Polytechnique Physique A PC 2025Sujet et corrigé

Miroirs à retournement temporel

3,5(4 votes)

Faisable en Sup

Faisable en sup ?

Faisable en partie en PCSI : 16 questions sur 37, partie I en entier. Autres questions faisables en PCSI

Détail par partie

Partie I : Questions préliminaires de mécanique5/5Faisable
Partie II : Ondes et renversement du temps2/7En partie
- Question 7
- Question 8
Partie III : Miroir à retournement temporel en milieu homogène9/15En partie
Partie IV : Miroir à renversement du temps en milieu réverbérant0/102e année

Explorer les annales

BanqueX-ENS Année2025 FilièrePC MatièrePhysique

Annales X-ENS PC Physique X-ENS PC 2025 PC Physique Physique 2025

Téléchargements

Télécharger le sujet (PDF)

Corrigé détaillé en ligne

Corrigé sur Discord

Lire en ligne LaTeX Word

Rapport du jury : pas encore publié

Présentation du sujet

Miroirs à retournement temporel : renversement du temps, causalité et refocalisation des ondes

Le sujet étudie le concept de miroir à retournement temporel, qui enregistre un signal d'ondes puis le réémet en chronologie inverse pour refocaliser l'énergie sur la source initiale. Il part de considérations de mécanique sur l'invariance par renversement du temps, puis étudie l'équation d'ondes en une puis trois dimensions, la réflexion et la transmission à une interface, et enfin la refocalisation dans un milieu homogène puis réverbérant, en montrant l'intérêt de la complexité du milieu.

1Questions préliminaires de mécaniqueOn étudie l'invariance par renversement du temps du mouvement d'une particule chargée, puis son absence en présence d'un frottement fluide.
2Ondes et renversement du tempsOn établit les solutions causale et non causale de l'équation d'ondes à une dimension émises par une source ponctuelle, puis on étudie la réflexion et la transmission à une interface et leur comportement par renversement du temps.
3Miroir à retournement temporel en milieu homogèneOn construit le signal réémis par un miroir à retournement temporel à partir du signal enregistré, on montre la reconstruction de la solution causale, puis on étend l'étude au cas tridimensionnel avec une onde sphérique convergente et divergente.
4Contraintes expérimentalesOn évalue le nombre de capteurs nécessaires pour échantillonner correctement le champ sur une sphère de mesure.
5Miroir à retournement temporel en milieu réverbérantOn étudie la refocalisation dans une cavité de Fabry-Pérot puis dans un milieu réverbérant modélisé par une succession aléatoire d'échos, montrant que la complexité du milieu améliore la refocalisation avec un unique capteur.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 9,03 / 20 · écart-type 2,9 · 1 340 présents · où vous situez-vous ?

Moyenne: 9,03/ 20
Écart-type: 2,9
Présents: 1 340
Coefficient: 6
Durée: 4 h

Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Où je me situe ?

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : document officiel du concours. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Corrigé détaillé

37 questions

Indice, stratégie puis corrigé complet pour chaque question.

37 questions corrigées une à une : un indice, puis la stratégie, puis le corrigé complet avec le résultat encadré. Chaque question est vérifiée avant publication.

Voir les 29 autres questions

Ouvrir le corrigé détaillé Comment sont produits nos corrigés

Description

Ces sujets peuvent vous intéresser

Lecture du sujet en ligne

L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.

Sujet en PDF

ECOLE POLYTECHNIQUE ESPCI

CONCOURS D'ADMISSION 2025

MARDI 15 AVRIL 2025
08h00-12h00
FILIERE PC - Epreuve n

^\circ3

PHYSIQUE A (XE)

Durée: 4 heures
L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve

Miroirs à retournement temporel

Miroir à renversement du temps (illustration issue de [1])

Dans ce problème, on se propose d'étudier le concept de "miroirs à retournement temporel", développés sous l'impulsion du physicien français Mathias Fink. Il s'agit de faire remonter le temps et de faire vivre aux ondes leur propre passé. Ainsi, on peut créer un champ d'ondes qui revient se focaliser spatialement et temporellement sur les sources qui l'ont initialement généré. Cette propriété résulte de l'invariance par renversement du temps de la propagation.

Nous montrons analytiquement comment ces expériences sont d'autant plus performantes que le milieu de propagation est complexe, c'est-à-dire présentant de multiples ondes secondaires générées lors de réflexions.
[1] Mathias Fink, et al., "Time-reversed acoustics," Rep. Prog. Phys., vol. 63, p. 1933 (2000).

Questions préliminaires de mécanique

On s'intéresse à une particule de masse $m$ et de charge $q$ soumise à un champ électrique uniforme $E⃗ = E_0 u_x^(\to-)$ . À $t = 0$ , la particule située à l'origine a une vitesse initiale $v_0^(\to-) = v_0 u_x^(\to-)$ . Établir l'équation horaire $r⃗(t) = (x(t), y(t), z(t))$ d'évolution de la particule.
Que devient cette équation si on inverse le sens du temps $t \to - t$ ainsi que le signe de la condition initiale? Si l'équation reste inchangée, on parle d'invariance par renversement du temps du mouvement. Est-ce le cas?
Cette même particule (avec la même condition initiale que précédemment) est cette fois-ci soumise à un frottement fluide (caractérisé par la constante $K$ ) à la place du champ électrique. Établir l'équation horaire de la particule dans ces conditions.
A-t-on invariance par renversement du temps dans cette configuration?
Expliquer la différence fondamentale entre la force électrique et la force de frottement fluide qui conduit à cette différence de comportement vis-à-vis du renversement du temps. Mathématiquement, d'où vient cette différence?

Ondes et renversement du temps

On s'intéresse désormais au cas de l'équation d'ondes vérifiée par le champ d'ondes scalaire

u(r⃗, t)

dans un milieu homogène de célérité

c_0

en l'absence d'excitation initiale :

Δu(r⃗, t) - 1/(c_0^2)(\partial^2)/(\partialt^2)u(r⃗, t) = 0

Renversement du temps et causalité

Pour simplifier le problème, on commence à une dimension avec le champ d'ondes

u(x, t)

.
6. Supposons que

u(x, t)

est une solution de cette équation. Est-ce que

u(x, - t)

l'est aussi? Qu'est-ce que cela signifie physiquement?
7. On place en

x = 0

une source qui émet un signal temporel

s(t)

. Cette émission donne naissance à une onde se propageant vers les

x

positifs et une onde se propageant vers les

x

négatifs, et pour des raisons de symétrie ces deux ondes doivent avoir la même amplitude. Donner la solution analytique

u_0(x, t \geq 0)

, dite solution causale, à ce problème en séparant les cas

x > 0

x < 0

. Expliquer à quoi correspondent les différents termes de cette solution.
8. On effectue l'opération de renversement du temps (

t^' = - t

). Comment s'écrit l'onde, dite non-causale,

u_0(x, t^' \leq 0)

? Interpréter le résultat.

Passage d'une interface

On considère une interface en $x = 0$ séparant 2 milieux de célérités respectives $c_1$ pour $x \leq 0$ et $c_2$ pour $x > 0$ . On suppose une onde incidente d'amplitude 1 sur cette interface depuis $x = - \infty$ . Elle donne naissance à une onde transmise d'amplitude $t_(12)$ et une onde réfléchie d'amplitude $r_(12)$ comme représenté sur le schéma suivant :
Faire le schéma de la situation précédente en supposant un renversement du temps (on pensera à bien préciser les différentes amplitudes des ondes en jeu). Combien d'ondes sont incidentes sur l'interface? Et combien d'ondes en repartent?
On note $r_(21)$ et $t_(21)$ les coefficients de réflexion et de transmission dans la situation duale de la précédente où l'onde incidente d'amplitude 1 provient de $x = + \infty$ . En réécrivant la situation renversée temporellement, qui a été analysée à la question précédente, comme une superposition de deux situations usuelles de transmission/réflexion évaluer $t_(21)$ et $r_(21)$ en fonction de $r_(12)$ et $t_(12)$ .
Ces relations sont-elles vérifiées dans le cas d'une onde optique se propageant vers une interface entre un milieu d'indice $n_1$ et un milieu d'indice $n_2$ ?

Miroir à retournement temporel en milieu homogène

Plutôt que d'effectuer un renversement du temps intégral, on propose de fabriquer un "miroir à renversement du temps". Celui-ci consiste à enregistrer le signal reçu dans une première phase puis à réémettre en chronologie inverse ce signal.

Considérations temporelles

Dans la première phase, notre miroir $M$ situé en $x_0 > 0$ enregistre le signal $R(t)$ reçu lorsque la source $S$ située en $x = 0$ émet un signal $s(t)$ . Donner l'expression de $R(t)$ .
Ce signal est enregistré pendant un temps $T$ (choisi suffisamment long afin que la totalité du signal issu de la source soit arrivé). Puis, à l'instant $t = T, M$ réémet le signal qu'il a reçu, mais en le lisant avec une chronologie inverse (ce qui est arrivé juste avant $t = T$ est émis quasiimmédiatement alors que ce qui avait été reçu proche de $t = 0$ est maintenant émis proche de l'instant $t = 2T$ ).
Dessiner sur un axe temporel allant de 0 à $2T$ , le signal $s(t)$ (choisir la forme), puis le signal $R(t)$ , et enfin le signal $R_(RT)(t)$ que va émettre le miroir à retournement temporel.
Donner l'expression de $R_(RT)(t)$ en fonction du signal $s$ évalué à un instant $t^'$ que l'on précisera en fonction de $t, T, x_0$ et $c_0$ .
Suite à l'émission de $R_(RT)(t)$ par le point $M$ , des ondes se propagent dans notre milieu unidimensionnel, mais on ne va se concentrer que sur les ondes produites pour $x \leq x_0$ (on oublie les ondes partant dans la direction $x \to \infty$ ).
Écrire le champ d'onde $u_(RT)(x, t)$ créé pour $x \leq x_0$ suite à l'émission de $R_(RT)(t)$ à nouveau en fonction du signal $s$ évalué à un nouvel instant $t^'$ que l'on précisera en fonction de $t, T, x$ et $c_0$ .
Que vaut le signal $s_(RT)(t)$ reçu en $x = 0$ ? Comment ce résultat est-il présenté sur la figure en début d'énoncé?
Dans la situation précédente, nous n'avons pas recréé l'intégralité de la solution souhaitée. En effet, il nous faut également récupérer l'information partie en direction de $x = - \infty$ . Ainsi, on place un deuxième miroir à renversement du temps en $x = - x_0$ qui émet en même temps que le miroir placé en $x = x_0$ .
Calculer le nouveau champ global $u_(RT2)(x, t)$ résultant pour $- x_0 \leq x \leq x_0$ .
On imagine que $s(t)$ correspond à une impulsion brève (relativement à tous les autres temps en jeu dans ce problème). Représenter le champ $u_(RT2)(x, t)$ à plusieurs instants autour du temps caractéristique $t = 2T$ . À un changement d'origine du temps près, identifier les solutions causales et anti-causales présentées précédemment.
Que faudrait-il faire au niveau de la source pour ne recréer que la solution anti-causale (à savoir avoir un champ nul pour $t \geq 2T$ ).

Considérations spatiales

Pour mieux appréhender le problème spatialement suite à ces considérations de causalité, il est utile de se placer dans un problème tridimensionnel.
21. Que devient l'équation d'ondes appliquée à

u(r⃗, t)

pour un problème à symétrie sphérique? On rappelle la relation en coordonnées sphériques :

ΔΨ \equiv 1/r(\partial^2 rΨ)/(\partialr^2) + 1/(r^2)[1/(sinθ)(\partialsinθ\partialΨ/\partialθ)/(\partialθ) + 1/(sin^2 θ)(\partial^2 Ψ)/(\partialφ^2)]

.
22. Que devient cette équation en régime monochromatique

u(r, t) = ℜ(u_-(r, ω)e^(- iωt))

.
23. Déduire des solutions de cette équation l'expression analytique des ondes acoustiques monochromatiques convergente

u_c_-(r, ω)

et divergente

u_d_-(r, ω)

. On introduira respectivement

U_c

U_d

les amplitudes (complexes) de ces deux ondes.
24. On place une source monochromatique en

r⃗ = 0\to

qui génère donc une onde divergente. Cette onde est enregistrée sur une sphère (centrée sur l'origine) qui constitue notre "miroir à retournement temporel". Puis, on suppose que cette sphère émet ce champ retourné temporellement comme précédemment. La sphère génère une onde convergente qui revient vers la source initiale, mais comme précédemment cette onde ne s'arrête pas et poursuit sa route donnant naissance à une onde divergente. Ainsi, après retournement temporel le champ total est la superposition d'une onde convergente et d'une divergente.
Afin de garantir une solution finie en

r = 0

, montrer qu'il existe une relation simple entre

U_c

U_d

qu'on exprimera. Par la suite, on note

U_c = U_0

.
25. Tracer le module du champ total, superposition de ces 2 ondes, en fonction de

r

. On précisera une longueur caractéristique.
26. Ce calcul met en évidence que la refocalisation par retournement temporel ne permet pas de revenir parfaitement sur la source initiale. De quelle limite fondamentale de la physique ondulatoire s'agit-il? Dans quelle application la retrouve-t-on?

Contraintes expérimentales

Expérimentalement, on ne peut pas non plus enregistrer le champ intégral sur la sphère englobant la source initiale mais on doit enregistrer sur un réseau de capteurs discrets. Pour avoir un échantillonnage suffisant du champ il faut que chaque capteur corresponde à un élément de surface $(λ^2)/4$ .
Combien faudrait-il de capteurs pour couvrir une sphère de rayon $10λ$ ?

Miroir à renversement du temps en milieu réverbérant

Pour garder les performances de la sphère mais en utilisant un miroir à retournement temporel composé d'un unique élément, l'idée est de se placer dans un milieu réverbérant plutôt que de rester en espace libre homogène. De cette manière, un récepteur unique placé en

M

situé dans ce milieu réverbérant ne reçoit pas seulement un trajet direct mais une superposition de signaux correspondant à tous les échos sur les parois de cette cavité réverbérante.

Cavité Fabry-Pérot

Commençons par le cas uni-dimensionnel mais ajoutons un peu de complexité au milieu. Pour cela, nous nous plaçons dans la situation où l'on a 2 interfaces en

x = \pm L

. Le milieu de célérité

c_2

occupe l'espace

- L < x < L

alors que la célérité vaut

c_1

partout ailleurs. On reprend ainsi les coefficients de transmission et réflexion

t_(12), t_(21), r_(12)

r_(21)

introduits précédemment.
28. On considère une source située en

x = - x_0

qui émet un signal

s(t)

. Évaluer l'expression
mathématique du champ

R(t)

reçu en

M

situé en

x = x_0

(avec

x_0 > L

) en considérant les éventuelles multiples réflexions aux différentes interfaces.
29. On suppose

s(t) = exp(- (t^2)/(2τ^2))

avec

τ

un temps caractéristique plus court que les autres temps en jeu. Tracer l'allure de

R(t)

.
30. Comme en espace libre précédemment, le signal

R(t)

est lu en chronologie inverse puis réémis après un temps

T

que l'on considèrera suffisamment long afin de s'assurer que l'intégralité du signal a été reçu.
Calculer le signal temporel,

s_(RT)(t)

, reçu en

x = - x_0

consécutif à cette émission en fonction de

T

, des coefficients de réflexion et transmission et

s(t)

. En se plaçant dans les hypothèses de la question précédente, dessiner l'allure du signal. Retrouve-t-on le signal initialement émis?
31. Afin de comprendre plus en détail ce qu'il s'est passé dans cette expérience impulsionnelle, il peut-être utile de regarder ce qu'il se passe en régime monochromatique. Imaginons que le signal émis est de la forme

s(t) = ℜ{S(ω)_–exp(− iωt)}

.
Évaluer la réponse monochromatique

R(ω)_-

reçue en

M

situé en

x = x_0

à la pulsation

ω

.
32. Quelles sont les fréquences de résonance de ce système? Quelle condition vérifie la longueur

L

à ces fréquences?
33. À la lumière de cette réponse monochromatique, expliquer pourquoi l'expérience utilisant un miroir à retournement temporel composé d'un unique capteur dans cette configuration ne peut pas recréer le signal initial comme c'était le cas en milieu homogène.

Milieu réverbérant

Pour pallier ce problème, on imagine maintenant une situation bien plus complexe à 3 dimensions où la source et le miroir à retournement temporel sont situés dans un milieu présentant plus de diversité, ce qui est le cas d'une cavité réverbérante. Dans ces conditions, lorsque la source émet une impulsion brève de durée

τ

comme précédemment, on va supposer que le signal

R(t)

reçu en

M

se met sous la forme d'une succession d'impulsions :

R(t) = \sum_(n = 0)^(N_t)a_n s(t - t_0 - nτ)

où les

a_n

correspondent à une amplitude aléatoire comprise entre -1 et

1, t_0

à un temps caractéristique avant l'arrivée du premier signal, et

N_t

correspond au nombre d'échos enregistrés (que l'on supposera relativement grand).
34. Par retour inverse des ondes, le signal reçu en

r⃗ = 0\to

lorsque

M

émet une impulsion

s(t)

subit la même modification qu'à l'aller. Que vaut le signal

s_(RT)(t)

reçu à l'origine lorsque

M

joue le rôle de "miroir à retournement temporel"?
35. Que vaut ce signal à

t = 2T

? On rappelle que les amplitudes

a_n

correspondent à des variables aléatoires à moyenne nulle, considérées indépendantes les unes des autres.
36. Que vaut le champ reçu pour tous les instants

t = 2T + nτ

?
37. Commenter.

Questions fréquentes

4 questions

Sur quels chapitres porte le sujet Physique A X-ESPCI PC 2025 ?

Il porte sur l'équation de propagation des ondes, la réflexion et la transmission à une interface, les ondes sphériques et les cavités résonantes, avec une introduction de mécanique du point sur l'invariance par renversement du temps.

Faut-il des connaissances en probabilités pour ce sujet ?

Oui, la dernière partie sur le milieu réverbérant utilise des notions élémentaires de variables aléatoires indépendantes de moyenne nulle pour expliquer la refocalisation du signal.

Ce sujet est-il accessible en première année de prépa ?

Les questions préliminaires de mécanique et l'équation de propagation des ondes relèvent du programme de première année, mais l'exploitation en régime monochromatique et l'étude des cavités résonantes supposent des outils vus en deuxième année.

Quel est le fil conducteur du sujet Physique A X-ESPCI PC 2025 ?

Le sujet suit la construction progressive du concept de miroir à retournement temporel, du cas simple d'une onde en milieu homogène jusqu'à son intérêt accru dans un milieu réverbérant complexe.

Pas de description pour le moment

Commentaires• Polytechnique Physique A PC 2025

Connectez-vous pour participer aux discussions

Partagez vos avis, posez des questions et échangez avec la communauté

Chargement des commentaires...