Mouvement d'une particule chargée dans E et B : 127 questions de concours corrigées

On considère d'abord le mouvement d'un électron dans un champ magnétique B uniforme, la vitesse initiale de l'électron étant orthogonale à B. Déterminer le rayon r de la trajectoire en fonction de…

Montrer que l'on retrouve l'expression classique de l'énergie cinétique lorsque v est petit devant c.

Montrer que l'énergie cinétique de l'électron reste constante au cours du mouvement dans l'ondulateur. En déduire que la constante de Lorentz γ et que la norme de la vitesse de l'électron restent…

Traduire la conservation de l'énergie mécanique d'un électron circulant depuis la cathode vers l'anode pour en déduire la vitesse v(r) d'un électron à la distance r de l'axe en fonction, notamment…

Expliquer comment on peut mesurer un champ magnétique au laboratoire.

Montrer que la puissance de la force magnétique est nulle. En déduire que l'énergie cinétique du cation se conserve. Par la suite, on notera v₀ la norme constante de la vitesse du cation au cours de…

Quelle est la vitesse v de A lorsqu'il atteint l'anode ? A) v = √((e Vₐ)/mₑ) B) v = √((2 e Vₐ)/mₑ) C) v = √((2 mₑ Vₐ)/e) D) v = (2 e Vₐ)/mₑ

Une fois la vitesse v acquise, on s'arrange à la sortie (non représentée sur la figure) du canon pour que l'électron pénètre dans une région où règne seulement un champ magnétique B, stationnaire et…

Indiquer la signification de chacun des trois termes de cette équation.

Montrer qu'en régime permanent la vitesse v des électrons est proportionnelle au champ électrique E. On définit ainsi la mobilité des électrons µₑ en posant v = µₑ E. On note nₑ la densité volumique…

Calculer la conductivité γ du conducteur en fonction de nₑ, e, τ et m.

Expliquer pourquoi, compte tenu des hypothèses retenues, la composante magnétique de la force exercée par l'onde électromagnétique sur les électrons n'apparaît pas dans l'équation du mouvement…

On considère maintenant le cas d'une vitesse initiale v quelconque. On note θ l'angle entre v et B. Le mouvement dans un plan perpendiculaire au champ est toujours un cercle. Exprimer son rayon r en…

En admettant que la résultante des chocs d'un porteur de charge mobile avec le reste du milieu conducteur est équivalente à une force de freinage de la forme f = -m/τ v, étudier le mouvement d'un…

On considère un électron non relativiste pénétrant avec une vitesse v = v₀ e_z, avec v₀ > 0, dans une zone où règne le champ magnétique B = B₀ e_y. En admettant que la trajectoire est circulaire de…

On considère un électron non relativiste pénétrant avec une vitesse v = v₀e_z, avec v₀ > 0, dans une zone où règne le champ magnétique B = B₀e_y. En admettant que la trajectoire est circulaire de…

Donner la condition permettant de négliger la composante magnétique de la force de LORENTZ devant la composante électrique. On suppose cette condition réalisée dans la suite de l'étude. Justifier…

Montrer que la vitesse d'un électron est constante au bout d'un temps grand devant τ_d. En déduire une expression de la conductivité électrique en fonction de m, e, τ_d et de la densité volumique nₑ…

Montrer que la vitesse d'un électron est constante au bout d'un temps grand devant τ_d. En déduire une expression de la conductivité électrique en fonction de m, e, τ_d et de la densité volumique nₑ…

Donner l'expression de l'accélération du cation dans le repère de Frenet en fonction de sa vitesse v₀ et du rayon de courbure r de la trajectoire. Montrer que la trajectoire du cation est…

Expliquer brièvement l'origine de la tension transversale V_H.

En déduire l'expression de la résistance de Hall définie par : R_H = V_H/I en fonction de e, B₀ et N_s.

Justifier quantitativement que le poids de l'électron est négligeable devant la force exercée par le champ électrique, en considérant par exemple un champ électrique |E| = 1 V⁻¹. Écrire l'expression…

Écrire le principe fondamental de la dynamique appliqué à un électron, et montrer que la solution en régime permanent peut se mettre sous la forme matricielle : j_Sx j_Sy = σₓₓ & σ_xy σ_yx & σ_yy Eₓ…

On s'intéresse à une particule de masse m et de charge q soumise à un champ électrique uniforme E = E₀ uₓ. À t = 0, la particule située à l'origine a une vitesse initiale v₀ = v₀ uₓ. Établir…

Dans les cavités résonantes de l'accélérateur du laser à électrons libres, les électrons évoluent dans des champs électriques de l'ordre de 10 MV⁻¹. Vérifier que le poids est alors bien négligeable…

Calculer numériquement les valeurs manquantes (il n'est pas nécessaire de recopier tout le tableau).

Combien faut-il de cavités pour obtenir un tel changement d'énergie ? En déduire une estimation de la longueur de l'accélérateur linéaire du XFEL.

Déterminer la condition pour laquelle la composante magnétique de la force de Lorentz exercée par l'onde sur les charges peut être négligée devant la composante électrique. On supposera cette…

Calculer la différence de potentiel nécessaire pour obtenir une énergie cinétique finale E_c = 1,0 keV. Justifier.

Dans la zone nommée Linac du synchrotron SOLEIL (figure 1), les électrons sont accélérés jusqu'à une énergie cinétique E_c = 100 MeV. Vérifier que leur vitesse v ne peut plus alors être calculée à…

Les électrons étant relativistes, leur énergie cinétique s'écrit : E_c = (γ - 1) mₑ c² où γ = (1 - v²/c²)⁻¹/² est le facteur de Lorentz de l'électron. Calculer ce facteur.

Expliquer comment on peut mesurer un champ magnétique au laboratoire.

La relation (1) reste valable dans le cadre de la relativité restreinte, avec une norme de la quantité de mouvement voisine de p ≈ E_c/c. Calculer la valeur du champ magnétique permettant d'obtenir…

Calculer la différence de potentiel nécessaire pour obtenir une énergie cinétique finale E_c = 1,0 keV. Justifier.

Dans la zone nommée Linac du synchrotron SOLEIL (figure 1), les électrons sont accélérés jusqu'à une énergie cinétique E_c = 100 MeV. Vérifier que leur vitesse v ne peut plus alors être calculée à…

Les électrons étant relativistes, leur énergie cinétique s'écrit : E_c = (γ - 1)mₑ c² où γ = (1 - v²/c²)⁻¹/² est le facteur de Lorentz de l'électron. Calculer ce facteur.

La relation (1) reste valable dans le cadre de la relativité restreinte, avec une norme de la quantité de mouvement voisine de p ≈ E_c/c. Calculer la valeur du champ magnétique permettant d'obtenir…

Représenter sur un schéma le vecteur vitesse v du cation, le vecteur champ magnétique B perpendiculaire au plan de la feuille et la force magnétique Fₘ. Esquisser la courbure de la trajectoire puis…

En projetant le principe fondamental de la dynamique selon u_z, montrer que la composante v_z de la vitesse du cation selon u_z est constante. En déduire que le mouvement est rectiligne. Peut-on…

Actuellement, la majorité des recherches sur le confinement magnétique portent sur les tokamaks, pour lesquels les bobines produisant le champ magnétique ne forment pas un cylindre (comme pour le…

Calculer le rayon de Larmor d'un cation d'hélium ⁴₂He⁺ (masse m = 6,6 · 10⁻²⁷ kg) de vitesse v₀ = 3 · 10⁵ m⁻¹ dans le tokamak d'ITER produisant un champ magnétique B₀ = 12 T. Commenter, sachant que…

Quel défaut présente la bouteille magnétique pour le confinement du plasma ?

À quelle condition sur le terme ω_c τ* peut-on affirmer que le plasma est magnétisé ? À quelle condition est-il non magnétisé ?

Identifier, en justifiant votre réponse, quelle figure correspond à un plasma magnétisé.

Justifier brièvement l'intérêt d'un fort champ magnétique pour confiner un plasma de fusion tel que celui présent dans un tokamak (figure 2). On admettra que les conclusions qualitatives concernant…

Obtenir une valeur numérique limite de E₀ permettant de négliger le poids de l'électron par rapport à la force de Lorentz électrique. On fera intervenir l'accélération de pesanteur g.

Vérifier que la force moyenne sur une période exercée par le champ électrique sur l'électron est nulle.

Montrer que la contribution magnétique de la force de Lorentz sur l'électron est négligeable devant la contribution électrique de cette même force.

Justifier le fait que ces électrons cosmiques sont nécessairement relativistes.

Montrer que le mouvement des électrons est plan.

En déduire la différence de potentiel U₀ en fonction des mêmes paramètres et de a et b.

Calculer v. On indique les valeurs approximatives des constantes fondamentales suivantes : mₑ ≈ 9 × 10⁻³¹ kg et la charge élémentaire e ≈ 1,6 × 10⁻¹⁹ C. A) v ≈ 6 × 10² m⁻¹ B) v ≈ 6 × 10⁴ m⁻¹ C) v ≈…

Lorsque l'électron quitte la région où règne le champ magnétique, que peut-on dire de son vecteur vitesse v_s et de sa trajectoire (on négligera l'influence du poids) ? A) Le vecteur v_s possède une…

L'influence du champ magnétique de l'onde sur l'électron peut-elle être négligée ?

Quelle est la signification physique de σ₀ ?

Rappeler l'expression de la force électromagnétique exprimant l'action du champ électromagnétique (E,B) sur une particule de charge q animée d'une vitesse v dans (R).

Que devient cette équation si on inverse le sens du temps t → -t ainsi que le signe de la condition initiale ? Si l'équation reste inchangée, on parle d'invariance par renversement du temps du…

En déduire la valeur absolue du moment cinétique J de l'électron par rapport au centre de la trajectoire, qu'on exprimera en fonction de e, r et B.

Pour résoudre ce problème, on impose une tension variable au cours du temps, de sorte que la particule est maintenant soumise au potentiel dépendant du temps V_el(r, t) = (η V(t))/l₀²(z² + α x² + β…

On suppose que |q_z| [0,1 - 0,3] permet d'obtenir un bon confinement dans la direction z, dans un piège où l₀ = 100 , η = 0,1, et Ω = (2π)1 kHz. La particule a toujours un électron à sa surface…

Montrer que, lorsque v est proche de c, on peut écrire : 1 - v/c = 1/2γ².

Déterminer la valeur numérique de H.

Établir le système d'équations régissant mouvement de l'électron dans l'ondulateur. On négligera le poids devant la force magnétique.

Montrer que : x(t) = K1/(γ k_u)(1 - cos (vₘ k_u t)) et donner l'expression de K en fonction des paramètres du problème.

Exprimer alors vₘ en fonction de c, K et γ uniquement, en utilisant la relation démontrée à la question Q13.

En déduire la valeur numérique de la norme du champ magnétique. On pourra prendre vₘ = c pour cette application numérique. Commenter.

Établir les relations de récurrence permettant d'obtenir les valeurs de φ_i et η_i.

Expliquer pourquoi le résultat précédent n'est pas valable dans le cas U_ac < 0. Préciser ce qu'il se passe dans ce cas et indiquer la valeur de Iₐ correspondante.

L'intensité du courant circulant dans l'anneau de stockage, assimilé à un cercle de rayon R = 57 m, vaut à un instant donné i = 0,43 A. Exprimer, puis calculer le nombre d'électrons N constituant le…

On suppose K > 0. On considère un faisceau d'électrons de vitesse v = v₀ e_z avec v₀ > 0, possédant une faible extension Δ y autour de l'origine. Sur un schéma, dessiner le champ magnétique et la…

En déduire que pour un électron ultrarelativiste du synchrotron, le demi-angle θ' à l'intérieur duquel est émis la moitié du rayonnement est tel que θ' ≈ 1/γ. Calculer θ' pour γ = 5,0· 10⁴. Conclure.

L'intensité du courant circulant dans l'anneau de stockage, assimilé à un cercle de rayon R = 57 m, vaut à un instant donné i = 0,43 A. Exprimer, puis calculer le nombre d'électrons N constituant le…

On suppose K > 0. On considère un faisceau d'électrons de vitesse v = v₀e_z avec v₀ > 0, possédant une faible extension Δ y autour de l'origine. Sur un schéma, dessiner le champ magnétique et la…

Montrer qu'un faisceau d'électrons possédant une extension Δ x autour de l'origine sera cette fois défocalisé. Expliquer comment on peut disposer deux quadrupôles successifs pour pallier cet…

En utilisant le champ électrique obtenu à la question Q 3 montrer que la force suivant la direction transverse (axe Oy) vaut F_y = 2Ze²/a₀³b où e² = qₑ²/4πε₀, b est la distance de la trajectoire…

Au voisinage de l'axe (Oz), le champ magnétique est localement uniforme et orienté selon u_z : B = B u_z. Dans cette question, on suppose comme dans la Q4 que le mouvement du cation est circulaire…

Exprimer Vₘ en fonction de e, E₀, mₑ et de ω. Préciser la valeur du déphasage φ_v entre la vitesse et le champ électrique.

Exprimer Xₘ en fonction de e, E₀, mₑ et de ω. Préciser la valeur du déphasage φₓ entre la position et le champ électrique.

Quelle est l'unité de α ? Dans quel sens est orienté grad(Eₘ²) ? Donner son expression en fonction de E₀ et de α, en supposant que |α x| ≪ E₀.

Vérifier, sur la situation simple de variation linéaire de l'amplitude du champ décrite ci-dessus et avec le résultat de la question Q36, que l'on retrouve bien le résultat de la question précédente.

Expliquer le phénomène de cascade avalancheuse.

Quelle valeur du champ magnétique faut-il imposer pour produire une onde de fréquence f₀ au voisinage de l'anode ? Faire l'application numérique.

Expliciter, en fonction de ω_c, ω, e, mₑ et r, le champ électrique E présent dans la cavité et permettant un tel mouvement des électrons. On vérifiera que ce champ est fonction linéaire de r.

Quel intérêt présente ce dopage pour un générateur électrique comme une cellule photovoltaïque ?

En admettant que le rapport des amplitudes du champ électrique et du champ magnétique dans le plasma soit assimilable à celui dans le vide, montrer que les effets de la partie magnétique de la force…

Dans le cas électrostatique expliquer brièvement comment il est possible de déterminer la direction et la valeur du champ électrique par des expériences locales (qui peuvent mettre en jeu des…

Exprimer la sensibilité de la sonde de Hall définie par s = δ V_H/δ B en fonction de L, N_s, j_S et e.

Calculer la valeur numérique de s pour L = 5 .

L'imperfection des appareils limite la précision de la mesure de la tension de Hall à ± 1 nV. Quel est le champ minimal que l'on peut mesurer à l'aide de la sonde précédente ?

On place maintenant un capteur à effet Hall dans l'entrefer. En fixant le plus précisément possible un courant d'intensité I continu, montrer que l'on récupère une tension V_H proportionnelle à…

Expliquer l'intérêt d'utiliser l'effet Hall quantique pour définir un étalon de résistance.

Lorsque le champ vu par l'électron varie lentement le long de sa trajectoire, son mouvement dans le plan perpendiculaire reste approximativement circulaire, mais avec un rayon qui varie peu à peu…

En utilisant le théorème de la puissance cinétique adapté à la relativité restreinte donné dans la section « Données et formulaire », exprimer la variation d'énergie cinétique de l'électron lors de…

En considérant que K/γ ≪ 1, utiliser un développement à l'ordre 1 en K²/γ² puis montrer que : z(t) = v₀(1 - K²/4γ²) + (K² v₀)/4γ²cos (2vₘ k_u t).

Décrire, en quelques phrases, la manière dont la distribution d'électrons évolue lors de la traversée de l'ondulateur, sous l'influence de l'onde électromagnétique émise.

Pour Iₐ⁰ = 1,2 mA, déterminer le temps de vol τ d'un électron entre la cathode et l'anode. En déduire, par analyse dimensionnelle, une expression et une estimation de la fréquence de coupure de la…

Montrer qu'un faisceau d'électrons possédant une extension Δ x autour de l'origine sera cette fois défocalisé. Expliquer comment on peut disposer deux quadrupôles successifs pour pallier cet…

On suppose le noyau infiniment lourd et placé en r = 0. Écrire la force totale s'exerçant sur l'électron dans l'hypothèse où r < R₀. Montrer que dans l'approximation non relativiste on peut négliger…

On considère à présent la dynamique de l'atome dans son ensemble et on note R sa position identifiée à celle du noyau. En écrivant les forces s'appliquant sur le noyau et l'électron, montrer que la…

En supposant que τ est suffisamment petit pour qu'on puisse négliger le déplacement de la charge ponctuelle pendant l'intervalle [0, τ], déterminer l'expression de la vitesse v_P pour des instants t…

Le circuit diviseur de tension est composé de k résistances identiques R en série. Sachant que l'alimentation haute tension délivre une puissance continue de 2 W, déterminer la valeur de R pour…

En notant v₀ la vitesse d'un électron juste après une collision à l'instant t₀, comment s'exprime sa vitesse v juste avant la collision suivante δ t plus tard ? En moyennant le résultat sur un très…

En notant v₀ la vitesse d'un électron juste après une collision à l'instant t₀, comment s'exprime sa vitesse v juste avant la collision suivante δ t plus tard ? En moyennant le résultat sur un très…

En appliquant le principe fondamental de la dynamique à l'électron, montrer que vₓ et v_y vérifient le système : vₓ = iα/ω + iω_c/ω v_y [2mm] v_y = α/ω - iω_c/ω vₓ avec ω_c = (e B₀)/mₑ la pulsation…

Représenter le champ électrique et la force subie par l'électron lorsque x = Xₘ et lorsque x = -Xₘ, en utilisant le fait que la position et le champ électrique sont en phase. Dans quel sens est la…

Calculer la force pondéromotrice subie par l'électron, définie comme la force moyenne sur une période exercée par le champ électrique sur l'électron. On l'exprimera en fonction de e, mₑ, ω, E₀ et de…

On considère que la puissance du laser P = 1 PW = 1· 10¹⁵ W est répartie sur un faisceau de diamètre de 0,1 mm. Estimer le champ moyen E₀ de ce laser et en déduire la valeur de α requise pour…

Expliquer l'allure de l'évolution de I_d en fonction du temps ainsi que le choix de variation de n_g à chaque début de cycle.

Sachant que l'énergie d'ionisation de la molécule de diazote est E_i ≃ 16 eV, un électron initialement au repos et accéléré par le champ électrique local d'intensité E peut-il ioniser cette molécule…

Rappeler le théorème du moment cinétique ; expliciter la vitesse angulaire θ des électrons en fonction de r, a et de ω_c = eB₀/mₑ.

Montrer que le mouvement est conservatif ; en déduire l'expression de la vitesse radiale r de l'électron en fonction de r et des autres paramètres du problème.

Comment choisir la tension U₀ pour assurer le bon fonctionnement de l'appareil ? On se contentera d'une expression analytique de U₀ en fonction de e, mₑ, B, a et b sans faire l'application numérique.

Établir la relation simple entre la constante de Planck et la masse m dans l'expérience de la balance de Kibble en faisant intervenir v, g et d'autres grandeurs mesurables.

On s'intéresse à l'angle θₘ, dit de déflexion magnétique, que forme la direction de v_s avec l'axe Ox lorsque A sort de la région du champ magnétique. Cet angle est θₘ = √(e/(2 mₑ Vₐ)) B Lα où α est…

Déterminer la densité électronique nₑ à partir des données figurant en annexe, à la température de 25 °C. En déduire la proportion d'atomes de silicium qui libèrent un électron de conduction.

Proposer, en précisant les choix utilisés pour cela, une évaluation de la conductivité de ce silicium dopé. Commenter cette valeur.

Reproduire le schéma de la cellule, avec sa jonction PN, reliée à un récepteur électrique. En complétant ce schéma, décrire qualitativement les évolutions de l'électron et du trou créés dans la zone…

Établir la relation entre j_Sx et E_y en régime permanent en fonction de σ₀, ω_c et τ (effet Hall).

D'après les résultats de la partie II.1, quelle courbe attend-on ? Commenter la courbe obtenue.

Déterminer, dans le cas résonant, la valeur moyenne de la force de Lorentz agissant sur l'électron. Préciser le sens de cette force moyenne et exprimer sa valeur en fonction de l'intensité de l'onde…

Les électrons produits par l'effet photoélectrique ont des directions aléatoires. Le but est de recueillir tous ceux qui entrent dans le spectromètre, et d'aligner rapidement leur trajectoires avec…

Compléter cette figure en traçant l'évolution de la composante du champ électrique selon l'axe (Oz) en fonction de z sur les graphiques en dessous des cellules TESLA. Indiquer ensuite à l'aide d'un…

Justifier quantitativement l'ordre de grandeur du champ électrique transverse déduit par Rutherford à partir des résultats expérimentaux. On d'étaillera les notations utilisées en s'aidant d'un…

Déterminer la valeur numérique de N. Pour cette question, on prendra un libre parcours moyen ℓ_pm de l'ordre du centimètre. On pourra utiliser les courbes de la figure 7 en expliquant de façon…

Donner l'expression de la force magnétique. Montrer que la composante séculaire de la force magnétique peut s'écrire F_mag = qr × (rot E(R, t)) (11) où × désigne le produit vectoriel. En déduire…

Retrouver l'ordre de grandeur de la valeur de la charge élémentaire e sachant que le gaz d'électrons a une densité surfacique de N_s,exp = 8 × 10¹⁵ m⁻².