Le sujet retrace la redéfinition de deux unités du SI à partir de constantes fondamentales. La partie I étudie la balance de Kibble (balance du watt) pour relier le kilogramme à la constante de Planck, avec des questions d'induction, de mécanique du point et de magnétostatique. La partie II étudie la thermométrie acoustique dans un résonateur sphérique pour relier le kelvin à la constante de Boltzmann, via la propagation des ondes sonores. Les deux parties sont totalement indépendantes.

1Partie I : redéfinition du kilogrammepremière annéePrincipe de la balance de Kibble en phases statique et dynamique, puis effet de la dilatation des spires sur la mesure.
2Partie II : redéfinition du kelvindeuxième annéeÉtablissement de l'équation de d'Alembert pour les ondes sonores, puis étude des modes propres d'un résonateur sphérique liés à la constante de Boltzmann.

Difficulté moyenne. Le jury juge le sujet de longueur raisonnable et apte à bien départager les candidats, mais note que la première partie, plus proche du programme de première année, a été globalement moins bien traitée que la seconde.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 9,35 / 20 · écart-type 3,95 · 3 477 présents · où vous situez-vous ?

Moyenne: 9,35/ 20
Écart-type: 3,95
Présents: 3 477
Coefficient: 14
Durée: 4 h
1er quartile: 6,1
Médiane: 9,2
3e quartile: 11,9

Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Où je me situe ?

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : document officiel du concours, épreuve du 11 mai 2023. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

5 erreurs relevées

Confusion entre force de Laplace et force de Lorentz · Lecture insuffisante du protocole expérimental · Solution générale de l'équation d'onde sphérique mal identifiée

Le jury a apprécié ce sujet au thème intéressant et de longueur raisonnable, qui aborde des notions de première et deuxième année proches du cours. La partie sur le kilogramme a été moins bien réussie que celle sur le kelvin, avec un manque récurrent de rigueur sur les notions de première année. Le jury signale aussi des imprécisions de notation dans l'énoncé qui l'ont conduit à se montrer bienveillant sur certains points.

Les erreurs les plus sanctionnées

1
Confusion entre force de Laplace et force de LorentzQ3
À la question sur la force agissant sur la bobine, de nombreux candidats confondent force de Laplace et force de Lorentz, en oubliant que la force de Laplace est une force élémentaire.
« Trop de candidats confondent force de Laplace et force de Lorentz et oublient que la force de Laplace est une force élémentaire »
2
Lecture insuffisante du protocole expérimentalQ6
La question demandant d'établir la relation remplaçant celle de la phase précédente a été souvent mal traitée faute d'une lecture assez approfondie de la méthode expérimentale décrite.
3
Solution générale de l'équation d'onde sphérique mal identifiéeQ33
De nombreux candidats donnent une solution en ondes harmoniques plutôt que la superposition d'ondes progressives attendue pour l'équation de propagation en géométrie sphérique.
« De trop nombreux candidats se trompent sur les solutions générales de cette équation en donnant une solution en ondes harmoniques. »
4
Oubli du caractère monoatomique de l'héliumQ30
Pour la célérité du son dans l'hélium, la majorité des candidats change la masse molaire mais oublie que le gaz est monoatomique, ce qui modifie aussi la valeur du coefficient adiabatique.
5
Lacunes récurrentes sur le programme de première année
Le jury observe un manque de rigueur et de précision récurrent sur les notions de première année, notamment la force de Laplace, la force électromotrice et l'orientation des grandeurs.

Ce qui a été bien réussi

La conclusion sur la tangente horizontale de la courbe F(R, z=0) (Q17) a souvent été traitée avec succès.
La relation R = kB.Na (Q23) est dans l'ensemble connue.
L'établissement et la linéarisation de l'équation d'Euler et de l'équation de conservation de la masse (Q25 à Q27) ont été dans l'ensemble bien traités.
La nécessité d'améliorer simultanément les cinq sources d'incertitude (Q40, Q41) a été identifiée avec succès par beaucoup de candidats.

Conseils du jury

Ne pas négliger les chapitres vus en première année, en particulier l'électromagnétisme.
Prendre le temps de bien lire les énoncés décrivant des protocoles expérimentaux complexes.
Avoir un regard critique sur ses applications numériques.
Être rigoureux dans tous ses calculs, en particulier quand le résultat à démontrer est donné dans l'énoncé, et privilégier des schémas en 2D avec des orientations clairement indiquées.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

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Une révolution tranquille du système international d'unités

La révision du système international d'unités (SI) a été adoptée par la Convention Génerale des Poids et Mesures (CGPM) en novembre 2018 et les nouvelles définitions ont pris effet à compter du 20 mai 2019, date anniversaire de la signature de la Convention du Mètre.

Le SI est un système d'unités cohérent qui est utilisé dans tous les aspects de la vie, que ce soit le commerce international, la production industrielle, la santé, la sécurité, la protection de l'environnement ou les sciences fondamentales. Il doit être pérenne, uniforme et accessible. Cet idéal d'universalité porté par le SI se retrouve dans sa devise «À tous les temps, à tous les peuples».

Les nouvelles définitions des unités du SI sont établies à partir d'un ensemble de sept constantes de la physique. Deux expériences ou effets sont abordés : la balance de Kibble ou balance du watt (partie I) et la thermométrie acoustique dans un résonateur (partie II).

Des données numériques et un formulaire sont disponibles en fin d'énoncé.
Certaines questions, peu ou pas guidées, demandent de l'initiative de la part du candidat. Leur énoncé est repéré par une barre en marge. Il est alors demandé d'expliciter clairement la démarche, les choix et de les illustrer, le cas échéant, par un schéma. Le barème valorise la prise d'initiative et tient compte du temps nécessaire à la résolution de ces questions.

Ce sujet s'inspire du dossier sur le nouveau système international d'unités tiré de Reflets de la Physique

n^\circ62

, 2019, pp. 11-31.

I Redéfinition du kilogramme

I.A - Prototype international du kilogramme

Avant 2019, le kilogramme était défini comme «la masse du prototype international du kilogramme». C'était un artéfact en platine iridié, conservé par le bureau international des poids et mesures au pavillon de Breteuil. La dernière comparaison avec la moyenne de ses copies en 2014 a confirmé une différence de

35μ g

Q 1. Quelle différence de masse cela fait-il en valeur relative ? Quelles peuvent être les causes de ces différences?

Q 2. Quels peuvent être les inconvénients d'un artéfact ?

I.B - Principe de la balance de Kibble

La balance de Kibble est l'un des deux dispositifs qui ont permis, avant 2019, de mesurer la constante de Planck à partir du prototype international du kilogramme. À présent, elle permet d'étalonner des artéfacts. L'artéfact de masse

m

est placé sur l'un des plateaux. On suppose la balance parfaitement équilibrée (fléau horizontal) en l'absence de masse

m

. Son principe de fonctionnement est donné figure 1. On supposera que la balance est symétrique par rapport au plan

(xCz)

I.B.1) Phase statique

La bobine comporte

N

spires horizontales, circulaires et concentriques. Elle est placée dans l'entrefer d'un aimant. Dans la zone des spires, le champ magnétique est horizontal, radial sortant par rapport à leur axe de révolution

(Oz)

et de valeur

B

uniforme. L'axe (

Oz

) est vertical, orienté vers le bas. Soit

l

la longueur totale du fil des spires.

Q 3. Indiquer sur un schéma simplifié l'orientation du courant permettant l'équilibrage de la balance une fois la masse

m

posée comme sur la figure 1. Déterminer la force qui agit sur la bobine.

Figure 1 Principe de la balance de Kibble. En phase statique, le courant

I

est imposé par une source idéale de courant réglable. En phase dynamique, le fléau est bloqué dans la position horizontale et déplacé avec sa suspension à la vitesse

v⃗

Q 4. On règle l'intensité du courant dans la bobine à une valeur

I

pour équilibrer la balance en présence de la masse

m

posée. Établir l'expression de

m

en fonction de

I, g, B

, et

l

Q 5. La bobine comporte 600 spires réparties sur un cylindre de diamètre moyen égal à 260 mm . On prendra

B = 1, 0 T

|I| = 10 mA

. Calculer

m

En réalité, la masse

m

est placée du même côté du fléau que la bobine. Une tare de masse

M

est déposée sur le plateau à l'opposé de la bobine pour équilibrer la balance en l'absence de masse

m

et de courant

I

. En pratique, après avoir équilibré la balance avec la tare de masse

M

, on ajoute une masse

m^'

sur le même plateau que la tare et on équilibre l'ensemble avec un courant

I_1

. On ajoute ensuite la masse

m

du côté de la bobine et on équilibre avec un courant

I_2

Q 6. Établir la relation qui remplace celle de la question 4. Quels sont les intérêts de cette nouvelle opération?

Q 7. Si on prend

m^' = m/2

, quelle relation a-t-on entre les intensités ?

I.B.2) Phase dynamique

Dans la phase dynamique, le fléau est bloqué dans la position horizontale et déplacé avec sa suspension à la vitesse

v⃗ = vu⃗_z

. On suppose que

v

est une constante positive.

On admet qu'alors, la bobine est le siège d'une force électromotrice

E

induite par son mouvement dans le champ électromagnétique :

E = - Blv.

Q 8. Montrer que, dans ces conditions, on peut écrire

EI + mgv = 0

. Pourquoi parle-t-on également de «balance du watt» à la place de balance de Kibble?

Q 9. Détailler un protocole expérimental simple, basé sur la mesure de la fréquence de défilement de franges devant un capteur CCD, qui permet de mesurer

v

par interférométrie. Dans le cas d'un laser Nd-YAG dont la longueur d'onde vaut

λ = 1064 nm

, calculer la vitesse qui correspond à une fréquence de défilement de

f_d = 3, 76kHz

pour le dispositif choisi.

Q 10. Calculer la force électromotrice

E

attendue.

I.B.3) Effet d'une dilatation

Pour simplifier, nous supposons que, dans le dispositif précédent, la bobine ne comporte qu'une seule spire horizontale, circulaire de rayon

R

. Nous allons étudier l'effet d'une augmentation

dR≪R

du rayon de la spire, toutes choses égales par ailleurs. En particulier, on suppose que la spire reste circulaire et horizontale.

Une perturbation du système peut faire apparaitre une composante axiale du champ magnétique. On note

B_r

B_z

les valeurs des composantes radiale et axiale du champ magnétique:

B⃗(r, θ, z) = B_r(r, z)u⃗_r + B_z(r, z)u⃗_z

(figure 2). On note par ailleurs

F⃗(R, z) = F_z(R, z)u⃗_z

la force sur la spire de rayon

R

situé dans le plan de cote

z

Figure 2 Système de coordonnées cylindriques, spire de rayon

R

située dans le plan

z = 0

Q 11. Qu'est-ce qui pourrait provoquer l'augmentation du rayon de la spire ?
Q 12. Dans la phase statique, calculer l'expression de

(\partialF_z(R, z))/(\partialR)

en fonction notamment de

(\partial(RB_r(R, z)))/(\partialR)

.
Q 13. Donner une propriété fondamentale du champ magnétique et rappeler l'équation locale qui traduit cette propriété. En déduire une nouvelle expression pour

(\partialF_z(R, z))/(\partialR)

en fonction notamment de

(\partialB_z(R, z))/(\partialz)

. Montrer que

R/(F_z(R, z))(\partialF_z(R, z))/(\partialR) = - R/(B_r(R, z))(\partialB_z(R, z))/(\partialz)

Q 14. Comment peut-on à partir de 2 spires identiques planes, créer un champ magnétique radial sortant dans un plan ? Faire un schéma du dispositif en supposant que ce plan est le plan

z = 0

. Dessiner les lignes de champ en faisant une coupe du dispositif dans le plan (

xOz

Q 15. Donner les caractéristiques de

B⃗

dans le plan

z = 0

. Quel est le signe de

(\partialB_z)/(\partialz)(r, z = 0)

au voisinage de

r = 0

et pour

r \to \infty

Q 16. Tracer approximativement la courbe de

F(R, z = 0)

en fonction de

R

. Montrer qu'il existe une valeur de

R

, qu'on appellera

R_(opt)

, autour de laquelle

F(R, z = 0)

dépend peu de

R

Q 17. Déduire de la question 16 une façon permettant de minimiser les problèmes posés par la dilatation de la spire.

I.C - Mise en pratique de la nouvelle définition du kilogramme

En tirant parti d'effets quantiques, il est possible d'accéder à des valeurs de résistance et de tension avec une précision extrême. Il est désormais possible de mesurer des tensions avec une précision relative de

10^(- 9)

et les résistances peuvent s'exprimer au moyen de la constante de Planck :

R^' = h/(ζe^2)

où

ζ \in ℝ

se mesure, également, avec une précision relative de

10^(- 9)

Q 18. Établir la relation simple entre la constante de Planck et la masse

m

dans l'expérience de la balance de Kibble en faisant intervenir

v, g

et d'autres grandeurs mesurables.

Q 19. Si les mesures de

v

g

sont effectuées avec une précision relative de

10^(- 8)

, quelle précision relative a-t-on sur une mesure du kilogramme en théorie ?

Q 20. À partir de l'unité de

h

, expliquer pourquoi fixer définitivement la valeur de la constante de Planck permet de redéfinir le kilogramme.

II Redéfinition du kelvin

II.A - Rapide historique

Q 21. Rappeler la définition du degré Celsius et du kelvin en vigueur jusqu'en 2018. À combien de kelvins correspond

0^\circC

Q 22. Avant la réforme de 2018, la référence de température était un artéfact, une cellule au point triple de l'eau (figure 3). Quelles pouvaient être les sources d'incertitude dans cette expérience ?

Figure 3 Cellule point triple de l'eau

II.B - Méthode de la thermométrie acoustique à gaz

La méthode de la thermométrie acoustique à gaz est celle qui a donné les résultats les plus précis pour la mesure de la constante de Boltzmann avant 2018.

Q 23. Rappeler le lien entre la constante des gaz parfaits

R

et la constante de Boltzmann

k_B

.
Nous allons étudier la propagation des ondes sonores dans un gaz. Dans un premier temps on se limite au cas d'une propagation unidimensionnelle suivant l'axe (

Ox

). L'écoulement est supposé parfait et l'influence de la pesanteur est négligée. Au repos, les champs de masse volumique

μ_0

et de pression

p_0

sont uniformes et le champ des vitesses est nul. On note

p_1, μ_1

v_1

les écarts à ces valeurs de repos. On appelle

χ_S

le coefficient de compressibilité isentropique. On se place dans le cadre de l'approximation acoustique.

Q 24. Rappeler la signification de cette approximation.
Q 25. Donner l'équation d'Euler et la linéariser.
Q 26. Rappeler l'équation de conservation de la masse et la linéariser.
Q 27. À partir de la définition de

χ_S

, obtenir une relation entre

μ_1

p_1

.
Q 28. Établir l'équation de propagation pour la surpression

p_1

. Comment s'exprime la célérité

c_s

des ondes sonores?

Q 29. En supposant que le gaz est parfait et que le coefficient adiabatique

γ

est constant, établir la nouvelle expression de la célérité

c_s

en fonction de

T

. Faire l'application numérique pour de l'air à

T = 300 K

Pour mesurer

c_s

, on peut utiliser les modes propres d'une sphère creuse et une mesure précise du rayon

r_s

de cette sphère. C'est le dispositif mis en œuvre au LNE (figure 4).

Q 30. Au LNE, le gaz utilisé est un gaz rare tel que l'hélium ou l'argon. Calculer la valeur numérique de

c_s

pour l'hélium à la température du point triple de l'eau.

Q 31. Comment peut-on déduire de la mesure de

c_s

et de la relation établie à la question 29 , une valeur pour la constante de Boltzmann?

Q 32. On cherche à résoudre l'équation de propagation pour la surpression

p_1

dans le cas de la sphère. Que devient cette équation dans le cas général ?

Q 33. Montrer que, en l'absence de dépendance angulaire, les fonctions solutions

rp_1(r, t)

peuvent se mettre sous la forme d'une combinaison linéaire de deux termes. Donner la signification physique de chacun des termes.

Figure 4 Résonateur quasi sphérique utilisé par l'équipe du LNE-CNAM (Laboratoire National de métrologie et d'Essais - Conservatoire National des Arts et Métiers) pour mesurer la constante de Boltzmann par thermométrie acoustique. Le résonateur, de volume intérieur

D \approx 3, 1 L

, est rempli de gaz rare (hélium ou argon) et placé dans un cryostat pour maintenir sa température constante.

Q 34. Pourquoi peut-on se limiter à l'étude des solutions de la forme, en notation complexe,

p_-_1(r, t) = (A_-)/rexp(i(ωt - kr)) + (B_-)/rexp(i(ωt + kr)),

où

A_-, B_-, ω

k

sont des constantes ?
Q 35. En déduire le champ des vitesses correspondant, en fonction de

A_-, B_-, ω, k

r

.
Q 36. Vers quoi tend le débit volumique à travers une sphère de rayon

r

quand

r

tend vers 0 ? Que peut-on en déduire ?

Q 37. Établir l'équation vérifiée par les modes propres.
Q 38. Montrer qu'il y a une fréquence de résonance

f_n

par intervalle

[2n(c_s)/(4r_s), (2n + 1)(c_s)/(4r_s)]

avec

n \in ℕ^*

r_s

le rayon de la sphère. Pour

n≫1

, exprimer de façon approchée

f_n

Q 39. Calculer approximativement la fréquence du mode fondamental pour la sphère du LNE.

II.C - Mise en pratique de la nouvelle définition du kelvin

Q 40. Citer quelques sources d'incertitude de la méthode utilisée au LNE.
Q 41. En fait, il y a cinq sources principales d'incertitude et leurs valeurs relatives respectives sont pratiquement toutes égales. Expliquer pourquoi la thermométrie acoustique des gaz a atteint une limite qu'il sera très difficile de dépasser.

Cette mesure a permis de connaître la constante de Boltzmann avec une précision relative de l'ordre de

4, 8 \times 10^(- 7)

dans l'ancien SI.

Q 42. À partir de l'unité de

k_B

, expliquer pourquoi fixer définitivement la valeur de la constante de Boltzmann, permet de redéfinir le kelvin.

Q 43. Les valeurs de

h, e, k_B

N_A

étant fixées, rassembler dans un tableau les grandeurs qui sont à présent mesurables, alors qu'elles étaient fixées par convention avant la réforme du SI de 2018.

Données et formulaire

Valeurs numériques

Charge électrique élémentaire
Constante de Planck
Constante de Boltzmann
Constante d'Avogadro
Célérité de la lumière dans le vide
Fréquence de la transition hyperfine de l'état fondamental de l'atome de césium 133 non perturbé
Masse de l'électron
Accélération de la pesanteur à Paris
Température du point triple de l'eau
Masse molaire de l'hélium
Masse molaire de l'azote
Masse molaire de l'oxygène

e \approx 1, 60 \times 10^(- 19)C

h \approx 6, 63 \times 10^(- 34) J \cdot s

k_B \approx 1, 38 \times 10^(- 23) J \cdot K^(- 1)

N_A \approx 6, 02 \times 10^(23) mol^(- 1)

c \approx 3, 00 \times 10^8 m \cdot s^(- 1)

Δν_(Cs) \approx 9, 19 \times 10^9 Hz

m_e \approx 9, 11 \times 10^(- 31) kg

g \approx 9, 81 m \cdot s^(- 2)

T \approx 273, 16 K

M_(He) \approx 4, 0 g \cdot mol^(- 1)

M_N \approx 14 g \cdot mol^(- 1)

M_O \approx 16 g \cdot mol^(- 1)

Formulaire

A⃗ \land (B⃗ \land C⃗) = B⃗(A⃗ \cdot C⃗) - C⃗(A⃗ \cdot B⃗)

En coordonnées cylindriques

diva⃗(r, θ, z) = 1/r(\partial(ra_r))/(\partialr) + 1/r(\partiala_θ)/(\partialθ) + (\partiala_z)/(\partialz); rot^(\to-)a⃗(r, θ, z) = (1/r(\partiala_z)/(\partialθ) - (\partiala_θ)/(\partialz))u⃗_r + ((\partiala_r)/(\partialz) - (\partiala_z)/(\partialr))u⃗_θ + 1/r((\partial(ra_r))/(\partialr) - (\partiala_r)/(\partialθ))u⃗_z

En coordonnées sphériques

Δf(r, θ, φ) = 1/r(\partial^2)/(\partialr^2)(rf) + 1/(r^2 sinθ)\partial/(\partialθ)(sinθ(\partialf)/(\partialθ)) + 1/(r^2 sin^2 θ)(\partial^2 f)/(\partialφ^2)

Définition de la seconde

On pose

Δν_(Cs) = 9192631770 s^(- 1)

, ce qui permet de définir la seconde qui correspond donc à la durée de 9192631770 périodes de la radiation correspondant à la transition hyperfine de l'état fondamental de l'atome de césium 133 non perturbé.

Questions fréquentes

4 questions

Sur quels chapitres porte le sujet de physique 2 Centrale PC 2023 ?

Il porte sur la redéfinition des unités du SI : la balance de Kibble pour le kilogramme (induction, mécanique du point, magnétostatique) et la thermométrie acoustique pour le kelvin (ondes sonores, mécanique des fluides).

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées dans ce sujet Centrale physique 2 PC 2023 ?

Des confusions entre force de Laplace et force de Lorentz, un manque de rigueur sur les notions de première année, et des erreurs sur la solution générale de l'équation de propagation en géométrie sphérique.

La partie kilogramme ou la partie kelvin est-elle mieux réussie dans ce sujet Centrale PC 2023 ?

D'après le jury, la partie sur le kilogramme, plus proche du programme de première année, a été globalement moins bien traitée que la partie sur le kelvin.

Ce sujet de physique Centrale PC 2023 est-il difficile ?

Le jury le juge d'une longueur raisonnable et apte à bien départager les candidats, sans le qualifier de particulièrement difficile.

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Commentaires• Centrale Physique 2 PC 2023

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