Corrigé détaillé Mines Physique 1 MPI 2026

Lors de la transition radiative de l'électron d'un niveau d'énergie E_i vers un niveau d'énergie inférieure E_f < E_i, la conservation de l'énergie impose que le photon émis emporte l'énergie :

D'après la relation de Planck-Einstein, l'énergie \epsilon d'un photon associé à une onde lumineuse de fréquence \nu et de longueur d'onde dans le vide \lambda_0 est donnée par :

On en déduit l'expression de la longueur d'onde du rayonnement émis :

D'après la relation établie à la question 1, le photon émis lors de la transition d'un état d'énergie E_{i} vers un état d'énergie E_{f} vérifie :

En utilisant la quantification proposée des niveaux d'énergie :

avec l'état initial n_{i} = k + 2 et l'état final n_{f} = 2, l'écart d'énergie s'écrit :

On en déduit l'expression du nombre d'onde de la raie lumineuse :

En posant y = \frac{1}{\lambda_{0}} et x = \frac{1}{(k+2)^{2}}, cette relation est de la forme affine :

La grandeur \frac{1}{\lambda_{0}} varie donc de manière affine décroissante en fonction de \frac{1}{(k+2)^{2}}, avec une pente négative -\frac{E_{0}}{hc} et une ordonnée à l'origine égale à \frac{E_{0}}{4hc}.

Ceci est parfaitement compatible avec la droite en pointillés observée sur la figure 1.

D'après la question précédente, la relation de Balmer s'écrit :

La droite tracée en pointillés sur la figure 1 a pour équation y = b + p\,x avec x = \frac{1}{(k+2)^{2}} et y = \frac{1}{\lambda_{0}} (en \mu\text{m}^{-1}), où :

• l'ordonnée à l'origine vaut b = \dfrac{E_{0}}{4hc} ;
• la pente vaut p = -\dfrac{E_{0}}{hc} = -4b.

Par lecture graphique de l'ordonnée à l'origine en x = 0, on relève :

On en déduit l'expression littérale de E_{0} :

Avec la donnée de l'énoncé hc \simeq 1{,}2\text{ eV}\cdot\mu\text{m} :

En conservant deux chiffres significatifs comme demandé :

D'après la question Q1, la longueur d'onde du photon émis lors d'une transition entre deux niveaux discrets E_i et E_f (avec E_i > E_f) vérifie :

En utilisant l'expression des niveaux d'énergie E_n = -\dfrac{E_0}{n^2} pour l'état initial n_i et l'état final n_f :

On en déduit :

Par identification avec la relation de Rydberg :

on obtient l'expression de la constante de Rydberg R_\infty :

L'inverse de la constante de Rydberg s'exprime donc par :

Avec h c \simeq 1{,}2 \text{ eV}\cdot\mu\text{m} = 1{,}2 \times 10^3 \text{ eV}\cdot\text{nm} (fourni dans les données) et E_0 \simeq 13\text{ eV} déterminé à la question Q3 :

(ou directement \dfrac{1}{R_\infty} = \dfrac{1}{11\ \mu\text{m}^{-1}} \simeq 0{,}091\ \mu\text{m} = 91\text{ nm} à partir de la pente du graphe de Balmer). Avec deux chiffres significatifs :

1. Cas de l'état final n_f = 1 (série de Lyman) :

Une raie d'émission nécessite n_i > n_f = 1, d'où l'entier n_i \geqslant 2. D'après la relation de Rydberg établie à la question Q4 :

La fonction n_i \mapsto 1 - \frac{1}{n_i^2} est strictement croissante, sa valeur minimale étant atteinte pour n_i = 2 :

On en déduit :

Avec la valeur 1/R_{\infty} \simeq 91\text{ nm} obtenue à la question Q4 :

Puisque \lambda_0 \leqslant 120\text{ nm} < 400\text{ nm}, toutes ces raies se situent dans le domaine de l'ultraviolet (UV).

2. Cas de l'état final n_f > 2, soit n_f \geqslant 3 (séries de Paschen, Brackett...) :

Pour n_f \geqslant 3 et n_i > n_f, on a :

La longueur d'onde est donc strictement minorée par la limite de la série de Paschen (n_f = 3, n_i \to \infty) :

Numériquement :

Puisque \lambda_0 \geqslant 820\text{ nm} > 800\text{ nm}, toutes ces raies se situent dans le domaine de l'infrarouge (IR).

3. Raies observables dans le visible :

Le spectre visible s'étend approximativement de 400\text{ nm} à 800\text{ nm}.

• Les transitions vers n_f = 1 sont dans l'ultraviolet (\lambda_0 \leqslant 120\text{ nm}) ;
• Les transitions vers n_f \geqslant 3 sont dans l'infrarouge (\lambda_0 \geqslant 820\text{ nm}).

Ce sont précisément les raies \mathrm{H}_\alpha (n_i=3), \mathrm{H}_\beta (n_i=4), \mathrm{H}_\gamma (n_i=5), \mathrm{H}_\delta (n_i=6) et \mathrm{H}_\epsilon (n_i=7, en limite du violet à 400\text{ nm}) répertoriées dans le tableau de l'énoncé.

Le noyau ponctuel de charge +e, situé à l'origine O, exerce sur l'électron ponctuel de charge -e, repéré par \vec{r} = \overrightarrow{OM} = r\,\vec{u}_r, la force électrostatique de Coulomb :

Cette force est conservative et dérive d'une énergie potentielle E_p(r) selon la relation :

On en déduit l'équation différentielle :

Par intégration par rapport à r, il vient :

En choisissant la référence des énergies potentielles à l'infini, c'est-à-dire \lim_{r \to \infty} E_p(r) = 0, la constante d'intégration est nulle. L'énergie potentielle d'interaction s'écrit donc :

L'électron ponctuel de masse m_e, de vecteur position \vec{r} = \overrightarrow{OM} et de quantité de mouvement \vec{p} = m_e \vec{v}, est soumis à la force d'interaction électrostatique exercée par le noyau situé en O :

Cette force est centrale, de centre de force O.

Le point O étant fixe dans le référentiel galiléen d'étude, dérivons le moment cinétique \vec{s} = \vec{r} \wedge \vec{p} par rapport au temps :

D'une part, le produit vectoriel d'un vecteur par lui-même est nul : \vec{v} \wedge (m_e \vec{v}) = \vec{0}.
D'autre part, la force étant colinéaire au vecteur position \vec{r}, son moment en O est nul : \vec{r} \wedge \vec{F} = \vec{0}. On en déduit :

Examinons les conséquences géométriques de cette conservation :

• Si \vec{s} \neq \vec{0} : par propriété du produit vectoriel, à chaque instant :

  \vec{r}(t) \cdot \vec{s} = (\vec{r} \wedge \vec{p}) \cdot \vec{r} = 0

  Le vecteur position \overrightarrow{OM}(t) reste donc orthogonal au vecteur fixe et non nul \vec{s}. Par conséquent, l'électron M évolue dans le plan fixe orthogonal à \vec{s} passant par l'origine O (puisque pour \vec{r} = \vec{0}, l'égalité est vérifiée).

• Si \vec{s} = \vec{0} : les vecteurs \vec{r} et \vec{v} sont colinéaires à tout instant, le mouvement est rectiligne le long d'une droite passant par O, ce qui correspond à un cas particulier de mouvement plan contenant O.

Dans tous les cas, le mouvement est plan et le plan de la trajectoire contient le noyau O.

Le mouvement s'effectuant dans le plan (Oxy), la position de l'électron M est repérée par ses coordonnées polaires (r, \theta) de base locale (\vec{u}_{r}, \vec{u}_{\theta}, \vec{u}_{z}) avec \vec{r} = r\,\vec{u}_{r}. Le vecteur vitesse s'écrit :

L'énergie cinétique de l'électron s'en déduit immédiatement :

Le moment cinétique par rapport à l'origine O s'exprime par :

Sa norme vaut donc s = \|\vec{s}\| = m_{e}r^{2}|\dot{\theta}|, d'où :

Le terme cinétique orthoradial se réécrit ainsi :

En utilisant l'expression de l'énergie potentielle coulombienne issue de la question Q6, E_{p}(r) = -\frac{e^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}r}, l'énergie mécanique totale E = E_{c} + E_{p} prend la forme :

Elle se met bien sous la forme attendue E = \frac{1}{2}m_{e}\dot{r}^{2} + U(r) avec :

D'après le résultat de la question précédente :

1. Étude et tracé de U(r) :

• En r \to 0^+, le terme centrifuge domine : U(r) \sim \dfrac{s^2}{2m_e r^2} \to +\infty.
• En r \to +\infty, le terme coulombien attractif domine : U(r) \sim -\dfrac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r} \to 0^-.

• La dérivée s'écrit :

  U'(r) = -\frac{s^2}{m_e r^3} + \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r^2} = \frac{1}{r^3} \left( -\frac{s^2}{m_e} + \frac{e^2 r}{4\pi\varepsilon_0} \right)

  U'(r) s'annule en un unique point r_c, correspondant au minimum absolu de la courbe :

  r_c = \frac{4\pi\varepsilon_0 s^2}{m_e e^2}

2. Les 4 types d'orbites : L'énergie mécanique vérifie E = \frac{1}{2}m_e \dot{r}^2 + U(r) \geqslant U(r) car \dot{r}^2 \geqslant 0. Les points d'arrêt radial correspondent à E = U(r) (\dot{r} = 0) :

• Orbites circulaires (E = U_{\min} < 0) : le mouvement radial est bloqué à la position d'équilibre r = r_c. La trajectoire est un cercle centré sur le noyau. C'est un état lié.
• Orbites elliptiques (U_{\min} < E < 0) : la particule est confinée dans un intervalle [r_{\min}, r_{\max}] délimité par deux points tournants U(r) = E. La trajectoire est une ellipse dont le noyau occupe l'un des foyers (r_{\min} : périastre, r_{\max} : apoastre). C'est un état lié.
• Orbites paraboliques (E = 0) : le domaine accessible est [r_{\min}, +\infty[ avec U(r_{\min}) = 0, soit r_{\min} = r_c / 2. La particule vient de l'infini, atteint une distance minimale d'approche r_{\min} et repart à l'infini avec une vitesse asymptotique nulle. C'est la limite de libération (état non lié).
• Orbites hyperboliques (E > 0) : le domaine accessible est [r_{\min}, +\infty[ où r_{\min} est l'unique solution de U(r) = E. La trajectoire est une branche d'hyperbole entourant le noyau. La particule arrive de l'infini et y repart avec une vitesse radiale finie non nulle \dot{r}_\infty = \sqrt{2E/m_e} (état de diffusion).

3. Caractéristiques des trajectoires circulaires : Le rayon r_c minimise U(r), ce qui donne immédiatement :

Puisque la trajectoire est circulaire de rayon r_c, on a \dot{r} = 0, d'où \vec{v} = r_c \dot{\theta}\,\vec{u}_\theta et \vec{p}_c = m_e r_c \dot{\theta}\,\vec{u}_\theta. Par conséquent, s = r_c p_c, d'où :

L'énergie de l'orbite circulaire correspond au minimum du potentiel effectif E_c(s) = U(r_c(s)) :

D'après l'hypothèse de quantification énoncée dans le texte, une orbite circulaire de rayon r est stable si son périmètre est un multiple entier de la longueur d'onde de de Broglie \lambda :

En utilisant la relation de de Broglie \lambda = \frac{h}{p}, où p est la quantité de mouvement de l'électron sur l'orbite, cette condition devient :

Pour une trajectoire circulaire, le rayon vecteur \vec{r} et la quantité de mouvement \vec{p} = m_e \vec{v} sont orthogonaux en tout point, de sorte que la norme du moment cinétique s'écrit simplement :

On en déduit immédiatement la relation de quantification du moment cinétique :

D'après la question Q10, la quantification du moment cinétique impose :

En injectant cette relation dans les grandeurs caractéristiques de l'orbite circulaire établies à la question Q9 :

• Pour le rayon de l'orbite r_c(s) = \dfrac{4\pi\varepsilon_0 s^2}{m_e e^2} :

  r_c(n) = \frac{4\pi\varepsilon_0}{m_e e^2} \left(\frac{n h}{2\pi}\right)^{\!2} = \frac{4\pi\varepsilon_0 n^2 h^2}{4\pi^2 m_e e^2}
  \boxed{r_c(n) = \frac{\varepsilon_0 h^2}{\pi m_e e^2}\,n^2}

• Pour l'impulsion p_c(s) = \dfrac{m_e e^2}{4\pi\varepsilon_0 s} :

  p_c(n) = \frac{m_e e^2}{4\pi\varepsilon_0 \left(\dfrac{n h}{2\pi}\right)}
  \boxed{p_c(n) = \frac{m_e e^2}{2\varepsilon_0 h}\,\frac{1}{n}}

• Pour l'énergie mécanique E_c(s) = -\dfrac{m_e e^4}{32\pi^2\varepsilon_0^2 s^2} :

  E_c(n) = -\frac{m_e e^4}{32\pi^2\varepsilon_0^2 \left(\dfrac{n^2 h^2}{4\pi^2}\right)}
  \boxed{E_c(n) = -\frac{m_e e^4}{8\varepsilon_0^2 h^2}\,\frac{1}{n^2}}

Comparaison à la relation (2) :

La relation (2) de l'énoncé s'écrit E_n = -\dfrac{E_0}{n^2} avec E_0 > 0. L'énergie mécanique E_c(n) calculée ci-dessus présente rigoureusement la même dépendance en 1/n^2. Le modèle de Bohr permet ainsi de donner une justification théorique à la relation empirique de Balmer et d'identifier la constante fondamentale E_0 :

D'après la question Q11, le rayon des orbites circulaires quantifiées s'écrit :

Cette fonction étant strictement croissante avec l'entier non nul n, le rayon minimal est obtenu pour l'état fondamental n = 1 :

Effectuons l'application numérique avec les grandeurs données par l'énoncé :

• \varepsilon_0 = 8{,}9 \times 10^{-12}\text{ F}\cdot\text{m}^{-1}
• h = 6{,}6 \times 10^{-34}\text{ J}\cdot\text{s}
• m_e = 9{,}1 \times 10^{-31}\text{ kg}
• e = 1{,}6 \times 10^{-19}\text{ C}
• \pi \simeq 3{,}14

Avec un seul chiffre significatif comme demandé :

Commentaire : Cette distance, appelée « rayon de Bohr » et traditionnellement notée a_0, correspond bien à l'ordre de grandeur attendu pour la dimension d'un atome (de l'ordre de 1\text{ \AA} = 10^{-10}\text{ m} pour le diamètre atomique). Le modèle semi-classique de Bohr permet ainsi de rendre compte de la stabilité et de l'extension spatiale microscopique de la matière.

1. Interprétation physique de l'intégrale

La quantité \mathrm{d}V = S\,\mathrm{d}x représente l'élément de volume d'une tranche de cylindre de section S et d'épaisseur \mathrm{d}x. D'après l'interprétation probabiliste de Born, la quantité |\underline{\Psi}(x, t)|^{2}\,\mathrm{d}V représente la probabilité élémentaire \mathrm{d}\mathbb{P} de trouver la particule dans ce volume élémentaire autour de l'abscisse x à l'instant t.

Par conséquent, l'intégrale sur l'ensemble du domaine spatial cylindrique \mathscr{D} :

représente la probabilité totale de présence de la particule dans l'ensemble du domaine accessible \mathscr{D}. La particule étant confinée dans ce domaine et ne pouvant disparaître, cette intégrale vaut 1 en vertu de la condition de normalisation.

2. Dimension de \underline{\Psi}(x, t)

Une probabilité étant un nombre sans dimension ([\mathbb{P}] = 1), on a :

Or [S] = L^2 et [\mathrm{d}x] = L, ce qui conduit à :

3. Équation différentielle vérifiée par \underline{\psi}(x)

On injecte la forme stationnaire \underline{\Psi}(x, t) = \underline{\psi}(x)\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t} dans la seconde égalité de l'équation de Schrödinger (4) :

Comme \frac{\partial^{2}\underline{\Psi}}{\partial x^{2}} = \frac{\mathrm{d}^{2}\underline{\psi}}{\mathrm{d}x^{2}}(x)\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t}, il vient :

En simplifiant par le terme temporel \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t} \neq 0, on obtient l'équation différentielle spatiale (équation de Schrödinger stationnaire) :

qui s'écrit également sous la forme :

4. Expression de l'énergie de la particule

En utilisant la première partie de l'équation (4), on calcule la dérivée temporelle de \underline{\Psi} :

D'après l'équation (4), ce terme est identifié à E\underline{\Psi}(x, t). Par identification directe, on retrouve la relation de Planck-Einstein :

D'après la question Q13, l'équation différentielle spatiale s'écrit, pour un potentiel constant V(x) = V_0 :

Condition de propagation sans atténuation : Une onde se propage sans atténuation si la dépendance spatiale est oscillante (non évanescente), ce qui impose un terme de rappel positif dans l'oscillateur harmonique :

Forme générale de \underline{\psi} et longueur d'onde \lambda : En posant le vecteur d'onde k = \frac{\sqrt{2m(E - V_0)}}{\hbar} > 0, l'équation devient \frac{\mathrm{d}^2\underline{\psi}}{\mathrm{d}x^2} + k^2\underline{\psi} = 0. La forme générale de la solution s'écrit sous forme d'ondes progressives se propageant en sens inverses :

La longueur d'onde spatiale associée \lambda = \frac{2\pi}{k} vaut, en rappelant que \hbar = \frac{h}{2\pi} :

Impulsion de la particule dans le cas d'un sens unique de propagation : Pour une onde progressive se propageant dans le sens des x croissants, la fonction d'onde s'écrit :

D'après la relation de De Broglie (1), \lambda = \frac{h}{p}, d'où le module de l'impulsion :

Comparaison avec la mécanique classique : L'énergie cinétique microscopique est définie par K = E - V(x) = E - V_0. En exprimant cette énergie en fonction de p :

Cette relation entre impulsion et énergie cinétique est rigoureusement identique à la relation classique K = \frac{1}{2}m v^2 = \frac{p^2}{2m} pour une particule non relativiste.

Non, ces deux conditions d'ondes stationnaires ne sont pas identiques. On relève deux différences fondamentales :

1. Conditions aux limites et topologie de l'espace :

   • Dans le modèle de Bohr (figure 3), la trajectoire est une boucle fermée (un cercle). Il s'agit d'une condition de périodicité : l'onde se reboucle sur elle-même sans discontinuité d'amplitude ni de dérivée. Aucune frontière n'impose l'annulation de la fonction d'onde.
   • Sur le segment (figure 4), la particule est confinée entre deux parois rigides imposant des conditions de Dirichlet : la fonction d'onde s'annule obligatoirement aux deux extrémités (x = 0 et x = \ell).

2. Relation entre la dimension spatiale et la longueur d'onde :

   • Pour l'atome de Bohr, le périmètre du cercle contient un nombre entier de longueurs d'onde :

     2\pi r = n \lambda \quad (n \in \mathbb{N}^*)

   • Pour la particule confinée sur un segment, l'annulation en x = 0 et x = \ell avec n-1 nœuds intermédiaires impose que la longueur \ell contienne un nombre entier de demi-longueurs d'onde (soit n fuseaux) :

     \ell = n \frac{\lambda}{2} \quad (n \in \mathbb{N}^*)

Sur l'intervalle [0, \ell], le potentiel est nul (V(x) = 0). D'après la question Q13, la composante spatiale \underline{\psi}(x) de la fonction d'onde stationnaire vérifie l'équation de Schrödinger indépendante du temps issue de l'équation (4) :

Pour un état lié d'énergie E > 0, en posant k = \frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}, l'équation s'écrit :

La solution générale est de la forme \underline{\psi}(x) = \underline{A}\sin(kx) + \underline{B}\cos(kx). Les conditions aux limites imposées par l'énoncé s'écrivent :

• \underline{\psi}(0) = 0 \implies \underline{B} = 0, d'où \underline{\psi}(x) = \underline{A}\sin(kx) ;
• \underline{\psi}(\ell) = 0 \implies \underline{A}\sin(k\ell) = 0.

Pour une solution non triviale (\underline{A} \neq 0), on en déduit :

L'entier n \in \mathbb{N}^{*} correspond bien au mode représenté en figure 4, pour lequel la fonction s'annule en x = m\frac{\ell}{n} (m \in \{1, \dots, n-1\}), soit n-1 nœuds intermédiaires.

Le vecteur d'onde s'exprime ainsi :

L'énergie de la particule s'en déduit directement :

En remplaçant \hbar = \frac{h}{2\pi}, on obtient l'expression demandée :

D'après la question Q16, l'énergie d'une particule piégée dans un puits unidimensionnel infini de largeur \ell est quantifiée sous la forme :

L'état fondamental correspond à n = 1 et le premier état excité à n = 2. L'écart d'énergie entre ces deux niveaux s'écrit donc :

où m_n est la masse du neutron. On en déduit l'expression de la dimension de confinement \ell :

Procédons à l'application numérique avec les données de l'énoncé :

• h = 6{,}6 \times 10^{-34}\text{ J}\cdot\text{s}
• m_n = 1{,}7 \times 10^{-27}\text{ kg}
• \Delta E = 30\text{ MeV} = 30 \times 10^6 \times 1{,}6 \times 10^{-19}\text{ J} = 4{,}8 \times 10^{-12}\text{ J}

Calculons le terme sous le radical :

En extrayant la racine carrée et en utilisant la donnée \sqrt{5} = 2{,}2 :

Commentaires physiques :

• Situation physique décrite : Cette échelle de distance de quelques femtomètres (1\text{ fm} = 10^{-15}\text{ m}) correspond typiquement au rayon d'un noyau atomique. Le modèle du puits de potentiel unidimensionnel modélise ici de manière simplifiée le confinement d'un nucléon au sein du noyau.
• Nature de l'interaction : Le neutron ayant une charge électrique nulle, il est insensible à l'interaction électrostatique. Le confinement du neutron au sein du noyau est assuré par l'interaction forte (interaction nucléaire forte), force attractive de très courte portée (environ 1 à 2\text{ fm}) qui l'emporte à cette échelle sur les autres interactions.

1. Conséquences de la charge du cristal

Si le support du cristal était isolé électriquement, l'apport continu d'électrons de charge négative (-e) conduirait à l'accumulation d'une charge négative nette. Cela n'est pas souhaitable pour plusieurs raisons :

• cette accumulation créerait un champ électrostatique répulsif au voisinage du cristal ;
• les électrons incidents seraient ralentis avant d'atteindre la surface, de sorte que leur énergie cinétique, leur quantité de mouvement p et leur longueur d'onde de de Broglie \lambda = h/p ne seraient plus constantes ni contrôlées ;
• le faisceau pourrait même être dévié ou totalement repoussé si le potentiel du cristal devenait trop négatif, rendant l'analyse de la diffraction impossible.

2. Choix du raccordement électrique

L'énoncé précise qu'« entre les grilles AB et le cristal, les électrons ne subissent aucune interaction ». Le champ électrostatique doit donc y être rigoureusement nul (\vec{E} = -\vec{\nabla}V = \vec{0}), ce qui impose que cet espace soit équipotentiel :

• Si le cristal était relié à la masse (V = 0), il existerait une différence de potentiel retardatrice V_{\text{cristal}} - V_{\mathrm{B}} = -V_{\mathrm{A}} < 0 entre la grille B et le cristal. Les électrons, émis par la cathode K au potentiel nul, seraient alors totalement freinés et atteindraient le cristal avec une vitesse nulle.
• Pour évacuer les charges tout en maintenant un espace libre de champ entre la grille B et la cible, il faut donc relier électriquement le cristal aux électrodes A et B (au potentiel réglable V_{\mathrm{A}}). Le courant d'électrons est ainsi refermé vers le générateur maintenant la tension d'accélération.

Considérons un électron de masse m_e et de charge q = -e, émis en K (potentiel V_{\mathrm{K}} = 0) avec une vitesse initiale négligeable (v_{\mathrm{K}} \simeq 0, soit une énergie cinétique initiale nulle).

Entre l'électrode K et l'anode A portée au potentiel V_{\mathrm{A}}, l'électron n'est soumis qu'à la force électrostatique conservative. Le théorème de l'énergie cinétique appliqué entre K et A donne :

L'énergie cinétique acquise à la traversée de la grille A vaut donc :

Les tensions d'accélération utilisées sont typiquement de l'ordre de quelques dizaines de volts, de sorte que E_c \sim {50\,\mathrm{eV}} \ll m_e c^2 \simeq {511\,\mathrm{keV}}. Le traitement non relativiste est pleinement justifié, d'où la relation classique entre énergie cinétique et impulsion :

On en déduit l'expression du module de l'impulsion :

Dans la zone située entre les grilles AB et le cristal, les électrons ne subissent aucune interaction ; l'énergie potentielle d'interaction y est nulle. L'énergie E apparaissant dans la phase temporelle de l'onde de De Broglie \underline{\Psi}_{\text{inc}}(x,t) (avec E > 0) s'identifie à cette énergie cinétique :

1. Dimension et interprétation physique de \vec{J}

D'après la question 13, la fonction d'onde spatiale d'une particule vérifie [|\underline{\Psi}|^{2}] = L^{-3} (densité volumique de présence). Par ailleurs, le quotient \frac{\vec{p}}{m_{e}} = \vec{v} représente le vecteur vitesse de l'électron, de dimension :

On en déduit immédiatement la dimension du vecteur \vec{J} :

Interprétation physique : \vec{J} représente le vecteur densité de courant de probabilité (ou vecteur densité de flux de particules). Son flux à travers une surface orientée élémentaire d\vec{S} correspond au nombre moyen d'électrons (ou à la probabilité de passage) traversant cette surface par unité de temps.

2. Expression de \psi_{0}

Pour l'onde incidente se propageant selon l'axe (Ox) vers les x croissants, on a \vec{p} = p\,\vec{u}_{x} avec p > 0. La fonction d'onde s'écrit :

Le module au carré vaut :

Le vecteur densité de courant associé au faisceau incident est donc :

L'énoncé définit \Phi_{0} comme le nombre d'électrons incidents par unité de section droite et par unité de temps, ce qui correspond à la composante de \vec{J} selon \vec{u}_{x} :

Comme \psi_{0} > 0, on obtient directement :

3. Perte de généralité

De manière générale, l'amplitude complexe \underline{\psi}_{0} peut s'écrire sous forme polaire \underline{\psi}_{0} = |\psi_{0}|\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\phi}, où \phi \in \mathbb{R} est une phase à l'origine.

Une phase globale constante n'affecte ni la densité volumique de probabilité |\underline{\Psi}|^{2}, ni le courant de probabilité \vec{J}, ni aucune grandeur physique observable (les grandeurs physiques dépendent de termes bilinéaires en \underline{\Psi} et \underline{\Psi}^*). Choisir la phase à l'origine telle que \phi = 0, et donc \psi_{0} > 0, correspond à fixer une référence arbitraire.

D'après les lois de Snell-Descartes pour la réflexion sur les plans atomiques, la droite normale aux plans réticulaires est la bissectrice de l'angle entre le faisceau incident et le faisceau réfléchi. Cet angle total étant noté \theta, l'angle d'incidence par rapport à la normale aux plans vaut :

L'angle de glissement \theta_{\text{B}} (angle formé par le faisceau incident avec le plan réticulaire lui-même) est donc le complémentaire de i :

Considérons deux rayons électroniques incidents parallèles se réfléchissant sur deux plans réticulaires consécutifs distants de a. En traçant les fronts d'onde incidents et réfléchis (perpendiculaires aux rayons), le retard géométrique du rayon pénétrant jusqu'au second plan comprend :

• un trajet supplémentaire à l'incidence égal à a \cos i = a \cos(\theta/2) ;
• un trajet supplémentaire après réflexion égal à a \cos i = a \cos(\theta/2).

La différence de marche \delta entre ces deux rayons s'écrit donc :

Pour observer un faisceau diffracté d'intensité maximale (interférences constructives entre les ondes diffusées par l'ensemble des plans du réseau), le déphasage entre deux plans successifs \Delta \phi = \frac{2\pi}{\lambda}\delta doit être un multiple entier de 2\pi, soit \delta = q \lambda où q \in \mathbb{N}^* désigne l'ordre d'interférence.

On obtient ainsi la loi de Bragg sous la forme :

D'après les questions précédentes, l'impulsion de l'électron accéléré sous la tension V est p = \sqrt{2m_e e V} (Q19), ce qui lui associe une longueur d'onde de De Broglie :

La condition d'interférences constructives établie à la question Q21 s'écrit alors :

soit, en isolant \sqrt{V} :

À angle de diffusion \theta fixé (\theta = 50^\circ), la valeur de \sqrt{V} pour laquelle on observe un faisceau diffracté intense est directement proportionnelle à l'ordre d'interférence q. L'utilisation de \sqrt{V} en abscisse permet donc d'obtenir des pics de diffraction régulièrement espacés d'un pas constant :

La figure 7 met en évidence une série de pics d'intensité à des abscisses approximatives :

L'écart moyen entre deux pics consécutifs est :

(ce qui montre au passage que le premier pic observé à \sqrt{V} \simeq 7{,}3\text{ V}^{1/2} correspond à l'ordre q = 2). On en déduit l'expression du pas réticulaire a :

Calculons le facteur constant :

Avec \cos(25^\circ) = 0{,}91 :

Avec un seul chiffre significatif :

Commentaire : Cette valeur est de l'ordre de grandeur de la distance interatomique (quelques dixièmes de nanomètre, soit quelques angströms) au sein d'un cristal métallique. Cela confirme que le réseau cristallin se comporte naturellement comme un réseau de diffraction pour les ondes de matière associées aux électrons, validant de manière éclatante l'hypothèse de De Broglie.

La probabilité de présence de l'électron dans l'élément de volume \mathrm{d}\tau = r^2 \sin\theta\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\varphi s'écrit :

La probabilité \mathrm{d}\mathbb{P} = \rho(r)\,\mathrm{d}r d'observer l'électron dans la coquille sphérique comprise entre les rayons r et r + \mathrm{d}r s'obtient en intégrant sur toutes les directions de l'espace :

Avec f(r) = \psi_0\,\mathrm{e}^{-r/R}, la densité radiale de probabilité prend la forme :

La constante \psi_0 est fixée par la condition de normalisation de la probabilité totale :

En posant le changement de variable sans dimension x = \frac{2r}{R}, on a r = \frac{R}{2}x et \mathrm{d}r = \frac{R}{2}\mathrm{d}x :

d'après la valeur \int_0^{+\infty} x^2\,\mathrm{e}^{-x}\,\mathrm{d}x = 2 donnée en annexe. Il vient :

On en déduit l'expression de la densité radiale :

Étudions les variations de \rho(r) sur [0, +\infty[ :

• En r = 0, \rho(0) = 0 et la tangente est horizontale (\rho'(0) = 0).
• Lorsque r \to +\infty, \rho(r) \to 0 par croissances comparées.

• La dérivée s'écrit :

  \frac{\mathrm{d}\rho}{\mathrm{d}r} = \frac{4}{R^3}\left(2r - \frac{2r^2}{R}\right)\mathrm{e}^{-2r/R} = \frac{8r}{R^3}\left(1 - \frac{r}{R}\right)\mathrm{e}^{-2r/R}

  Pour r > 0, cette dérivée s'annule uniquement en r = R, où \rho(r) atteint son maximum absolu :

  \rho_{\max} = \rho(R) = \frac{4}{R\,\mathrm{e}^2}

Interprétation géométrique de R :

La fonction \rho(r) étant maximale en r = R, le paramètre R représente le rayon le plus probable (ou distance la plus probable) auquel on peut détecter l'électron autour du noyau dans l'état fondamental.

L'électron de masse m_e est soumis au potentiel coulombien attractif du noyau ponctuel (question Q6) :

La fonction d'onde stationnaire s'écrivant \underline{\Psi}(\vec{r}, t) = f(r)\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t}, avec E = \hbar\omega, elle vérifie l'équation de Schrödinger indépendante du temps à trois dimensions :

La fonction f(r) = \psi_0 \mathrm{e}^{-r/R} ne dépend que de la variable radiale r. En utilisant l'expression du laplacien donnée en fin d'énoncé :

En injectant \Delta f(r) et V(r) dans l'équation de Schrödinger et en simplifiant par f(r) \neq 0 :

Cette égalité devant être vérifiée pour tout r > 0, les coefficients des termes de puissances différentes en r doivent s'identifier terme à terme :

• Terme en 1/r :

  \frac{\hbar^2}{m_e R} - \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0} = 0 \implies R = \frac{4\pi\varepsilon_0\hbar^2}{m_e e^2}

  Avec \hbar = \frac{h}{2\pi}, on obtient :

• Terme constant en r :

  E = -\frac{\hbar^2}{2m_e R^2} = -\frac{\hbar^2}{2m_e}\left( \frac{m_e e^2}{4\pi\varepsilon_0\hbar^2} \right)^2 = -\frac{m_e e^4}{32\pi^2\varepsilon_0^2\hbar^2}

  En réintroduisant h = 2\pi\hbar :

Comparaison avec le modèle de Bohr :

• Le paramètre d'échelle R, qui représente la distance la plus probable de l'électron au noyau dans l'état fondamental (question Q23), est strictement égal au rayon minimal de la première orbite circulaire de Bohr établi à la question Q12 : R = r_{c,\min} = a_0 \simeq 5 \times 10^{-11}\text{ m}.

• L'énergie E de l'état fondamental coïncide exactement avec l'énergie E_c(n=1) = -E_0 calculée à la question Q11 :

  E = -E_0 \simeq -13\text{ eV}
• Si les valeurs de l'énergie et de la taille caractéristique sont identiques, la description physique est profondément différente : le modèle semi-classique de Bohr impose une trajectoire circulaire plane déterministe, alors que la mécanique ondulatoire de Schrödinger décrit un nuage électronique tridimensionnel à symétrie sphérique, sans notion de trajectoire.

L'énergie potentielle d'interaction électrostatique ne dépend que de la distance radiale r (question Q6) :

Sa valeur moyenne s'obtient en intégrant sur tout l'espace à l'aide de la densité radiale de probabilité \rho(r) établie à la question Q23 :

Soit, en simplifiant :

En effectuant le changement de variable x = \frac{2r}{R}, on a r = \frac{R}{2}x et \mathrm{d}r = \frac{R}{2}\mathrm{d}x :

où l'on a utilisé l'intégrale donnée \int_0^{+\infty} x\,\mathrm{e}^{-x}\,\mathrm{d}x = 1. Il vient ainsi :

En remplaçant R par son expression obtenue à la question Q24, R = \frac{\varepsilon_0 h^2}{\pi m_e e^2} :

L'électron étant dans un état stationnaire d'énergie totale déterminée E, on a :

On en déduit immédiatement :

Commentaires :

• L'énergie cinétique moyenne est strictement positive (\langle K \rangle = -E > 0 car E < 0 pour un état lié), ce qui est physiquement indispensable.
• On vérifie la relation du théorème du viriel : pour un potentiel coulombien variant en 1/r, les valeurs moyennes vérifient 2\langle K \rangle + \langle V \rangle = 0.
• On retrouve exactement les relations obtenues dans le cadre du modèle semi-classique de Bohr pour une orbite circulaire (questions Q8 et Q9), où l'on avait également E_c = -K = \frac{1}{2}V.