Corrigé détaillé Centrale Physique 2 PC 2023

La masse de référence est celle du prototype international du kilogramme, soit m = 1\text{ kg}. L'écart absolu mesuré est :

L'écart relatif en masse vaut donc :

Plusieurs phénomènes physico-chimiques peuvent expliquer cette dérive au cours du temps entre le prototype et ses copies :

1. Adsorption et contamination de surface : malgré les cloches de protection, des gaz atmosphériques, de la vapeur d'eau ou des polluants organiques (hydrocarbures) peuvent s'adsorber à la surface de l'alliage (platine-iridium), augmentant sa masse.
2. Usure mécanique et nettoyage : les manipulations lors des comparaisons périodiques ainsi que les protocoles de nettoyage destinés à décontaminer la surface peuvent retirer de la matière par abrasion microscopique, réduisant ainsi la masse.
3. Dégazage : des gaz occlus dans la matrice métallique lors de sa fabrication peuvent lentement désorber vers l'extérieur.

L'utilisation d'un artéfact matériel comme étalon primaire présente plusieurs inconvénients majeurs :

• Instabilité temporelle et manque de pérennité : La masse d'un objet matériel n'est pas constante dans le temps en raison de processus physico-chimiques inévitables (adsorption, dégazage, oxydation) et de l'usure mécanique liée aux manipulations. De plus, il existe un risque irréversible d'altération accidentelle, de dégradation ou de perte de l'artéfact.
• Inaccessibilité et défaut d'universalité : L'artéfact étant unique et localisé en un lieu précis (au Bureau International des Poids et Mesures à Sèvres), il ne peut être utilisé directement par les différents laboratoires mondiaux. L'étalonnage nécessite la dissémination via des copies secondaires, ce qui impose des transports délicats, coûteux et générateurs d'incertitudes supplémentaires. Cela s'oppose au principe d'universalité du Système International (« À tous les temps, à tous les peuples »).
• Aporie métrologique : Par définition, la masse du prototype international était exactement de 1\text{ kg}, sans incertitude possible. Toute variation physique réelle de la masse du cylindre se répercutait donc sur la valeur de l'unité elle-même plutôt que d'être mesurée comme une dérive de l'objet, ce qui limitait fondamentalement la précision des mesures au niveau mondial.

1. Condition d'équilibrage et sens de la force :

La balance est articulée en son centre C et symétrique par rapport au plan (xCz). En présence de la masse m sur le plateau de droite, le poids \vec{P} = m\vec{g} = mg\,\vec{u}_z (l'axe (Oz) étant orienté vers le bas) exerce un moment par rapport à l'axe de rotation qui tend à faire basculer le fléau dans le sens horaire autour de Oy.

Pour maintenir le fléau à l'horizontale, la bobine située sur le plateau de gauche doit être soumise à une force de Laplace \vec{F} dirigée verticalement vers le bas, de même valeur que le poids :

2. Orientation du courant et calcul de la force de Laplace :

Soit (\vec{u}_r, \vec{u}_\theta, \vec{u}_z) la base cylindrique directe associée à l'axe vertical (Oz) orienté vers le bas. Dans cette base, la règle du tire-bouchon indique que \vec{u}_r \wedge \vec{u}_\theta = \vec{u}_z.

Le champ magnétique est radial et sortant : \vec{B} = B\,\vec{u}_r avec B > 0. Un élément infinitésimal de fil s'écrit \mathrm{d}\vec{\ell} = \mathrm{d}\ell\,\vec{u}_{\text{fil}}. La force élémentaire de Laplace subie par la spire s'écrit :

En choisissant \mathrm{d}\vec{\ell} = \mathrm{d}\ell\,\vec{u}_\theta, on obtient :

Pour que la force soit orientée selon +\vec{u}_z (vers le bas), il faut que le courant circule dans le sens -\vec{u}_\theta. Vu de dessus (c'est-à-dire en regardant dans le sens de +Oz), le sens trigonométrique correspond à -\vec{u}_\theta. Le courant doit donc circuler dans le sens anti-horaire (trigonométrique) vu de dessus.

La force élémentaire est alors verticale descendante et uniforme le long du fil :

En intégrant sur l'ensemble des spires de longueur totale l :

En convenant que l'intensité algébrique I est comptée positivement dans le sens -\vec{u}_\theta, la force qui agit sur la bobine s'écrit :

On étudie l'équilibre du fléau de la balance, de bras de levier identique L de part et d'autre du couteau d'appui C (symétrie par rapport au plan (xCz)), dans le référentiel terrestre supposé galiléen.

La balance étant initialement équilibrée en l'absence de masse m et de courant, les moments du poids propre du fléau et des suspensions se compensent exactement en C.

Lorsque la masse m est déposée sur le plateau de droite et que le courant I circule dans la bobine à gauche, le système est soumis aux actions verticales supplémentaires suivantes :

• le poids de la masse m sur le plateau de droite : \vec{P} = m\vec{g} = mg\,\vec{u}_z ;
• la force de Laplace exercée sur la bobine sur le plateau de gauche : \vec{F} = IBl\,\vec{u}_z.

Le théorème du moment cinétique appliqué au fléau à l'équilibre par rapport à l'axe de rotation horizontal passant par C donne :

soit :

D'après l'expression de la force de Laplace établie à la question Q3, F_z = IBl, d'où :

On en déduit l'expression de la masse m :

La bobine est constituée de N spires circulaires coaxiales de même diamètre moyen D. La longueur totale du fil s'écrit donc :

D'après la relation d'équilibre obtenue à la question Q4, en prenant la valeur absolue de l'intensité permettant de compenser le poids, la masse m s'exprime par :

Avec les données numériques suivantes :

• N = 600
• D = 260\text{ mm} = 0{,}260\text{ m}
• B = 1{,}0\text{ T}
• |I| = 10\text{ mA} = 1{,}0 \times 10^{-2}\text{ A}
• g = 9{,}81\text{ m}\cdot\text{s}^{-2}

La longueur totale vaut :

On en déduit :

Compte tenu de la précision des données (deux chiffres significatifs pour B et |I|) :

Soit L la longueur commune des deux bras du fléau (symétrie par rapport au plan (xCz)) et M_{\text{b}} la masse totale de l'équipage mobile du côté bobine. L'équilibrage initial à vide (I=0, m=0) en présence de la tare de masse M assure :

1. Première étape : on ajoute la masse m' sur le plateau de tare (côté opposé à la bobine) et on injecte le courant I_1. Le théorème du moment cinétique scalaire à l'équilibre s'écrit :

soit :

2. Seconde étape : on conserve la masse m' sur la tare et on ajoute la masse m sur le plateau lié à la bobine, l'équilibre étant obtenu pour un courant I_2. La condition d'équilibre devient :

soit :

En soustrayant l'équation (2) de l'équation (1), la masse auxiliaire m' s'élimine :

d'où la nouvelle relation remplaçant celle de la question Q4 :

Intérêts de cette méthode :

• Mesure différentielle : elle élimine la masse de la tare M, la masse de la bobine M_{\text{b}}, la valeur de m', ainsi que les forces parasites constantes s'exerçant sur les plateaux (poussée d'Archimède de l'air résiduel, couples de rappel élastique des suspensions).
• Stabilisation thermique : comme le montre la question suivante, le choix m' = m/2 conduit à I_2 = -I_1. Les puissances dissipées par effet Joule (P_J = R I^2) sont alors strictement identiques dans les deux phases, ce qui évite toute variation de température, prévenant ainsi les dilatations thermiques de la bobine et les courants de convection.
• Gain de précision : la mesure porte sur une excursion de courant double \Delta I = I_1 - I_2 \approx 2 I_1, ce qui améliore la résolution et l'incertitude relative sur l'intensité mesurée.

D'après les conditions d'équilibre établies à la question Q6 :

• Lors de la première étape, avec la masse auxiliaire m' sur le plateau opposé à la bobine :

  m' g = I_1 B l

• Lors de la seconde étape, avec m' sur le plateau opposé et m sur le plateau de la bobine :

  (m' - m) g = I_2 B l

En substituant m' = \dfrac{m}{2} dans ces deux relations, on obtient :

On en déduit immédiatement la relation entre les intensités :

D'après l'énoncé, la force électromotrice induite lors du déplacement de la bobine à la vitesse v s'écrit :

En multipliant cette relation par l'intensité I utilisée lors de la phase statique, on obtient :

Or, d'après la condition d'équilibre statique établie à la question Q4, on a :

En substituant I B l par m g, il vient directement :

soit :

Origine du nom « balance du watt » :

• Le terme |E I| représente une puissance électrique (produit d'une tension et d'une intensité).
• Le terme m g v représente une puissance mécanique (puissance développée par le poids à la vitesse v).

Cette expérience réalise ainsi une équivalence entre une puissance mécanique et une puissance électrique, toutes deux homogènes à des watts (\mathrm{W}), ce qui justifie la dénomination historique de « balance du watt ».

Protocole expérimental :

• Dispositif optique : On utilise un interféromètre de Michelson éclairé par un laser Nd-YAG de longueur d'onde \lambda = 1064\text{ nm}. Le faisceau incident est séparé en deux par une lame semi-réfléchissante (séparatrice) :

  • un bras de référence comportant un miroir fixe M_1 ;
  • un bras de mesure comportant un réflecteur (miroir ou trièdre rétro-réfléchisseur) M_2, fixé rigidement au fléau ou à la suspension de la bobine qui se déplace à la vitesse v selon l'axe vertical (Oz).
• Observation : Un léger défaut de parallélisme entre les deux miroirs (configuration en coin d'air) permet d'observer un système de franges rectilignes et parallèles en sortie de l'interféromètre, sur une barrette ou matrice CCD.

• Mesure : Lors de la translation du miroir M_2 à la vitesse v, la longueur du bras de mesure varie de \Delta z(t) = v t. En incidence quasi-normale, la différence de marche optique varie au cours du temps selon :

  \delta(t) = 2 v t + \delta_0

  (le facteur 2 provient de l'aller-retour de l'onde dans le bras mobile).

Le défilement d'une frange devant un pixel donné du capteur CCD correspond à une variation de différence de marche \Delta \delta = \lambda, soit une durée :

La fréquence de défilement temporel des franges mesurée par le capteur CCD vaut donc :

On en déduit l'expression de la vitesse de la suspension :

Application numérique : Avec \lambda = 1064\text{ nm} = 1{,}064 \times 10^{-6}\text{ m} et f_d = 3{,}76\text{ kHz} = 3{,}76 \times 10^3\text{ s}^{-1} :

D'après l'expression de la force électromotrice induite admise dans le préambule de la sous-partie I.B.2 :

La longueur totale du fil de la bobine a été introduite à la question Q5 pour une bobine de N = 600 spires et de diamètre moyen D = 260\text{ mm} = 0{,}260\text{ m} :

Avec la vitesse obtenue à la question Q9, v = 2{,}00\times 10^{-3}\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}, et B = 1{,}0\text{ T} :

Une augmentation du rayon R de la spire correspond à une dilatation qui peut avoir deux origines physiques principales :

• Une dilatation thermique (cause prépondérante) : le passage du courant électrique I dissipe de la puissance par effet Joule au sein du fil conducteur, ce qui entraîne une élévation de sa température. Des variations de la température ambiante du laboratoire peuvent également survenir. Par dilatation thermique du métal conducteur (\mathrm{d}R = \alpha R \Delta T, où \alpha est le coefficient de dilatation thermique linéique), le périmètre et donc le rayon de la spire augmentent.
• Des contraintes mécaniques d'origine électromagnétique : la présence d'une composante axiale B_z du champ magnétique engendre, sous l'action du courant orthoradial, une force de Laplace radiale dirigée selon \pm\vec{u}_r (\vec{\mathrm{d}F}_{\text{rad}} = I \mathrm{d}\vec{\ell} \wedge B_z \vec{u}_z). Si elle est orientée vers l'extérieur, cette force tend à étirer mécaniquement la spire.

Considérons une spire circulaire horizontale de rayon R, d'axe (Oz), située dans le plan de cote z. Un élément de longueur infinitésimal de la spire, orienté dans le sens du courant I conformément à la question Q3 (sens horaire vu de dessus, soit selon -\vec{u}_\theta), s'écrit :

Le champ magnétique au niveau de la spire s'écrit en coordonnées cylindriques :

La force de Laplace élémentaire subie par cet élément de conducteur est :

En intégrant sur la circonférence de la spire pour \theta \in [0, 2\pi], le terme radial disparaît par symétrie de révolution (\int_0^{2\pi} \vec{u}_r(\theta)\,\mathrm{d}\theta = \vec{0}). Il reste uniquement la composante axiale :

En dérivant partiellement cette composante F_z(R, z) par rapport à R, à courant I fixé, on obtient directement :

Une propriété fondamentale du champ magnétique est son caractère solénoïdal, ou la conservation du flux magnétique, qui traduit physiquement l'absence de charges magnétiques isolées (monopôles magnétiques). L'équation locale correspondante est l'équation de Maxwell-Thomson :

D'après le formulaire fourni, la divergence d'un champ vectoriel en coordonnées cylindriques s'écrit :

Le champ magnétique présente une symétrie de révolution autour de l'axe (Oz) (aucun des éléments ne dépend de \theta) et ne possède pas de composante orthoradiale (B_\theta = 0). L'équation \operatorname{div}\vec{B} = 0 se simplifie donc en :

Évaluée pour la spire de rayon r = R, cette relation devient :

En injectant cette relation dans l'expression établie à la question Q12, \frac{\partial F_z(R, z)}{\partial R} = 2\pi I \frac{\partial (R B_r(R, z))}{\partial R}, on obtient :

Puisque F_z(R, z) = 2\pi I R B_r(R, z) (d'après la question Q12), on calcule le rapport :

Après simplification par 2\pi I R, on obtient l'égalité demandée :

1. Dispositif proposé

On dispose de deux spires circulaires identiques de rayon R, d'axe commun (Oz), parallèles au plan z = 0 et disposées symétriquement aux cotes :

• z = -d pour la spire supérieure ;
• z = +d pour la spire inférieure.

Pour créer un champ radial dans le plan médian z = 0, les spires doivent être parcourues par des courants d'intensités égales et de sens opposés (configuration dite de bobines en opposition ou anti-Helmholtz).

2. Analyse des symétries

• La distribution de courants est invariante par rotation autour de l'axe (Oz) : le champ magnétique ne dépend pas de \theta, et par symétrie de révolution, B_\theta(r, z) = 0.

• Les courants circulant en sens opposés dans les deux spires, le plan z = 0 est un plan d'antisymétrie pour la distribution de courant :

  \vec{\jmath}(r, \theta, -z) = -\vec{\jmath}(r, \theta, z)

  Par conséquent, le plan z = 0 est un plan de symétrie pour le champ magnétique axial (B_z) et d'antisymétrie pour le champ radial (B_r) ? Précisons : pour un champ pseudo-vectoriel comme \vec{B}, un plan d'antisymétrie des courants est un plan tangent pour \vec{B}. Ainsi, \vec{B}(r, \theta, z=0) appartient au plan z = 0 :

  B_z(r, \theta, z = 0) = 0

  Le champ magnétique dans le plan z = 0 est donc purement radial :

  \vec{B}(r, z = 0) = B_r(r, 0)\,\vec{u}_r

3. Orientation des courants pour un champ radial sortant

L'axe (Oz) est vertical et orienté vers le bas. Le repère cartésien (O, \vec{u}_x, \vec{u}_y, \vec{u}_z) étant direct avec \vec{u}_x horizontal vers la droite et \vec{u}_z vers le bas, le vecteur \vec{u}_y = \vec{u}_z \wedge \vec{u}_x est orienté vers l'arrière (entrant dans la page).

• Pour x > 0, le vecteur orthoradial \vec{u}_\theta est dans le sens de \vec{u}_y (entrant, noté \otimes).
• Pour x < 0, \vec{u}_\theta est dans le sens de -\vec{u}_y (sortant, noté \odot).

Pour que les lignes de champ s'échappent radialement vers l'extérieur dans le plan z = 0 (B_r > 0), la conservation du flux magnétique (\operatorname{div}\vec{B} = 0) impose que le champ le long de l'axe (Oz) converge vers le centre O :

• En z < 0, \vec{B}(0, z) doit être orienté selon +\vec{u}_z (vers le bas) : d'après la règle du tire-bouchon de Maxwell, le courant de la spire supérieure (z = -d) doit circuler selon +\vec{u}_\theta (soit \odot en x < 0 et \otimes en x > 0).
• En z > 0, \vec{B}(0, z) doit être orienté selon -\vec{u}_z (vers le haut) : le courant de la spire inférieure (z = +d) doit circuler en sens inverse, selon -\vec{u}_\theta (soit \otimes en x < 0 et \odot en x > 0).

4. Schéma et lignes de champ dans le plan (xOz)

1. Caractéristiques de \vec{B} dans le plan z = 0

• Direction et composantes : Le plan z = 0 est un plan d'antisymétrie pour la distribution de courant (\vec{j}(r, \theta, -z) = -\vec{j}(r, \theta, z)). Le champ magnétique étant un pseudo-vecteur, il est contenu dans son plan d'antisymétrie, d'où :

  B_z(r, \theta, 0) = 0

  De plus, tout plan méridien contenant l'axe (Oz) est un plan d'antisymétrie des courants (courants orthoradiaux orthogonaux au plan), donc \vec{B} est contenu dans le plan méridien : B_\theta(r, \theta, 0) = 0.

• Invariances : La géométrie étant invariante par rotation autour de (Oz), le champ ne dépend pas de \theta.

• Profil radial : Le champ est purement radial sortant :

  \vec{B}(r, 0) = B_r(r, 0)\,\vec{u}_r \quad \text{avec} \quad B_r(r, 0) > 0 \quad (\forall r > 0)

  Sur l'axe, par symétrie de révolution, \vec{B}(0, 0) = \vec{0} (soit B_r(0, 0) = 0), et à l'infini, \lim_{r\to\infty} \vec{B} = \vec{0}.

2. Signe de \frac{\partial B_z}{\partial z}(r, z = 0)

D'après l'équation de Maxwell-Thomson \operatorname{div}\vec{B} = 0, exprimée en coordonnées cylindriques dans le plan z = 0 :

• Au voisinage de r = 0 : Le champ \vec{B} étant régulier et s'annulant sur l'axe, son développement au premier ordre est linéaire : B_r(r, 0) \underset{r \to 0}{=} \alpha\,r avec \alpha > 0 puisque le champ est sortant. On en déduit :

  \begin{aligned} r B_r(r, 0) &\underset{r \to 0}{=} \alpha\,r^2 \\ \frac{\partial B_z}{\partial z}(r, 0) &\underset{r \to 0}{=} -\frac{1}{r}(2\alpha r) = -2\alpha < 0 \end{aligned}
  \boxed{\frac{\partial B_z}{\partial z}(r \to 0, z = 0) < 0}

• Pour r \to \infty : À grande distance, le dipôle magnétique global étant nul (courants opposés), le système équivaut à un quadrupôle magnétique dont le champ décroît comme 1/r^4. Par conséquent, le produit r B_r(r, 0) \propto 1/r^3 est une fonction strictement positive qui tend vers 0 lorsque r \to \infty : elle est donc nécessairement décroissante à l'infini, ce qui implique \frac{\partial (r B_r)}{\partial r} < 0. On a donc :

  \boxed{\frac{\partial B_z}{\partial z}(r \to \infty, z = 0) > 0}

D'après les questions Q12 et Q13, la force axiale s'exerçant sur la spire dans le plan z = 0 s'écrit :

et sa dérivée par rapport à R vérifie :

Examinons les caractéristiques de cette fonction (en prenant I > 0, de sorte que F_z > 0) :

• En R = 0 : le rayon étant nul (et le champ magnétique radial nul sur l'axe par symétrie), on a F_z(0, 0) = 0.
• Au voisinage de R = 0 : d'après la question Q15, \frac{\partial B_z}{\partial z}(R, 0) < 0, donc \frac{\partial F_z}{\partial R}(R, 0) > 0. La force est strictement croissante avec le rayon au voisinage de l'axe.
• Pour R \to \infty : le champ magnétique créé par les spires décroît rapidement vers zéro (en 1/R^3 au moins), de sorte que F_z(R, 0) \to 0. De plus, d'après la question Q15, \frac{\partial B_z}{\partial z}(R, 0) > 0, donc \frac{\partial F_z}{\partial R}(R, 0) < 0 : la force décroît à l'infini.

Par continuité de \frac{\partial B_z}{\partial z}(R, 0), le théorème des valeurs intermédiaires assure l'existence d'au moins une valeur R_{\text{opt}} > 0 telle que :

Cette valeur correspond à un maximum local de la force de Laplace.

Au voisinage de R_{\text{opt}}, un développement limité de Taylor à l'ordre deux en \mathrm{d}R = R - R_{\text{opt}} donne :

La variation de force au premier ordre en \mathrm{d}R est rigoureusement nulle :

La force F(R, z = 0) est donc stationnaire par rapport à R autour de R_{\text{opt}} et dépend très peu d'une variation de rayon.

D'après l'étude menée à la question Q16, la dérivée de la force axiale par rapport au rayon de la spire s'annule en R = R_{\mathrm{opt}} dans le plan z = 0 :

Par conséquent, au voisinage de ce rayon optimal, un développement limité de la force pour une petite variation \mathrm{d}R \ll R de rayon s'écrit :

Le terme d'erreur au premier ordre en \mathrm{d}R est nul.

Pour minimiser l'impact d'une éventuelle dilatation thermique de la bobine sur la mesure, il suffit donc de :

Ainsi, une variation résiduelle de température n'engendre qu'une modification de la force au second ordre en \mathrm{d}R, ce qui rend la balance de Kibble très peu sensible aux fluctuations thermiques dimensionnelles.

D'après la figure 1 :

• Lors de la phase statique, le courant d'équilibrage I traverse une résistance étalon R' aux bornes de laquelle est mesurée une tension U'. D'après la loi d'Ohm, son intensité s'écrit :

  I = \frac{U'}{R'}

• Lors de la phase dynamique, la tension U mesurée en circuit ouvert aux bornes de la bobine correspond à la force électromotrice induite :

  U = |E|

D'après le bilan de puissance établi à la question Q8, la puissance mécanique compense la puissance électrique :

En utilisant l'expression de la résistance étalon issue de l'effet Hall quantique donnée par le texte, R' = \dfrac{h}{\zeta e^2}, il vient :

On en déduit l'expression de la masse m en fonction de la constante de Planck et des grandeurs mesurables (U, U', v, g, \zeta et la constante e) :

ou, formulée de façon équivalente pour déterminer la constante de Planck à partir de la masse étalon m :

D'après la question Q18, la masse m s'exprime par :

Dans le cadre du Système international révisé :

• la constante de Planck h et la charge élémentaire e sont des constantes fixées par convention, donc sans incertitude :

  \frac{\Delta h}{h} = 0 \quad \text{et} \quad \frac{\Delta e}{e} = 0

• les grandeurs quantiques et électriques sont connues avec une précision relative de 10^{-9} :

  \frac{\Delta \zeta}{\zeta} \sim 10^{-9}, \quad \frac{\Delta U}{U} \sim 10^{-9}, \quad \frac{\Delta U'}{U'} \sim 10^{-9}

• la vitesse v et l'accélération de la pesanteur g sont mesurées avec une précision relative de 10^{-8} :

  \frac{\Delta v}{v} = 10^{-8} \quad \text{et} \quad \frac{\Delta g}{g} = 10^{-8}

En supposant les incertitudes indépendantes, la propagation quadratique des incertitudes relatives-types donne :

Une majoration au sens des incertitudes maximales mènerait à :

Dans les deux cas, la précision relative théorique sur la mesure du kilogramme est de l'ordre de :

(plus précisément comprise entre 1{,}4 \times 10^{-8} et 2{,}3 \times 10^{-8}).

La constante de Planck h a pour unité le joule-seconde (\mathrm{J\cdot s}). Exprimons cette unité dans les unités de base du Système international :

Or, dans le Système international :

• la seconde (\mathrm{s}) est définie en fixant la valeur exacte de la fréquence de transition hyperfine du césium 133, \Delta\nu_{\mathrm{Cs}} ;
• le mètre (\mathrm{m}) est défini en fixant la valeur exacte de la célérité de la lumière dans le vide, c (la seconde étant déjà connue).

En isolant le kilogramme dans l'expression de l'unité de h, on obtient :

Fixer définitivement une valeur numérique exacte pour la constante de Planck (soit h = 6{,}626\,070\,15 \times 10^{-34}\text{ kg}\cdot\text{m}^2\cdot\text{s}^{-1}) permet donc de définir l'unité de masse à partir d'une constante fondamentale invariante, sans recourir à un artéfact matériel :