Corrigé détaillé X ENS Physique MPI 2026

L'attraction gravitationnelle exercée par le Soleil sur une planète ou un astéroïde est une force centrale dont le centre de force est le centre du Soleil S :

Dans le référentiel héliocentrique supposé galiléen, le moment de cette force par rapport au point S est constamment nul :

En vertu du théorème du moment cinétique, le moment cinétique de l'astre par rapport à S, défini par \vec{L}_S = \vec{r} \wedge m\vec{v}, est une constante du mouvement :

Comme \vec{r}(t) \cdot \vec{L}_S = 0 à chaque instant, le vecteur position reste orthogonal au vecteur fixe \vec{L}_S (supposé non nul). Le mouvement est donc contenu dans le plan fixe passant par S et orthogonal à \vec{L}_S.

D'après la figure 1, la distance maximale séparant la Terre de Didymos atteint des pics situés à :

Les orbites de la Terre et de Didymos étant coplanaires, la distance entre les deux corps est maximale lorsqu'ils sont en opposition par rapport au Soleil (alignement Didymos – Soleil – Terre) et que Didymos se trouve à son aphélie, c'est-à-dire à sa distance maximale r_{\max} du Soleil.

La Terre décrivant une orbite quasi circulaire de rayon r_0, cette distance maximale vaut :

On en déduit l'aphélie de l'orbite de Didymos :

Par définition des paramètres d'une ellipse de demi-grand axe a, la distance au périhélie et la distance à l'aphélie vérifient :

Avec r_{\min} = 1{,}01 \, r_0 et r_{\max} \approx 2{,}27 \, r_0, on obtient :

(Une valeur comprise entre 1{,}6\, r_0 et 1{,}65\, r_0 est tout à fait acceptable compte tenu de la précision de lecture).

D'après la troisième loi de Kepler, pour tout corps en orbite képlérienne autour du Soleil de masse M_\odot, le rapport entre le carré de la période de révolution et le cube du demi-grand axe est une constante universelle :

En appliquant cette loi à Didymos ainsi qu'à la Terre, dont la période de révolution est T_0 = 1\text{ an} et le rayon orbital r_0 = 1\text{ UA}, on obtient :

Avec la valeur a \approx 1,64\,r_0 estimée à la question 2 :

Méthode 1 : Exploitation de la période synodique

La distance entre la Terre et Didymos oscille à chaque conjonction (alignement Soleil-Terre-Didymos du même côté). La durée séparant deux conjonctions successives est la période synodique T_s, reliée aux périodes de révolution T de Didymos et T_0 = 1\text{ an} de la Terre par :

Sur la figure 1, on compte environ 26 oscillations complètes (maxima ou minima) sur l'intervalle de 50 ans (entre 2000 et 2050), soit :

On en déduit la période orbitale T de Didymos :

Méthode 2 : Périodicité des passages très proches

L'énoncé signale que Didymos passe très près de la Terre en 2022. La figure 1 montre effectivement un minimum très marqué (d \lesssim 0,1\text{ UA}) en fin 2022, ainsi qu'un autre vers fin 2003 (et le suivant vers 2041-2042). L'intervalle séparant deux configurations quasi-identiques au périhélie est :

Pendant cette durée, la Terre effectue 19 révolutions et Didymos en effectue N entières. Comme T \approx 2\text{ ans}, on a N = 19 / 2 \approx 9 révolutions, ce qui donne :

Ces deux lectures confirment remarquablement la valeur obtenue à la question Q3 :

Dans le référentiel héliocentrique, supposé galiléen, l'engin spatial DART de masse m, une fois affranchi de l'attraction terrestre, n'est plus soumis qu'à la force gravitationnelle exercée par le Soleil de masse M_S :

Pour une orbite circulaire de rayon r_0, le principe fondamental de la dynamique projeté sur la direction radiale s'écrit :

Cette vitesse orbitale ne dépend pas de la masse m du corps en orbite. L'engin DART étant placé sur la même orbite que la Terre, sa vitesse orbitale autour du Soleil est identique à celle de la Terre :

L'impulsion étant supposée instantanée, la position de DART ne varie pas pendant son application :

Avant l'impulsion, la vitesse de DART est purement orthoradiale : \vec{v}_- = v_0 \vec{e}_\theta. Le moment cinétique par rapport au Soleil est :

où \vec{e}_z = \vec{e}_r \wedge \vec{e}_\theta.

Après l'impulsion, la vitesse s'écrit \vec{v}_+ = v_1 \vec{e}_r + v_0 \vec{e}_\theta. Le moment cinétique devient :

puisque \vec{e}_r \wedge \vec{e}_r = \vec{0}.

La variation du moment cinétique de DART par rapport au Soleil est donc nulle :

Avant l'impulsion, DART est sur l'orbite circulaire de rayon r_0 à la vitesse v_0. La force d'attraction gravitationnelle exercée par le Soleil de masse M_S assure l'accélération centripète :

L'énergie mécanique initiale de DART s'écrit alors :

L'impulsion étant communiquée pendant un bref instant, le vecteur position n'a pas le temps de varier : la distance au Soleil reste égale à r_0, et l'énergie potentielle gravitationnelle est inchangée.

En revanche, la vitesse devient \vec{v} = v_1 \vec{e}_r + v_0 \vec{e}_\theta, d'où une norme au carré :

La nouvelle énergie mécanique de DART vaut donc :

La modification de son énergie mécanique est donc :

Pour une orbite képlérienne elliptique de demi-grand axe a dans le champ de gravitation solaire, l'énergie mécanique s'exprime par :

Initialement, la trajectoire circulaire de rayon r_0 a pour demi-grand axe a_0 = r_0, d'où E_{m,0} = -\dfrac{G M_S m}{2r_0} = -\dfrac{1}{2}mv_0^2. Immédiatement après l'impulsion, on a :

Il vient :

La variation du demi-grand axe \Delta a = a - r_0 est un infiniment petit du second ordre en |v_1|/v_0 :

Au premier ordre en |v_1|/v_0, en négligeant les corrections du second ordre, la variation du demi-grand axe est donc nulle :

Dans le référentiel héliocentrique supposé galiléen, le vecteur vitesse de DART s'écrit en coordonnées polaires (r, \theta) :

L'énergie cinétique de la sonde de masse m est donc :

L'attraction gravitationnelle exercée par le Soleil de masse M_S dérive de l'énergie potentielle newtonienne (en choisissant la référence nulle à l'infini) :

Pour la Terre (ou initialement pour DART) sur son orbite circulaire de rayon r_0 à la vitesse v_0, le principe fondamental de la dynamique projeté sur la direction radiale s'écrit :

L'énergie potentielle gravitationnelle s'exprime donc en fonction de m, r_0, v_0 et r par :

Par ailleurs, le moment cinétique scalaire L_z par rapport au Soleil est conservé au cours du mouvement et invariant lors de l'impulsion radiale (question Q6) :

L'énergie mécanique totale s'écrit ainsi :

Le mouvement radial r(t) s'identifie à celui d'une particule fictive de masse m se déplaçant à une dimension selon l'axe r, d'énergie mécanique E_m = \frac{1}{2} m \dot{r}^2 + E_{\mathrm{p,eff}}(r), où l'énergie potentielle effective est définie par :

Dans le cadre du mouvement radial équivalent à une dimension, l'énergie mécanique s'écrit :

En dérivant cette relation par rapport au temps pour \dot{r} \neq 0, on obtient l'équation du mouvement radial :

Une orbite circulaire correspond à un rayon constant r(t) = r_c, d'où \dot{r} = 0 et \ddot{r} = 0 pour tout t. Le rayon r_c d'une orbite circulaire s'obtient donc comme une position d'équilibre du mouvement radial, c'est-à-dire un extremum de l'énergie potentielle effective :

À partir de l'expression établie à la question Q8 :

Calculons la dérivée par rapport à r :

L'annulation de cette dérivée donne immédiatement :

On retrouve bien le rayon r_0 de l'orbite circulaire initiale de la Terre et de la sonde DART.

De plus, en calculant la dérivée seconde en r = r_0 :

L'extremum est un minimum strict : l'orbite circulaire est donc un équilibre stable pour les perturbations radiales.

Le mouvement radial d'une particule dans un potentiel central newtonien est équivalent à un mouvement unidimensionnel le long de la coordonnée r, régi par l'équation du mouvement :

En posant r(t) = r_0 + r_1(t) avec |r_1(t)| \ll r_0, et sachant que r_0 correspond à un extremum de E_{\mathrm{p,eff}} (\mathrm{d}E_{\mathrm{p,eff}}/\mathrm{d}r(r_0) = 0 d'après la question Q9), le développement de Taylor de la force effective au premier ordre en r_1 s'écrit :

D'après le résultat de la question Q9, la dérivée seconde au minimum vaut :

L'équation différentielle du mouvement pour la perturbation r_1(t) devient ainsi :

avec :

On en déduit l'expression de la pulsation des petites oscillations radiales :

D'après la question 2, le périhélie de Didymos se situe à la distance :

Pour que l'aphélie de l'orbite de DART coïncide avec ce point, la distance maximale de DART au Soleil doit être :

Comme la trajectoire est décrite sous la forme r(t) = r_0 + r_1(t), l'écart radial maximal vaut :

L'écart relatif vérifie donc pour tout instant t :

L'écart radial r_1(t) vérifie l'équation différentielle d'un oscillateur harmonique non amorti de pulsation \omega = v_0 / r_0 (question Q10) :

En choisissant l'origine des temps t = 0 à l'instant de l'impulsion radiale, les conditions initiales s'écrivent :

La solution générale est donc :

L'écart maximal à l'orbite circulaire est donné par l'amplitude des oscillations :

Pour que l'aphélie de la trajectoire atteigne le périhélie de Didymos (question Q11), il faut :

On en déduit l'expression littérale de |v_1| :

Avec v_0 = 30\text{ km}\cdot\text{s}^{-1} = 3{,}0 \times 10^4\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}, on obtient l'application numérique :

D'après la question Q10, le rayon r(t) oscille avec une pulsation \omega = \dfrac{v_0}{r_0}. La période de ces oscillations radiales, qui correspond à la période de révolution sur l'orbite fermée, vaut donc :

Or, r_0 et v_0 sont respectivement le rayon et la vitesse orbitale de la Terre sur son orbite quasi circulaire, si bien que \dfrac{2\pi r_0}{v_0} = T_0 = 1\text{ an}. On a ainsi :

Obtention sans calcul : D'après la troisième loi de Kepler, le rapport \dfrac{T^2}{a^3} ne dépend que de la masse du Soleil :

Comme établi à la question Q7, l'impulsion radiale ne modifie le demi-grand axe qu'au second ordre en |v_1|/v_0, si bien qu'au premier ordre :

Le demi-grand axe étant inchangé au premier ordre, la troisième loi de Kepler impose directement que la période orbitale de DART reste égale à la période orbitale terrestre, soit T = T_0 = 1\text{ an}.

D'après la question Q12, l'écart radial à l'orbite circulaire s'écrit :

où t = 0 correspond à l'application de l'impulsion le 24 décembre 2021, et \omega = \frac{2\pi}{T} avec T = 1\text{ an} (question Q13).

L'impact a lieu après une durée de transfert :

La phase correspondante vaut donc :

À cet instant, la fonction sinus vaut \sin\left(\frac{3\pi}{2}\right) = -1, de sorte que la position radiale de DART est :

D'après les questions Q2 et Q11, l'impact avec Dimorphos (dont le périhélie est à r_{\min} = 1{,}01\,r_0) doit se produire à l'aphélie de l'orbite de DART, ce qui impose :

On en déduit :

Le vecteur unitaire radial \vec{e}_r étant conventionnellement orienté du Soleil vers l'extérieur, une vitesse initiale négative v_1 < 0 signifie que :

On étudie un corps céleste de masse m dans le référentiel héliocentrique, supposé galiléen, soumis à la seule attraction gravitationnelle du Soleil de masse M_S :

Le principe fondamental de la dynamique donne :

Dans la base polaire (\vec{e}_r, \vec{e}_\theta), la dérivée temporelle du vecteur orthoradial vaut :

Le moment cinétique par rapport au Soleil s'écrit, en posant \vec{e}_z = \vec{e}_r \wedge \vec{e}_\theta :

Le moment de la force gravitationnelle en S étant nul, le moment cinétique est une constante du mouvement. On en déduit :

Dérivons le vecteur \vec{T} = \vec{v} - B\vec{e}_\theta par rapport au temps :

Pour que \vec{T} soit un vecteur constant à tout instant le long de la trajectoire, il faut et il suffit que :

soit, en notant L = \|\vec{L}_S\| = L_z > 0 la norme du moment cinétique :

Il existe donc bien une valeur de B, dépendant uniquement des caractéristiques du système et du moment cinétique de la trajectoire, pour laquelle \vec{T} est un vecteur constant.

Pour l'orbite circulaire de rayon r_0, le mouvement s'effectue à la vitesse v_0 selon la direction orthoradiale :

Le moment cinétique par rapport au Soleil s'écrit :

En utilisant la relation G M_S = r_0 v_0^2 établie à la question Q8, la constante B introduite à la question Q15 s'exprime par :

On en déduit immédiatement le vecteur \vec{T} :

Finalement :

Le vecteur \vec{T} = \vec{v} - B\vec{e}_\theta étant constant au cours du mouvement, calculons-le au périhélie P, point de distance minimale au Soleil F situé sur le grand axe.

En ce point :

• la vitesse radiale est nulle : \dot{r}_p = 0, donc la vitesse est purement orthoradiale : \vec{v}_p = v_p \vec{e}_\theta(P) ;
• le vecteur unitaire radial \vec{e}_r(P) est porté par le grand axe (axe focal, dirigé de F vers P) ;
• le vecteur unitaire orthoradial \vec{e}_\theta(P) est orthogonal au grand axe, c'est-à-dire parallèle au petit axe de l'ellipse.

En exprimant la vitesse au périhélie à l'aide de l'équation de la conique r(\theta) = \frac{p}{1+e\cos\theta} et de la constante des aires C = r^2\dot{\theta} :

car d'après la question Q15, B = \frac{G M_S}{C} = \frac{C}{p}.

On en déduit :

Comme B > 0 et e > 0, le vecteur \vec{T} est colinéaire à \vec{e}_\theta(P) et de même sens.

D'après la question 6, l'impulsion communiquée à DART est purement radiale, ce qui conserve son moment cinétique par rapport au Soleil :

D'après la question 15, la constante B s'exprime sous la forme B = \dfrac{G M_S m}{L_z}. En utilisant la relation pour l'orbite circulaire initiale G M_S = r_0 v_0^2 (question 8), il vient :

La constante B n'est donc pas modifiée par l'impulsion radiale.

Le vecteur \vec{T} étant une constante du mouvement képlérien, sa valeur est déterminée par les conditions initiales immédiatement après la fin de la brève impulsion radiale (notée t = 0^+). À cet instant, la sonde se trouve toujours à la distance r_0 du Soleil, avec la vitesse :

En injectant cette vitesse et la valeur de B dans la définition du vecteur de Hamilton, on obtient :

En prenant la norme de ce vecteur, on en déduit :

Au périhélie P et à l'aphélie A, la distance au Soleil est extrémale, de sorte que la vitesse radiale s'annule : \dot{r} = 0. Le vecteur vitesse est donc purement orthoradial :

En utilisant la relation définissant le vecteur constant \vec{T} :

Le vecteur constant \vec{T} est donc colinéaire au vecteur unitaire orthoradial \vec{e}_\theta en chacun de ces deux points.

De plus, la norme de la vitesse s'écrit de façon générale :

Puisque B = v_0 et \|\vec{T}\| = |v_1|, l'inégalité triangulaire impose :

• Au périhélie, la distance au centre d'attraction est minimale, donc l'énergie potentielle est minimale et l'énergie cinétique est maximale : la vitesse y est maximale (\vec{e}_\theta et \vec{T} sont de même sens) :

  v_P = B + \|\vec{T}\| = v_0 + |v_1|

• À l'aphélie, la distance au centre d'attraction est maximale, l'énergie potentielle est maximale et l'énergie cinétique est minimale : la vitesse y est minimale (\vec{e}_\theta et \vec{T} sont opposés) :

  v_A = B - \|\vec{T}\| = v_0 - |v_1|

On obtient donc les vitesses de DART :

La constante du mouvement appropriée est le moment cinétique de DART par rapport au Soleil :

Au périhélie et à l'aphélie (les apsides de l'orbite), la distance au centre de force passe par un extremum, de sorte que la vitesse radiale est nulle : \dot{r} = 0. Le vecteur vitesse y est donc purement orthoradial (\vec{v} = v\,\vec{e}_\theta), ce qui donne :

D'après la question Q6, l'impulsion purement radiale n'a pas modifié le moment cinétique, qui conserve sa valeur initiale sur l'orbite circulaire de rayon r_0 :

À l'aphélie, l'égalité des moments cinétiques s'écrit donc :

En injectant l'expression de la vitesse à l'aphélie obtenue à la question Q19, v_A = v_0 - |v_1|, on en déduit :

D'après le résultat de la question Q20, la distance à l'aphélie de l'orbite de DART s'écrit :

Dans la limite où |v_1| \ll v_0, effectuons un développement limité au premier ordre en |v_1|/v_0 :

L'écart maximal au rayon circulaire r_0 vaut donc au premier ordre :

Pour que l'aphélie de DART atteigne le périhélie de Didymos fixé à r_{\min} = 1{,}01\,r_0 (question Q2), on impose :

Il vient immédiatement :

On retrouve ainsi de manière exacte le résultat obtenu par l'étude des petites oscillations radiales à la question Q12 :

Pour modifier la trajectoire de l'engin spatial et lui communiquer la vitesse radiale voulue |v_1| = 300\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} (d'après la question Q12), le moteur ionique doit fournir une impulsion mécanique. D'après le théorème de la quantité de mouvement appliqué à la sonde de masse M dans le référentiel héliocentrique :

La durée de fonctionnement nécessaire est donc :

En effectuant l'application numérique :

Sachant qu'un jour équivaut à environ 9 \times 10^4\text{ s}, on en déduit :

Cette durée de fonctionnement doit être comparée à la période de révolution de DART autour du Soleil, qui vaut d'après la question Q13 :

Le rapport entre ces durées vaut :

Pendant ces 10 jours, l'angle parcouru sur l'orbite autour du Soleil est faible :

La position de la sonde varie donc très peu au cours de la poussée par rapport aux dimensions de l'orbite : on peut donc, en première approximation à l'échelle de l'orbite héliocentrique, qualifier cette impulsion de brève.

L'équation locale de conservation de la charge électrique s'écrit :

Le système fonctionnant en régime stationnaire, la dérivée temporelle est nulle : \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0, d'où :

L'écoulement étant unidimensionnel suivant l'axe Ox, le vecteur densité de courant s'écrit \vec{j}(x) = j(x)\,\vec{e}_x. L'invariance par translation selon y et z impose :

La densité de courant j est donc uniforme entre les plaques, c'est-à-dire indépendante de x.

Par définition du courant de convection constitué par les porteurs de charge de densité volumique \rho(x) animés de la vitesse \vec{v}(x) = v(x)\,\vec{e}_x, le vecteur densité de courant est :

En projetant sur l'axe Ox, on en déduit la relation :

Considérons un ion de masse m et de charge positive e, se déplaçant selon l'axe (Ox) entre les grilles. L'énergie potentielle électrostatique associée s'écrit :

Le système n'étant soumis à aucune force non conservative, son énergie mécanique se conserve au cours du mouvement :

D'après les conditions initiales à l'entrée du dispositif (x = 0) :

On en déduit :

Comme les ions sont accélérés vers les x croissants, leur vitesse est positive (v(x) \ge 0), et le potentiel décroît de 0 à V_0 < 0, de sorte que -V(x) \ge 0. On obtient ainsi :

Pendant la durée \mathrm{d}t, les ions traversant la surface S à l'abscisse x sont contenus dans un cylindre de section S et de longueur \mathrm{d}\ell = v(x)\,\mathrm{d}t, soit un volume \mathrm{d}\tau = S\,v(x)\,\mathrm{d}t.

La charge correspondante est \mathrm{d}q = \rho(x)\,\mathrm{d}\tau = j\,S\,\mathrm{d}t d'après la relation j = \rho(x)\,v(x) établie à la question précédente. Chaque ion portant une charge e, le nombre d'ions traversant la section S pendant \mathrm{d}t s'écrit :

Chaque ion transporte une quantité de mouvement p_x(x) = m\,v(x) orientée selon \vec{e}_x. La quantité de mouvement totale traversant la surface S par unité de temps à l'abscisse x est donc :

ce qui conduit à :

D'après le texte, les ions entrent en x = 0 avec une vitesse initiale négligeable, c'est-à-dire v(0) \approx 0. On a donc immédiatement :

Force de poussée du moteur :

Considérons le système fermé constitué de l'engin spatial et de l'ensemble des ions éjectés, isolé dans le référentiel d'étude (ou appliquons le théorème de la quantité de mouvement à l'engin spatial en tant que système ouvert).

Pendant un intervalle de temps \mathrm{d}t, le moteur éjecte dans le vide interplanétaire à l'abscisse x = d des ions qui emportent une quantité de mouvement :

La quantité de mouvement introduite par les ions en x = 0 étant nulle (F(0) = 0), la conservation de la quantité de mouvement globale du système impose :

La force de poussée \vec{F}_{\text{poussée}} exercée sur l'engin spatial s'identifie à la variation temporelle de sa quantité de mouvement :

La norme de la force de poussée est bien égale à F(d) :

Elle est dirigée dans le sens des x décroissants (sens de -\vec{e}_x), c'est-à-dire opposée au sens d'éjection des ions, conformément au principe des actions réciproques (principe de la propulsion par réaction).

D'après la question 24, la conservation de l'énergie mécanique d'un ion de masse m et de charge e lâché sans vitesse initiale en x=0 (où V(0) = 0) s'écrit :

En dérivant cette égalité par rapport à la variable d'espace x, on obtient :

Par définition de la composante axiale du champ électrostatique en géométrie monodimensionnelle, on a :

Il vient ainsi :

D'où l'expression de la dérivée spatiale de la vitesse :

Dérivons la quantité Q(x) par rapport à la variable d'espace x :

D'après l'équation de Maxwell-Gauss en géométrie unidimensionnelle :

D'après le résultat de la question 25, le flux de quantité de mouvement s'écrit :

Comme la densité de courant j est indépendante de x (question 23), la dérivée spatiale vaut :

En injectant l'expression de v'(x) = \frac{e E(x)}{m v(x)} obtenue à la question 26 :

Or, d'après la question 23, j = \rho(x) v(x), d'où \frac{j}{v(x)} = \rho(x). Il vient :

On en déduit :

La quantité Q est donc bien indépendante de x.

Pour déterminer son signe, évaluons Q en x = 0. D'après la question 25, la vitesse initiale des ions est négligeable (v(0) = 0), d'où F(0) = 0. Il reste :

Puisque \varepsilon_0 > 0 et E(0)^2 \ge 0, on en conclut que :

Q est donc une grandeur positive ou nulle.

D'après l'équation de Poisson sous forme locale dans le condensateur unidimensionnel :

Les ions étant de charge positive e > 0, la densité volumique de charge est positive partout entre les plaques : \rho(x) > 0. Ainsi, la dérivée \frac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}x} est strictement positive, et la fonction E(x) est strictement croissante sur l'intervalle [0, d].

Le champ électrique atteint donc sa valeur maximale à l'abscisse de sortie x = d. Pour éviter tout claquage diélectrique, la condition imposée s'écrit :

Par ailleurs, en évaluant l'invariant Q obtenu à la question Q27 à l'abscisse x = d, et en rappelant d'après la question Q25 que la poussée vaut F_{\text{poussée}} = F(d) :

D'après la question Q27, Q = \frac{1}{2}\varepsilon_0 E(0)^2 \ge 0. Par conséquent, à champ E(d) fixé, la poussée F(d) est maximale lorsque Q prend sa plus petite valeur possible, soit :

Sous les conditions Q \ge 0 et E(d) \le E_{\max}, la poussée est donc majorée par :

Cette borne supérieure est atteinte pour Q = 0 et E(d) = E_{\max}. L'expression de la force de poussée maximale est donc :

Dans la configuration optimale, la quantité invariante Q s'annule :

Par définition du potentiel électrostatique à une dimension, le champ électrique vérifie :

D'après la question Q25, la force par unité de surface s'exprime en fonction de la vitesse v(x) et de la densité de courant j par :

En utilisant la relation entre la vitesse et le potentiel établie à la question Q24, v(x) = \sqrt{-\frac{2e V(x)}{m}}, il vient :

En injectant ces deux expressions dans la condition Q = 0, on obtient l'équation différentielle satisfaite par V(x) :

soit encore :

Puisque le potentiel décroît de 0 à V_0 < 0, la dérivée \frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}x} = -E(x) est négative ou nulle, ce qui permet aussi d'écrire sous forme résolue en dérivée première :

D'après la question Q29, le potentiel V(x) satisfait en régime optimal (Q=0) l'équation différentielle :

Testons la solution proposée V(x) = V_0 \left(\frac{x}{d}\right)^\beta avec \beta > 0. La dérivée spatiale du potentiel s'écrit :

Le membre de gauche de l'équation différentielle vaut donc :

Comme V_0 < 0, on a -V(x) = (-V_0)\left(\frac{x}{d}\right)^\beta > 0. Le membre de droite s'écrit alors :

Pour que cette équation soit vérifiée pour tout x \in ]0, d], les exposants de x dans les deux membres doivent être égaux :

On en déduit :

La fonction V(x) = V_0 \left(\frac{x}{d}\right)^{4/3} vérifie bien :

• les conditions aux limites : V(0) = 0 et V(d) = V_0 ;
• la condition de charge d'espace limite : E(0) = -\left.\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}x}\right|_{0} = 0, conforme à Q = 0.

1. Cas du condensateur vide de charges

En l'absence de charges (\rho = 0), le potentiel vérifie l'équation de Laplace à une dimension :

Compte tenu des conditions aux limites V_{\text{vide}}(0) = 0 et V_{\text{vide}}(d) = V_0, le profil est linéaire :

2. Cas en présence de charge d'espace (Q=0)

D'après la question Q30, le potentiel s'écrit :

Les caractéristiques de cette courbe sont :

• Aux limites : V(0) = 0 et V(d) = V_0 < 0 ;
• Dérivée première : V'(x) = \frac{4}{3} \frac{V_0}{d}\left(\frac{x}{d}\right)^{1/3}, d'où une tangente horizontale en x = 0 car E(0) = -V'(0) = 0 ;
• Dérivée seconde : V''(x) = \frac{4}{9} \frac{V_0}{d^2}\left(\frac{x}{d}\right)^{-2/3} < 0 (car V_0 < 0). La fonction est concave (courbure dirigée vers le bas).

Pour tout x \in ]0, d[, on a 0 < x/d < 1, donc (x/d)^{4/3} < x/d. Puisque V_0 < 0, il vient :

La courbe avec charge d'espace se situe donc strictement au-dessus du profil linéaire.

La luminosité renvoyée par un astéroïde sphérique est proportionnelle à sa section apparente éclairée, donc à R^2.

• Hors éclipse, les deux corps sont visibles simultanément. La luminosité maximale est proportionnelle à la surface totale visible :

  L_0 = C \left(R_1^2 + R_2^2\right)

  où C est une constante de proportionnalité.

• Lors du second creux, Dimorphos (S) passe entièrement derrière Didymos (R_2 < R_1), si bien que seule la lumière réfléchie par Didymos nous parvient :

  L_{\text{creux}} = C R_1^2

La diminution relative de luminosité s'écrit alors :

Comme \Delta L / L_0 \ll 1, on a au premier ordre :

(ou rigoureusement (R_2/R_1)^2 = \frac{0{,}04}{0{,}96} \approx 0{,}0417).

On en déduit l'estimation :

L'orbite de Dimorphos (satellite S) étant circulaire de rayon D, sa vitesse orbitale est donnée par :

où T est la période orbitale. Lors d'un passage (éclipse ou occultation), Dimorphos traverse le diamètre de Didymos, parcourant une distance de l'ordre de 2R_1 (en première approximation car R_2 \ll R_1). La durée \Delta t du phénomène vérifie ainsi :

d'où l'expression du rapport géométrique :

Sur la figure 2, la durée d'un creux (par exemple le creux centré autour de t/T \approx 0{,}25, qui s'étend approximativement de 0{,}20 à 0{,}30) est estimée à :

On en déduit :

soit une distance orbitale D \approx 3{,}3\, R_1 (ou D \approx 3\,R_1).

D'après la question Q32, le rayon de Dimorphos vérifie R_2 \approx 0{,}2\, R_1. On trace l'astéroïde double à l'échelle (en prenant par exemple R_1 = 1{,}0\text{ cm}, D = 3{,}3\text{ cm} et R_2 = 0{,}2\text{ cm}) :

L'orbite de Dimorphos autour de Didymos étant supposée circulaire de rayon D, le passage devant Didymos (transit) et le passage derrière Didymos (occultation) correspondent à deux positions diamétralement opposées sur la trajectoire orbitale. L'intervalle de temps \Delta t séparant ces deux creux successifs vaut donc exactement la demi-période orbitale :

D'après la question Q32, le rapport des rayons est R_2/R_1 \approx 0{,}20. En supposant des masses volumiques du même ordre de grandeur, le rapport des masses vaut :

On peut donc légitimement négliger la masse de Dimorphos devant celle de Didymos (M_1 + M_2 \approx M_1).

La troisième loi de Kepler appliquée au mouvement circulaire de Dimorphos autour de Didymos s'écrit alors :

Didymos étant modélisé par une sphère homogène de rayon R_1 et de masse volumique \rho_1, sa masse s'exprime par :

En substituant M_1 et T = 2\,\Delta t dans la troisième loi de Kepler, on obtient :

On en déduit l'expression de la masse volumique \rho_1 :

La constante de gravitation G étant connue, et le rapport sans dimension D/R_1 ayant été estimé à la question Q33 (D/R_1 \approx 3{,}3), la mesure temporelle de l'intervalle \Delta t (ou de la période T) permet de déterminer directement la masse volumique \rho_1 de Didymos.

1. Variation relative du demi-grand axe

D'après la troisième loi de Kepler appliquée au mouvement de Dimorphos (noté S) autour de Didymos :

Par différentiation logarithmique, il vient :

L'énoncé indiquant une augmentation relative de la période de \frac{\Delta T}{T} = +4{,}8\,\%, on obtient :

2. Variation relative de la vitesse immédiatement après l'impact

Le choc étant quasi-instantané, la position de S est inchangée pendant l'impact : la distance au centre de Didymos reste égale au rayon orbital initial D.

L'énergie mécanique d'un corps céleste de masse m_S sur une orbite de demi-grand axe a est donnée par :

Soit, pour la vitesse orbitale (formule des forces vives) :

Avant l'impact, la trajectoire étant circulaire de rayon D, on a a = D et la vitesse initiale vaut v^2 = \frac{G M_1}{D}.

En différenciant cette relation à distance D fixée immédiatement après l'impact :

On en déduit :

Numériquement :

3. Sens de l'impact

La variation de vitesse de S est positive (\Delta v > 0) et sa direction n'est pas modifiée : la vitesse de S a donc augmenté dans le sens de son mouvement. La sonde DART a par conséquent heurté S par l'arrière, transférant de la quantité de mouvement vers l'avant :