Feuille d'entraînement : Mouvement d'une particule chargée dans E et B

Corrigés

1. Exercice 1E3A Physique-Chimie MPI 2026, Q25

   D'après les équations horaires établies à la question Q24, on a :

   \begin{aligned} x(t) &= \frac{v_0}{\omega}\sin(\omega t) \\ y(t) + \frac{v_0}{\omega} &= \frac{v_0}{\omega}\cos(\omega t) \end{aligned}

   En élevant au carré puis en sommant membre à membre ces deux relations, on obtient :

   x^2(t) + \left(y(t) + \frac{v_0}{\omega}\right)^2 = \left(\frac{v_0}{\omega}\right)^2 \left(\sin^2(\omega t) + \cos^2(\omega t)\right) = \left(\frac{v_0}{\omega}\right)^2

   Le mouvement étant confiné au plan (O, \vec{e}_x, \vec{e}_y) (question Q19), cette équation est celle d'un cercle dans ce plan, de centre C\left(0, -\frac{v_0}{\omega}, 0\right) et de rayon R = \frac{v_0}{\omega}.

   En remplaçant \omega = \frac{eB}{m} (défini à la question Q21), le rayon de la trajectoire s'écrit :

   \boxed{R = \frac{m v_0}{eB}}

   Résultat

   $$R=\frac{m{v}_0}{eB}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

2. Exercice 2X-ENS Physique MPI 2026, Q24

   Considérons un ion de masse m et de charge positive e, se déplaçant selon l'axe (Ox) entre les grilles. L'énergie potentielle électrostatique associée s'écrit :

   E_p(x) = e\,V(x)

   Le système n'étant soumis à aucune force non conservative, son énergie mécanique se conserve au cours du mouvement :

   E_m = \frac{1}{2}m v(x)^2 + e\,V(x) = \text{cte}

   D'après les conditions initiales à l'entrée du dispositif (x = 0) :

   v(0) \approx 0 \quad \text{et} \quad V(0) = 0 \implies E_m = 0

   On en déduit :

   \frac{1}{2} m v(x)^2 = -e\,V(x)

   Comme les ions sont accélérés vers les x croissants, leur vitesse est positive (v(x) \ge 0), et le potentiel décroît de 0 à V_0 < 0, de sorte que -V(x) \ge 0. On obtient ainsi :

   \boxed{v(x) = \sqrt{-\frac{2e\,V(x)}{m}}}

   Résultat

   $$v(x)=\sqrt{-\frac{2eV(x)}{m}}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

3. Exercice 3CCINP Physique-Chimie MPI 2025, Q6

   Au laboratoire, la mesure d'un champ magnétique s'effectue principalement à l'aide de deux méthodes :

   1. Le teslamètre à sonde à effet Hall (méthode la plus usuelle en travaux pratiques) :

      • Principe : une plaquette semi-conductrice d'épaisseur e, parcourue par un courant électrique continu d'intensité I, est placée dans le champ magnétique \vec{B}.
      • Les porteurs de charge de vitesse \vec{v} sont déviés sous l'action de la force de Lorentz magnétique \vec{F}_m = q\,\vec{v}\wedge\vec{B}.

      • Cette accumulation de charges sur les faces latérales crée un champ électrostatique transverse \vec{E}_H s'opposant à la déviation, d'où l'apparition d'une différence de potentiel transverse, appelée tension de Hall :

        U_H = R_H \frac{I B_\perp}{e}

        où R_H est la constante de Hall du matériau et B_\perp la composante du champ perpendiculaire à la sonde.

      • La mesure de U_H à courant I fixé permet donc une mesure directe, locale et directionnelle de \vec{B} (en continu comme en alternatif basse fréquence).

   2. La bobine exploratrice (ou sonde d'induction / fluxmètre) :

      • Principe : une petite bobine plane comportant N spires de surface unitaire S, d'axe orienté \vec{n}, est placée dans la région où règne le champ.

      • D'après la loi de Faraday, une variation du flux magnétique \Phi = N\,\vec{B}\cdot\vec{S} à travers la bobine induit une force électromotrice :

        e(t) = -\frac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm{d}t}
      • Cette variation peut être obtenue en faisant varier le champ dans le temps (champ alternatif) ou en retirant/retournant rapidement la bobine hors de la zone de champ (champs continus, mesurés à l'aide d'un circuit intégrateur qui donne \Delta \Phi = -\int e\,\mathrm{d}t).

   Indice, stratégie et pièges de cette question

4. Exercice 4CCINP Physique-Chimie MPI 2025, Q7

   On étudie l'électron, de masse m_e et de charge q = -e, dans le référentiel d'étude supposé galiléen. Le poids étant totalement négligeable devant les interactions électromagnétiques, l'électron n'est soumis qu'à la force de Lorentz magnétique :

   \vec{F} = -e\,\vec{v} \times \vec{B}

   La puissance de cette force est identiquement nulle (\mathcal{P} = \vec{F}\cdot\vec{v} = 0), ce qui implique que l'énergie cinétique est constante : la norme de la vitesse est conservée au cours du mouvement, soit v = v_0.

   Le vecteur vitesse \vec{v} étant initialement selon \vec{e}_z et le champ \vec{B} = B_0 \vec{e}_y selon \vec{e}_y, la vitesse reste constamment contenue dans le plan (xOz), orthogonal à \vec{B}. On a donc \vec{v} \perp \vec{B} à tout instant.

   En admettant une trajectoire circulaire de rayon R_B, le mouvement est circulaire uniforme. Dans la base de Frenet (\vec{u}_t, \vec{u}_n, \vec{u}_b), l'accélération est purement normale et centripète :

   \vec{a} = \frac{v_0^2}{R_B}\,\vec{u}_n

   La force magnétique, également centripète, a pour norme F = e v_0 B_0. La projection du principe fondamental de la dynamique m_e \vec{a} = \vec{F} selon la normale rentrante \vec{u}_n donne :

   m_e \frac{v_0^2}{R_B} = e v_0 B_0 \iff e B_0 = \frac{m_e v_0}{R_B}

   En introduisant la norme de la quantité de mouvement p = m_e v_0, on obtient bien :

   \boxed{B_0 = \frac{p}{e R_B}}

   Pour un mouvement circulaire uniforme, la vitesse angulaire de rotation \omega_B est reliée à la vitesse scalaire par v_0 = R_B \omega_B, soit :

   \omega_B = \frac{v_0}{R_B} = \frac{e B_0}{m_e}

   \boxed{\omega_B = \frac{e B_0}{m_e}}

   Résultat

   $$B_0=\frac{p}{e{R}_B}$$

   $${\omega }_B=\frac{e{B}_0}{m_e}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

5. Exercice 5CentraleSupélec Physique-Chimie 2 MPI 2025, Q4

   On étudie un électron, assimilé à un point matériel de masse m et de charge q = -e, dans le référentiel du laboratoire supposé galiléen.

   D'après la question Q3, le poids de l'électron est totalement négligeable devant la force électrostatique. L'électron n'est donc soumis qu'à la force électrostatique :

   \vec{F}_e = -e \vec{E} = e \, \vec{\operatorname{grad}} V

   Cette force dérive de l'énergie potentielle électrostatique :

   \mathcal{E}_p(r) = q \, V(r) = -e \, V(r)

   Le système n'étant soumis à aucune force non conservative, son énergie mécanique \mathcal{E}_m se conserve au cours du mouvement :

   \mathcal{E}_m = \mathcal{E}_c(r) + \mathcal{E}_p(r) = \frac{1}{2} m v^2(r) - e V(r) = \text{cte}

   À la cathode (r = r_1), les électrons sont émis sans vitesse initiale (v(r_1) = 0) et le potentiel est choisi nul (V(r_1) = V_c = 0). L'énergie mécanique initiale est donc nulle :

   \mathcal{E}_m = 0

   On en déduit que pour tout r \in [r_1, r_2] :

   \frac{1}{2} m v^2(r) - e V(r) = 0

   Comme V(r) \ge 0, la vitesse v(r) de l'électron à la distance r de l'axe s'écrit :

   \boxed{v(r) = \sqrt{\frac{2e \, V(r)}{m}}}

   Résultat

   $$v(r)=\sqrt{\frac{2eV(r)}{m}}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

6. Exercice 6E3A Physique-Chimie MPI 2026, Q19

   On étudie l'ion de masse m et de charge e > 0 dans le référentiel du laboratoire (terrestre), supposé galiléen, muni du repère orthonormé direct (\mathrm{O}, \vec{e}_x, \vec{e}_y, \vec{e}_z).

   Le poids étant négligé, l'ion n'est soumis qu'à la force de Lorentz magnétique :

   \vec{F} = e\,\vec{v} \wedge \vec{B}

   avec \vec{B} colinéaire à \vec{e}_z (\vec{B} = \pm B\,\vec{e}_z).

   D'après le principe fondamental de la dynamique :

   m \frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t} = e\,\vec{v} \wedge \vec{B}

   Par propriété du produit vectoriel, la force magnétique \vec{F} est orthogonale à \vec{B}, donc orthogonale à \vec{e}_z à tout instant :

   \vec{F} \cdot \vec{e}_z = (e\,\vec{v} \wedge \vec{B}) \cdot \vec{e}_z = 0

   La projection de l'équation du mouvement sur l'axe (\mathrm{O}z) donne :

   m \frac{\mathrm{d}v_z}{\mathrm{d}t} = 0 \implies v_z(t) = \text{cte}

   À l'instant initial t = 0, la vitesse de l'ion est \vec{v}(0) = v_0 \vec{e}_x, d'où :

   v_z(0) = 0

   Il en découle que v_z(t) = \dot{z}(t) = 0 pour tout t \ge 0, ce qui implique que la coordonnée z(t) est constante :

   z(t) = z(0)

   L'ion entrant au point origine \mathrm{O} à t = 0, on a z(0) = 0. Par conséquent :

   \boxed{\forall\, t \ge 0, \quad z(t) = 0}

   La trajectoire de l'ion est donc rigoureusement plane et contenue dans le plan (\mathrm{O}, \vec{e}_x, \vec{e}_y).

   Résultat

   $$\forall t\ge 0,z(t)=0$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

7. Exercice 7E3A Physique-Chimie MPI 2026, Q20

   Dans le référentiel d'étude, la seule force agissant sur l'ion est la force magnétique de Lorentz :

   \vec{F} = e\,\vec{v} \wedge \vec{B}

   La puissance développée par cette force est identiquement nulle à tout instant :

   \mathcal{P} = \vec{F}\cdot\vec{v} = (e\,\vec{v}\wedge\vec{B})\cdot\vec{v} = 0

   D'après le théorème de l'énergie cinétique appliqué à l'ion dans le référentiel galiléen :

   \frac{\mathrm{d}E_{\mathrm{c}}}{\mathrm{d}t} = \mathcal{P} = 0 \implies E_{\mathrm{c}} = \frac{1}{2}m v^2 = \text{cte}

   La norme de la vitesse est donc constante et égale à sa valeur initiale : v(t) = v_0.

   \boxed{\text{Le mouvement de l'ion est uniforme.}}

   À l'instant initial t=0, la vitesse de l'ion est \vec{v}_0 = v_0 \vec{e}_x (avec v_0 > 0). Écrivons le champ magnétique sous la forme \vec{B} = B_z \vec{e}_z, où B_z = \pm B. La force magnétique initiale s'écrit alors :

   \begin{aligned} \vec{F}(0) &= e\,\vec{v}_0 \wedge \vec{B} \\ &= e\,(v_0 \vec{e}_x) \wedge (B_z \vec{e}_z) \\ &= - e\,v_0 B_z\,\vec{e}_y \quad (\text{car } \vec{e}_x \wedge \vec{e}_z = -\vec{e}_y) \end{aligned}

   D'après la figure 4, l'ion est dévié vers le bas (dans le sens des y décroissants), ce qui impose une accélération initiale selon -\vec{e}_y, soit :

   - e\,v_0 B_z < 0 \iff B_z > 0 \quad (\text{puisque } e > 0 \text{ et } v_0 > 0)

   \boxed{\vec{B} = B\,\vec{e}_z \quad \text{(champ dirigé vers l'avant, sortant du plan de la figure)}}

   Résultat

   $$\text{Le mouvement de l’ion est uniforme.}$$

   $$\vec{B}=B{\vec{e}}_z\text{(champ dirigeˊ vers l’avant, sortant du plan de la figure)}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

8. Exercice 8Mines-Ponts Physique 1 MPI 2026, Q18

   1. Conséquences de la charge du cristal

   Si le support du cristal était isolé électriquement, l'apport continu d'électrons de charge négative (-e) conduirait à l'accumulation d'une charge négative nette. Cela n'est pas souhaitable pour plusieurs raisons :

   • cette accumulation créerait un champ électrostatique répulsif au voisinage du cristal ;
   • les électrons incidents seraient ralentis avant d'atteindre la surface, de sorte que leur énergie cinétique, leur quantité de mouvement p et leur longueur d'onde de de Broglie \lambda = h/p ne seraient plus constantes ni contrôlées ;
   • le faisceau pourrait même être dévié ou totalement repoussé si le potentiel du cristal devenait trop négatif, rendant l'analyse de la diffraction impossible.

   2. Choix du raccordement électrique

   L'énoncé précise qu'« entre les grilles AB et le cristal, les électrons ne subissent aucune interaction ». Le champ électrostatique doit donc y être rigoureusement nul (\vec{E} = -\vec{\nabla}V = \vec{0}), ce qui impose que cet espace soit équipotentiel :

   V_{\text{cristal}} = V_{\mathrm{B}} = V_{\mathrm{A}}

   • Si le cristal était relié à la masse (V = 0), il existerait une différence de potentiel retardatrice V_{\text{cristal}} - V_{\mathrm{B}} = -V_{\mathrm{A}} < 0 entre la grille B et le cristal. Les électrons, émis par la cathode K au potentiel nul, seraient alors totalement freinés et atteindraient le cristal avec une vitesse nulle.
   • Pour évacuer les charges tout en maintenant un espace libre de champ entre la grille B et la cible, il faut donc relier électriquement le cristal aux électrodes A et B (au potentiel réglable V_{\mathrm{A}}). Le courant d'électrons est ainsi refermé vers le générateur maintenant la tension d'accélération.

   Indice, stratégie et pièges de cette question

9. Exercice 9Mines-Ponts Physique 1 MPI 2026, Q19

   Considérons un électron de masse m_e et de charge q = -e, émis en K (potentiel V_{\mathrm{K}} = 0) avec une vitesse initiale négligeable (v_{\mathrm{K}} \simeq 0, soit une énergie cinétique initiale nulle).

   Entre l'électrode K et l'anode A portée au potentiel V_{\mathrm{A}}, l'électron n'est soumis qu'à la force électrostatique conservative. Le théorème de l'énergie cinétique appliqué entre K et A donne :

   \begin{aligned} \Delta E_c = E_c(\mathrm{A}) - E_c(\mathrm{K}) &= W_{\mathrm{K}\to\mathrm{A}}(\vec{F}_e) = -e \left(V_{\mathrm{K}} - V_{\mathrm{A}}\right) = e V_{\mathrm{A}} \end{aligned}

   L'énergie cinétique acquise à la traversée de la grille A vaut donc :

   \begin{aligned} E_c = e V_{\mathrm{A}} \end{aligned}

   Les tensions d'accélération utilisées sont typiquement de l'ordre de quelques dizaines de volts, de sorte que E_c \sim {50\,\mathrm{eV}} \ll m_e c^2 \simeq {511\,\mathrm{keV}}. Le traitement non relativiste est pleinement justifié, d'où la relation classique entre énergie cinétique et impulsion :

   \begin{aligned} E_c = \frac{p^2}{2m_e} = e V_{\mathrm{A}} \end{aligned}

   On en déduit l'expression du module de l'impulsion :

   \boxed{p = \sqrt{2 m_e e V_{\mathrm{A}}}}

   Dans la zone située entre les grilles AB et le cristal, les électrons ne subissent aucune interaction ; l'énergie potentielle d'interaction y est nulle. L'énergie E apparaissant dans la phase temporelle de l'onde de De Broglie \underline{\Psi}_{\text{inc}}(x,t) (avec E > 0) s'identifie à cette énergie cinétique :

   \boxed{E = e V_{\mathrm{A}}}

   Résultat

   $$p=\sqrt{2m_{e}e{V}_{\mathrm{A}}}$$

   $$E=e{V}_{\mathrm{A}}$$

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10. Exercice 10X-ENS Physique MPI 2026, Q25

    Pendant la durée \mathrm{d}t, les ions traversant la surface S à l'abscisse x sont contenus dans un cylindre de section S et de longueur \mathrm{d}\ell = v(x)\,\mathrm{d}t, soit un volume \mathrm{d}\tau = S\,v(x)\,\mathrm{d}t.

    La charge correspondante est \mathrm{d}q = \rho(x)\,\mathrm{d}\tau = j\,S\,\mathrm{d}t d'après la relation j = \rho(x)\,v(x) établie à la question précédente. Chaque ion portant une charge e, le nombre d'ions traversant la section S pendant \mathrm{d}t s'écrit :

    \mathrm{d}N = \frac{\mathrm{d}q}{e} = \frac{j\,S\,\mathrm{d}t}{e}

    Chaque ion transporte une quantité de mouvement p_x(x) = m\,v(x) orientée selon \vec{e}_x. La quantité de mouvement totale traversant la surface S par unité de temps à l'abscisse x est donc :

    F(x) = \frac{\mathrm{d}P_x}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}N \cdot m\,v(x)}{\mathrm{d}t}

    ce qui conduit à :

    \boxed{F(x) = \frac{m\,j\,S}{e}\,v(x)}

    D'après le texte, les ions entrent en x = 0 avec une vitesse initiale négligeable, c'est-à-dire v(0) \approx 0. On a donc immédiatement :

    \boxed{F(0) = 0}

    Force de poussée du moteur :

    Considérons le système fermé constitué de l'engin spatial et de l'ensemble des ions éjectés, isolé dans le référentiel d'étude (ou appliquons le théorème de la quantité de mouvement à l'engin spatial en tant que système ouvert).

    Pendant un intervalle de temps \mathrm{d}t, le moteur éjecte dans le vide interplanétaire à l'abscisse x = d des ions qui emportent une quantité de mouvement :

    \mathrm{d}\vec{P}_{\text{ions}} = F(d)\,\mathrm{d}t\,\vec{e}_x

    La quantité de mouvement introduite par les ions en x = 0 étant nulle (F(0) = 0), la conservation de la quantité de mouvement globale du système impose :

    \frac{\mathrm{d}\vec{P}_{\text{moteur}}}{\mathrm{d}t} + \frac{\mathrm{d}\vec{P}_{\text{ions}}}{\mathrm{d}t} = \vec{0}

    La force de poussée \vec{F}_{\text{poussée}} exercée sur l'engin spatial s'identifie à la variation temporelle de sa quantité de mouvement :

    \vec{F}_{\text{poussée}} = \frac{\mathrm{d}\vec{P}_{\text{moteur}}}{\mathrm{d}t} = - F(d)\,\vec{e}_x

    La norme de la force de poussée est bien égale à F(d) :

    \boxed{F_{\text{poussée}} = F(d)}

    Elle est dirigée dans le sens des x décroissants (sens de -\vec{e}_x), c'est-à-dire opposée au sens d'éjection des ions, conformément au principe des actions réciproques (principe de la propulsion par réaction).

    Résultat

    $$F(x)=\frac{mjS}{e}v(x)$$

    $$F(0)=0$$

    $$F_{\text{pousseˊe}}=F(d)$$

    Indice, stratégie et pièges de cette question