Corrigé détaillé Mines Physique 2 PSI 2025

L'extrémité N du ressort étant fixée en O et l'extrémité mobile M se confondant avec le point matériel P repéré par \vec{OP} = l\,\vec{u}_z, la force de rappel exercée par le ressort sur le point matériel P s'écrit :

Le déplacement élémentaire du point P est \mathrm{d}\vec{OP} = \mathrm{d}l\,\vec{u}_z. Le travail élémentaire de cette force conservative s'exprime sous la forme :

On en déduit :

Par intégration par rapport à l :

En choisissant la référence de l'énergie potentielle élastique en l = l_0, soit \mathcal{E}_{\mathrm{p},k}(l_0) = 0, la constante d'intégration est nulle, d'où :

Le point matériel P a pour vecteur position dans le repère (O, \vec{u}_x, \vec{u}_y, \vec{u}_z) :

Un déplacement virtuel ou élémentaire s'écrit \mathrm{d}\vec{OP} = \mathrm{d}l\,\vec{u}_z.

Le point P est soumis à la force de pesanteur uniforme :

Le travail élémentaire de cette force conservative est relié à la variation d'énergie potentielle de pesanteur \mathcal{E}_{\mathrm{p},\mathrm{p}} par :

On en déduit par intégration :

En choisissant la référence de l'énergie potentielle de pesanteur en O (correspondant à l = 0), on a \mathcal{E}_{\mathrm{p},\mathrm{p}}(0) = 0, d'où \mathrm{C^{te}} = 0.

L'énergie potentielle de pesanteur du point matériel P s'écrit donc :

Le point matériel P a pour vecteur position dans le repère (O, \vec{u}_x, \vec{u}_y, \vec{u}_z) lié au référentiel galiléen \mathcal{R} :

Sa vitesse dans \mathcal{R} s'écrit donc :

L'énergie cinétique du point matériel P est ainsi :

L'énergie potentielle totale dont dérive l'ensemble des forces conservatives s'exerçant sur P (poids et force de rappel élastique) est la somme des énergies potentielles établies aux questions 1 et 2 :

L'énergie mécanique \mathcal{E}_{\mathrm{m}} = \mathcal{E}_{\mathrm{c}} + \mathcal{E}_{\mathrm{p}} du point P dans le référentiel \mathcal{R} s'en déduit :

On étudie le point matériel P de masse m dans le référentiel d'étude \mathcal{R} galiléen.

Le point P est soumis à deux forces :

• son poids : \vec{P} = m\vec{g} = mg\,\vec{u}_z ;
• la force de rappel élastique exercée par le ressort : \vec{F} = -k(l - l_0)\,\vec{u}_z.

Le vecteur accélération de P s'écrit \vec{a}(P/\mathcal{R}) = \ddot{l}\,\vec{u}_z.

D'après le principe fondamental de la dynamique :

En projetant sur l'axe (O, \vec{u}_z), on obtient :

soit, en divisant par m :

Remarque énergétique : toutes les forces appliquées dérivent d'une énergie potentielle et les frottements sont négligés, l'énergie mécanique \mathcal{E}_{\mathrm{m}} (établie à la question 3) est donc une intégrale première du mouvement :

Pour un mouvement non trivial (\dot{l} \not\equiv 0), on retrouve bien l'équation du mouvement précédente.

D'après la question Q4, l'équation différentielle du mouvement s'écrit :

En introduisant la pulsation propre :

et la longueur d'équilibre l_{\mathrm{e}} = l_0 + \frac{mg}{k}, l'équation devient :

La solution générale est la somme d'une solution particulière constante l_{\mathrm{e}} et de la solution générale de l'équation homogène :

La vitesse s'écrit \dot{l}(t) = -A\omega_0 \sin(\omega_0 t) + B\omega_0 \cos(\omega_0 t). Les conditions initiales à t = 0 donnent :

On obtient ainsi l'expression de la longueur l(t) :

Condition de non-collision avec le support fixe : Le support fixe se trouve en O, d'abscisse z = 0. Le point matériel P ne heurte pas le support si sa position vérifie l(t) > 0 à tout instant t \ge 0. La valeur minimale atteinte par l(t) vaut :

La condition l_{\min} > 0 équivaut à :

Comme L > 0 par hypothèse, la condition s'écrit :

Qualification du mouvement et allure de l(t) : Le mouvement observé est un mouvement harmonique (oscillations sinusoïdales non amorties) de pulsation \omega_0 autour de la position d'équilibre l_{\mathrm{e}}.

Expression et calcul de la période propre T_0 : La période propre des oscillations est :

Application numérique avec m = 300\text{ g} = 0,300\text{ kg} et k = 0,300\times \pi^2\text{ N}\cdot\text{m}^{-1} :

La masse m_{\mathrm{r}} du ressort étant uniformément répartie sur toute sa longueur l(t), la masse linéique s'écrit à chaque instant :

Considérons une tranche élémentaire de ressort comprise entre les cotes z et z + \mathrm{d}z, avec z \in [0, l]. Sa masse est :

Le champ de pesanteur étant orienté selon \vec{g} = g\,\vec{u}_z, la force de pesanteur subie par cette tranche s'écrit \mathrm{d}\vec{P} = \mathrm{d}m\,g\,\vec{u}_z. Le travail élémentaire associé à un déplacement virtuel est :

Avec l'origine de l'énergie potentielle de pesanteur prise en O (z = 0), l'énergie potentielle de la tranche élémentaire est :

En sommant sur l'ensemble du ressort de z = 0 à z = l :

L'extrémité N en z = 0 est fixe dans le référentiel d'étude \mathcal{R}, tandis que l'extrémité M en z = l est animée de la vitesse instantanée du point P, soit v(l) = \dot{l}.

Puisque la vitesse est proportionnelle à z, elle s'écrit pour tout z \in [0, l] :

La masse m_{\mathrm{r}} étant uniformément répartie sur la longueur l, la masse d'une tranche de ressort d'épaisseur \mathrm{d}z est :

L'énergie cinétique de cette tranche élémentaire s'exprime donc par :

On obtient l'énergie cinétique totale du ressort par intégration le long de sa longueur :

D'où :

L'énergie cinétique totale du système \{P + \text{ressort}\} dans le référentiel galiléen \mathcal{R} est la somme de l'énergie cinétique du point matériel P et de celle du ressort :

L'énergie potentielle totale du système est la somme de l'énergie potentielle élastique (question Q1) et des énergies potentielles de pesanteur de P (question Q2) et du ressort (question Q6) :

L'énergie mécanique totale \mathcal{E}_{\mathrm{m}} = \mathcal{E}_{\mathrm{c}} + \mathcal{E}_{\mathrm{p}} du système s'écrit donc :

Le référentiel \mathcal{R} étant galiléen et les frottements étant négligés, l'énergie mécanique \mathcal{E}_{\mathrm{m}} du système {point matériel P + ressort} est une constante du mouvement :

En reprenant l'expression de \mathcal{E}_{\mathrm{m}} établie à la question précédente :

On dérive cette expression par rapport au temps t :

Le mouvement n'étant pas identiquement au repos (\dot{l}(t) \not\equiv 0), on simplifie par \dot{l} :

Soit, sous forme canonique :

D'après la question Q9, l'équation différentielle régissant l(t) s'écrit sous la forme :

en posant la pulsation propre \omega_1 et la position d'équilibre l_{\mathrm{e}1} :

La solution générale de cette équation différentielle linéaire à coefficients constants avec second membre constant est :

Les constantes d'intégration A et B sont déterminées par les conditions initiales :

On obtient ainsi :

avec l_{\mathrm{e}1} = l_0 + \dfrac{m + \frac{m_{\mathrm{r}}}{2}}{k}g.

Le mouvement observé est un mouvement rectiligne sinusoïdal (ou oscillatoire harmonique simple) non amorti de pulsation \omega_1 autour de la position d'équilibre l_{\mathrm{e}1}.

La période des oscillations T_1 = \dfrac{2\pi}{\omega_1} s'écrit :

Sachant que T_0 = 2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k}} d'après la question Q5, on obtient :

Comme m_{\mathrm{r}} \ll m, on effectue un développement limité à l'ordre 1 avec l'approximation (1+x)^\alpha \approx 1 + \alpha x pour \alpha = \frac{1}{2} et x = \frac{m_{\mathrm{r}}}{3m} :

Avec m = 300\text{ g}, m_{\mathrm{r}} = 36,0\text{ g} et T_0 = 2,00\text{ s} :

L'écart relatif entre la période T_1 (ressort pesant) et T_0 (ressort sans masse) est défini par :

D'après la question Q10, au premier ordre en \dfrac{m_{\mathrm{r}}}{m} \ll 1 :

L'écart relatif s'écrit donc simplement :

La condition imposée stipule que cet écart ne dépasse pas 1\,\%, soit :

On en déduit la condition sur la masse m_{\mathrm{r}} du ressort :

Application numérique : Pour m = 300\text{ g}, on obtient :

Remarque : Le calcul exact à partir de T_1 = T_0\sqrt{1 + \dfrac{m_{\mathrm{r}}}{3m}} donne :

ce qui valide l'excellente précision de l'approximation linéaire.

Le point matériel P est astreint à se déplacer le long de la glissière (O', \vec{u}_x), qui est horizontale et orthogonale au champ de pesanteur \vec{g} = g\,\vec{u}_z. Dans le repère (O', \vec{u}_x, \vec{u}_y, \vec{u}_z), la cote de P selon l'axe vertical (O', \vec{u}_z) est donc constamment nulle (z_P = 0).

L'origine de l'énergie potentielle de pesanteur étant choisie en O' (z = 0), on a :

Par ailleurs, la droite (O, \vec{u}_z) étant perpendiculaire à (O', \vec{u}_x), le triangle OO'P est rectangle en O'. La longueur instantanée l du ressort reliant le point fixe O au point mobile P s'écrit donc, d'après le théorème de Pythagore :

La masse du ressort étant supposée nulle dans cette partie (m_{\mathrm{r}} = 0), son énergie potentielle élastique ne dépend que de son allongement, avec une référence nulle en l = l_0 :

L'énergie potentielle totale \mathcal{E}_{\mathrm{p},P} du point matériel P est la somme de ces deux contributions :

L'énergie potentielle du point matériel P sur la glissière s'écrit (question Q12) :

Sa dérivée première par rapport à x vaut :

Les positions d'équilibre x_{\mathrm{e}} annulent cette dérivée première :

La dérivée seconde s'exprime par :

En x = 0, elle prend la valeur :

Deux situations se présentent :

1. Cas l_c > l_0 (ressort toujours tendu) : Pour tout x \in \mathbb{R}, \sqrt{x^2 + l_c^2} \ge l_c > l_0 : l'équation \sqrt{x^2 + l_c^2} = l_0 n'admet aucune solution réelle.

• Il existe une unique position d'équilibre :

  \boxed{x_{\mathrm{e}} = 0}
• Comme l_c > l_0, \frac{\mathrm{d}^2\mathcal{E}_{\mathrm{p},P}}{\mathrm{d}x^2}(0) > 0 : c'est un minimum local d'énergie potentielle, donc une position d'équilibre stable.
• Valeur remarquable : \mathcal{E}_{\mathrm{p},P}(0) = \frac{1}{2} k (l_c - l_0)^2 > 0.

2. Cas l_c = l_0 (cas limite) : L'unique position d'équilibre est x_{\mathrm{e}} = 0, avec \mathcal{E}_{\mathrm{p},P}(0) = 0. Un développement limité donne \mathcal{E}_{\mathrm{p},P}(x) \sim \frac{k}{8 l_0^2} x^4 \ge 0, c'est encore une position d'équilibre stable.

3. Cas l_c < l_0 (ressort comprimé en x = 0) : L'équation \sqrt{x^2 + l_c^2} = l_0 admet deux solutions réelles symétriques :

• En x_{\mathrm{e}0} = 0 : comme l_c < l_0, on a \frac{\mathrm{d}^2\mathcal{E}_{\mathrm{p},P}}{\mathrm{d}x^2}(0) < 0. Il s'agit d'un maximum local :

  \boxed{x_{\mathrm{e}0} = 0 \quad \text{est une position d'équilibre instable}}

  avec \mathcal{E}_{\mathrm{p},P}(0) = \frac{1}{2}k(l_0 - l_c)^2.

• En x_{\mathrm{e}\pm} = \pm \sqrt{l_0^2 - l_c^2} : le premier terme de la dérivée seconde s'annule et il vient :

  \frac{\mathrm{d}^2\mathcal{E}_{\mathrm{p},P}}{\mathrm{d}x^2}(x_{\mathrm{e}\pm}) = k \frac{l_0 (l_0^2 - l_c^2)}{l_0^3} = k \left(1 - \frac{l_c^2}{l_0^2}\right) > 0

  Il s'agit de deux minima absolus d'énergie potentielle :

  \boxed{x_{\mathrm{e}\pm} = \pm \sqrt{l_0^2 - l_c^2} \quad \text{sont deux positions d'équilibre stable}}

  avec \mathcal{E}_{\mathrm{p},P}(x_{\mathrm{e}\pm}) = 0.

D'après l'étude menée à la question Q13, la fonction \mathcal{E}_{\mathrm{p},P}(x) présente :

• un unique minimum en x = 0 lorsque l_c \ge l_0 (simple puits de potentiel) ;
• deux minima absolus d'énergie nulle en x_{\mathrm{e}\pm} = \pm\sqrt{l_0^2 - l_c^2}, séparés par un maximum local en x = 0, lorsque l_c < l_0 (double puits de potentiel).

On peut donc parler de barrière de potentiel dans le cas où :

La hauteur de la barrière U_{\mathrm{b}} est le dénivelé énergétique entre le sommet de la barrière (maximum local en x = 0) et le fond des puits (minima en x_{\mathrm{e}\pm}) :

soit :

Le système étudié est le point matériel P de masse m, dans le référentiel d'étude \mathcal{R} supposé galiléen.

Le point P est soumis à :

• son poids \vec{P} = m g \vec{u}_z ;
• la réaction normale de la glissière \vec{R} \in \mathrm{Vect}(\vec{u}_y, \vec{u}_z) (liaison sans frottement) ;
• la force de rappel élastique exercée par le ressort \vec{F}_{\mathrm{el}} = -k(l - l_0)\vec{u}, où \vec{u} = \frac{\vec{OP}}{l} est le vecteur unitaire orienté de O vers P, avec l = \sqrt{x^2 + l_c^2}.

Comme la glissière est sans frottement, la réaction ne travaille pas (\vec{R}\cdot \dot{\vec{r}} = 0), et le déplacement étant strictement horizontal, le poids ne travaille pas non plus. Le système est donc conservatif et son énergie mécanique s'écrit :

En dérivant cette relation par rapport au temps :

Cette relation étant vraie quel que soit le mouvement (y compris pour \dot{x}\neq 0), on en déduit :

D'après l'expression de \mathcal{E}_{\mathrm{p},P}(x) = \frac{1}{2}k\left(\sqrt{x^2+l_c^2}-l_0\right)^2 établie à la question 12 :

On obtient ainsi l'équation différentielle du mouvement sous forme canonique :

Interprétation physique de \frac{\mathrm{d}\mathcal{E}_{\mathrm{p},P}}{\mathrm{d}x}(x) :

Par définition d'une force conservative dérivant d'une énergie potentielle unidimensionnelle, la projection de la force exercée sur le point P suivant l'axe de son mouvement (O',\vec{u}_x) est :

Ainsi, le terme \frac{\mathrm{d}\mathcal{E}_{\mathrm{p},P}}{\mathrm{d}x}(x) représente l'opposé de la composante horizontale de la force de rappel élastique exercée par le ressort sur le point P (qui s'identifie également à l'opposé de la résultante de toutes les forces appliquées à P, projetée sur l'axe (O',\vec{u}_x)).

D'après la question Q15, le mouvement du point matériel P est régi par :

En posant u_0(t) = x(t) et u_1(t) = \dot{x}(t), la définition de la vitesse conduit immédiatement à la première équation :

Puisque \dot{u}_1(t) = \ddot{x}(t), l'équation différentielle du mouvement fournit la seconde équation :

Le système de deux équations différentielles d'ordre 1 s'écrit donc :

La méthode d'Euler explicite consiste à approcher la dérivée temporelle en t_n = n\Delta t par le taux d'accroissement décentré à droite :

En évaluant le second membre en t_n, on obtient les relations de récurrence :

Pour n = 0, les grandeurs correspondent aux conditions initiales imposées au point matériel P à t = 0 :

Puisque l_c = 0{,}200\text{ m} < l_0 = 1{,}00\text{ m}, le système possède un potentiel à double puits (questions Q13 et Q14) présentant un maximum local (barrière de potentiel) en x = 0 de hauteur U_{\mathrm{b}} = \frac{1}{2}k(l_0 - l_c)^2 \approx 0{,}95\text{ J}, et deux minima stables en x_{\mathrm{e}\pm} = \pm \sqrt{l_0^2 - l_c^2} = \pm \sqrt{1 - 0{,}04} \approx \pm 0{,}98\text{ m}.

La comparaison des deux régimes de mouvement observés sur la figure 3 s'articule autour des points suivants :

1. Confinement spatial et franchissement de barrière :

   • Cas A (x(0) = 2{,}00\text{ m}, \dot{x}(0) = 0) : l'énergie mécanique initiale \mathcal{E}_{\mathrm{m}} = \mathcal{E}_{\mathrm{p}}(2{,}00\text{ m}) \approx 1{,}51\text{ J} est supérieure à la barrière U_{\mathrm{b}}. Le point P franchit le sommet de potentiel en x = 0 et explore les deux puits : le mouvement est global, oscillant symétriquement entre x = -2{,}00\text{ m} et x = +2{,}00\text{ m}.
   • Cas B (x(0) = 1{,}00\text{ m}, \dot{x}(0) = 0) : l'énergie mécanique \mathcal{E}_{\mathrm{m}} \approx 5{,}8\times 10^{-4}\text{ J} \ll U_{\mathrm{b}} est largement insuffisante pour franchir la barrière. Le mobile reste confiné dans le puits de droite (x > 0).

2. Position moyenne et symétrie :

   • Cas A : le mouvement est centré sur l'origine, avec une valeur moyenne nulle : \langle x(t) \rangle = 0\text{ m}.
   • Cas B : le mouvement est centré autour de la position d'équilibre stable positive : \langle x(t) \rangle \approx x_{\mathrm{e}+} \approx 0{,}98\text{ m}.

3. Harmonicité du signal :

   • Cas A : oscillations de très grande amplitude (X_{\max} = 2{,}00\text{ m}). Le mouvement est fortement anharmonique (non sinusoïdal) en raison de la non-linéarité prononcée de la force de rappel ; le profil de vitesse \dot{x}(t) présente une forme aplatie au passage de la barrière centrale.
   • Cas B : oscillations de très faible amplitude (a \approx 1{,}00 - 0{,}98 = 0{,}02\text{ m}). Le système explore le voisinage immédiat du minimum du puits où le potentiel est quasi-parabolique : le mouvement est quasi-harmonique (signaux x(t) et \dot{x}(t) très proches d'une sinusoïde pure).

4. Période et amplitude des vitesses :

   • Cas A : sur la courbe, on observe 5 oscillations complètes entre t = 0 et t \approx 17{,}5\text{ s}, ce qui donne une période :

     T_{\mathrm{A}} \approx \frac{17{,}5}{5} \approx 3{,}5\text{ s}

     La vitesse maximale atteinte est importante : |\dot{x}|_{\max} \approx 3{,}2\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}.

   • Cas B : on observe 6 oscillations en un peu plus de 12{,}5\text{ s}, d'où une période nettement plus courte :

     T_{\mathrm{B}} \approx \frac{12{,}6}{6} \approx 2{,}1\text{ s}

     La vitesse maximale reste très faible : |\dot{x}|_{\max} \approx 0{,}06\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}.

D'après la question Q13, pour l_c < l_0, le système possède deux positions d'équilibre stables en :

Dans le cas B, le point matériel est lâché sans vitesse initiale à x(0) = 1{,}00\text{ m}, valeur très proche de x_{\mathrm{e}+} = \sqrt{1{,}00^2 - 0{,}200^2} = \sqrt{0{,}96} \approx 0{,}980\text{ m}. Il effectue donc de petites oscillations autour de ce puits de potentiel.

Au premier ordre en l'écart à l'équilibre (approximation harmonique), le mouvement est sinusoïdal centré sur la position d'équilibre :

Pour déterminer la période T_2, développons l'équation du mouvement établie à la question Q15 au voisinage de x_{\mathrm{e}+}. Posons x(t) = x_{\mathrm{e}+} + \xi(t) avec |\xi(t)| \ll x_{\mathrm{e}+}. L'équation différentielle s'écrit :

La dérivée première de l'énergie potentielle est :

En dérivant par rapport à x :

Évaluée en x = x_{\mathrm{e}+} où \sqrt{x_{\mathrm{e}+}^2 + l_c^2} = l_0 :

L'équation des petites oscillations s'écrit donc :

La période T_2 = \frac{2\pi}{\omega_2} s'exprime ainsi directement en fonction de T_0 :

Applications numériques : Avec l_0 = 1{,}00\text{ m}, l_c = 0{,}200\text{ m} et T_0 = 2{,}00\text{ s} (obtenu à la question Q5) :

Comparaison avec la figure 3 :

• Sur la figure 3 (cas B), le signal x(t) oscille symétriquement entre 0{,}96\text{ m} et 1{,}00\text{ m}, ce qui donne une valeur moyenne lue \langle x(t) \rangle_{\text{lue}} \approx 0{,}98\text{ m}.
• Entre t = 0 et le cinquième maximum à t \approx 10{,}2\text{ s}, on compte 5 périodes, soit T_{2,\text{lue}} \approx \frac{10{,}2}{5} \approx 2{,}04\text{ s}.

Conclusion : L'amplitude d'oscillation autour de la position d'équilibre n'est que de X_{\mathrm{m}} \approx 0{,}02\text{ m}, soit environ 2\,\% de la distance d'équilibre. L'approximation harmonique (linéarisation de la force de rappel au voisinage du fond du puits) est donc parfaitement justifiée et en accord quantitatif remarquable avec la résolution numérique.

Le système \{P\} n'est soumis qu'à son poids et à la force de rappel du ressort (forces conservatives), ainsi qu'à la réaction normale de la glissière sans frottement qui ne travaille pas. L'énergie mécanique \mathcal{E}_{\mathrm{m}} se conserve donc au cours du mouvement :

À l'instant initial t=0, le point P est lâché sans vitesse initiale (\dot{x}(0) = 0) depuis l'abscisse x(0) = X_0 > 0. D'après l'expression de \mathcal{E}_{\mathrm{p},P} établie à la question Q12, l'énergie mécanique vaut :

Le cas A correspond à un mouvement oscillatoire de part et d'autre de x = 0, avec exploration successive des régions x > 0 et x < 0. Pour atteindre et traverser l'abscisse x = 0, le point matériel doit avoir une énergie cinétique strictement positive au sommet de la barrière :

où U_{\mathrm{b}} = \frac{1}{2}k(l_0 - l_c)^2 désigne la hauteur de la barrière de potentiel déterminée à la question Q14.

Pour X_0 \in ]0, x_{\mathrm{e}+}], où x_{\mathrm{e}+} = \sqrt{l_0^2 - l_c^2}, la fonction \mathcal{E}_{\mathrm{p},P} est décroissante et prend des valeurs inférieures ou égales à U_{\mathrm{b}} : le point P ne peut donc pas s'échapper du puits de droite. Il est ainsi nécessaire que X_0 > x_{\mathrm{e}+}, ce qui équivaut à :

L'inégalité \mathcal{E}_{\mathrm{m}} > U_{\mathrm{b}} s'écrit alors :

Comme l_c < l_0, le membre de droite 2l_0 - l_c > 0 est strictement positif. En élevant au carré :

Puisque X_0 > 0, la condition s'écrit :

D'après la question Q15, la dérivée spatiale de l'énergie potentielle est donnée par :

Cette fonction est impaire : \frac{\mathrm{d}\mathcal{E}_{\mathrm{p},P}}{\mathrm{d}x}(-x) = -\frac{\mathrm{d}\mathcal{E}_{\mathrm{p},P}}{\mathrm{d}x}(x) (l'énergie potentielle étant paire). Son développement en série entière au voisinage de x=0 ne comporte donc que des puissances impaires de x.

En effectuant le développement limité au voisinage de x = 0 pour |x| \ll l_c :

En injectant dans l'expression de la dérivée :

L'approximation polynomiale de degré 3 correspond donc au développement de Taylor à l'ordre 3 au voisinage de l'origine : elle capture le comportement linéaire ainsi que la première non-linéarité.

Par identification avec la modélisation \frac{\mathrm{d}\mathcal{E}_{\mathrm{p},P}}{\mathrm{d}x}(x) \simeq \alpha_{\mathrm{m}} x + \beta_{\mathrm{m}} x^3, on obtient :

On en déduit les signes des coefficients :

• Pour tout l_c > 0, comme k > 0 et l_0 > 0 :

  \beta_{\mathrm{m}} > 0

  Ce résultat est en parfait accord avec le comportement asymptotique pour x \to \pm \infty observé sur les deux graphiques de la figure 4 (\frac{\mathrm{d}\mathcal{E}_{\mathrm{p},P}}{\mathrm{d}x} \to \pm \infty).

• Le signe de \alpha_{\mathrm{m}} dépend de la valeur de l_c :

  • si l_c > l_0 : \alpha_{\mathrm{m}} > 0 (pente à l'origine positive, puits simple) ;
  • si l_c < l_0 : \alpha_{\mathrm{m}} < 0 (pente à l'origine négative, instabilité en x=0, double puits) ;
  • si l_c = l_0 : \alpha_{\mathrm{m}} = 0.

D'après la question Q15, le principe fondamental de la dynamique projeté sur (O',\vec{u}_x) s'écrit :

En substituant la modélisation polynomiale, l'équation différentielle du mouvement devient :

ou, sous forme non normalisée :

Les trois amplificateurs linéaires intégrés (A_1, A_2, A_3) sont supposés idéaux, de gain infini et fonctionnent en régime linéaire grâce à leurs rétroactions sur les entrées inverseuses. On a donc, pour chaque ALI, un courant d'entrée nul et une tension différentielle d'entrée nulle :

Notons v_1(t) la tension en sortie de l'ALI A_1, et v_2(t) la tension en sortie de l'ALI A_2.

1. Étage lié à A_1 (intégrateur inverseur) : L'entrée non-inverseuse est à la masse, d'où V_1^+ = 0, et par suite V_1^- = 0. La loi des nœuds appliquée en l'entrée inverseuse de A_1 s'écrit :

2. Étage lié à A_2 (inverseur) : De même, V_2^+ = 0 \implies V_2^- = 0. La loi des nœuds en l'entrée inverseuse de A_2 donne :

3. Étage lié à A_3 (intégrateur inverseur) : L'entrée non-inverseuse est à la masse, d'où V_3^+ = 0 et V_3^- = 0. La tension de sortie de A_3 est x(t). La loi des nœuds en l'entrée inverseuse de A_3 donne :

4. Équation différentielle en x(t) : En dérivant par rapport au temps la relation obtenue pour A_3 et en y injectant l'expression de \dot{v}_1(t) :

On obtient finalement l'équation différentielle :

5. Correspondance mécanique : Cette équation est celle d'un oscillateur harmonique non amorti de pulsation propre :

Ce circuit simule donc le mouvement à une dimension d'un oscillateur mécanique harmonique linéaire sans frottement (point matériel de masse m soumis à une force de rappel élastique proportionnelle à son élongation), tel que :

• les oscillations libres du ressort vertical de la question 4 repérées par rapport à sa position d'équilibre (X = l - l_{\mathrm{e}}) ;
• ou les petites oscillations autour d'une position d'équilibre stable de l'oscillateur horizontal de la question 18.

Les trois amplificateurs linéaires intégrés sont supposés idéaux et fonctionnent en régime linéaire (V_+ = V_- et courants d'entrée nuls).

1. Étage lié à l'amplificateur A_1 : L'entrée non inverseuse est à la masse (V_+ = 0), d'où V_- = 0. La loi des nœuds en notation instantanée sur l'entrée inverseuse de A_1, où convergent le courant provenant de x(t) à travers R_1, le courant traversant R_0 et celui traversant C_1, s'écrit :

soit :

2. Étages liés aux amplificateurs A_2 et A_3 : Comme établi à la question 21 :

• A_2 est un amplificateur inverseur de gain unité : v_2(t) = -v_1(t).
• A_3 est un intégrateur inverseur : \frac{v_2(t)}{R_2} + C_2 \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = 0 \iff v_1(t) = R_2 C_2 \dot{x}(t).

En dérivant cette relation par rapport au temps :

3. Équation différentielle sur x(t) : En substituant v_1(t) et \dot{v}_1(t) dans l'équation relative à A_1 :

En divisant par R_2 C_1 C_2, on obtient l'équation différentielle régissant x(t) :

4. Correspondance mécanique : Cette équation s'identifie à la forme canonique de l'oscillateur harmonique amorti :

Elle correspond à un oscillateur mécanique harmonique soumis à un frottement fluide linéaire (force de frottement visqueux du type \vec{F}_{\mathrm{f}} = -\lambda \vec{v}). Le terme d'ordre 1, \frac{1}{R_0 C_1} \dot{x}, modélise la dissipation visqueuse \frac{\lambda}{m} \dot{x}, la résistance R_0 étant inversement proportionnelle au coefficient d'amortissement.

1. Caractéristique courant-tension de la diode D

D'après les conventions de l'énoncé, la diode est modélisée par une diode idéale à seuil V_D > 0 :

• État bloqué : si u_{\mathrm{d}} < V_D, alors i_{\mathrm{d}} = 0 ;
• État passant : si i_{\mathrm{d}} > 0, alors u_{\mathrm{d}} = V_D.

2. Caractéristique courant-tension i = g(u) du dipôle tête-bêche

Le dipôle est constitué des diodes D_1 et D_2 montées en parallèle en sens inverse. Les conventions d'orientation de la figure 6 donnent :

• Pour la diode D_1 (anode à gauche, cathode à droite) : la tension à ses bornes est u_{\mathrm{d}1} = u et le courant la traversant de gauche à droite est noté i_1 ;
• Pour la diode D_2 (anode à droite, cathode à gauche) : la tension à ses bornes est u_{\mathrm{d}2} = -u et le courant la traversant de droite à gauche est noté i_2.

Par la loi des nœuds, le courant total traversant le dipôle de gauche à droite vaut :

Distinguons les trois zones de fonctionnement :

• Zone 1 : u = -V_{D2} avec i \le 0

  • Pour D_1 : u_{\mathrm{d}1} = u = -V_{D2} < 0 < V_{D1}, donc la diode D_1 est bloquée (i_1 = 0) ;
  • Pour D_2 : u_{\mathrm{d}2} = -u = V_{D2}, la diode D_2 est passante (i_2 \ge 0).

  On a donc i = -i_2 \le 0 avec u = -V_{D2}.

• Zone 2 : -V_{D2} < u < V_{D1} avec i = 0

  • Pour D_1 : u_{\mathrm{d}1} = u < V_{D1}, donc D_1 est bloquée (i_1 = 0) ;
  • Pour D_2 : u_{\mathrm{d}2} = -u < V_{D2}, donc D_2 est bloquée (i_2 = 0).

  Les deux diodes sont bloquées, d'où i = 0.

• Zone 3 : u = V_{D1} avec i \ge 0

  • Pour D_1 : u_{\mathrm{d}1} = u = V_{D1}, la diode D_1 est passante (i_1 \ge 0) ;
  • Pour D_2 : u_{\mathrm{d}2} = -u = -V_{D1} < 0 < V_{D2}, donc la diode D_2 est bloquée (i_2 = 0).

  On a donc i = i_1 \ge 0 avec u = V_{D1}.

La caractéristique s'exprime ainsi sous forme multivaluée :

L'amplificateur linéaire intégré (A_4) est supposé idéal (courants d'entrée nuls i^+ = i^- = 0, gain différentiel infini) et fonctionne en régime linéaire grâce à la boucle de rétroaction négative reliant la sortie s à l'entrée inverseuse V^-. On a donc :

L'entrée non-inverseuse est reliée à un pont diviseur de tension non chargé constitué par R_4 et R_5 :

Le courant traversant la résistance R_3 de l'entrée e vers le nœud V^- s'écrit :

Comme i^- = 0, la loi des nœuds en V^- impose que ce courant traverse intégralement le dipôle de contre-réaction vers la sortie :

Notons u_{\mathrm{fb}} = V^- - s la tension aux bornes de la cellule de contre-réaction. Celle-ci est composée de la résistance R_6 en parallèle avec le dipôle tête-bêche :

• la diode D_1 a son anode au potentiel V^- et sa cathode au potentiel s (tension u_{D1} = V^- - s = u_{\mathrm{fb}}) ;
• la diode D_2 a son anode au potentiel s et sa cathode au potentiel V^- (tension u_{D2} = s - V^- = -u_{\mathrm{fb}}).

Posons la tension seuil d'entrée critique :

Trois régimes de fonctionnement se distinguent :

1. Zone intermédiaire : les deux diodes sont bloquées (-V_D < u_{\mathrm{fb}} < V_D)

   Aucun courant ne circule dans les diodes (i_{D1} = i_{D2} = 0). Tout le courant i_{\mathrm{fb}} traverse R_6 :

   u_{\mathrm{fb}} = V^- - s = R_6 i_{\mathrm{fb}} = \frac{R_4 R_6}{R_3(R_4 + R_5)}\,e

   La condition de blocage |u_{\mathrm{fb}}| < V_D équivaut à :

   -e_0 \le e \le e_0 \quad\text{avec}\quad e_0 = \frac{R_3(R_4 + R_5)}{R_4 R_6}\,V_D

   La tension de sortie vaut alors :

   s = V^- - R_6 i_{\mathrm{fb}} = \left(\frac{R_5}{R_4 + R_5} - \frac{R_4 R_6}{R_3(R_4 + R_5)}\right)e = \frac{R_3 R_5 - R_4 R_6}{R_3(R_4 + R_5)}\,e

2. Zone supérieure : D_1 passante et D_2 bloquée

   Lorsque e > e_0, la tension u_{\mathrm{fb}} tend à dépasser V_D, ce qui rend la diode D_1 passante (i_{D1} > 0), fixant la tension à ses bornes :

   u_{\mathrm{fb}} = V^- - s = V_D \implies s = V^- - V_D

   D'où :

   s = \frac{R_5}{R_4 + R_5}\,e - V_D \quad\text{pour}\quad e > e_0

3. Zone inférieure : D_2 passante et D_1 bloquée

   Lorsque e < -e_0, la tension u_{\mathrm{fb}} tend à être inférieure à -V_D, ce qui rend la diode D_2 passante (i_{D2} > 0), fixant la tension à ses bornes :

   s - V^- = V_D \iff u_{\mathrm{fb}} = -V_D \implies s = V^- + V_D

   D'où :

   s = \frac{R_5}{R_4 + R_5}\,e + V_D \quad\text{pour}\quad e < -e_0

On résume la caractéristique s = h(e) :

D'après les résultats de la question précédente, la tension de seuil de basculement des diodes s'écrit :

Avec R_3 = R_4 = R_6 = 1{,}00\text{ k}\Omega et R_5 = 500\;\Omega, on a :

Calculons l'expression numérique de s(e) sur chacun des trois domaines :

• Pour e < -e_0 = -1{,}50\,V_D :

  s(e) = \frac{R_5}{R_4 + R_5} e + V_D = \frac{500}{1500} e + V_D = \frac{1}{3} e + V_D

  La droite associée possède une pente égale à :

  p_1 = \frac{1}{3} \approx 0{,}333

• Pour -e_0 \le e \le e_0, c'est-à-dire |e| \le 1{,}50\,V_D :

  s(e) = \frac{R_3 R_5 - R_4 R_6}{R_3(R_4 + R_5)} e = \frac{1000 \times 500 - 1000 \times 1000}{1000 \times 1500} e = -\frac{1}{3} e

  La droite associée possède une pente négative égale à :

  p_2 = -\frac{1}{3} \approx -0{,}333

• Pour e > e_0 = 1{,}50\,V_D :

  s(e) = \frac{R_5}{R_4 + R_5} e - V_D = \frac{1}{3} e - V_D

  La droite associée possède une pente égale à :

  p_3 = \frac{1}{3} \approx 0{,}333

Points remarquables :

• Extrema locaux (points de discontinuité de pente) :

  • Pour e = -e_0 = -1{,}50\,V_D, la fonction atteint un maximum local :

    s_{\max} = -\frac{1}{3}\left(-\frac{3}{2}V_D\right) = \frac{1}{2} V_D = 0{,}50\,V_D

    Le maximum a pour coordonnées \boxed{\left(-\frac{3}{2}V_D \,,\, \frac{1}{2}V_D\right)}.

  • Pour e = e_0 = 1{,}50\,V_D, la fonction atteint un minimum local :

    s_{\min} = -\frac{1}{3}\left(\frac{3}{2}V_D\right) = -\frac{1}{2} V_D = -0{,}50\,V_D

    Le minimum a pour coordonnées \boxed{\left(\frac{3}{2}V_D \,,\, -\frac{1}{2}V_D\right)}.

• Intersections avec l'axe des abscisses (s = 0) :

  • Dans le domaine central : s(e) = -\frac{1}{3}e = 0 \iff e = 0 \in [-e_0, e_0].
  • Pour e < -e_0 : \frac{1}{3}e + V_D = 0 \iff e = -3\,V_D, valeur bien inférieure à -1{,}5\,V_D.
  • Pour e > e_0 : \frac{1}{3}e - V_D = 0 \iff e = 3\,V_D, valeur bien supérieure à 1{,}5\,V_D.

  Les trois points d'intersection avec l'axe des abscisses ont donc pour coordonnées :

  \boxed{(-3\,V_D \,,\, 0)} \quad , \quad \boxed{(0 \,,\, 0)} \quad \text{et} \quad \boxed{(3\,V_D \,,\, 0)}

1. Comparaison entre les tracés s = h(e) et s = h_{\exp}(e) :

• Similitudes :

  • Les deux courbes sont impaires (s(-e) = -s(e)) et passent par l'origine (0,0).
  • Au voisinage de l'origine, la pente est négative (\mathrm{d}s/\mathrm{d}e < 0), avec une valeur initiale proche de -1/3.
  • Les deux fonctions présentent un extremum local de chaque côté de l'origine : un maximum pour e < 0 et un minimum pour e > 0, puis croissent à nouveau vers les valeurs élevées de |e|, en coupant l'axe des abscisses en deux points symétriques \pm e_{\text{int}}.

• Différences :

  • Régularité : La caractéristique théorique h(e) est affine par morceaux et présente deux points anguleux en e = \pm e_0 = \pm 1{,}5\,V_D. La courbe expérimentale h_{\exp}(e) est parfaitement lisse et régulière (\mathcal{C}^\infty).
  • Valeur des extrema : Expérimentalement, l'amplitude des extrema est d'environ |s_{\text{ext}}| \approx 240\text{ à }250\text{ mV}, soit une valeur légèrement inférieure à la prédiction théorique V_D/2 \approx 300\text{ mV}.
  • Position des extrema : L'extremum expérimental est situé vers |e| \approx 0{,}8\text{ V}, alors que la théorie prévoit |e| = 1{,}5\,V_D \approx 0{,}9\text{ V}.

2. Interprétation des écarts :

• Le modèle de la diode utilisé à la question 23 est un modèle idéal à seuil strict (commutation instantanée et brutale).
• En réalité, le courant d'une diode à jonction suit la loi de Shockley i_{\mathrm{d}} = I_{\mathrm{s}}\left(\mathrm{e}^{u_{\mathrm{d}} / V_{\mathrm{T}}} - 1\right) : la mise en conduction est progressive et exponentielle, ce qui arrondit continûment les coudes de commutation et adoucit les extrema.

3. Estimation numérique de la tension seuil V_D :

• D'après le relevé de la figure 8, l'axe des abscisses est gradué avec un pas principal de 0{,}5\text{ V} découpé en subdivisions de 0{,}1\text{ V}. La courbe coupe l'axe s = 0 (en dehors de l'origine) au troisième trait après \pm 1{,}5\text{ V}, soit en :

  e_{\text{int}} = \pm 1{,}80\text{ V}

• D'après la question 25, les abscisses d'intersection théoriques avec l'axe s = 0 valent :

  e_{\text{int}} = \pm 3\,V_D

• Par identification :

  3\,V_D = 1{,}80\text{ V} \implies V_D = \frac{1{,}80}{3} = 0{,}60\text{ V}

Le modèle proposé est une fonction impaire de la variable e :

ce qui est cohérent avec la symétrie centrale de la caractéristique expérimentale relevée sur la figure 8 (h_{\exp}(-e) = -h_{\exp}(e)).

1. Relation issue des points d'annulation Les abscisses d'intersection non nulles avec l'axe s = 0 vérifient :

D'après la question précédente, ces points d'intersection sont situés en e_{\text{int}} = \pm 3 V_D \approx \pm 1{,}80\text{ V}, d'où :

Comme e_{\text{int}}^2 > 0, les coefficients \alpha_{\mathrm{e}} et \beta_{\mathrm{e}} sont nécessairement de signes opposés.

2. Détermination de \alpha_{\mathrm{e}} et \beta_{\mathrm{e}} L'extremum local du modèle cubique pour e > 0 correspond à l'annulation de la dérivée :

La valeur minimale correspondante s'écrit :

Sur la figure 8, on lit au minimum local :

On en déduit :

Remarque alternative : en lisant directement la valeur au point e = 1{,}00\text{ V}, où s \approx -250\text{ mV} = -0{,}25\text{ V}, on obtient :

Ces deux lectures sont parfaitement concordantes. En retenant \alpha_{\mathrm{e}} \approx -0{,}37, on déduit \beta_{\mathrm{e}} :

En exprimant les tensions s et e en volts :

(ou, si l'on conserve s en millivolts : \alpha_{\mathrm{e}} \approx -370\text{ mV}\cdot\text{V}^{-1} et \beta_{\mathrm{e}} \approx 110\text{ mV}\cdot\text{V}^{-3}).

Les trois ALI A_1, A_2 et A_3 sont supposés idéaux et fonctionnent en régime linéaire (\varepsilon = 0, courants d'entrée nuls).

1. Équation différentielle vérifiée par x(t)

• L'étage constitué autour de A_1 est un intégrateur inverseur recevant la tension s(t) : la loi des nœuds en son entrée inverseuse s'écrit

  \frac{s(t) - 0}{R_1} + C_1 \frac{\mathrm{d}(v_1 - 0)}{\mathrm{d}t} = 0 \implies \frac{\mathrm{d}v_1}{\mathrm{d}t} = -\frac{s(t)}{R_1 C_1}

• L'étage A_2 est un amplificateur inverseur de gain unité :

  v_2(t) = -\frac{R}{R} v_1(t) = -v_1(t)

• L'étage A_3 est un second intégrateur inverseur de tension d'entrée v_2(t) et de tension de sortie x(t) :

  \frac{v_2(t) - 0}{R_2} + C_2 \frac{\mathrm{d}(x - 0)}{\mathrm{d}t} = 0 \implies \dot{x}(t) = -\frac{v_2(t)}{R_2 C_2} = \frac{v_1(t)}{R_2 C_2}

En dérivant cette dernière relation par rapport au temps :

Le quadripôle à diodes a pour tension d'entrée e(t) = x(t). En utilisant le modèle polynomial s(t) = h_{\exp}(x(t)) \simeq \alpha_{\mathrm{e}} x(t) + \beta_{\mathrm{e}} x(t)^3, il vient :

Commentaire Cette relation est formellement identique à l'équation de Duffing non amortie obtenue à la question 20 pour l'oscillateur mécanique :

Le montage électronique simule donc parfaitement l'oscillateur mécanique non linéaire : l'analogue de l'inertie m est la constante de temps double R_1 R_2 C_1 C_2, tandis que la force de rappel non linéaire est synthétisée par le réseau de diodes.

2. Condition sur R_5 pour simuler le cas l_c > l_0 D'après la question 20, le cas mécanique l_c > l_0 correspond à :

Ce régime présente un unique puits de potentiel (position d'équilibre x_{\mathrm{e}} = 0 stable, figure 4 droite).

Pour retrouver ce comportement sur le circuit analogique, le terme de rappel linéaire doit être de même signe, c'est-à-dire :

Au voisinage de l'origine (|e| \le e_0), les diodes sont bloquées. D'après la relation établie à la question 24, le coefficient linéaire \alpha_{\mathrm{e}} = \left.\frac{\mathrm{d}h}{\mathrm{d}e}\right|_{e=0} s'identifie à la pente :

La condition \alpha_{\mathrm{e}} > 0 impose donc :

Avec R_3 = R_4 = R_6 = 1\text{ k}\Omega, on obtient numériquement :

1. Accès expérimental à une tension proportionnelle à \dot{x}(t) :

Considérons l'étage intégrateur bâti autour de l'ALI A_3. L'amplificateur fonctionne en régime linéaire avec sa borne non inverseuse reliée à la masse, d'où un potentiel nul sur la borne inverseuse (V_-^{(3)} = 0\text{ V}).

En notant v_2(t) la tension à la sortie de l'ALI A_2, la loi des nœuds en régime linéaire donne :

L'étage A_2 étant un simple amplificateur inverseur de gain -1, sa tension de sortie est liée à celle de l'étage A_1, notée v_1(t), par :

On en déduit immédiatement :

Il suffit donc de mesurer à l'oscilloscope ou via une carte d'acquisition :

• soit la tension de sortie v_1(t) de l'ALI A_1, qui est directement proportionnelle à \dot{x}(t) avec le facteur positif R_2 C_2 ;
• soit la tension de sortie v_2(t) de l'ALI A_2, proportionnelle à -\dot{x}(t).

2. Imposition de conditions initiales x(0) et \dot{x}(0) non nulles :

Les deux grandeurs indépendantes décrivant l'état énergétique du système sont les tensions aux bornes des deux capacités :

Par continuité de la tension aux bornes d'un condensateur, imposer les conditions initiales x(0) = X_0 et \dot{x}(0) = V_0 revient à imposer les tensions initiales :

Expérimentalement, on peut réaliser cela :

• En branchant aux bornes de chaque condensateur C_1 et C_2 une source auxiliaire de tension continue réglable en série avec un interrupteur.
• Avant t = 0, les interrupteurs sont fermés, ce qui charge les condensateurs aux tensions désirées.
• À l'instant t = 0, on ouvre simultanément les interrupteurs (à l'aide de commutateurs analogiques rapides ou de relais commandés), ce qui libère l'oscillateur avec les conditions initiales prescrites.
• En particulier, pour la condition fréquente \dot{x}(0) = 0 (cas de la figure 3), il suffit de court-circuiter C_1 jusqu'à t=0 et de ne précharger que C_2.