre T_0 : La période propre des oscillations est :

Application numérique avec m = 300\text{ g} = 0,300\text{ kg} et k = 0,300\times \pi^2\text{ N}\cdot\text{m}^{-1} :

La masse m_{\mathrm{r}} du ressort étant uniformément répartie sur toute sa longueur l(t), la masse linéique s'écrit à chaque instant :

Considérons une tranche élémentaire de ressort comprise entre les cotes z et z + \mathrm{d}z, avec z \in [0, l]. Sa masse est :

Le champ de pesanteur étant orienté selon \vec{g} = g\,\vec{u}_z, la force de pesanteur subie par cette tranche s'écrit \mathrm{d}\vec{P} = \mathrm{d}m\,g\,\vec{u}_z. Le travail élémentaire associé à un déplacement virtuel est :

Avec l'origine de l'énergie potentielle de pesanteur prise en O (z = 0), l'énergie potentielle de la tranche élémentaire est :

En sommant sur l'ensemble du ressort de z = 0 à z = l :

L'extrémité N en z = 0 est fixe dans le référentiel d'étude \mathcal{R}, tandis que l'extrémité M en z = l est animée de la vitesse instantanée du point P, soit v(l) = \dot{l}.

Puisque la vitesse est proportionnelle à z, elle s'écrit pour tout z \in [0, l] :

La masse m_{\mathrm{r}} étant uniformément répartie sur la longueur l, la masse d'une tranche de ressort d'épaisseur \mathrm{d}z est :

L'énergie cinétique de cette tranche élémentaire s'exprime donc par :

On obtient l'énergie cinétique totale du ressort par intégration le long de sa longueur :

D'où :

L'énergie cinétique totale du système \{P + \text{ressort}\} dans le référentiel galiléen \mathcal{R} est la somme de l'énergie cinétique du point matériel P et de celle du ressort :

L'énergie potentielle totale du système est la somme de l'énergie potentielle élastique (question Q1) et des énergies potentielles de pesanteur de P (question Q2) et du ressort (question Q6) :

L'énergie mécanique totale \mathcal{E}_{\mathrm{m}} = \mathcal{E}_{\mathrm{c}} + \mathcal{E}_{\mathrm{p}} du système s'écrit donc :

Le référentiel \mathcal{R} étant galiléen et les frottements étant négligés, l'énergie mécanique \mathcal{E}_{\mathrm{m}} du système {point matériel P + ressort} est une constante du mouvement :

En reprenant l'expression de \mathcal{E}_{\mathrm{m}} établie à la question précédente :

On dérive cette expression par rapport au temps t :

Le mouvement n'étant pas identiquement au repos (\dot{l}(t) \not\equiv 0), on simplifie par \dot{l} :

Soit, sous forme canonique :

D'après la question Q9, l'équation différentielle régissant l(t) s'écrit sous la forme :

en posant la pulsation propre \omega_1 et la position d'équilibre l_{\mathrm{e}1} :

La solution générale de cette équation différentielle linéaire à coefficients constants avec second membre constant est :

Les constantes d'intégration A et B sont déterminées par les conditions initiales :

On obtient ainsi :

avec l_{\mathrm{e}1} = l_0 + \dfrac{m + \frac{m_{\mathrm{r}}}{2}}{k}g.

Le mouvement observé est un mouvement rectiligne sinusoïdal (ou oscillatoire harmonique simple) non amorti de pulsation \omega_1 autour de la position d'équilibre l_{\mathrm{e}1}.

La période des oscillations T_1 = \dfrac{2\pi}{\omega_1} s'écrit :

Sachant que T_0 = 2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k}} d'après la question Q5, on obtient :

Comme m_{\mathrm{r}} \ll m, on effectue un développement limité à l'ordre 1 avec l'approximation (1+x)^\alpha \approx 1 + \alpha x pour \alpha = \frac{1}{2} et x = \frac{m_{\mathrm{r}}}{3m} :

Avec m = 300\text{ g}, m_{\mathrm{r}} = 36,0\text{ g} et T_0 = 2,00\text{ s} :

L'écart relatif entre la période T_1 (ressort pesant) et T_0 (ressort sans masse) est défini par :

D'après la question Q10, au premier ordre en \dfrac{m_{\mathrm{r}}}{m} \ll 1 :

L'écart relatif s'écrit donc simplement :

La condition imposée stipule que cet écart ne dépasse pas 1\,\%, soit :

On en déduit la condition sur la masse m_{\mathrm{r}} du ressort :

Application numérique : Pour m = 300\text{ g}, on obtient :

Remarque : Le calcul exact à partir de T_1 = T_0\sqrt{1 + \dfrac{m_{\mathrm{r}}}{3m}} donne :

ce qui valide l'excellente précision de l'approximation linéaire.

Le point matériel P est astreint à se déplacer le long de la glissière (O', \vec{u}_x), qui est horizontale et orthogonale au champ de pesanteur \vec{g} = g\,\vec{u}_z. Dans le repère (O', \vec{u}_x, \vec{u}_y, \vec{u}_z), la cote de P selon l'axe vertical (O', \vec{u}_z) est donc constamment nulle (z_P = 0).

L'origine de l'énergie potentielle de pesanteur étant choisie en O' (z = 0), on a :

Par ailleurs, la droite (O, \vec{u}_z) étant perpendiculaire à (O', \vec{u}_x), le triangle OO'P est rectangle en O'. La longueur instantanée l du ressort reliant le point fixe O au point mobile P s'écrit donc, d'après le théorème de Pythagore :

La masse du ressort étant supposée nulle dans cette partie (m_{\mathrm{r}} = 0), son énergie potentielle élastique ne dépend que de son allongement, avec une référence nulle en l = l_0 :

L'énergie potentielle totale \mathcal{E}_{\mathrm{p},P} du point matériel P est la somme de ces deux contributions :

L'énergie potentielle du point matériel P sur la glissière s'écrit (question Q12) :

Sa dérivée première par rapport à x vaut :

Les positions d'équilibre x_{\mathrm{e}} annulent cette dérivée première :

La dérivée seconde s'exprime par :

En x = 0, elle prend la valeur :

Deux situations se présentent :

1. Cas l_c > l_0 (ressort toujours tendu) : Pour tout x \in \mathbb{R}, \sqrt{x^2 + l_c^2} \ge l_c > l_0 : l'équation \sqrt{x^2 + l_c^2} = l_0 n'admet aucune solution réelle.

• Il existe une unique position d'équilibre :

  \boxed{x_{\mathrm{e}} = 0}
• Comme l_c > l_0, \frac{\mathrm{d}^2\mathcal{E}_{\mathrm{p},P}}{\mathrm{d}x^2}(0) > 0 : c'est un minimum local d'énergie potentielle, donc une position d'équilibre stable.
• Valeur remarquable : \mathcal{E}_{\mathrm{p},P}(0) = \frac{1}{2} k (l_c - l_0)^2 > 0.

2. Cas l_c = l_0 (cas limite) : L'unique position d'équilibre est x_{\mathrm{e}} = 0, avec \mathcal{E}_{\mathrm{p},P}(0) = 0. Un développement limité donne \mathcal{E}_{\mathrm{p},P}(x) \sim \frac{k}{8 l_0^2} x^4 \ge 0, c'est encore une position d'équilibre stable.

3. Cas l_c < l_0 (ressort comprimé en x = 0) : L'équation \sqrt{x^2 + l_c^2} = l_0 admet deux solutions réelles symétriques :

• En x_{\mathrm{e}0} = 0 : comme l_c < l_0, on a \frac{\mathrm{d}^2\mathcal{E}_{\mathrm{p},P}}{\mathrm{d}x^2}(0) < 0. Il s'agit d'un maximum local :

  \boxed{x_{\mathrm{e}0} = 0 \quad \text{est une position d'équilibre instable}}

  avec \mathcal{E}_{\mathrm{p},P}(0) = \frac{1}{2}k(l_0 - l_c)^2.

• En x_{\mathrm{e}\pm} = \pm \sqrt{l_0^2 - l_c^2} : le premier terme de la dérivée seconde s'annule et il vient :

  \frac{\mathrm{d}^2\mathcal{E}_{\mathrm{p},P}}{\mathrm{d}x^2}(x_{\mathrm{e}\pm}) = k \frac{l_0 (l_0^2 - l_c^2)}{l_0^3} = k \left(1 - \frac{l_c^2}{l_0^2}\right) > 0

  Il s'agit de deux minima absolus d'énergie potentielle :

  \boxed{x_{\mathrm{e}\pm} = \pm \sqrt{l_0^2 - l_c^2} \quad \text{sont deux positions d'équilibre stable}}

  avec \mathcal{E}_{\mathrm{p},P}(x_{\mathrm{e}\pm}) = 0.

D'après l'étude menée à la question Q13, la fonction \mathcal{E}_{\mathrm{p},P}(x) présente :

• un unique minimum en x = 0 lorsque l_c \ge l_0 (simple puits de potentiel) ;
• deux minima absolus d'énergie nulle en x_{\mathrm{e}\pm} = \pm\sqrt{l_0^2 - l_c^2}, séparés par un maximum local en x = 0, lorsque l_c < l_0 (double puits de potentiel).

On peut donc parler de barrière de potentiel dans le cas où :

La hauteur de la barrière U_{\mathrm{b}} est le dénivelé énergétique entre le sommet de la barrière (maximum local en x = 0) et le fond des puits (minima en x_{\mathrm{e}\pm}) :

soit :

Le système étudié est le point matériel P de masse m, dans le référentiel d'étude \mathcal{R} supposé galiléen.

Le point P est soumis à :

• son poids \vec{P} = m g \vec{u}_z ;
• la réaction normale de la glissière \vec{R} \in \mathrm{Vect}(\vec{u}_y, \vec{u}_z) (liaison sans frottement) ;
• la force de rappel élastique exercée par le ressort \vec{F}_{\mathrm{el}} = -k(l - l_0)\vec{u}, où \vec{u} = \frac{\vec{OP}}{l} est le vecteur unitaire orienté de O vers P, avec l = \sqrt{x^2 + l_c^2}.

Comme la glissière est sans frottement, la réaction ne travaille pas (\vec{R}\cdot \dot{\vec{r}} = 0), et le déplacement étant strictement horizontal, le poids ne travaille pas non plus. Le système est donc conservatif et son énergie mécanique s'écrit :

En dérivant cette relation par rapport au temps :

Cette relation étant vraie quel que soit le mouvement (y compris pour \dot{x}\neq 0), on en déduit :

D'après l'expression de \mathcal{E}_{\mathrm{p},P}(x) = \frac{1}{2}k\left(\sqrt{x^2+l_c^2}-l_0\right)^2 établie à la question 12 :

On obtient ainsi l'équation différentielle du mouvement sous forme canonique :

Interprétation physique de \frac{\mathrm{d}\mathcal{E}_{\mathrm{p},P}}{\mathrm{d}x}(x) :

Par définition d'une force conservative dérivant d'une énergie potentielle unidimensionnelle, la projection de la force exercée sur le point P suivant l'axe de son mouvement (O',\vec{u}_x) est :

Ainsi, le terme \frac{\mathrm{d}\mathcal{E}_{\mathrm{p},P}}{\mathrm{d}x}(x) représente l'opposé de la composante horizontale de la force de rappel élastique exercée par le ressort sur le point P (qui s'identifie également à l'opposé de la résultante de toutes les forces appliquées à P, projetée sur l'axe (O',\vec{u}_x)).

D'après la question Q15, le mouvement du point matériel P est régi par :

En posant u_0(t) = x(t) et u_1(t) = \dot{x}(t), la définition de la vitesse conduit immédiatement à la première équation :

Puisque \dot{u}_1(t) = \ddot{x}(t), l'équation différentielle du mouvement fournit la seconde équation :

Le système de deux équations différentielles d'ordre 1 s'écrit donc :

La méthode d'Euler explicite consiste à approcher la dérivée temporelle en t_n = n\Delta t par le taux d'accroissement décentré à droite :

En évaluant le second membre en t_n, on obtient les relations de récurrence :

Pour n = 0, les grandeurs correspondent aux conditions initiales imposées au point matériel P à t = 0 :

Puisque l_c = 0{,}200\text{ m} < l_0 = 1{,}00\text{ m}, le système possède un potentiel à double puits (questions Q13 et Q14) présentant un maximum local (barrière de potentiel) en x = 0 de hauteur U_{\mathrm{b}} = \frac{1}{2}k(l_0 - l_c)^2 \approx 0{,}95\text{ J}, et deux minima stables en x_{\mathrm{e}\pm} = \pm \sqrt{l_0^2 - l_c^2} = \pm \sqrt{1 - 0{,}04} \approx \pm 0{,}98\text{ m}.

La comparaison des deux régimes de mouvement observés sur la figure 3 s'articule autour des points suivants :

1. Confinement spatial et franchissement de barrière :

   • Cas A (x(0) = 2{,}00\text{ m}, \dot{x}(0) = 0) : l'énergie mécanique initiale \mathcal{E}_{\mathrm{m}} = \mathcal{E}_{\mathrm{p}}(2{,}00\text{ m}) \approx 1{,}51\text{ J} est supérieure à la barrière U_{\mathrm{b}}. Le point P franchit le sommet de potentiel en x = 0 et explore les deux puits : le mouvement est global, oscillant symétriquement entre x = -2{,}00\text{ m} et x = +2{,}00\text{ m}.
   • Cas B (x(0) = 1{,}00\text{ m}, \dot{x}(0) = 0) : l'énergie mécanique \mathcal{E}_{\mathrm{m}} \approx 5{,}8\times 10^{-4}\text{ J} \ll U_{\mathrm{b}} est largement insuffisante pour franchir la barrière. Le mobile reste confiné dans le puits de droite (x > 0).

2. Position moyenne et symétrie :

   • Cas A : le mouvement est centré sur l'origine, avec une valeur moyenne nulle : \langle x(t) \rangle = 0\text{ m}.
   • Cas B : le mouvement est centré autour de la position d'équilibre stable positive : \langle x(t) \rangle \approx x_{\mathrm{e}+} \approx 0{,}98\text{ m}.

3. Harmonicité du signal :

   • Cas A : oscillations de très grande amplitude (X_{\max} = 2{,}00\text{ m}). Le mouvement est fortement anharmonique (non sinusoïdal) en raison de la non-linéarité prononcée de la force de rappel ; le profil de vitesse \dot{x}(t) présente une forme aplatie au passage de la barrière centrale.
   • Cas B : oscillations de très faible amplitude (a \approx 1{,}00 - 0{,}98 = 0{,}02\text{ m}). Le système explore le voisinage immédiat du minimum du puits où le potentiel est quasi-parabolique : le mouvement est quasi-harmonique (signaux x(t) et \dot{x}(t) très proches d'une sinusoïde pure).

4. Période et amplitude des vitesses :

   • Cas A : sur la courbe, on observe 5 oscillations complètes entre t = 0 et t \approx 17{,}5\text{ s}, ce qui donne une période :

     T_{\mathrm{A}} \approx \frac{17{,}5}{5} \approx 3{,}5\text{ s}

     La vitesse maximale atteinte est importante : |\dot{x}|_{\max} \approx 3{,}2\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}.

   • Cas B : on observe 6 oscillations en un peu plus de 12{,}5\text{ s}, d'où une période nettement plus courte :

     T_{\mathrm{B}} \approx \frac{12{,}6}{6} \approx 2{,}1\text{ s}

     La vitesse maximale reste très faible : |\dot{x}|_{\max} \approx 0{,}06\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}.

D'après la question Q13, pour l_c < l_0, le système possède deux positions d'équilibre stables en :

Dans le cas B, le point matériel est lâché sans vitesse initiale à x(0) = 1{,}00\text{ m}, valeur très proche de x_{\mathrm{e}+} = \sqrt{1{,}00^2 - 0{,}200^2} = \sqrt{0{,}96} \approx 0{,}980\text{ m}. Il effectue donc de petites oscillations autour de ce puits de potentiel.

Au premier ordre en l'écart à l'équilibre (approximation harmonique), le mouvement est sinusoïdal centré sur la position d'équilibre :

Pour déterminer la période T_2, développons l'équation du mouvement établie à la question Q15 au voisinage de x_{\mathrm{e}+}. Posons x(t) = x_{\mathrm{e}+} + \xi(t) avec |\xi(t)| \ll x_{\mathrm{e}+}. L'équation différentielle s'écrit :

La dérivée première de l'énergie potentielle est :

En dérivant par rapport à x :

Évaluée en x = x_{\mathrm{e}+} où \sqrt{x_{\mathrm{e}+}^2 + l_c^2} = l_0 :

L'équation des petites oscillations s'écrit donc :

La période T_2 = \frac{2\pi}{\omega_2} s'exprime ainsi directement en fonction de T_0 :

Applications numériques : Avec l_0 = 1{,}00\text{ m}, l_c = 0{,}200\text{ m} et T_0 = 2{,}00\text{ s} (obtenu à la question Q5) :

Comparaison avec la figure 3 :

• Sur la figure 3 (cas B), le signal x(t) oscille symétriquement entre 0{,}96\text{ m} et 1{,}00\text{ m}, ce qui donne une valeur moyenne lue \langle x(t) \rangle_{\text{lue}} \approx 0{,}98\text{ m}.
• Entre t = 0 et le cinquième maximum à t \approx 10{,}2\text{ s}, on compte 5 périodes, soit T_{2,\text{lue}} \approx \frac{10{,}2}{5} \approx 2{,}04\text{ s}.

Conclusion : L'amplitude d'oscillation autour de la position d'équilibre n'est que de X_{\mathrm{m}} \approx 0{,}02\text{ m}, soit environ 2\,\% de la distance d'équilibre. L'approximation harmonique (linéarisation de la force de rappel au voisinage du fond du puits) est donc parfaitement justifiée et en accord quantitatif remarquable avec la résolution numérique.

Le système \{P\} n'est soumis qu'à son poids et à la force de rappel du ressort (forces conservatives), ainsi qu'à la réaction normale de la glissière sans frottement qui ne travaille pas. L'énergie mécanique \mathcal{E}_{\mathrm{m}} se conserve donc au cours du mouvement :

À l'instant initial t=0, le point P est lâché sans vitesse initiale (\dot{x}(0) = 0) depuis l'abscisse x(0) = X_0 > 0. D'après l'expression de \mathcal{E}_{\mathrm{p},P} établie à la question Q12, l'énergie mécanique vaut :

Le cas A correspond à un mouvement oscillatoire de part et d'autre de x = 0, avec exploration successive des régions x > 0 et x < 0. Pour atteindre et traverser l'abscisse x = 0, le point matériel doit avoir une énergie cinétique strictement positive au sommet de la barrière :

où U_{\mathrm{b}} = \frac{1}{2}k(l_0 - l_c)^2 désigne la hauteur de la barrière de potentiel déterminée à la question Q14.

Pour X_0 \in ]0, x_{\mathrm{e}+}], où x_{\mathrm{e}+} = \sqrt{l_0^2 - l_c^2}, la fonction \mathcal{E}_{\mathrm{p},P} est décroissante et prend des valeurs inférieures ou égales à U_{\mathrm{b}} : le point P ne peut donc pas s'échapper du puits de droite. Il est ainsi nécessaire que X_0 > x_{\mathrm{e}+}, ce qui équivaut à :

L'inégalité \mathcal{E}_{\mathrm{m}} > U_{\mathrm{b}} s'écrit alors :

Comme l_c < l_0, le membre de droite 2l_0 - l_c > 0 est strictement positif. En élevant au carré :

Puisque X_0 > 0, la condition s'écrit :

D'après la question Q15, la dérivée spatiale de l'énergie potentielle est donnée par :

Cette fonction est impaire : \frac{\mathrm{d}\mathcal{E}_{\mathrm{p},P}}{\mathrm{d}x}(-x) = -\frac{\mathrm{d}\mathcal{E}_{\mathrm{p},P}}{\mathrm{d}x}(x) (l'énergie potentielle étant paire). Son développement en série entière au voisinage de x=0 ne comporte donc que des puissances impaires de x.

En effectuant le développement limité au voisinage de x = 0 pour |x| \ll l_c :

En injectant dans l'expression de la dérivée :

L'approximation polynomiale de degré 3 correspond donc au développement de Taylor à l'ordre 3 au voisinage de l'origine : elle capture le comportement linéaire ainsi que la première non-linéarité.

Par identification avec la modélisation \frac{\mathrm{d}\mathcal{E}_{\mathrm{p},P}}{\mathrm{d}x}(x) \simeq \alpha_{\mathrm{m}} x + \beta_{\mathrm{m}} x^3, on obtient :

On en déduit les signes des coefficients :

• Pour tout l_c > 0, comme k > 0 et l_0 > 0 :

  \beta_{\mathrm{m}} > 0

  Ce résultat est en parfait accord avec le comportement asymptotique pour x \to \pm \infty observé sur les deux graphiques de la figure 4 (\frac{\mathrm{d}\mathcal{E}_{\mathrm{p},P}}{\mathrm{d}x} \to \pm \infty).

• Le signe de \alpha_{\mathrm{m}} dépend de la valeur de l_c :

  • si l_c > l_0 : \alpha_{\mathrm{m}} > 0 (pente à l'origine positive, puits simple) ;
  • si l_c < l_0 : \alpha_{\mathrm{m}} < 0 (pente à l'origine négative, instabilité en x=0, double puits) ;
  • si l_c = l_0 : \alpha_{\mathrm{m}} = 0.

D'après la question Q15, le principe fondamental de la dynamique projeté sur (O',\vec{u}_x) s'écrit :

En substituant la modélisation polynomiale, l'équation différentielle du mouvement devient :

ou, sous forme non normalisée :