Feuille d'entraînement : Circuits électriques et régimes transitoires

Corrigés

1. Exercice 1ENS Physique U PSI 2025, Q46

   D'après l'énoncé :

   • Chaque canal est modélisé par une source idéale de courant I_{\text{DO}} en parallèle avec une résistance interne R_{\mathrm{c}} (modèle de Norton).
   • Les N = 3 canaux sont disposés en parallèle entre les deux électrodes plongeant dans les réservoirs d'eau salée et d'eau douce.
   • L'ampoule est représentée par une résistance de charge r connectée aux bornes de ces électrodes, traversée par un courant noté i.

   Le schéma électrique équivalent du système est représenté ci-dessous :

   Indice, stratégie et pièges de cette question

2. Exercice 2ENS Physique U PSI 2025, Q47

   Chaque canal est modélisé par un générateur de Norton constitué d'une source idéale de courant I_{\text{DO}} en parallèle avec une résistance interne R_c.

   Les N canaux étant branchés en parallèle entre les deux mêmes électrodes :

   • Les courants électromoteurs s'additionnent, le courant de court-circuit équivalent de Norton vaut donc :

     I_{\text{N}} = \sum_{k=1}^N I_{\text{DO}} = N I_{\text{DO}}

   • Les conductances internes s'additionnent, de sorte que la résistance équivalente de Norton R_{\text{N}} vérifie :

     \frac{1}{R_{\text{N}}} = \sum_{k=1}^N \frac{1}{R_c} = \frac{N}{R_c} \implies R_{\text{N}} = \frac{R_c}{N}

   Par équivalence Norton-Thévenin, ce dipôle actif linéaire est strictement équivalent à une source de tension idéale de force électromotrice E en série avec une résistance R, où :

   \begin{aligned} R &= R_{\text{N}} = \frac{R_c}{N} \\ E &= R_{\text{N}} I_{\text{N}} = \left(\frac{R_c}{N}\right) (N I_{\text{DO}}) = R_c I_{\text{DO}} \end{aligned}

   \boxed{E = R_c I_{\text{DO}} \quad \text{et} \quad R = \frac{R_c}{N}}

   En reliant ce dipôle équivalent de Thévenin à la résistance de charge r, la loi des mailles (ou loi de Pouillet) donne immédiatement le courant i circulant dans r :

   i = \frac{E}{R + r} = \frac{R_c I_{\text{DO}}}{\dfrac{R_c}{N} + r}

   \boxed{i = \frac{N R_c I_{\text{DO}}}{R_c + N r}}

   Résultat

   $$E=R_c{I}_{\text{DO}}\text{et}R=\frac{R_c}{N}$$

   $$i=\frac{N{R}_c{I}_{\text{DO}}}{R_c+Nr}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

3. Exercice 3ENS Physique U PSI 2025, Q48

   Le circuit fermé est constitué de la source de tension idéale E en série avec la résistance interne R de la membrane et la résistance de charge r. D'après la question Q47, le courant traversant le circuit en régime continu est :

   i = \frac{E}{R+r}

   Bilan d'énergie En multipliant l'équation de maille E = R\,i + r\,i par l'intensité i, on obtient le bilan de puissance en régime stationnaire :

   \mathcal{P}_{\text{fournie}} = \mathcal{P}_J + \mathcal{P}

   où :

   • \mathcal{P}_{\text{fournie}} = E\,i = \dfrac{E^2}{R+r} est la puissance électrique totale délivrée par la source idéale ;
   • \mathcal{P}_J = R\,i^2 = \dfrac{R\,E^2}{(R+r)^2} est la puissance dissipée par effet Joule dans la résistance interne de la membrane ;
   • \mathcal{P} = r\,i^2 = \dfrac{r\,E^2}{(R+r)^2} est la puissance électrique consommée par l'ampoule.

   Recherche du maximum de puissance Pour trouver la valeur de r maximisant \mathcal{P}(r), dérivons \mathcal{P} par rapport à r :

   \begin{aligned} \frac{\mathrm{d}\mathcal{P}}{\mathrm{d}r} &= E^2 \, \frac{(R+r)^2 - 2r(R+r)}{(R+r)^4} \\ &= E^2 \, \frac{(R+r) - 2r}{(R+r)^3} \\ &= E^2 \, \frac{R-r}{(R+r)^3} \end{aligned}

   Cette dérivée s'annule en changeant de signe (strictement positive pour r < R et strictement négative pour r > R) en :

   \boxed{r = R}

   La puissance consommée par l'ampoule est donc maximale lorsque la résistance de charge est égale à la résistance interne du générateur (condition d'adaptation d'impédance en régime continu).

   En évaluant \mathcal{P}(r) en r = R, on obtient l'expression de la puissance maximale :

   \boxed{\mathcal{P}_{\text{max}} = \frac{E^2}{4R}}

   Résultat

   $$r=R$$

   $${\mathcal{P}}_{\text{max}}=\frac{E^2}{4R}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

4. Exercice 4Mines-Ponts Physique 1 PSI 2025, Q21

   Orientons le contour fermé du circuit dans le sens du courant I(t) issu de la borne positive du générateur de tension continue E_0.

   Le flux magnétique total à travers le circuit se réduit ici à son flux propre :

   \Phi(t) = L(X(t))\,I(t)

   D'après la loi de Faraday (rappelée à la question Q20), la force électromotrice induite dans la maille s'écrit :

   e(t) = -\frac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm{d}t} = -\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\big(L(X)\,I(t)\big)

   La loi des mailles appliquée au circuit fermé (constitué du générateur, des rails et du projectile de résistance totale R(X)) donne :

   E_0 + e(t) = R(X)\,I(t) \iff E_0 = R(X)\,I(t) + \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\big(L(X)\,I(t)\big)

   En développant la dérivée du produit, sachant que X dépend du temps :

   \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\big(L(X)\,I(t)\big) = L(X)\,\frac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}t} + I(t)\,\frac{\mathrm{d}L}{\mathrm{d}t} = L(X)\,\frac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}t} + I(t)\,\frac{\mathrm{d}L}{\mathrm{d}X}\,\frac{\mathrm{d}X}{\mathrm{d}t}

   On obtient ainsi l'équation électrique différentielle régissant le système :

   \boxed{E_0 = R(X)\,I(t) + L(X)\,\frac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}t} + I(t)\,\frac{\mathrm{d}L}{\mathrm{d}X}\,\frac{\mathrm{d}X}{\mathrm{d}t}}

   Résultat

   $$E_0=R(X)I(t)+L(X)\frac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}t}+I(t)\frac{\mathrm{d}L}{\mathrm{d}X}\frac{\mathrm{d}X}{\mathrm{d}t}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

5. Exercice 5Mines-Ponts Physique 2 PSI 2025, Q21

   Les trois amplificateurs linéaires intégrés (A_1, A_2, A_3) sont supposés idéaux, de gain infini et fonctionnent en régime linéaire grâce à leurs rétroactions sur les entrées inverseuses. On a donc, pour chaque ALI, un courant d'entrée nul et une tension différentielle d'entrée nulle :

   i^+ = i^- = 0 \quad \text{et} \quad V^+ = V^-

   Notons v_1(t) la tension en sortie de l'ALI A_1, et v_2(t) la tension en sortie de l'ALI A_2.

   1. Étage lié à A_1 (intégrateur inverseur) : L'entrée non-inverseuse est à la masse, d'où V_1^+ = 0, et par suite V_1^- = 0. La loi des nœuds appliquée en l'entrée inverseuse de A_1 s'écrit :

   \begin{aligned} \frac{x(t) - 0}{R_1} + C_1 \frac{\mathrm{d}(v_1 - 0)}{\mathrm{d}t} = 0 \implies \frac{\mathrm{d}v_1}{\mathrm{d}t}(t) = -\frac{1}{R_1 C_1}\,x(t) \end{aligned}

   2. Étage lié à A_2 (inverseur) : De même, V_2^+ = 0 \implies V_2^- = 0. La loi des nœuds en l'entrée inverseuse de A_2 donne :

   \begin{aligned} \frac{v_1(t) - 0}{R} + \frac{v_2(t) - 0}{R} = 0 \implies v_2(t) = -v_1(t) \end{aligned}

   3. Étage lié à A_3 (intégrateur inverseur) : L'entrée non-inverseuse est à la masse, d'où V_3^+ = 0 et V_3^- = 0. La tension de sortie de A_3 est x(t). La loi des nœuds en l'entrée inverseuse de A_3 donne :

   \begin{aligned} \frac{v_2(t) - 0}{R_2} + C_2 \frac{\mathrm{d}(x - 0)}{\mathrm{d}t} = 0 \implies \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}(t) = -\frac{1}{R_2 C_2}\,v_2(t) = \frac{1}{R_2 C_2}\,v_1(t) \end{aligned}

   4. Équation différentielle en x(t) : En dérivant par rapport au temps la relation obtenue pour A_3 et en y injectant l'expression de \dot{v}_1(t) :

   \begin{aligned} \ddot{x}(t) = \frac{1}{R_2 C_2} \frac{\mathrm{d}v_1}{\mathrm{d}t}(t) = -\frac{1}{R_1 R_2 C_1 C_2}\,x(t) \end{aligned}

   On obtient finalement l'équation différentielle :

   \boxed{\ddot{x}(t) + \frac{1}{R_1 R_2 C_1 C_2}\,x(t) = 0}

   5. Correspondance mécanique : Cette équation est celle d'un oscillateur harmonique non amorti de pulsation propre :

   \omega_0 = \frac{1}{\sqrt{R_1 R_2 C_1 C_2}}

   Ce circuit simule donc le mouvement à une dimension d'un oscillateur mécanique harmonique linéaire sans frottement (point matériel de masse m soumis à une force de rappel élastique proportionnelle à son élongation), tel que :

   • les oscillations libres du ressort vertical de la question 4 repérées par rapport à sa position d'équilibre (X = l - l_{\mathrm{e}}) ;
   • ou les petites oscillations autour d'une position d'équilibre stable de l'oscillateur horizontal de la question 18.

   Résultat

   $$\ddot{x}(t)+\frac{1}{R_1{R}_2{C}_1{C}_2}x(t)=0$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

6. Exercice 6Mines-Ponts Physique 2 PSI 2025, Q23

   1. Caractéristique courant-tension de la diode D

   D'après les conventions de l'énoncé, la diode est modélisée par une diode idéale à seuil V_D > 0 :

   • État bloqué : si u_{\mathrm{d}} < V_D, alors i_{\mathrm{d}} = 0 ;
   • État passant : si i_{\mathrm{d}} > 0, alors u_{\mathrm{d}} = V_D.

   2. Caractéristique courant-tension i = g(u) du dipôle tête-bêche

   Le dipôle est constitué des diodes D_1 et D_2 montées en parallèle en sens inverse. Les conventions d'orientation de la figure 6 donnent :

   • Pour la diode D_1 (anode à gauche, cathode à droite) : la tension à ses bornes est u_{\mathrm{d}1} = u et le courant la traversant de gauche à droite est noté i_1 ;
   • Pour la diode D_2 (anode à droite, cathode à gauche) : la tension à ses bornes est u_{\mathrm{d}2} = -u et le courant la traversant de droite à gauche est noté i_2.

   Par la loi des nœuds, le courant total traversant le dipôle de gauche à droite vaut :

   i = i_1 - i_2

   Distinguons les trois zones de fonctionnement :

   • Zone 1 : u = -V_{D2} avec i \le 0

     • Pour D_1 : u_{\mathrm{d}1} = u = -V_{D2} < 0 < V_{D1}, donc la diode D_1 est bloquée (i_1 = 0) ;
     • Pour D_2 : u_{\mathrm{d}2} = -u = V_{D2}, la diode D_2 est passante (i_2 \ge 0).

     On a donc i = -i_2 \le 0 avec u = -V_{D2}.

   • Zone 2 : -V_{D2} < u < V_{D1} avec i = 0

     • Pour D_1 : u_{\mathrm{d}1} = u < V_{D1}, donc D_1 est bloquée (i_1 = 0) ;
     • Pour D_2 : u_{\mathrm{d}2} = -u < V_{D2}, donc D_2 est bloquée (i_2 = 0).

     Les deux diodes sont bloquées, d'où i = 0.

   • Zone 3 : u = V_{D1} avec i \ge 0

     • Pour D_1 : u_{\mathrm{d}1} = u = V_{D1}, la diode D_1 est passante (i_1 \ge 0) ;
     • Pour D_2 : u_{\mathrm{d}2} = -u = -V_{D1} < 0 < V_{D2}, donc la diode D_2 est bloquée (i_2 = 0).

     On a donc i = i_1 \ge 0 avec u = V_{D1}.

   La caractéristique s'exprime ainsi sous forme multivaluée :

   \boxed{ \begin{cases} i \le 0 & \text{pour } u = -V_{D2} \quad (D_1 \text{ bloquée},\, D_2 \text{ passante}) \\ i = 0 & \text{pour } -V_{D2} < u < V_{D1} \quad (D_1 \text{ bloquée},\, D_2 \text{ bloquée}) \\ i \ge 0 & \text{pour } u = V_{D1} \quad (D_1 \text{ passante},\, D_2 \text{ bloquée}) \end{cases} }

   Résultat

   $$\{\begin{array}{ll}i\le 0& \text{pour }u=-V_{D2}(D_1\text{ bloqueˊe},D_2\text{ passante})\\ i=0& \text{pour }-V_{D2}<u<V_{D1}(D_1\text{ bloqueˊe},D_2\text{ bloqueˊe})\\ i\ge 0& \text{pour }u=V_{D1}(D_1\text{ passante},D_2\text{ bloqueˊe})\end{array}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

7. Exercice 7X-ENS Physique PSI 2025, Q4

   En régime permanent continu, le champ électrique au sein du barreau conducteur cylindrique de longueur \ell, orienté selon l'axe (\mathrm{O}x), est uniforme et relié à la différence de potentiel V_1 - V_2 par :

   \vec{E} = \frac{V_1 - V_2}{\ell}\,\vec{u}_x.

   D'après la loi d'Ohm locale établie à la question précédente (\vec{j} = \gamma_0 \vec{E}), le vecteur densité volumique de courant est uniforme et axial :

   \vec{j} = \gamma_0\,\frac{V_1 - V_2}{\ell}\,\vec{u}_x.

   L'intensité I du courant électrique traversant une section droite du barreau, d'aire S = \pi a^2, s'écrit :

   I = \iint_{S} \vec{j}\cdot\mathrm{d}\vec{S} = j\,S = \gamma_0\,\pi a^2\,\frac{V_1 - V_2}{\ell}.

   Par définition de la résistance électrique R_{\mathrm{el}} = \frac{V_1 - V_2}{I}, on en déduit :

   \boxed{R_{\mathrm{el}} = \frac{\ell}{\gamma_0\,\pi a^2}}

   Résultat

   $$R_{\mathrm{el}}=\frac{\ell }{{\gamma }_0\pi a^2}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

8. Exercice 8X-ENS Physique PSI 2025, Q45

   Le voltmètre utilisé pour mesurer la tension U présentant une impédance d'entrée très élevée, aucun courant n'est prélevé aux points milieux du pont de Wheatstone.

   Chaque branche verticale se comporte ainsi comme un diviseur de tension idéal alimenté sous la tension E, la référence des potentiels (masse) étant prise au rail inférieur :

   • Pour la branche de gauche, constituée de la résistance R_0 en haut et de la thermorésistance R = R_0 + R' en bas, le potentiel au point milieu V_{\mathrm{G}} s'écrit :

     V_{\mathrm{G}} = E\,\frac{R_0 + R'}{R_0 + (R_0 + R')} = E\,\frac{R_0 + R'}{2R_0 + R'}

   • Pour la branche de droite, constituée de deux résistances identiques R_0, le potentiel au point milieu V_{\mathrm{D}} s'écrit :

     V_{\mathrm{D}} = E\,\frac{R_0}{R_0 + R_0} = \frac{E}{2}

   Sur la figure 6, la flèche de tension U est orientée de la branche de gauche vers la branche de droite. Selon la convention usuelle récepteur (la flèche pointe vers le potentiel le plus haut) :

   \begin{aligned} U &= V_{\mathrm{D}} - V_{\mathrm{G}} \\ &= E\left(\frac{1}{2} - \frac{R_0 + R'}{2R_0 + R'}\right) \\ &= E\,\frac{(2R_0 + R') - 2(R_0 + R')}{2(2R_0 + R')} \end{aligned}

   soit :

   \boxed{U = -\frac{R'}{2(2R_0 + R')}\,E}

   Remarque : Si la flèche est interprétée dans le sens V_{\mathrm{G}} - V_{\mathrm{D}}, l'expression est simplement changée de signe :

   U = \frac{R'}{2(2R_0 + R')}\,E

   D'après le résultat de la question Q44, la variation de résistance s'écrit dans l'approximation affine R' = R_0 A \theta. En substituant cette relation, on obtient :

   U = -\frac{R_0 A \theta}{2(2R_0 + R_0 A \theta)}\,E

   En simplifiant par R_0, il vient finalement :

   \boxed{U(\theta) = -\frac{A\theta}{2(2 + A\theta)}\,E}

   Résultat

   $$U=-\frac{R^{\prime }}{2(2R_0+R^{\prime })}E$$

   $$U(\theta )=-\frac{A\theta }{2(2+A\theta )}E$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

9. Exercice 9Mines-Ponts Physique 1 PSI 2024, Q13

   Considérons le cylindre métallique d'axe (Ox), de section constante S, délimité par ses deux extrémités planes situées en x = 0 et x = L, soumises à une différence de potentiel :

   U = V(0) - V(L)

   En régime permanent, la conservation de la charge électrique impose :

   \operatorname{div}\vec{j} + \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0 \implies \operatorname{div}\vec{j} = 0

   En négligeant les effets de bord, les lignes de champ électrique et de courant sont rectilignes et parallèles à l'axe du cylindre. Le champ électrique est donc uniforme :

   \vec{E} = E\,\vec{u}_x

   La circulation du champ électrique entre les deux extrémités relie son amplitude à la tension appliquée :

   U = \int_{x=0}^{x=L} \vec{E} \cdot \mathrm{d}\vec{\ell} = \int_{0}^{L} E\,\mathrm{d}x = E L \implies E = \frac{U}{L}

   D'après la loi d'Ohm locale dans le matériau conducteur de conductivité \sigma :

   \vec{j} = \sigma \vec{E} = \frac{\sigma U}{L} \vec{u}_x

   L'intensité I du courant électrique traversant une section droite S orientée par \vec{u}_x s'écrit alors :

   I = \iint_{S} \vec{j} \cdot \mathrm{d}\vec{S} = j\,S = \frac{\sigma S}{L} U

   Par définition de la résistance électrique R_{\text{él}} = \frac{U}{I}, on en déduit :

   \boxed{R_{\text{él}} = \frac{L}{\sigma S}}

   Résultat

   $$R_{\text{eˊl}}=\frac{L}{\sigma S}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

10. Exercice 10Mines-Ponts Physique 1 PSI 2024, Q14

    Dans le référentiel du conducteur supposé galiléen, le principe fondamental de la dynamique appliqué à un électron de masse m, de charge q = -e et de vitesse \vec{v} s'écrit :

    m \frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t} = -e\vec{E} + \vec{F}_{\mathrm{d}} = -e\vec{E} - \frac{m}{\tau_{\mathrm{d}}}\vec{v}

    Soit, en divisant par m :

    \frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t} + \frac{1}{\tau_{\mathrm{d}}}\vec{v} = -\frac{e}{m}\vec{E}

    Le champ \vec{E} étant supposé constant, l'équation admet pour solution générale :

    \vec{v}(t) = \vec{v}_{\infty} + \left(\vec{v}(0) - \vec{v}_{\infty}\right)\mathrm{e}^{-t/\tau_{\mathrm{d}}} \quad \text{avec} \quad \vec{v}_{\infty} = -\frac{e\tau_{\mathrm{d}}}{m}\vec{E}

    Pour t \gg \tau_{\mathrm{d}}, le terme transitoire exponentiel s'annule et la vitesse atteint la valeur constante \vec{v}_{\infty} (vitesse limite ou de dérive) :

    \boxed{\vec{v}(t) \xrightarrow[t \gg \tau_{\mathrm{d}}]{} \vec{v}_{\infty} = -\frac{e\tau_{\mathrm{d}}}{m}\vec{E} = \text{cste}}

    Le vecteur densité de courant volumique associé au mouvement d'ensemble de ces porteurs de charge s'écrit :

    \vec{\jmath} = (-e)\, n_{\mathrm{e}}\,\vec{v}_{\infty} = (-e)\, n_{\mathrm{e}}\left(-\frac{e\tau_{\mathrm{d}}}{m}\vec{E}\right) = \frac{n_{\mathrm{e}} e^2 \tau_{\mathrm{d}}}{m}\vec{E}

    Par identification avec la loi d'Ohm locale \vec{\jmath} = \sigma \vec{E}, on en déduit l'expression de la conductivité électrique :

    \boxed{\sigma = \frac{n_{\mathrm{e}} e^2 \tau_{\mathrm{d}}}{m}}

    Résultat

    $$\vec{v}(t)\underset{t\gg {\tau }_{\mathrm{d}}}{\to }{\vec{v}}_{\infty }=-\frac{e{\tau }_{\mathrm{d}}}{m}\vec{E}=\text{cste}$$

    $$\sigma =\frac{n_{\mathrm{e}}{e}^2{\tau }_{\mathrm{d}}}{m}$$

    Indice, stratégie et pièges de cette question