Le problème porte sur le traitement de l'air dans l'habitat, en trois parties indépendantes. Il établit le premier principe pour un écoulement stationnaire et l'applique à une VMC double flux, étudie l'humidité de l'air et un hygromètre capacitif, puis traite la réduction du bruit par la théorie linéaire des ondes acoustiques et un résonateur de Helmholtz.

1Partie I : le renouvellement de l'air dans l'habitatdeuxième annéeDémonstration du premier principe pour un fluide en écoulement stationnaire, puis bilans thermiques d'une ventilation mécanique contrôlée double flux.
2Partie II : l'humidité de l'air dans l'habitatpremière et deuxième annéeDiagramme de phases de l'eau et bilan de masse de vapeur dans une pièce, puis étude d'un capteur capacitif par l'électromagnétisme et d'un pont de Sauty en régime sinusoïdal.
3Partie III : nuisances sonorespremière et deuxième annéeÉquations de l'acoustique linéaire, énergie et intensité sonores, théorie de la réverbération de Sabine, puis oscillations d'un résonateur de Helmholtz et filtrage dans une conduite.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 8,62 / 20 · écart-type 3,88 · 4 216 présents · où vous situez-vous ?

Moyenne: 8,62/ 20
Écart-type: 3,88
Présents: 4 216
Coefficient: 7
Durée: 4 h

Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)

Où je me situe ?

Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.

Source : document officiel du concours, épreuve du 24 avril 2023. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées

Bilans de masse et d'énergie mal posés · Théorème de Gauss mal appliqué · Signes escamotés pour atteindre le résultat

Le sujet balayait de nombreux thèmes de première et deuxième année, en alternant questions de cours, questions techniques et questions d'appropriation. Les candidats qui maîtrisaient bien leur cours ont pu obtenir une note très confortable en traitant les parties dans l'ordre, tandis que ceux qui avaient des lacunes ont été lourdement pénalisés. Le jury regrette une rédaction souvent insuffisante, des calculs fragiles et un faible degré d'initiative.

Les erreurs les plus sanctionnées

1
Bilans de masse et d'énergie mal posésQ1, Q3, Q4, Q7, Q14
Les raisonnements se limitent souvent à des calculs non expliqués. Le système d'étude n'est pas précisé, ce qui entraîne de nombreuses erreurs de signe.
« Le système ouvert et le système fermé sont souvent confondus »
2
Théorème de Gauss mal appliquéQ18
La surface de Gauss est rarement bien choisie ou bien placée, certains proposant même un cercle ou un disque comme surface fermée.
« Un schéma explicatif est ici indispensable. »
3
Signes escamotés pour atteindre le résultatQ18, Q20
Une erreur de signe en Q18 aurait dû mener à une capacité négative. Certains candidats ont préféré masquer l'incohérence.
« Plutôt que de relever l’incohérence, ces candidats préfèrent faire disparaître ce signe au milieu du calcul. »
4
Absence de regard critique sur les ordres de grandeurQ13, Q15
Certains trouvent qu'il faut plusieurs dizaines de mètres cubes d'eau liquide pour saturer l'air d'une cuisine. En Q15, débits massique et volumique sont souvent comparés directement.
« Il est fondamental que les candidats aient un regard critique et sachent faire appel à leur bon sens. »
5
Linéarisation acoustique incomplèteQ24, Q25, Q26
Les termes d'ordre 1 doivent être comparés à une référence, et l'équation d'Euler est souvent mal écrite. Quand le résultat est donné, dire que l'on linéarise ne suffit pas.
« tous les termes d’ordre 2 doivent être clairement identifiés »
6
Nature du filtre mal identifiéeQ44
La courbe représentant une perte de transmission, le résonateur se comporte en coupe-bande et non en passe-bande.
« La plupart des candidats se sont fait piéger en voyant un filtre passe-bande »

Ce qui a été bien réussi

Les questions Q5, Q6, Q12, Q27, Q34, Q37 et Q41 ont été globalement bien traitées.
La manipulation des opérateurs divergence et rotationnel semble maîtrisée (Q17).
La différentiation logarithmique est en général bien maîtrisée (Q28).
Un nombre non négligeable de candidats sait estimer le facteur de qualité à partir du nombre d'oscillations visibles (Q38).

Conseils du jury

Rédiger les bilans en précisant le système étudié, les instants t et t + dt et les termes d'échange, et accompagner le raisonnement d'un schéma.
Vérifier l'homogénéité des expressions et utiliser les bonnes notations (δW pour un travail élémentaire).
Quand le résultat est donné, présenter un raisonnement rigoureux : les points portent sur les justifications.
Oser les questions moins guidées au lieu de les esquiver, et éviter un apprentissage par cœur qui empêche de mobiliser le cours dans un contexte nouveau.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

Corrigé détaillé

44 questions

Indice, stratégie puis corrigé complet pour chaque question, avec les remarques du jury.

44 questions corrigées une à une : un indice, puis la stratégie, puis le corrigé complet avec le résultat encadré et les remarques du jury. Chaque question est vérifiée avant publication.

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ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE PC

PHYSIQUE

Durée : 4 heures

N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre.

RAPPEL DES CONSIGNES

Utiliser uniquement un stylo noir ou bleu foncé non effaçable pour la rédaction de votre composition ; d'autres couleurs, excepté le vert, peuvent être utilisées, mais exclusivement pour les schémas et la mise en évidence des résultats.
Ne pas utiliser de correcteur.
Écrire le mot FIN à la fin de votre composition.

Les calculatrices sont autorisées.

Le problème est composé de trois parties indépendantes.

Les points sont répartis approximativement de la façon suivante :

Partie I	$25%$
Partie II	$30%$
Partie III	$45%$

La qualité de l'air dans l'habitat

La notion de confort dans l'habitat caractérise, pour un individu donné, son état de satisfaction avec les conditions d'environnement. Indépendamment des conditions propres à l'individu que sont son métabolisme, son activité, son habillement et sa santé, il est reconnu que quatre paramètres influencent le confort : l'environnement thermique, l'éclairage, la protection acoustique et, enfin, la qualité de l'air dont on propose l'étude dans ce sujet.
On étudiera ainsi dans la partie I un système de ventilation mécanique visant à renouveler l'air dans l'habitat. On réalisera dans la sous-partie

I.1

un bilan général d'énergie pour un fluide en écoulement stationnaire, avant d'analyser le principe d'une ventilation mécanique contrôlée à double flux en sous-partie I.2. Dans la partie II, on s'intéressera à l'humidité de l'air dans l'habitat avec quelques généralités sur l'air humide en sous-partie II.1, puis la description du fonctionnement d'un hygromètre capacitif en sous-partie ll.2. Enfin, on abordera la problématique de la nuisance sonore liée aux systèmes de renouvellement d'air dans la partie III. On détaillera à cet effet le principe de la correction acoustique d'une pièce d'habitation en sous-partie III.1, puis celui d'un silencieux à résonateur de Helmholtz en sous-partie III.2.

Données

Masse molaire de l'air sec : $M_(as) = 29 g \cdot mol^(- 1)$
Masse molaire de l'eau : $M_e = 18 g \cdot mol^(- 1)$
Constante des gaz parfaits : $R = 8, 3 J \cdot K^(- 1) \cdot mol^(- 1)$
Rapport entre les capacités thermiques à pression et volume constants d'un gaz parfait diatomique pour les températures considérées : $γ = 1, 4$
Pression atmosphérique : $p_0 = 1, 0 \cdot 10^5 Pa$
Masse volumique de l'eau liquide pour les températures considérées : $ρ_e = 1, 0 \cdot 10^3 kg \cdot m^(- 3)$
Permittivité du vide : $ε_0 = 8, 9 \cdot 10^(- 12) F \cdot m^(- 1)$
$log(x) = (ln(x))/(ln(10))$
Opérateurs en coordonnées cylindriques ( $r, θ, z$ ) pour un champ scalaire $U$ et un champ vectoriel $a⃗ = a_r u⃗_r + a_θ u⃗_θ + a_z u⃗_z$ :
$grad^(\to-)(U) = (\partialU)/(\partialr)u⃗_r + 1/r(\partialU)/(\partialθ)u⃗_θ + (\partialU)/(\partialz)u⃗_z$
$div(a⃗) = 1/r(\partial(ra_r))/(\partialr) + 1/r(\partiala_θ)/(\partialθ) + (\partiala_z)/(\partialz)$
$rot^(\to-)(a⃗) = [1/r(\partiala_z)/(\partialθ) - (\partiala_θ)/(\partialz)]u⃗_r + [(\partiala_r)/(\partialz) - (\partiala_z)/(\partialr)]u⃗_θ + 1/r[(\partial(ra_θ))/(\partialr) - (\partiala_r)/(\partialθ)]u⃗_z$

Partie I - Le renouvellement de l'air dans l'habitat

La ventilation des principales pièces de l'habitat est indispensable pour assurer un niveau minimal de salubrité de l'air, par exemple par un simple apport d'air neuf de l'extérieur grâce à l'aération naturelle par les ouvrants de ces pièces (portes, fenêtres). Cette solution n'est toutefois pas sans inconvénients sur le confort thermique des occupants et l'efficacité énergétique de l'habitat, l'air extérieur étant plus froid que l'air intérieur en hiver et plus chaud en été. L'utilisation d'une ventilation mécanique contrôlée à double flux est aujourd'hui la solution la plus commune retenue pour éviter ces inconvénients.

1.1 - Bilan énergétique pour un fluide en écoulement stationnaire

On considère l'écoulement parfait et stationnaire d'un fluide à travers un système ouvert (

S

), définissant un volume de contrôle indéformable et fixe dans le référentiel d'étude

R

et présentant une entrée et une sortie (figure 1).
On définit comme système d'étude le système fermé, noté (

S^*

), constitué du fluide contenu à l'instant

t

dans le volume de contrôle et du fluide de masse

δm_1

qui y rentre entre les instants

t

t + dt

, situé entre les sections droites (

Σ_1^'

) et (

Σ_1

), et définissant un sous-système (

S_1

). À l'instant

t + dt

, il est constitué du fluide contenu dans le volume de contrôle et du fluide de masse

δm_2

qui en sort entre les instants

t

t + dt

, situé entre les sections droites (

Σ_2

) et (

Σ_2^'

), et définissant un sous-système (

S_2

).
On note

T_i, p_i, ρ_i, e_(c, i), e_(p, i), u_i

h_i

respectivement la température, la pression, la masse volumique, l'énergie cinétique massique, l'énergie potentielle de pesanteur massique, l'énergie interne massique et l'enthalpie massique du fluide contenu dans chaque sous-système (

S_i

) où

i = 1, 2

Figure 1 - Fluide en écoulement stationnaire : système fermé étudié

Q1. En traduisant la conservation de la masse du fluide contenu dans le système

(S^*)

, justifier que le débit massique du fluide en entrée est égal à celui en sortie :

(δm_1)/(dt) = (δm_2)/(dt) = D_m

Q2. Montrer que le travail massique des forces pressantes reçu par le fluide contenu dans le système

(S^*)

pendant la durée

dt

s'écrit :

w_p = (p_1)/(ρ_1) - (p_2)/(ρ_2)

Q3. Montrer que la variation d'énergie interne du fluide contenu dans le système (

S^*

) pendant la durée

dt

s'écrit:

dU = D_m(u_2 - u_1)dt

.
Donner, sans calculs supplémentaires, les expressions des variations d'énergie cinétique macroscopique

dE_c

et d'énergie potentielle de pesanteur

dE_p

du fluide.

Q4. À partir d'un bilan énergétique pour le fluide contenu dans le système (

S^*

) pendant la durée

dt

, établir l'expression du premier principe pour un écoulement stationnaire :

D_m[(h_2 + e_(c, 2) + e_(p, 2)) - (h_1 + e_(c, 1) + e_(p, 1))] = P_u + P_(th)

où

P_u

P_(th)

sont respectivement la puissance mécanique des forces extérieures non conservatives autre que celle des forces pressantes (puissance dite utile) et le flux thermique reçus par le fluide contenu dans le volume de contrôle.

1.2 - Étude d'une ventilation mécanique contrôlée à double flux

On modélise une habitation par une pièce unique, de température intérieure supposée uniforme

T_(int) = 20, 0^\circC

et maintenue constante grâce à un chauffage. L'air à l'extérieur de l'habitation est à la température constante

T_(ext) = 0, 0^\circC

Q5. En l'absence de toute ventilation, le flux thermique lié aux pertes à travers l'ensemble des parois (fenêtres, toit, murs) séparant l'habitation de l'extérieur est

P_(th, p) = 5, 0 kW

en régime stationnaire. Estimer la résistance thermique

R_(th)

de l'ensemble de ces parois.

L'habitation est désormais munie d'une ventilation mécanique contrôlée (VMC) à double flux. Elle se distingue d'une VMC simple flux qui insuffle dans l'habitation de l'air froid neuf à la température

T_(ext)

et extrait de l'air chaud vicié (c'est-à-dire ayant "servi") à la température

T_(int)

. Une VMC double flux comporte en effet un échangeur thermique tel que l'air chaud vicié sortant préchauffe l'air froid neuf entrant (figure 2).

Figure 2 - Schéma de principe d'une VMC double flux

En régime stationnaire, l'air neuf entrant dans le système à la température

T_(ext) = 0, 0^\circC

traverse l'échangeur avec un débit massique

D_m = 150 kg \cdot h^(- 1)

avant d'être insufflé dans l'habitation à la température

T^'_(ext) = 15, 0^\circC

. Quant à l'air vicié aspiré dans l'habitation à la température

T_(int) = 20, 0^\circC

, il sort du système à la température

T^'_(int)

après traversée de l'échangeur avec le même débit

D_m

. Au sein de l'échangeur parfaitement isolé du reste du système, l'air neuf circule dans une conduite plane en contact avec une autre conduite plane dans laquelle circule l'air vicié de façon à assurer les échanges thermiques (figure 3). On néglige toute variation de l'énergie cinétique et de l'énergie potentielle de pesanteur de l'air circulant dans chacune des deux conduites.

Figure 3 - Échangeur thermique

Q6. On assimile l'air supposé sec, donc sans vapeur d'eau, à un gaz parfait. Dans ces conditions, les capacités thermiques à pression et volume constants d'une quantité de matière

n

d'air, notées respectivement

C_P

C_V

, sont reliées par la relation de Mayer:

C_P - C_V = nR

. Établir l'expression de la capacité thermique massique à pression constante

c_P

de l'air en fonction notamment du rapport

γ

entre les capacités thermiques à pression et volume constants. Calculer

c_P

Q7. Montrer à l'aide de l'expression établie à la Q4 et en précisant les systèmes ouverts choisis que

T_(int) - T^'_(int) = T^'_(ext) - T_(ext)

. Calculer

T^'_(int)

Q8. Donner l'expression littérale du flux thermique

P_(th, a)

reçu par l'air insufflé à la température

T^'_(ext)

pour le réchauffer à la température

T_(int)

de la pièce. Calculer

P_(th, a)

Q9. Déduire des résultats précédents la puissance

P_c

fournie par le chauffage pour maintenir une température intérieure

T_(int)

constante. Calculer

P_c

Q10. Dans le cas d'une VMC simple flux, calculer le flux thermique

P^'_(th, a)

reçu par l'air insufflé pour le réchauffer à la température de la pièce, puis la puissance

P^'_c

fournie par le chauffage pour maintenir cette température constante. En déduire le pourcentage d'énergie économisée en passant d'une VMC simple flux à une VMC double flux :

(P^'_c - P_c)/(P^'_c)

.
Quel serait le pourcentage d'énergie économisée si l'échange thermique entre l'air neuf et l'air vicié était parfait, c'est-à-dire si l'air vicié sortait de l'échangeur à la température

T_(ext)

Partie II - L'humidité de l'air dans l'habitat

L'humidité de l'air d'une pièce doit être contrôlée. Trop grande, elle peut en effet favoriser le développement de moisissures, bactéries, acariens, mais aussi provoquer la dégradation de certains matériaux.

II. 1 - L'air humide

L'air sec ne contient pas de vapeur d'eau. C'est un mélange de gaz, de proportions connues et invariables, principalement du diazote et du dioxygène. Un mélange d'air sec, de masse molaire

M_(as)

et de pression partielle

p_(as)

, et de vapeur d'eau, de masse molaire

M_e

et de pression partielle

p_e

, est qualifié d'air humide. Ce mélange sera considéré par la suite comme un mélange idéal de gaz parfaits.

L'air humide est caractérisé à la température

T

par son degré hygrométrique

φ

ou humidité relative:

φ = (p_e)/(p_(e, sat)(T))

où

p_(e, sat)(T)

est la pression de vapeur saturante (pression d'équilibre liquide-vapeur) de l'eau pure à la température considérée.

Q11. Représenter l'allure du diagramme des phases pression-température du corps pur "eau". Y indiquer le domaine de chaque phase en présence. Définir avec précision les deux points caractéristiques qui y figurent.

L'air d'une cuisine hermétiquement close, de volume

V = 50 m^3

, est à la pression atmosphérique

p_0

et à la température

T = 293 K

. À cette température, la pression de vapeur saturante de l'eau est égale à

2, 3 \cdot 10^3 Pa

. Le degré hygrométrique de l'air dans cette pièce est de

55%

Q12. Rappeler la relation entre

p_0

et les pressions partielles

p_e

p_(as)

.
Calculer les masses

m_e

de vapeur d'eau et

m_(as)

d'air sec dans la pièce. En déduire la valeur de l'humidité spécifique

φ

de l'air de la pièce, exprimée en kg d'eau par kg d'air sec et définie par :

φ = (m_e)/(m_(as))

Q13. On porte à ébullition un récipient rempli d'eau. Calculer le volume

V_e

d'eau à évaporer pour saturer en humidité l'air de la cuisine, c'est-à-dire atteindre un degré hygrométrique de

100%

. On négligera l'augmentation de la température de l'air de la cuisine.

On considère maintenant que la cuisine de volume

V

est dotée d'un système de renouvellement d'air. L'air est supposé homogène dans la pièce, avec à l'instant

t

une concentration massique en vapeur d'eau

C(t)

uniforme (exprimée en kg d'eau par

m^3

d'air). De l'air extérieur neuf, de concentration massique en vapeur d'eau

C_(ext)

constante, entre dans la cuisine avec un débit volumique

D_v

, tandis que de l'air vicié de concentration massique

C(t)

sort de la cuisine avec le même débit. Les personnes présentes dans la cuisine et leurs activités sont une source de vapeur d'eau. On note

S

le taux de création de vapeur d'eau dans la pièce, c'est-à-dire la masse de vapeur d'eau créée par unité de temps.

Q14. Établir une équation différentielle vérifiée par

C(t)

à partir d'un bilan de masse entre les instants

t

t + dt

pour la vapeur d'eau dans l'air de la cuisine.
En déduire que le débit volumique minimal nécessaire pour maintenir une concentration en vapeur d'eau sous une valeur limite

C_(lim)

s'écrit en régime stationnaire :

D_(v, m) = S/(C_(lim) - C_(ext))

Q15. L'air extérieur, de température égale à

5^\circC

, a un degré hygrométrique de

100%

, soit une concentration massique en vapeur d'eau

C_(ext) = 7, 0 \cdot 10^(- 3) kg \cdot m^(- 3)

. Le taux de création de vapeur d'eau dans la cuisine est

S = 0, 30 kg \cdot h^(- 1)

. Pour l'air dans la cuisine, de température égale à

20^\circC

, on souhaite ne pas dépasser un degré hygrométrique de

60%

, soit une concentration massique en vapeur d'eau

C_(lim) = 1, 0 \cdot 10^(- 2) kg \cdot m^(- 3)

. Calculer le débit volumique minimal nécessaire

D_(v, m)

. Commenter le choix d'un débit massique de renouvellement d'air

D_m = 150 kg \cdot h^(- 1)

comme celui de la VMC double flux étudiée dans la partie

I

II. 2 - Principe d'un capteur d'humidité capacitif

Deux disques conducteurs, de rayon

a

, de même axe (

O, u⃗_z

), distants de

d≪a

, constituent les armatures d'un condensateur à vide (figure 4). La charge portée par chaque armature varie de façon sinusoïdale avec le temps, à la fréquence

f

. On note

q(t) = q_0 cos(2πft)

la charge portée par l'armature supérieure à l'instant

t

. On suppose que le courant qui apporte ces charges arrive par des fils infinis confondus avec l'axe de révolution (

O, u⃗_z

) du condensateur.
On s'intéresse au champ électromagnétique (

E⃗(M, t); B⃗(M, t)

) en tout point

M

à l'intérieur du condensateur et repéré par ses coordonnées cylindriques (

r, θ, z

) dans le repère (

O, u⃗_r, u⃗_θ, u⃗_z

Figure 4 - Condensateur à symétrie cylindrique
Les échelles ne sont pas respectées

Q16. Justifier par des considérations de symétries et d'invariances que le champ électrique

E⃗(M, t)

est a priori de la forme :

E⃗(M, t) = E_r(r, z, t)u⃗_r + E_z(r, z, t)u⃗_z

Q17. On suppose en première approximation que

rot^(\to-)(E⃗) ≃ 0\to

. En déduire l'ordre de grandeur du rapport

|(E_r)/(E_z)|

. Conclure sachant que les effets de bords sont négligeables (

d≪a

). Déduire d'une autre équation de Maxwell que le champ

E⃗(M, t)

est finalement de la forme :

E⃗(M, t) = E_z(r, t)u⃗_z

Q18. On cherche en première approximation un champ uniforme à l'intérieur du condensateur:

E⃗(M, t) = E⃗_0(t) = E_(0, z)(t)u⃗_z

.
Déduire du théorème de Gauss appliqué à une surface à définir clairement, notamment à l'aide d'un schéma, l'expression du champ électrique

E⃗_0(t)

. On donnera le résultat en fonction de

q(t), a

et de la permittivité du vide

ε_0

. On admettra que le champ électrique est nul à l'extérieur du condensateur et on supposera que la densité surfacique de charges portée par chaque armature est uniforme.

Du fait de sa dépendance par rapport au temps, le champ

E⃗_0(t)

crée un champ magnétique induit

B⃗_1(M, t)

. Le champ magnétique

B⃗_1(M, t)

crée à son tour un champ induit

E⃗_2(M, t)

, terme correctif pour le champ électrique qui s'écrit :

E⃗(M, t) = E⃗_0(t) + E⃗_2(M, t)

Q19. À quelle condition portant sur

‖E⃗_2‖

‖E⃗_0‖

peut-on considérer que

rot^(\to-)(E⃗) ≃ 0\to

comme supposé à la Q17 ?
On admet que cette condition est vérifiée si

a≪c/f

où

c

est la célérité des ondes électromagnétiques dans le vide. Proposer une interprétation physique.

La condition précédente étant vérifiée, le champ électrique à l'intérieur du condensateur dérive donc d'un potentiel scalaire

V_0(M, t)

tel que

E⃗_0 = - grad^(\to-)(V_0)

Q20. Donner l'expression du potentiel scalaire

V_0(M, t)

à une constante additive près.
Exprimer la différence de potentiel

V_0(z = d) - V_0(z = 0)

entre les deux armatures et en déduire que la capacité

C

du condensateur s'écrit :

C = (ε_0 πa^2)/d

On munit désormais le condensateur d'une armature poreuse et on le remplit d'un polymère hygroscopique pouvant adsorber l'eau de l'air et dont la permittivité diélectrique

ε

est fonction du degré hygrométrique de l'air. On admet que la capacité

C

de ce condensateur a la même expression que celle du condensateur à vide établie à la Q20 à condition de remplacer la permittivité

ε_0

du vide par la permittivité

ε

du polymère. Le condensateur possède en outre une résistance de fuite

R

, principalement due au polymère qui en adsorbant l'eau ne se comporte pas comme un isolant parfait. Le modèle électrique équivalent de ce condensateur est constitué de la capacité

C

en parallèle avec la résistance

R

.
Le condensateur est inséré dans le circuit suivant (figure 5), appelé pont de Sauty, alimenté sous une tension sinusoïdale

e(t)

de pulsation

ω

, où la résistance

R_0

et la capacité

C_0

sont variables.
On note

u(t)

la tension entre les points

A

B, e_-

u_-

les représentations complexes des tensions respectives

e(t)

u(t)

. On note

Z_-_0

l'impédance de l'association parallèle de la capacité

C_0

et de la résistance

R_0

entre les points

M

B

, et

Z_-

l'impédance de l'association parallèle de la capacité

C

et de la résistance

R

entre les points

B

N

Figure 5 - Pont de Sauty

Q21. Exprimer en fonction de

e_-

et des différentes impédances les tensions

u_-_(AN)

u_-_(BN)

.
En déduire que

u_- = (R_2 Z_-_-_0 - R_1 Z_-_-)/((R_1 + R_2)(Z_-_-_0 + Z_-))e_-

.
Q22. Le pont de Sauty est dit équilibré lorsque

u_- = 0

, quelle que soit la tension

e_-

. Montrer que l'équilibre du pont permet de déterminer

R

C

, dont on donnera l'expression en fonction de

R_0, R_1, R_2

C_0

Q23. On utilise le condensateur en tant que capteur d'humidité dont on donne ci-dessous la courbe d'étalonnage (figure 6). Déterminer le degré hygrométrique de la pièce dans laquelle il est plongé sachant que le pont de Sauty est équilibré pour

C_0 = 1, 44nF

avec

R_1/R_2 = 0, 1

Figure 6 - Courbe d'étalonnage du capteur
Source : data sheet capacitive humidity sensor P14 rapid-W, Innovative Sensor Technology

Partie III - Nuisances sonores

Dans un système de renouvellement d'air, de l'air vicié est aspiré et de l'air neuf insufflé dans la pièce à traiter. Entre l'aspiration et le soufflage, l'air a traversé des éléments générateurs de bruits (ventilateur, gaines...) qui peuvent parfois s'avérer gênants.

III. 1 - Correction acoustique et théorie de la réverbération de Sabine

Afin d'assurer le confort acoustique des occupants d'une pièce d'habitation vis-à-vis des bruits qui lui sont propres, une solution consiste à recouvrir les parois de la pièce avec des matériaux absorbants appropriés. Cette méthode, appelée correction acoustique, permet d'optimiser selon l'usage de la pièce sa durée de réverbération liée à la multiplicité des échos sonores renvoyés par les parois.

On considère un fluide, caractérisé à l'équilibre par un champ des vitesses uniformément nul et des champs de pression et de masse volumique uniformes et stationnaires, notés respectivement

p_0

ρ_0

. Lorsque l'équilibre est rompu au passage d'une onde sonore se propageant selon l'axe (

O, u⃗_x

), le fluide est alors caractérisé à l'instant

t

en tout point

M

d'abscisse

x

de l'écoulement supposé parfait par :

un champ de pression $p(x, t) = p_0 + p_1(x, t)$ où la quantité $p_1$ est appelée surpression ou pression acoustique ;
un champ de masse volumique $ρ(x, t) = ρ_0 + ρ_1(x, t)$ ;
un champ des vitesses $v⃗(x, t) = 0\to + v⃗_1(x, t) = v_1(x, t)u⃗_x$ .

Q24. La propagation de la perturbation dans le fluide est traitée dans l'approximation acoustique. Préciser le cadre de cette approximation.

Q25. Rappeler l'équation d'Euler, limitée aux seules forces pressantes (effets de la pesanteur négligés en particulier). En déduire après linéarisation l'équation de couplage :

ρ_0(\partialv_1)/(\partialt) + (\partialp_1)/(\partialx) = 0

Établir de la même façon une seconde équation de couplage linéarisée à partir de l'équation locale de conservation de la masse.

Q26. Le fluide évolue de façon isentropique sous l'effet des ondes sonores. Montrer que

ρ_1 = ρ_0 χ_(S, 0)p_1

où

χ_(S, 0)

est le coefficient de compressibilité isentropique du fluide à l'équilibre. On rappelle que

χ_S = 1/ρ((\partialρ)/(\partialp))_S

Q27. Déduire de l'ensemble des résultats précédents que la pression acoustique

p_1(x, t)

obéit à une équation de d'Alembert. Donner l'expression de la célérité

c

des ondes sonores en fonction de

χ_(S, 0)

ρ_0

Q28. On suppose que le fluide évoluant de façon isentropique se comporte en outre comme un gaz parfait. Justifier que

pρ^(- γ) = C^(ste)

où

γ

est le rapport entre les capacités thermiques à pression et volume constants du fluide. En déduire que la célérité des ondes sonores s'écrit :

c = \sqrt((γp_0)/(ρ_0))

L'onde est plane, progressive, sinusoïdale de pulsation

ω

, de la forme

p_1(x, t) = p_(1, m)cos(ωt - kx)

pour la pression acoustique, avec

k = ω/c

Q29. Déduire de l'une des équations de couplage établies à la Q25 l'expression du rapport

Z_c = (p_1)/(v_1)

, appelé impédance caractéristique du milieu, en fonction de

ρ_0

c

. Que devient la relation entre

p_1

v_1

dans le cas d'une onde se propageant dans le sens inverse ?

Q30. La densité volumique d'énergie sonore

⟨e⟩_T

associée à l'onde s'écrit en moyenne sur une période

T = (2π)/ω : ⟨e⟩_T = 1/2ρ_0⟨v_1^2⟩_T + 1/2χ_(S, 0)⟨p_1^2⟩_T

. Quelle est la signification physique de chacun des termes composant cette expression? Exprimer

⟨e⟩_T

pour l'onde considérée en fonction de

p_(1, m), ρ_0

c

Q31. On appelle intensité sonore

I

la grandeur définie par:

I = |⟨p_1 v_1⟩_T|

. Vérifier que cette grandeur est homogène à une puissance surfacique. Montrer que l'intensité sonore est proportionnelle à la densité volumique d'énergie sonore

⟨e⟩_T

pour l'onde considérée.

Le fluide est l'air d'une pièce d'habitation, au centre de laquelle se trouve une source sonore ponctuelle et isotrope, émettant de façon continue un son harmonique. En un point donné de la pièce, on distingue le champ direct dû à l'onde divergente émise par la source qui n'a pas encore rencontré d'obstacles, du champ réverbéré dû à l'ensemble des ondes ayant eu une ou plusieurs réflexion(s) sur les parois et les objets de la pièce. Dans la théorie de l'acousticien américain Sabine, la densité volumique d'énergie sonore du champ réverbéré

⟨e_r⟩_T

est supposée uniformément répartie dans toute la pièce à un instant donné. Dans ces conditions, on montre que l'intensité sonore correspondante s'écrit:

I_r = (c⟨e_r⟩_T)/4

. On notera que

I_r

⟨e_r⟩_T

sont des quantités moyennées sur une période

T

de la source, mais sont susceptibles de varier sur une échelle de temps caractéristique

τ

beaucoup plus grande.

On néglige dans la suite l'absorption due à l'air, mais pas celle due aux parois et objets de la pièce. On note

V

le volume de la pièce,

S

la surface totale des parois et des objets de la pièce,

α_m

leur coefficient d'absorption moyen, défini comme le rapport entre la puissance sonore absorbée au niveau des parois et des objets et la puissance sonore incidente.
À l'instant

t = 0

, on coupe la source sonore. On se propose d'établir la loi de décroissance

I_r(t)

de l'intensité sonore du champ réverbéré au cours du temps.

Q32. Exprimer la puissance sonore moyenne

P_a

absorbée par les parois et les objets de la pièce en fonction de

I_r, α_m

S

.
Exprimer de même l'énergie sonore moyenne

E(t)

dans la pièce à l'instant

t

en fonction de son volume

V, I_r

c

Q33. À l'aide d'un bilan d'énergie, montrer que l'intensité réverbérée

I_r(t)

obéit à l'équation différentielle du premier ordre:

(dI_r)/(dt) + (α_m Sc)/(4V)I_r = 0

.
Donner la loi d'évolution

I_r(t)

. On introduira un temps caractéristique

τ

et on notera

I_r(t = 0) = I_(r, 0)

On définit le temps de réverbération

T_r

comme la durée nécessaire pour que le niveau d'intensité sonore

L_I

dans la pièce décroisse de 60 dB par rapport à son niveau initial, soit:

ΔL_I = L_I(t = T_r) - L_I(t = 0) = - 60 dB

. On rappelle que le niveau d'intensité sonore est défini par:

L_I = 10logI/(I_0)

où

I_0 = 10^(- 12) W \cdot m^(- 2)

est l'intensité sonore au seuil d'audibilité à 1000 Hz .

Q34. Exprimer le temps de réverbération

T_r

en fonction de

τ

. Vérifier qu'on retrouve la formule semi-numérique de Sabine :

T_r = 0, 16V/(α_m S)

, où le rapport

V/S

est exprimé en m et

T_r

en s . On prendra

c = 3, 4 \cdot 10^2 m \cdot s^(- 1)

(air à la température

T_0 = 293 K

à l'équilibre).

On considère une salle vide, de longueur

L = 25 m

, de largeur

ℓ = 20 m

, de hauteur

h = 10 m

, destinée à un concert de musique symphonique. Une mesure au sonomètre indique un temps de réverbération

T_r

à 1000 Hz de

5, 0 s

, plus élevé que le temps de réverbération optimal

T_(r, op)

(figure 7).

Figure 7 - Temps de réverbération optimal à 1000 Hz en fonction du volume de la pièce

Orgue, audition directe. 2. Musique symphonique, audition directe. 3. Orgue, enregistrement. 4. Opéra, audition directe. 5. Jazz, audition directe. 6. Parole, audition directe. 7. Parole, enregistrement. 8. Variétés, enregistrement.

Source : L. Lamoral. Acoustique et architecture

Q35. Sachant que le coefficient d'absorption moyen

α_(m, p)

du public est égal à 0,90 , justifier si la présence d'un public permet oui ou non une qualité d'écoute du concert satisfaisante.

Cette question fait appel à une démarche de résolution de problème. Il est notamment attendu de préciser chaque notation introduite, de présenter de façon claire les hypothèses retenues, de mener des calculs littéraux avant toute application numérique.

III. 2 - Principe d'un silencieux à résonateur de Helmholtz

Si un traitement acoustique de la pièce ne peut être envisagé, d'autres solutions sont possibles pour réduire l'impact du bruit généré par un système de renouvellement d'air. L'une d'elles consiste à insérer des silencieux le long des réseaux de gaines, munis entre autres de résonateurs de Helmholtz. On modélise un résonateur de Helmholtz par une cavité de grand volume

V_c

, reliée à l'air libre par l'intermédiaire d'un col cylindrique horizontal d'axe (

O, u⃗_x

), de très faible section

s

et de longueur

ℓ

(figure 8). Sous l'effet d'une perturbation, on considère que l'air situé dans le col oscille en bloc, à l'image d'un bouchon qui coulisserait. On note

x(t)

le déplacement du centre d'inertie de cette tranche d'air à l'instant

t

par rapport à sa position à l'équilibre,

p_c(t)

la pression supposée uniforme dans la cavité,

ρ_0

la masse volumique de l'air dans le col, supposée égale à tout instant à celle de l'air libre à la pression atmosphérique

p_0

. On néglige tout phénomène dissipatif et on considère que l'air dans la cavité, de comportement supposé parfait, évolue de façon isentropique.

Figure 8 - Modélisation d'un résonateur de Helmholtz. La zone grisée représente la tranche d'air qui oscille

Q36. Exprimer la résultante

F⃗_p

des forces pressantes sur la tranche d'air en fonction de

p_0

p_c(t)

s

.
En supposant que le volume de la tranche d'air est très petit devant le volume de la cavité, soit

ℓ_s≪V_c

, montrer que

p_c(t) ≃ p_0(1 + (γsx)/(V_c))

au premier ordre, où

γ

est le rapport entre les capacités thermiques à pression et volume constants de l'air. En déduire que la résultante des forces pressantes sur la tranche d'air est équivalente à une force de rappel élastique de raideur

k : F⃗_p = - kxu⃗_x

. Exprimer

k

en fonction de

V_c, s, ρ_0

et de la célérité

c

des ondes sonores dans l'air. On utilisera l'expression de

c

établie à la

Q28

Q37. Montrer que la tranche d'air dans le col oscille de façon harmonique. Vérifier que la fréquence propre

f_0

de ce système oscillant s'écrit :

f_0 = 1/(2π)\sqrt((c^2 s)/(ℓV_c))

Un résonateur expérimental est constitué d'un cylindre en PVC de volume

V_c = 791 cm^3

, fermé à ses deux extrémités. L'une de ces extrémités est percée de façon à insérer un col cylindrique de section

s = 1, 89 cm^2

et de longueur

ℓ = 5, 0 cm

. Un microphone de petite taille, relié à un oscilloscope à mémoire, est inséré dans le grand volume. En engageant légèrement l'index dans le col et en le retirant brusquement, on enregistre le signal suivant (figure 9). Les conditions de l'expérience sont telles que

c = 343 m \cdot s^(- 1)

Figure 9 - Oscillations libres d'un résonateur de Helmholtz
Source : Bulletin de l'Union des Physiciens, volume 96, Juin 2002

Q38. Quelle serait la nature du signal attendu dans le cadre du modèle considéré dans les questions précédentes ? Comment expliquer la différence avec le signal enregistré ? Estimer le facteur de qualité

Q

du résonateur.

Q39. Le facteur de qualité est suffisamment grand pour considérer que le système oscille à sa fréquence propre

f_0

. Comparer la valeur mesurée de cette fréquence à celle déduite du modèle utilisé.
En fait, les couches d'air situées de part et d'autre du col sont aussi entraînées dans le mouvement. Expliquer en quoi leur prise en compte permet d'affiner la modélisation.

Un haut-parleur, relié à un générateur basse fréquence, impose désormais à l'entrée du col une surpression variant de façon sinusoïdale à la pulsation

ω

, de la forme

p(t) = p_m cos(ωt)

. La pression à l'entrée du col est donc égale à

p_0 + p(t)

. On associe à cette pression acoustique la grandeur complexe

p_-(t) = p_m e^(jωt)

où

j^2 = - 1

. On cherche une réponse de la tranche d'air de la forme

x_-(t) = x_-_m e^(jωt)

en régime forcé en restant dans le cadre du modèle développé dans Q36 et Q37.

Q40. Établir l'expression de

x_-(t)

. En déduire que la vitesse de la tranche d'air dans le col s'écrit en représentation complexe :

v_-(t) = v_-_m e^(jωt)

où

v_-_m = (jωp_m)/(ρ_0 ℓ(ω_0^2 - ω^2))

.
Que dire de

|v_-_m|

dans le cas où

ω = ω_0

? En pratique,

|v_-_m|

reste borné. Expliquer pourquoi.

Un résonateur de Helmholtz est maintenant connecté en

z = 0

à une longue conduite cylindrique d'axe (

O, u⃗_z

) et de section

S≫S

(figure 10). La masse volumique de l'air au repos dans la conduite est

ρ_0

.
Une onde acoustique incidente plane progressive sinusoïdale, de pulsation

ω

, se propage dans la conduite dans le sens des

z

croissants à la célérité

c

. Elle est caractérisée par sa pression acoustique

p_-_i(z, t) = p_-_(i, m)e^(j(ωt - kz))

. Du fait de la présence du résonateur en

z = 0

, elle donne naissance à une onde réfléchie et une onde transmise, caractérisées par leurs pressions acoustiques respectives

p_-_r(x, t) = p_-_(r, m)e^(j(ωt + kz))

p_-_t(x, t) = p_-_(t, m)e^(j(ωt - kz))

Figure 10 - Résonateur de Helmholtz connecté à une conduite

Q41. Exprimer les champs des vitesses caractérisant les ondes acoustiques incidente, réfléchie et transmise, notées respectivement

v_-_i(z, t), v_-_r(z, t)

v_-_t(z, t)

, en fonction notamment de l'impédance caractéristique

Z_c

de la conduite définie à la Q29.

Q42. On note

p_-(t) = p_m e^(jωt)

la pression acoustique et

v_-(t) = v_-_m e^(jωt)

le champ des vitesses correspondant en

z = 0

à l'entrée du col du résonateur. Exprimer

p_m

en fonction de

p_-_(i, m)

p_-_(r, m)

, puis en fonction de

p_-_(t, m)

.
En supposant la conservation du débit volumique à travers la surface qui délimite la portion de la conduite en contact avec le résonateur en

z = 0

(figure 10), établir une relation entre

p_-_(i, m), p_-_(r, m), p_-_(t, m), v_-_m, S, s

Z_c

Un calcul non demandé permet de déduire de l'ensemble des résultats établis précédemment que:

p_-_(t, m) = (p_-_(i, m))/(1 - j/(2β(ω/(ω_0) - (ω_0)/ω))) avec β = (ℓSω_0)/(sc).

Q43. Exprimer en fonction de

ω, ω_0

β

l'indice de perte de transmission

L_(TL)

défini par

é é L_(TL) = 10log((|p_(i, m)_-|^2)/(|p_(t, m)_-|^2)) et exprimé en décibels.

Il y a en fait toujours des phénomènes dissipatifs dus à la viscosité dans le col, phénomènes pouvant être renforcés par l'adjonction dans le col de matériaux poreux. Dans ces conditions, l'indice de perte de transmission est également fonction d'un coefficient d'amortissement adimensionné

α

(figure 11).

Figure 11 - Indice de perte de transmission autour de la fréquence de résonance

f_0

pour différentes valeurs des coefficients

α

β

Source : T.F.W. Embleton. Mufflers, in Noise and Vibration Control.
Q44. Identifier à l'aide des courbes de la figure 11 la nature du filtre acoustique que constitue le résonateur de Helmholtz relié à la conduite.
Pour une valeur du coefficient

β

donnée, expliquer à l'aide des courbes l'intérêt d'avoir un coefficient d'amortissement

α

important.

FIN

Questions fréquentes

4 questions

Sur quels chapitres porte le sujet CCINP Physique PC 2023 ?

Il mobilise la thermodynamique des systèmes ouverts, les changements d'état, l'électromagnétisme et l'électrocinétique en régime sinusoïdal, ainsi que les ondes acoustiques et les oscillateurs mécaniques. Le thème commun est la qualité de l'air dans l'habitat.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées en CCINP Physique PC 2023 ?

Des bilans rédigés sans préciser le système, des erreurs de signe, un théorème de Gauss mal appliqué, des résultats absurdes non repérés et une linéarisation acoustique incomplète.

Le sujet CCINP Physique PC 2023 récompensait-il la connaissance du cours ?

Oui : selon le jury, le nombre important de questions de cours a permis aux candidats qui le maîtrisaient d'obtenir une note très confortable. Les candidats ayant des lacunes sur la plupart des thèmes ont été lourdement pénalisés.

Quelles questions du sujet CCINP Physique PC 2023 ont été les plus évitées ?

La question 35, qui demandait de l'initiative, a très souvent été évitée ; les questions 8, 10, 40 et 43 ont été peu traitées.

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