Corrigé détaillé Polytechnique Physique A PC 2025

On étudie la particule de masse m et de charge q, assimilée à un point matériel, dans le référentiel du laboratoire supposé galiléen, muni du repère d'espace cartésien (O, \vec{u}_x, \vec{u}_y, \vec{u}_z).

La particule n'est soumise qu'à la force électrique uniforme :

La deuxième loi de Newton s'écrit :

Par projection sur les trois axes cartésiens, le système différentiel s'écrit :

À l'instant t = 0, les conditions initiales sont :

Une première intégration par rapport au temps donne le vecteur vitesse :

Une seconde intégration par rapport au temps conduit à la loi horaire du mouvement :

Le mouvement est donc rectiligne et uniformément varié selon l'axe (Ox).

D'après la question 1, la trajectoire selon l'axe Ox est donnée par :

avec pour condition initiale la vitesse v(0) = v_0 et la position x(0) = 0.

Effectuons les deux modifications demandées :

• inversion de la condition initiale de vitesse : v_0 \to -v_0 ;
• inversion du sens du temps : t \to -t.

En appliquant ces substitutions à l'équation horaire, on obtient la nouvelle position :

Le système étudié est la particule de masse m, assimilée à un point matériel, dans le référentiel du laboratoire supposé galiléen.

La seule force agissant sur la particule est la force de frottement fluide :

D'après le principe fondamental de la dynamique :

Les conditions initiales étant \vec{r}(0) = \vec{0} et \vec{v}(0) = v_0 \vec{u}_x, le mouvement est purement rectiligne selon l'axe (Ox), de sorte que y(t) = 0 et z(t) = 0 à tout instant.

En projetant sur \vec{u}_x, on obtient :

L'intégration directe avec la condition initiale v_x(0) = v_0 conduit à :

Puisque v_x(t) = \dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} et x(0) = 0, l'intégration donne :

L'équation horaire complète d'évolution s'écrit donc :

D'après la question Q3, la position de la particule au cours du temps est donnée par :

En inversant la condition initiale de vitesse (v_0 \to -v_0) et le sens d'écoulement du temps (t \to -t), la fonction devient :

Pour t \neq 0, cette expression est manifestement distincte de x(t) :

• la trajectoire directe x(t) converge vers une position limite \frac{m v_0}{K} par amortissement exponentiel ;
• l'expression x_{\text{rev}}(t) diverge exponentiellement lorsque t \to +\infty.

L'équation horaire n'est pas inchangée par cette transformation :

1. Différence physique fondamentale :

• La force électrique \vec{F}_e = q\vec{E} est une force conservative (elle dérive de l'énergie potentielle E_p(x) = -q E_0 x). Le système est conservatif : l'énergie mécanique est conservée au cours du temps et le mouvement est réversible.
• La force de frottement fluide \vec{F}_f = -K\vec{v} est une force dissipative (non conservative). Elle s'oppose continuellement au sens de déplacement de la particule et convertit de l'énergie mécanique en énergie thermique de manière irréversible, introduisant ainsi une « flèche du temps » macroscopique (second principe de la thermodynamique).

2. Origine mathématique : Considérons l'effet de la transformation temporelle t \to -t sur les grandeurs cinématiques :

L'accélération met en jeu une dérivée seconde par rapport au temps, invariante sous t \to -t.

• Pour la force électrique, \vec{F}_e = qE_0 \vec{u}_x est indépendante de la vitesse :

  m \frac{\mathrm{d}^2\vec{r}}{\mathrm{d}t^2} = qE_0 \vec{u}_x \quad \xrightarrow{t \to -t} \quad m \frac{\mathrm{d}^2\vec{r}}{\mathrm{d}t^2} = qE_0 \vec{u}_x

  L'équation différentielle ne contient que des dérivées temporelles d'ordre pair (0 et 2) : elle est invariante par renversement du temps.

• Pour la force de frottement fluide, la force dépend linéairement de la vitesse via une dérivée première temporelle d'ordre impair :

  m \frac{\mathrm{d}^2\vec{r}}{\mathrm{d}t^2} + K \frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t} = \vec{0} \quad \xrightarrow{t \to -t} \quad m \frac{\mathrm{d}^2\vec{r}}{\mathrm{d}t^2} - K \frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t} = \vec{0}

  L'équation différentielle est modifiée par le changement de signe du terme d'ordre 1 : la présence d'une dérivée temporelle d'ordre impair brise la symétrie par renversement du temps.

À une dimension d'espace, l'équation de d'Alembert s'écrit :

Posons la fonction v(x, t) = u(x, -t). En dérivant par rapport aux coordonnées d'espace et de temps, on obtient :

En injectant ces dérivées dans l'opérateur d'onde, il vient :

puisque u(x, t) est solution de l'équation d'ondes pour tout instant.

Signification physique : L'équation de d'Alembert est invariante par renversement du temps (t \to -t). Les phénomènes de propagation sans dissipation décrits par cette équation sont donc temporellement réversibles : le « film » de la propagation d'une onde passé à l'envers constitue une solution physiquement admissible de l'équation d'ondes.

En particulier, une onde se propageant vers les x croissants selon f(t - x/c_0) devient, après renversement du temps, f(-t - x/c_0) = f(-(t + x/c_0)), ce qui correspond à une onde se propageant en sens inverse, vers les x décroissants, en parcourant à rebours la trajectoire suivie lors de l'émission.

D'après l'équation de d'Alembert unidimensionnelle établie à la question précédente :

la solution générale s'écrit sous la forme de deux ondes progressives :

où f représente une onde se propageant vers les x croissants et g une onde se propageant vers les x décroissants.

Pour respecter la causalité, la perturbation reçue en un point de l'espace doit provenir de la source située en x = 0 et s'en éloigner :

• pour x > 0, l'onde doit se propager vers les x croissants, donc g = 0 ;
• pour x < 0, l'onde doit se propager vers les x décroissants, donc f = 0.

La source en x = 0 émet le signal temporel s(t). Par symétrie spatiale, l'amplitude émise de part et d'autre est identique, ce qui donne la solution causale u_0(x, t \ge 0) :

que l'on peut synthétiser sous la forme u_0(x, t \ge 0) = s\left(t - \dfrac{|x|}{c_0}\right).

Interprétation des termes :

• Pour x > 0 : le terme s\left(t - \dfrac{x}{c_0}\right) correspond à une onde progressive se propageant dans le sens des x croissants à la vitesse c_0. La perturbation en (x,t) reproduit fidèlement celle émise par la source avec un retard temporel \tau = \dfrac{x}{c_0} > 0.
• Pour x < 0 : le terme s\left(t + \dfrac{x}{c_0}\right) correspond à une onde progressive se propageant dans le sens des x décroissants à la vitesse c_0. La perturbation reproduit le signal de la source avec un retard \tau = \dfrac{|x|}{c_0} = -\dfrac{x}{c_0} > 0.

D'après la question Q7, la solution causale pour t \ge 0 s'écrit :

En effectuant le renversement du temps t' = -t (soit t = -t' \ge 0 pour t' \le 0), l'onde s'écrit en fonction de la nouvelle variable temporelle t' :

ou de façon condensée :

Interprétation du résultat :

• Sens de propagation : Pour x > 0, l'argument est de la forme f(t' + x/c_0), ce qui correspond à une onde régressive se propageant vers les x décroissants (vers x = 0). Pour x < 0, l'argument est de la forme g(t' - x/c_0), ce qui correspond à une onde progressive se propageant vers les x croissants (vers x = 0).
• Convergence et refocalisation : Au lieu de s'éloigner de la source, les ondes proviennent de l'infini et convergent vers l'origine x=0, où elles se concentrent parfaitement à l'instant t'=0.
• Non-causalité : Le champ existe pour t' \le 0 avant même l'instant t'=0 où se produit la recombinaison : il s'agit d'une onde « avancée » (ou anti-causale), correspondant au déroulement du film de la propagation en sens inverse.

Le point 9 de l'énoncé est un paragraphe introductif qui pose le cadre et définit les notations pour le passage d'une onde à travers une interface séparant deux milieux :

• pour x \le 0, le milieu possède une célérité c_1 ;
• pour x > 0, le milieu possède une célérité c_2 ;
• une onde incidente d'amplitude 1 se propageant selon les x croissants depuis x = -\infty atteint l'interface en x = 0 et donne naissance à une onde réfléchie d'amplitude r_{12} (se propageant vers x = -\infty) et une onde transmise d'amplitude t_{12} (se propageant vers x = +\infty).

Dans cette situation directe (avant renversement temporel) :

• il y a une seule onde incidente sur l'interface (d'amplitude 1) ;
• il y a deux ondes qui en repartent : l'onde réfléchie (d'amplitude r_{12}) et l'onde transmise (d'amplitude t_{12}).

Lors d'un renversement du temps, le sens de propagation de chaque onde est inversé, tandis que leurs amplitudes restent inchangées :

• l'onde réfléchie initiale (amplitude r_{12}, se propageant vers la gauche dans le milieu 1) devient une onde se propageant vers la droite, donc incidente sur l'interface depuis x < 0 ;
• l'onde transmise initiale (amplitude t_{12}, se propageant vers la droite dans le milieu 2) devient une onde se propageant vers la gauche, donc incidente sur l'interface depuis x > 0 ;
• l'onde incidente initiale (amplitude 1, venant de la gauche) devient une onde émergeant de l'interface et se propageant vers la gauche dans le milieu 1 ;
• aucune onde ne se propage vers les x > 0 fuyant l'interface (amplitude nulle pour x \to +\infty).

On représente la situation sur le schéma ci-dessous :

À l'issue du renversement du temps :

Plus précisément :

• les deux ondes incidentes sont d'amplitude r_{12} (venant de x = -\infty) et d'amplitude t_{12} (venant de x = +\infty) ;
• l'unique onde qui repart est d'amplitude 1, dans le milieu 1 (vers x = -\infty).

D'après la question Q10, la situation renversée temporellement comprend deux ondes incidentes convergeant vers l'interface en x = 0 :

• une onde d'amplitude r_{12} se propageant vers les x > 0 depuis le milieu 1 (x \le 0) ;
• une onde d'amplitude t_{12} se propageant vers les x < 0 depuis le milieu 2 (x > 0).

Par linéarité de l'équation d'ondes, cette configuration est la superposition de deux situations élémentaires :

1. Onde incidente d'amplitude r_{12} venant de la gauche (x \le 0) :

   • onde réfléchie se propageant vers x < 0 dans le milieu 1, d'amplitude r_{12} \times r_{12} = r_{12}^2 ;
   • onde transmise se propageant vers x > 0 dans le milieu 2, d'amplitude r_{12} \times t_{12}.

2. Onde incidente d'amplitude t_{12} venant de la droite (x > 0) :

   • onde réfléchie se propageant vers x > 0 dans le milieu 2, d'amplitude t_{12} \times r_{21} ;
   • onde transmise se propageant vers x < 0 dans le milieu 1, d'amplitude t_{12} \times t_{21}.

En sommant les contributions des ondes repartant de part et d'autre de l'interface :

• Dans le milieu 2 (x > 0), l'amplitude totale de l'onde se propageant vers les x croissants vaut :

  A_{2,\text{repartant}} = r_{12} t_{12} + t_{12} r_{21} = t_{12}(r_{12} + r_{21})

  Or, dans l'état renversé temporellement, aucune onde ne s'éloigne vers x = +\infty, donc A_{2,\text{repartant}} = 0. Comme t_{12} \neq 0, on obtient :

  \boxed{r_{21} = -r_{12}}

• Dans le milieu 1 (x \le 0), l'amplitude totale de l'onde se propageant vers les x décroissants vaut :

  A_{1,\text{repartant}} = r_{12}^2 + t_{12} t_{21}

  Cette onde doit reproduire l'onde initiale retournée, d'amplitude 1 :

  r_{12}^2 + t_{12} t_{21} = 1

  soit :

  \boxed{t_{21} = \frac{1 - r_{12}^2}{t_{12}}}

Considérons une onde lumineuse sous incidence normale à l'interface séparant deux milieux diélectriques transparents d'indices n_1 et n_2. Pour le champ électrique, les coefficients de Fresnel en amplitude s'écrivent :

Pour une onde incidente provenant du second milieu vers le premier, les rôles de n_1 et n_2 sont permutés :

Vérifions les deux relations de Stokes établies à la question Q11 :

• Pour les coefficients de réflexion :

  r_{21} = \frac{n_2 - n_1}{n_1 + n_2} = - \frac{n_1 - n_2}{n_1 + n_2} = -r_{12}

• Pour les coefficients de transmission :

  \begin{aligned} t_{12} \, t_{21} &= \left(\frac{2n_1}{n_1 + n_2}\right) \left(\frac{2n_2}{n_1 + n_2}\right) = \frac{4n_1 n_2}{(n_1 + n_2)^2} \\ 1 - r_{12}^2 &= 1 - \left(\frac{n_1 - n_2}{n_1 + n_2}\right)^2 = \frac{(n_1 + n_2)^2 - (n_1 - n_2)^2}{(n_1 + n_2)^2} = \frac{4n_1 n_2}{(n_1 + n_2)^2} \end{aligned}

  On a donc bien t_{12} \, t_{21} = 1 - r_{12}^2, ce qui équivaut à t_{21} = \frac{1 - r_{12}^2}{t_{12}}.

Dans le milieu homogène de célérité c_0, la source ponctuelle située en x = 0 émet un signal s(t). D'après la solution causale établie à la question 7, l'onde progressive se propageant vers les x croissants s'écrit pour tout x > 0 :

Le miroir M, placé en x_0 > 0, enregistre la perturbation locale au cours du temps. Le signal reçu s'exprime donc simplement comme le signal émis retardé de la durée de propagation \tau_0 = \frac{x_0}{c_0} :

Pour visualiser sans ambiguïté l'effet du retournement temporel, choisissons un signal émis s(t) asymétrique, non nul sur un intervalle [0, \tau] avec \tau \ll T, présentant par exemple une montée douce suivie d'une redescente abrupte.

• Signal émis s(t) : localisé au voisinage de t = 0, sur [0, \tau].
• Signal reçu R(t) : d'après la question précédente, R(t) = s\left(t - \frac{x_0}{c_0}\right). Il est décalé d'une durée \tau_0 = \frac{x_0}{c_0}. Il est donc localisé sur l'intervalle \left[\frac{x_0}{c_0}, \, \frac{x_0}{c_0} + \tau\right] \subset [0, T].

• Signal réémis R_{\mathrm{RT}}(t) : le miroir réémet entre t = T et t = 2T en inversant la chronologie. L'événement reçu à l'instant t' est réémis à l'instant t = T + (T - t') = 2T - t'. On a donc :

  R_{\mathrm{RT}}(t) = R(2T - t) \quad \text{pour } t \in [T, 2T]

  Le signal est ainsi non nul pour 2T - t \in \left[\frac{x_0}{c_0}, \, \frac{x_0}{c_0} + \tau\right], c'est-à-dire pour :

  t \in \left[2T - \frac{x_0}{c_0} - \tau, \, 2T - \frac{x_0}{c_0}\right]

  La forme d'onde est inversée dans le temps : le front raide arrive désormais en premier, suivi de la pente douce.

D'après la question Q14, le miroir à retournement temporel réémet entre les instants t = T et t = 2T le signal enregistré selon une chronologie inversée, soit :

D'après la question Q13, le signal enregistré par le miroir situé en x_0 s'exprime en fonction de l'émission s par :

En substituant \tau = 2T - t, on obtient directement :

Le signal réémis s'écrit donc sous la forme R_{\mathrm{RT}}(t) = s(t'), avec :

Le miroir situé en x = x_0 émet à partir de t = T le signal temporel R_{\mathrm{RT}}(t).

Pour la région x \le x_0, l'onde se propage dans le sens des x décroissants (vers la gauche). La distance parcourue depuis le point d'émission x_0 jusqu'à un point d'abscisse x est x_0 - x \ge 0. La durée de propagation associée est donc :

Le champ d'onde créé pour x \le x_0 s'écrit ainsi :

D'après le résultat de la question Q15, le signal réémis par le miroir s'exprime en fonction de s selon :

En évaluant cette expression en \theta = t - \dfrac{x_0 - x}{c_0}, l'argument t' du signal source s devient :

Les termes en x_0 se compensent exactement. On en déduit l'expression du champ d'onde :

D'après la question Q16, le champ d'onde réémis par le miroir situé en x_0 s'écrit, pour tout x \le x_0 :

Le signal s_{\mathrm{RT}}(t) reçu à l'emplacement de la source initiale en x = 0 s'obtient en évaluant ce champ en x = 0 :

Ce signal correspond exactement au signal d'origine s(t), mais lu en chronologie inversée (renversement du temps) et centré autour de l'instant caractéristique t = 2T.

Sur la figure en début d'énoncé (illustration issue des travaux de Mathias Fink) :

• Focalisation spatiale : L'onde sonore émise par le personnage (la source) se propage vers la droite jusqu'au miroir à retournement temporel (matérialisé par la ligne jaune). Après retournement, l'onde revient se focaliser précisément sur la source d'origine (la bouche/l'oreille du personnage).
• Retournement temporel : Le mot initialement prononcé « HELLO » revient vers le locuteur. En toute rigueur physique, le signal reçu étant s(2T-t), la fin du mot arrive en premier et le début en dernier : le son est perçu à l'envers (phonétiquement inversé). L'illustration montre le paquet d'ondes sonore qui revient directement sur l'émetteur après avoir « revécu son passé ».

D'après l'expression de la solution causale établie à la question Q7, pour x < 0, le champ créé par la source en x = 0 vaut :

Le miroir situé en x = -x_0 enregistre donc le signal :

Par symétrie, ce signal est identique à celui enregistré par le miroir situé en x = x_0.

Le miroir en x = -x_0 réémet ce signal en chronologie inverse entre T et 2T selon la même loi temporelle (question Q14 et Q15) :

Ce miroir émet pour x \ge -x_0 une onde se propageant vers les x croissants à la célérité c_0. La distance parcourue par cette onde pour atteindre le point d'abscisse x est d_- = x - (-x_0) = x + x_0, ce qui correspond à un retard de propagation :

Le champ généré par ce second miroir s'écrit donc, pour x \ge -x_0 :

Par principe de superposition, le champ global résultant dans la zone -x_0 \le x \le x_0 est la somme du champ émis par le miroir en x_0 (noté u_{\mathrm{RT}}(x, t) à la question Q16) et de celui émis par le miroir en -x_0 :

d'où :

D'après la question Q18, le champ total dans l'intervalle -x_0 \le x \le x_0 s'écrit :

L'impulsion s étant très brève, chaque terme est non nul uniquement lorsque son argument est proche de 0 :

• Le premier terme est localisé en x_1(t) = c_0(2T - t). Sa vitesse est \dfrac{\mathrm{d}x_1}{\mathrm{d}t} = -c_0 : c'est une onde se propageant vers les x décroissants (vers la gauche).
• Le second terme est localisé en x_2(t) = -c_0(2T - t). Sa vitesse est \dfrac{\mathrm{d}x_2}{\mathrm{d}t} = +c_0 : c'est une onde se propageant vers les x croissants (vers la droite).

Posons la variable temporelle centrée \tau = t - 2T :

• Pour \tau \le 0 (t \le 2T) : les deux impulsions convergent vers l'origine :

  u_{\mathrm{RT2}}(x, t) = \begin{cases} s\left(-\left(\tau + \dfrac{x}{c_0}\right)\right) & \text{pour } x > 0 \\[6pt] s\left(-\left(\tau - \dfrac{x}{c_0}\right)\right) & \text{pour } x < 0 \end{cases}

  En identifiant \tau au temps renversé t' de la question Q8, on reconnaît exactement la solution anti-causale (ou non-causale) convergente vers la source.

• Pour \tau \ge 0 (t \ge 2T) : les deux impulsions se sont croisées en x = 0 et s'éloignent de l'origine :

  u_{\mathrm{RT2}}(x, t) = \begin{cases} s\left(-\left(\tau - \dfrac{x}{c_0}\right)\right) & \text{pour } x > 0 \\[6pt] s\left(-\left(\tau + \dfrac{x}{c_0}\right)\right) & \text{pour } x < 0 \end{cases}

  En posant \tilde{s}(\tau) = s(-\tau), ces expressions correspondent à la solution causale divergente de la question Q7 émise depuis l'origine en \tau = 0.

Pour t < 2T, les deux ondes émises par les miroirs en x = \pm x_0 convergent vers l'origine x = 0 (comportement anti-causal). À l'instant t = 2T, elles se superposent exactement au point source.

En l'absence d'intervention en x = 0, ces deux paquets d'ondes se croisent librement et poursuivent leur propagation en s'éloignant de l'origine : l'onde venue de la droite part vers la gauche (x < 0) et celle venue de la gauche part vers la droite (x > 0). Cela donne naissance à l'onde divergente observée pour t \ge 2T (comportement causal).

Pour obtenir un champ strictement nul pour t \ge 2T, il faut empêcher les ondes de repartir depuis x = 0. Il faudrait donc :

afin qu'elle absorbe l'intégralité de l'énergie incidente au moment exact de la refocalisation temporelle (t = 2T).

De manière équivalente, on pourrait réaliser un contrôle actif en faisant émettre par la source en x = 0, à partir de t = 2T, une onde en opposition de phase exacte avec le champ d'onde sortant pour l'annihiler par interférences destructives.