Corrigé détaillé Polytechnique Physique A PC 2025 (page 2/2 : Partie III (questions 21 à 27) et partie IV)

Pour un problème invariant par rotation autour de l'origine (symétrie sphérique), le champ d'onde scalaire ne dépend que de la distance radiale r = \|\vec{r}\| et du temps t :

Les dérivées partielles par rapport aux coordonnées angulaires \theta et \phi sont donc nulles :

Le laplacien scalaire en coordonnées sphériques fourni par l'énoncé se réduit alors à sa seule composante radiale :

En injectant cette expression dans l'équation d'ondes (1), on obtient :

En multipliant par r \neq 0, cette équation se réécrit de façon équivalente sous la forme d'une équation de d'Alembert unidimensionnelle sur la fonction auxiliaire \chi(r, t) = r\,u(r, t) :

D'après la question Q21, l'équation d'ondes pour un champ à symétrie sphérique u(r,t) s'écrit :

En représentation complexe avec la convention u(r,t) = \Re\left(\underline{u}(r,\omega)\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t}\right), la dérivation temporelle seconde se traduit par une multiplication par (-\mathrm{i}\omega)^2 = -\omega^2 :

L'amplitude complexe \underline{u}(r,\omega) vérifie donc l'équation de Helmholtz à symétrie sphérique :

En introduisant le vecteur d'onde (ou nombre d'onde) k = \dfrac{\omega}{c_0} et en multipliant par r, on obtient :

On peut également l'écrire sous forme développée :

D'après l'équation de Helmholtz obtenue à la question Q22 :

La variable auxiliaire r\underline{u}(r, \omega) est combinaison linéaire des fonctions \mathrm{e}^{ikr} et \mathrm{e}^{-ikr} :

où U_c et U_d sont deux constantes d'intégration complexes. En revenant au champ réel u(r, t) = \mathrm{Re}\left(\underline{u}(r, \omega)\,\mathrm{e}^{-i\omega t}\right), on analyse le comportement de chacune des deux composantes :

• Pour la composante associée à U_d :

  \frac{U_d}{r}\,\mathrm{e}^{i(kr - \omega t)} = \frac{U_d}{r}\,\mathrm{e}^{-i\omega\left(t - \frac{r}{c_0}\right)}

  Les surfaces d'onde correspondent à t - \frac{r}{c_0} = \text{cste}, soit r(t) = c_0 t + \text{cste}. La phase se propage dans le sens des r croissants (vers l'extérieur) : il s'agit de l'onde divergente.

• Pour la composante associée à U_c :

  \frac{U_c}{r}\,\mathrm{e}^{-i(kr + \omega t)} = \frac{U_c}{r}\,\mathrm{e}^{-i\omega\left(t + \frac{r}{c_0}\right)}

  Les surfaces d'onde correspondent à t + \frac{r}{c_0} = \text{cste}, soit r(t) = -c_0 t + \text{cste}. La phase se propage dans le sens des r décroissants (vers l'origine) : il s'agit de l'onde convergente.

On obtient donc les expressions analytiques des amplitudes complexes associées :

D'après la question Q23, le champ d'ondes total issu de la superposition de l'onde convergente et de l'onde divergente s'écrit en représentation complexe :

Effectuons un développement limité des exponentielles au voisinage de r = 0 :

Le champ complexe s'écrit donc au voisinage de l'origine :

Pour que le champ physique reste fini (non divergent) en r = 0 en l'absence de source ou de puits à l'origine, le terme singulier en 1/r doit nécessairement s'annuler, ce qui impose :

En posant U_c = U_0, on obtient la relation :

Le champ spatial s'écrit alors de façon régulière :

qui tend bien vers la valeur finie -2\mathrm{i} k U_0 lorsque r \to 0.

D'après la question Q24, l'amplitude complexe du champ total s'écrit pour tout r > 0 :

avec k = \frac{\omega}{c_0} = \frac{2\pi}{\lambda}, où \lambda est la longueur d'onde acoustique associée.

Le module du champ total s'exprime donc par :

Étudions cette fonction pour r \ge 0 :

• À l'origine (r \to 0) : \lim_{r \to 0} \frac{\sin(kr)}{kr} = 1, de sorte que le champ atteint son maximum absolu :

  |\underline{u}(0, \omega)| = 2 k |U_0| = \frac{4\pi}{\lambda} |U_0|

• Zéros d'annulation : le module s'annule lorsque \sin(kr) = 0 pour r > 0, c'est-à-dire :

  kr = m\pi \quad \iff \quad r = m \frac{\lambda}{2} \quad (m \in \mathbb{N}^*)

  Le premier zéro d'annulation est ainsi situé en :

  \boxed{ r_1 = \frac{\pi}{k} = \frac{\lambda}{2} }

  Cette distance r_1 = \frac{\lambda}{2} (ou la longueur d'onde \lambda) constitue la longueur caractéristique de la tache de focalisation.

• Lobes secondaires : des maxima locaux décroissants en 1/r apparaissent entre deux zéros consécutifs, le premier lobe secondaire culminant à environ 21{,}7\,\% du pic central (pour kr \approx 4{,}49, soit r \approx 0{,}71\,\lambda).

Il s'agit de la limite de diffraction (ou critère de Rayleigh / limite d'Abbe).

En physique ondulatoire, une onde propagative ne transporte que des composantes spectrales spatiales de norme inférieure ou égale à k = \omega/c_0. Les détails spatiaux de la source de dimensions sub-longueur d'onde (r \ll \lambda) sont associés à des ondes évanescentes qui s'atténuent exponentiellement avec la distance et ne parviennent pas jusqu'à la sphère réceptrice. Le miroir à retournement temporel n'enregistre et ne réémet donc que la partie propagative du champ, ce qui borne la résolution spatiale de refocalisation à une demi-longueur d'onde environ (\sim \lambda/2).

On retrouve cette limite fondamentale dans de nombreuses applications :

• en microscopie optique classique, où elle fixe le pouvoir de résolution ultime (résolution d'Abbe d \sim \lambda / (2\,\mathrm{ON})), ce qui interdit de distinguer des détails biologiques plus petits qu'environ 200\text{--}250\text{ nm} dans le visible ;
• en imagerie médicale et thérapie par ultrasons (échographie, destruction de calculs par lithotripsie ou de tumeurs par ultrasons focalisés de haute intensité / HIFU), où la tache focale acoustique est bornée par \lambda/2 ;
• en astronomie, où le pouvoir séparateur angulaire d'un télescope de diamètre D est borné par le critère de Rayleigh \theta \sim 1{,}22\,\lambda/D ;
• en photolithographie pour la microélectronique, où la finesse de gravure des circuits intégrés est contrainte par la diffraction de la lumière utilisée (imposant le recours aux UV extrêmes EUV, \lambda \approx 13{,}5\text{ nm}).

L'aire totale \mathcal{S} d'une sphère de rayon R = 10\lambda s'écrit :

Chaque capteur occupant une surface élémentaire s_{\mathrm{c}} = \frac{\lambda^2}{4}, le nombre minimal N de capteurs nécessaires pour paver cette surface sphérique est donné par le rapport :

En prenant l'approximation \pi \approx 3{,}14, on évalue numériquement :

L'onde émise en x = -x_0 se propage d'abord dans le milieu 1 jusqu'à l'interface en x = -L sur une distance x_0 - L, avec une célérité c_1 :

À l'interface x = -L, l'onde pénètre dans le milieu 2 avec un coefficient de transmission t_{12}. Elle parcourt la cavité d'épaisseur 2L de x = -L à x = +L avec la célérité c_2 en une durée :

À l'interface x = +L :

• Une fraction est transmise dans le milieu 1 avec le coefficient de transmission t_{21}, puis se propage jusqu'au capteur en x = x_0 sur une distance x_0 - L en une durée \tau_1. C'est le trajet direct (p = 0).
• Le reste est réfléchi vers l'intérieur avec le coefficient de réflexion r_{21}, revient en x = -L (durée \tau_2), s'y réfléchit à nouveau avec le coefficient r_{21}, et retourne vers x = +L (durée \tau_2).

Chaque aller-retour complet au sein de la cavité correspond donc à :

• deux réflexions internes sur les interfaces en x = \pm L, introduisant un facteur multiplicatif r_{21}^2 sur l'amplitude ;
• une durée supplémentaire \Delta t = 2\tau_2 = \dfrac{4L}{c_2}.

Pour un paquet d'ondes ayant effectué p allers-retours (p \in \mathbb{N}), le temps total de parcours est :

et son amplitude est multipliée par t_{12} t_{21} r_{21}^{2p}.

Par superposition linéaire des ondes, le signal total reçu en M s'écrit :

avec t_0 = 2\dfrac{x_0 - L}{c_1} + \dfrac{2L}{c_2}.

D'après le résultat de la question Q28, le signal reçu en x = x_0 s'écrit :

avec t_0 = 2\,\frac{x_0 - L}{c_1} + \frac{2L}{c_2} le temps de trajet direct et \Delta t = \frac{4L}{c_2} la durée d'un aller-retour dans la cavité.

Le signal émis s(t) = \exp\left(-\frac{t^2}{2\tau^2}\right) est une impulsion gaussienne de durée caractéristique \tau. Puisque \tau \ll \Delta t, les impulsions successives ne se recouvrent pas : R(t) se présente comme un train d'impulsions gaussiennes disjointes, centrées aux instants successifs :

L'amplitude de l'impulsion de rang p vaut :

D'après les relations de Stokes établies à la question Q11, t_{12} t_{21} = 1 - r_{12}^2 > 0 et r_{21}^2 < 1. Par conséquent :

• tous les pics sont de même signe (positifs), car chaque écho supplémentaire subit deux réflexions successives de coefficient r_{21}, soit un facteur r_{21}^2 > 0 ;

• les amplitudes décroissent géométriquement selon une loi exponentielle en fonction du temps :

  A(t) \propto \mathrm{e}^{-\gamma t} \quad \text{avec} \quad \gamma = -\frac{2\ln|r_{21}|}{\Delta t} > 0

Le miroir situé en x = x_0 enregistre le signal R(t) puis le réémet en chronologie inverse :

Par symétrie spatiale du dispositif par rapport à l'origine x=0, le trajet retour de x_0 à -x_0 est rigoureusement identique au trajet aller de -x_0 à x_0. Une onde issue de x_0 subit :

• une transmission à l'interface x = L (coefficient t_{12}),
• un nombre q \in \mathbb{N} d'allers-retours dans la cavité [-L, L] (chacun de durée \Delta t = \frac{4L}{c_2} et associé à deux réflexions internes de coefficient r_{21}),
• une transmission à l'interface x = -L (coefficient t_{21}),
• un temps de vol direct total t_0 = 2\frac{x_0 - L}{c_1} + \frac{2L}{c_2}.

Le signal reçu en x = -x_0 s'écrit donc :

En injectant l'expression de R(t') obtenue à la question Q28 :

évaluée en t' = 2T - t + t_0 + q \Delta t, on obtient :

Posons m = q - p \in \mathbb{Z}. Pour m fixé, sommons sur l'indice libre :

• Si m \ge 0, posons q = p + m avec p \ge 0, d'où p + q = 2p + m :

  \sum_{p=0}^{+\infty} r_{21}^{2(2p+m)} = r_{21}^{2m} \sum_{p=0}^{+\infty} (r_{21}^4)^p = \frac{r_{21}^{2m}}{1 - r_{21}^4}

• Si m < 0, posons p = q + |m| avec q \ge 0, d'où p + q = 2q + |m| :

  \sum_{q=0}^{+\infty} r_{21}^{2(2q+|m|)} = \frac{r_{21}^{2|m|}}{1 - r_{21}^4}

Par conséquent, pour tout m \in \mathbb{Z}, le préfacteur vaut \frac{r_{21}^{2|m|}}{1 - r_{21}^4}. D'après la question Q11, t_{12} t_{21} = 1 - r_{21}^2, d'où :

Le signal reçu en x = -x_0 s'exprime finalement sous la forme :

Puisque s(t) = \exp\left(-\frac{t^2}{2\tau^2}\right) est paire et que \tau \ll \Delta t, les impulsions s(2T - t + m\Delta t) sont disjointes et centrées sur les instants discrets t_m = 2T + m\Delta t. Le signal présente une symétrie par rapport à t = 2T, avec un pic principal en t = 2T et une décroissance géométrique des amplitudes de part et d'autre :

Conclusion : Non, on ne retrouve pas le signal initialement émis. Le signal d'origine était une unique impulsion brève en t = 0. Le signal retourné reçu en x = -x_0 comporte, en plus du pic central à t = 2T, une infinité de pré-échos (t < 2T) et de post-échos (t > 2T).

D'après la question Q28, le signal temporel reçu en M (x = x_0) est relié au signal émis en x = -x_0 par :

où t_0 = 2\frac{x_0 - L}{c_1} + \frac{2L}{c_2} est le temps de vol direct et \Delta t = \frac{4L}{c_2} est la durée d'un aller-retour dans la cavité.

En régime monochromatique, avec la notation complexe s(t) = \Re\{\underline{S}(\omega)\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t}\}, le signal retardé s(t - \tau) correspond à l'amplitude complexe :

Par linéarité de la propagation, le champ reçu en x = x_0 s'écrit sous la forme R(t) = \Re\{\underline{R}(\omega)\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t}\}, où l'amplitude complexe \underline{R}(\omega) vaut :

Comme |r_{21}| < 1 en l'absence d'amplification, la raison vérifie |r_{21}^2 \mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega \Delta t}| = r_{21}^2 < 1. Il s'agit d'une série géométrique convergente de somme :

On en déduit l'expression de la réponse monochromatique :

avec t_0 = 2\frac{x_0 - L}{c_1} + \frac{2L}{c_2} et \Delta t = \frac{4L}{c_2}.

D'après la question Q31, l'amplitude complexe transmise s'écrit :

avec \Delta t = \frac{4L}{c_2} la durée d'un aller-retour dans la cavité de largeur 2L.

Le gain en amplitude est maximal lorsque le dénominateur est de module minimal. Comme r_{21}^2 \in ]0, 1[, ce minimum est atteint lorsque le terme \mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega \Delta t} = 1, c'est-à-dire :

On en déduit les pulsations de résonance :

Les fréquences de résonance correspondantes valent donc :

En introduisant la longueur d'onde dans le milieu intermédiaire \lambda_{2,m} = \frac{c_2}{f_m}, cette condition de résonance s'écrit :

soit :

La demi-longueur L est un multiple entier du quart de la longueur d'onde acoustique dans le milieu 2, ce qui signifie que l'épaisseur totale de la cavité, 2L, est un multiple entier de la demi-longueur d'onde dans ce milieu.

D'après la question Q31, la propagation à l'aller de la source en x = -x_0 vers le récepteur en x = x_0 est décrite par la fonction de transfert H(\omega) telle que :

L'opération de retournement temporel R_{\mathrm{RT}}(t) = R(2T - t) correspond, dans le domaine fréquentiel, à une conjugaison complexe associée au décalage temporel global 2T :

Par réciprocité spatiale (symétrie du système de part et d'autre de l'origine), la propagation retour depuis x = x_0 jusqu'en x = -x_0 applique exactement la même fonction de transfert H(\omega) au signal réémis. Le signal reçu à la source s'écrit donc :

Le facteur de phase est parfaitement compensé par le retournement temporel, mais l'amplitude spectrale est modulée par la transmittance énergétique |H(\omega)|^2 :

• En milieu homogène : la propagation se réduit à un simple déphasage pur H_0(\omega) = \mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t_0}, de sorte que |H_0(\omega)|^2 = 1 à toutes les fréquences. Le spectre en amplitude est rigoureusement préservé, permettant une refocalisation temporelle parfaite : s_{\mathrm{RT}}(t) = s(2T - t).
• Dans la cavité Fabry-Pérot : |H(\omega)|^2 n'est pas constante mais constitue un filtre peigne très sélectif (fonction d'Airy) qui privilégie fortement les fréquences de résonance \omega_m = m \frac{2\pi}{\Delta t} et atténue les fréquences intermédiaires. Cette distorsion de l'amplitude spectrale se traduit temporellement par la dispersion du signal en une infinité de pré-échos et de post-échos autour de t = 2T, comme établi à la question Q30.

Lors de la phase de réémission, le miroir à retournement temporel situé en M réémet le signal enregistré en chronologie inverse avec un décalage global de 2T (conformément aux questions Q14 et Q15) :

En utilisant l'expression du signal enregistré R(t) = \sum_{n=0}^{N_t} a_n s(t - t_0 - n\tau), il vient :

Par invariance par retour inverse et linéarité du milieu, l'émission depuis M d'un signal quelconque e(t) produit à l'origine \vec{r} = \vec{0} le signal :

En appliquant cette transformation au signal émis e(t) = R_{\mathrm{RT}}(t), le signal reçu à l'origine s'écrit :

L'argument de la fonction s pour chaque couple de trajets (m, n) devient :

On en déduit l'expression du signal reçu à l'origine :

D'après la question Q34, le signal reçu à l'origine s'écrit :

En t = 2T, cette expression devient :

L'impulsion s(t) étant de durée caractéristique \tau (par exemple gaussienne s(t) = \mathrm{e}^{-t^2/(2\tau^2)}), pour tout entier k = m - n \neq 0, le décalage |k|\tau \ge \tau rend le terme s(k\tau) négligeable devant la valeur crête s(0). En ne conservant que les termes diagonaux m = n :

Calculons l'espérance mathématique de cette grandeur. Les amplitudes a_n sont des variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées, de moyenne nulle \langle a_n \rangle = 0. En supposant une distribution uniforme sur l'intervalle [-1, 1], leur variance (et moment d'ordre 2) vaut :

On en déduit la valeur moyenne du signal reçu :

Comme le nombre d'échos N_t est supposé grand (N_t \gg 1), la loi des grands nombres garantit que la somme des variables positives a_n^2 présente des fluctuations relatives négligeables (de l'ordre de 1/\sqrt{N_t}). Ainsi, le signal instantané est quasi-déterministe et vaut :

D'après la question Q34, l'expression générale du signal reçu à l'origine s'écrit :

Évaluons ce champ aux instants t = 2T + n\tau, où n \in \mathbb{Z} :

L'impulsion s(t) ayant une durée caractéristique très inférieure à \tau, on a s(k\tau) \approx 0 pour tout k \neq 0. Seuls contribuent les indices vérifiant la condition de coïncidence temporelle :

On distingue alors trois cas selon la valeur de n :

• Pour n = 0 (t = 2T) : tous les termes de la diagonale (m = l) s'additionnent de manière cohérente (résultat établi à la question Q35) :

  s_{\mathrm{RT}}(2T) = s(0) \sum_{l=0}^{N_t} a_l^2 \approx \frac{N_t}{3} s(0)

• Pour 0 < |n| \le N_t : la condition impose m = l + n. Le nombre de termes contribuant à la somme est N_t - |n| + 1 \approx N_t - |n|. Le champ s'écrit :

  s_{\mathrm{RT}}(2T + n\tau) \approx s(0) \sum_{l} a_{l+n} a_l

  Puisque n \neq 0, les indices l+n et l sont distincts. Les amplitudes a_{l+n} et a_l sont des variables aléatoires indépendantes et centrées (\langle a_k \rangle = 0). L'espérance mathématique du champ reçu est donc rigoureusement nulle :

  \langle s_{\mathrm{RT}}(2T + n\tau) \rangle = s(0) \sum_{l} \langle a_{l+n} \rangle \langle a_l \rangle = 0

  Les fluctuations autour de zéro (valeur efficace du résidu) sont données par la variance d'une somme de termes indépendants :

  \begin{aligned} \mathrm{Var}\left(\sum_{l} a_{l+n} a_l\right) &= \sum_{l} \mathrm{Var}(a_{l+n} a_l) = (N_t - |n|) \, \langle a_{l+n}^2 \rangle \langle a_l^2 \rangle \\ &= (N_t - |n|) \left(\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{N_t - |n|}{9} \end{aligned}

  L'amplitude typique de ce bruit de fond (ou « speckle temporel ») est donc de l'ordre de :

  \sigma_n \sim \frac{\sqrt{N_t - |n|}}{3} |s(0)|

• Pour |n| > N_t : il n'existe aucun couple (m, l) tel que m - l = n, le champ reçu est donc strictement nul :

  s_{\mathrm{RT}}(2T + n\tau) = 0

En résumé :

Les résultats des questions Q35 et Q36 mettent en lumière le principe physique et l'efficacité remarquable du miroir à retournement temporel en milieu réverbérant :

• Recompression temporelle (focalisation temporelle) : Lors de la propagation aller, le signal initialement bref s(t) est dispersé et étalé dans le temps sous la forme d'une ondelette complexe de durée N_t \tau \gg \tau, constituée d'une multitude d'échos secondaires. Après retournement temporel et réémission par l'unique capteur en M, tous les trajets acoustiques interfèrent constructivement à l'instant précis t = 2T au niveau de la source initiale (\vec{r} = \vec{0}) :

  s_{\mathrm{RT}}(2T) \propto N_t \, s(0)

  Pour tous les autres instants t \neq 2T, les interférences entre trajets distincts sont incohérentes et de moyenne nulle, se réduisant à un bruit de fond temporel fluctuant en \mathcal{O}(\sqrt{N_t}).

• Contraste et rapport signal sur bruit : Le rapport de contraste entre l'amplitude du pic reconstitué et le niveau typique des fluctuations hors pic (bruit de réverbération résiduel) s'écrit :

  \frac{s_{\mathrm{RT}}(2T)}{\sigma_n} \sim \frac{N_t}{\sqrt{N_t}} = \sqrt{N_t} \xrightarrow[N_t \to +\infty]{} +\infty

  Plus le nombre d'échos collectés N_t est grand, plus le pic est net et se détache du fond.

• Apport fondamental de la complexité du milieu : En espace libre homogène, la refocalisation nécessitait une sphère fermée couverte d'un nombre considérable de capteurs (N \approx 5\,000 à la question Q27). Dans un milieu réverbérant ou multiplement diffusant, les multiples réflexions sur les parois replient l'espace sur le capteur unique. Les échos successifs se comportent comme une infinité de transducteurs virtuels répartis dans l'espace. Le milieu convertit ainsi la diversité spatiale en diversité temporelle.

  On retrouve analytiquement l'affirmation mentionnée dans le préambule du sujet : le retournement temporel est d'autant plus performant et robuste que le milieu de propagation est complexe et multiplement diffusant.