Corrigé détaillé Centrale Physique 2 PC 2023

La masse de référence est celle du prototype international du kilogramme, soit m = 1\text{ kg}. L'écart absolu mesuré est :

L'écart relatif en masse vaut donc :

Plusieurs phénomènes physico-chimiques peuvent expliquer cette dérive au cours du temps entre le prototype et ses copies :

1. Adsorption et contamination de surface : malgré les cloches de protection, des gaz atmosphériques, de la vapeur d'eau ou des polluants organiques (hydrocarbures) peuvent s'adsorber à la surface de l'alliage (platine-iridium), augmentant sa masse.
2. Usure mécanique et nettoyage : les manipulations lors des comparaisons périodiques ainsi que les protocoles de nettoyage destinés à décontaminer la surface peuvent retirer de la matière par abrasion microscopique, réduisant ainsi la masse.
3. Dégazage : des gaz occlus dans la matrice métallique lors de sa fabrication peuvent lentement désorber vers l'extérieur.

L'utilisation d'un artéfact matériel comme étalon primaire présente plusieurs inconvénients majeurs :

• Instabilité temporelle et manque de pérennité : La masse d'un objet matériel n'est pas constante dans le temps en raison de processus physico-chimiques inévitables (adsorption, dégazage, oxydation) et de l'usure mécanique liée aux manipulations. De plus, il existe un risque irréversible d'altération accidentelle, de dégradation ou de perte de l'artéfact.
• Inaccessibilité et défaut d'universalité : L'artéfact étant unique et localisé en un lieu précis (au Bureau International des Poids et Mesures à Sèvres), il ne peut être utilisé directement par les différents laboratoires mondiaux. L'étalonnage nécessite la dissémination via des copies secondaires, ce qui impose des transports délicats, coûteux et générateurs d'incertitudes supplémentaires. Cela s'oppose au principe d'universalité du Système International (« À tous les temps, à tous les peuples »).
• Aporie métrologique : Par définition, la masse du prototype international était exactement de 1\text{ kg}, sans incertitude possible. Toute variation physique réelle de la masse du cylindre se répercutait donc sur la valeur de l'unité elle-même plutôt que d'être mesurée comme une dérive de l'objet, ce qui limitait fondamentalement la précision des mesures au niveau mondial.

1. Condition d'équilibrage et sens de la force :

La balance est articulée en son centre C et symétrique par rapport au plan (xCz). En présence de la masse m sur le plateau de droite, le poids \vec{P} = m\vec{g} = mg\,\vec{u}_z (l'axe (Oz) étant orienté vers le bas) exerce un moment par rapport à l'axe de rotation qui tend à faire basculer le fléau dans le sens horaire autour de Oy.

Pour maintenir le fléau à l'horizontale, la bobine située sur le plateau de gauche doit être soumise à une force de Laplace \vec{F} dirigée verticalement vers le bas, de même valeur que le poids :

2. Orientation du courant et calcul de la force de Laplace :

Soit (\vec{u}_r, \vec{u}_\theta, \vec{u}_z) la base cylindrique directe associée à l'axe vertical (Oz) orienté vers le bas. Dans cette base, la règle du tire-bouchon indique que \vec{u}_r \wedge \vec{u}_\theta = \vec{u}_z.

Le champ magnétique est radial et sortant : \vec{B} = B\,\vec{u}_r avec B > 0. Un élément infinitésimal de fil s'écrit \mathrm{d}\vec{\ell} = \mathrm{d}\ell\,\vec{u}_{\text{fil}}. La force élémentaire de Laplace subie par la spire s'écrit :

En choisissant \mathrm{d}\vec{\ell} = \mathrm{d}\ell\,\vec{u}_\theta, on obtient :

Pour que la force soit orientée selon +\vec{u}_z (vers le bas), il faut que le courant circule dans le sens -\vec{u}_\theta. Vu de dessus (c'est-à-dire en regardant dans le sens de +Oz), le sens trigonométrique correspond à -\vec{u}_\theta. Le courant doit donc circuler dans le sens anti-horaire (trigonométrique) vu de dessus.

La force élémentaire est alors verticale descendante et uniforme le long du fil :

En intégrant sur l'ensemble des spires de longueur totale l :

En convenant que l'intensité algébrique I est comptée positivement dans le sens -\vec{u}_\theta, la force qui agit sur la bobine s'écrit :

On étudie l'équilibre du fléau de la balance, de bras de levier identique L de part et d'autre du couteau d'appui C (symétrie par rapport au plan (xCz)), dans le référentiel terrestre supposé galiléen.

La balance étant initialement équilibrée en l'absence de masse m et de courant, les moments du poids propre du fléau et des suspensions se compensent exactement en C.

Lorsque la masse m est déposée sur le plateau de droite et que le courant I circule dans la bobine à gauche, le système est soumis aux actions verticales supplémentaires suivantes :

• le poids de la masse m sur le plateau de droite : \vec{P} = m\vec{g} = mg\,\vec{u}_z ;
• la force de Laplace exercée sur la bobine sur le plateau de gauche : \vec{F} = IBl\,\vec{u}_z.

Le théorème du moment cinétique appliqué au fléau à l'équilibre par rapport à l'axe de rotation horizontal passant par C donne :

soit :

D'après l'expression de la force de Laplace établie à la question Q3, F_z = IBl, d'où :

On en déduit l'expression de la masse m :

La bobine est constituée de N spires circulaires coaxiales de même diamètre moyen D. La longueur totale du fil s'écrit donc :

D'après la relation d'équilibre obtenue à la question Q4, en prenant la valeur absolue de l'intensité permettant de compenser le poids, la masse m s'exprime par :

Avec les données numériques suivantes :

• N = 600
• D = 260\text{ mm} = 0{,}260\text{ m}
• B = 1{,}0\text{ T}
• |I| = 10\text{ mA} = 1{,}0 \times 10^{-2}\text{ A}
• g = 9{,}81\text{ m}\cdot\text{s}^{-2}

La longueur totale vaut :

On en déduit :

Compte tenu de la précision des données (deux chiffres significatifs pour B et |I|) :

Soit L la longueur commune des deux bras du fléau (symétrie par rapport au plan (xCz)) et M_{\text{b}} la masse totale de l'équipage mobile du côté bobine. L'équilibrage initial à vide (I=0, m=0) en présence de la tare de masse M assure :

1. Première étape : on ajoute la masse m' sur le plateau de tare (côté opposé à la bobine) et on injecte le courant I_1. Le théorème du moment cinétique scalaire à l'équilibre s'écrit :

soit :

2. Seconde étape : on conserve la masse m' sur la tare et on ajoute la masse m sur le plateau lié à la bobine, l'équilibre étant obtenu pour un courant I_2. La condition d'équilibre devient :

soit :

En soustrayant l'équation (2) de l'équation (1), la masse auxiliaire m' s'élimine :

d'où la nouvelle relation remplaçant celle de la question Q4 :

Intérêts de cette méthode :

• Mesure différentielle : elle élimine la masse de la tare M, la masse de la bobine M_{\text{b}}, la valeur de m', ainsi que les forces parasites constantes s'exerçant sur les plateaux (poussée d'Archimède de l'air résiduel, couples de rappel élastique des suspensions).
• Stabilisation thermique : comme le montre la question suivante, le choix m' = m/2 conduit à I_2 = -I_1. Les puissances dissipées par effet Joule (P_J = R I^2) sont alors strictement identiques dans les deux phases, ce qui évite toute variation de température, prévenant ainsi les dilatations thermiques de la bobine et les courants de convection.
• Gain de précision : la mesure porte sur une excursion de courant double \Delta I = I_1 - I_2 \approx 2 I_1, ce qui améliore la résolution et l'incertitude relative sur l'intensité mesurée.

D'après les conditions d'équilibre établies à la question Q6 :

• Lors de la première étape, avec la masse auxiliaire m' sur le plateau opposé à la bobine :

  m' g = I_1 B l

• Lors de la seconde étape, avec m' sur le plateau opposé et m sur le plateau de la bobine :

  (m' - m) g = I_2 B l

En substituant m' = \dfrac{m}{2} dans ces deux relations, on obtient :

On en déduit immédiatement la relation entre les intensités :

D'après l'énoncé, la force électromotrice induite lors du déplacement de la bobine à la vitesse v s'écrit :

En multipliant cette relation par l'intensité I utilisée lors de la phase statique, on obtient :

Or, d'après la condition d'équilibre statique établie à la question Q4, on a :

En substituant I B l par m g, il vient directement :

soit :

Origine du nom « balance du watt » :

• Le terme |E I| représente une puissance électrique (produit d'une tension et d'une intensité).
• Le terme m g v représente une puissance mécanique (puissance développée par le poids à la vitesse v).

Cette expérience réalise ainsi une équivalence entre une puissance mécanique et une puissance électrique, toutes deux homogènes à des watts (\mathrm{W}), ce qui justifie la dénomination historique de « balance du watt ».

Protocole expérimental :

• Dispositif optique : On utilise un interféromètre de Michelson éclairé par un laser Nd-YAG de longueur d'onde \lambda = 1064\text{ nm}. Le faisceau incident est séparé en deux par une lame semi-réfléchissante (séparatrice) :

  • un bras de référence comportant un miroir fixe M_1 ;
  • un bras de mesure comportant un réflecteur (miroir ou trièdre rétro-réfléchisseur) M_2, fixé rigidement au fléau ou à la suspension de la bobine qui se déplace à la vitesse v selon l'axe vertical (Oz).
• Observation : Un léger défaut de parallélisme entre les deux miroirs (configuration en coin d'air) permet d'observer un système de franges rectilignes et parallèles en sortie de l'interféromètre, sur une barrette ou matrice CCD.

• Mesure : Lors de la translation du miroir M_2 à la vitesse v, la longueur du bras de mesure varie de \Delta z(t) = v t. En incidence quasi-normale, la différence de marche optique varie au cours du temps selon :

  \delta(t) = 2 v t + \delta_0

  (le facteur 2 provient de l'aller-retour de l'onde dans le bras mobile).

Le défilement d'une frange devant un pixel donné du capteur CCD correspond à une variation de différence de marche \Delta \delta = \lambda, soit une durée :

La fréquence de défilement temporel des franges mesurée par le capteur CCD vaut donc :

On en déduit l'expression de la vitesse de la suspension :

Application numérique : Avec \lambda = 1064\text{ nm} = 1{,}064 \times 10^{-6}\text{ m} et f_d = 3{,}76\text{ kHz} = 3{,}76 \times 10^3\text{ s}^{-1} :

D'après l'expression de la force électromotrice induite admise dans le préambule de la sous-partie I.B.2 :

La longueur totale du fil de la bobine a été introduite à la question Q5 pour une bobine de N = 600 spires et de diamètre moyen D = 260\text{ mm} = 0{,}260\text{ m} :

Avec la vitesse obtenue à la question Q9, v = 2{,}00\times 10^{-3}\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}, et B = 1{,}0\text{ T} :

Une augmentation du rayon R de la spire correspond à une dilatation qui peut avoir deux origines physiques principales :

• Une dilatation thermique (cause prépondérante) : le passage du courant électrique I dissipe de la puissance par effet Joule au sein du fil conducteur, ce qui entraîne une élévation de sa température. Des variations de la température ambiante du laboratoire peuvent également survenir. Par dilatation thermique du métal conducteur (\mathrm{d}R = \alpha R \Delta T, où \alpha est le coefficient de dilatation thermique linéique), le périmètre et donc le rayon de la spire augmentent.
• Des contraintes mécaniques d'origine électromagnétique : la présence d'une composante axiale B_z du champ magnétique engendre, sous l'action du courant orthoradial, une force de Laplace radiale dirigée selon \pm\vec{u}_r (\vec{\mathrm{d}F}_{\text{rad}} = I \mathrm{d}\vec{\ell} \wedge B_z \vec{u}_z). Si elle est orientée vers l'extérieur, cette force tend à étirer mécaniquement la spire.

Considérons une spire circulaire horizontale de rayon R, d'axe (Oz), située dans le plan de cote z. Un élément de longueur infinitésimal de la spire, orienté dans le sens du courant I conformément à la question Q3 (sens horaire vu de dessus, soit selon -\vec{u}_\theta), s'écrit :

Le champ magnétique au niveau de la spire s'écrit en coordonnées cylindriques :

La force de Laplace élémentaire subie par cet élément de conducteur est :

En intégrant sur la circonférence de la spire pour \theta \in [0, 2\pi], le terme radial disparaît par symétrie de révolution (\int_0^{2\pi} \vec{u}_r(\theta)\,\mathrm{d}\theta = \vec{0}). Il reste uniquement la composante axiale :

En dérivant partiellement cette composante F_z(R, z) par rapport à R, à courant I fixé, on obtient directement :

Une propriété fondamentale du champ magnétique est son caractère solénoïdal, ou la conservation du flux magnétique, qui traduit physiquement l'absence de charges magnétiques isolées (monopôles magnétiques). L'équation locale correspondante est l'équation de Maxwell-Thomson :

D'après le formulaire fourni, la divergence d'un champ vectoriel en coordonnées cylindriques s'écrit :

Le champ magnétique présente une symétrie de révolution autour de l'axe (Oz) (aucun des éléments ne dépend de \theta) et ne possède pas de composante orthoradiale (B_\theta = 0). L'équation \operatorname{div}\vec{B} = 0 se simplifie donc en :

Évaluée pour la spire de rayon r = R, cette relation devient :

En injectant cette relation dans l'expression établie à la question Q12, \frac{\partial F_z(R, z)}{\partial R} = 2\pi I \frac{\partial (R B_r(R, z))}{\partial R}, on obtient :

Puisque F_z(R, z) = 2\pi I R B_r(R, z) (d'après la question Q12), on calcule le rapport :

Après simplification par 2\pi I R, on obtient l'égalité demandée :

1. Dispositif proposé

On dispose de deux spires circulaires identiques de rayon R, d'axe commun (Oz), parallèles au plan z = 0 et disposées symétriquement aux cotes :

• z = -d pour la spire supérieure ;
• z = +d pour la spire inférieure.

Pour créer un champ radial dans le plan médian z = 0, les spires doivent être parcourues par des courants d'intensités égales et de sens opposés (configuration dite de bobines en opposition ou anti-Helmholtz).

2. Analyse des symétries

• La distribution de courants est invariante par rotation autour de l'axe (Oz) : le champ magnétique ne dépend pas de \theta, et par symétrie de révolution, B_\theta(r, z) = 0.

• Les courants circulant en sens opposés dans les deux spires, le plan z = 0 est un plan d'antisymétrie pour la distribution de courant :

  \vec{\jmath}(r, \theta, -z) = -\vec{\jmath}(r, \theta, z)

  Par conséquent, le plan z = 0 est un plan de symétrie pour le champ magnétique axial (B_z) et d'antisymétrie pour le champ radial (B_r) ? Précisons : pour un champ pseudo-vectoriel comme \vec{B}, un plan d'antisymétrie des courants est un plan tangent pour \vec{B}. Ainsi, \vec{B}(r, \theta, z=0) appartient au plan z = 0 :

  B_z(r, \theta, z = 0) = 0

  Le champ magnétique dans le plan z = 0 est donc purement radial :

  \vec{B}(r, z = 0) = B_r(r, 0)\,\vec{u}_r

3. Orientation des courants pour un champ radial sortant

L'axe (Oz) est vertical et orienté vers le bas. Le repère cartésien (O, \vec{u}_x, \vec{u}_y, \vec{u}_z) étant direct avec \vec{u}_x horizontal vers la droite et \vec{u}_z vers le bas, le vecteur \vec{u}_y = \vec{u}_z \wedge \vec{u}_x est orienté vers l'arrière (entrant dans la page).

• Pour x > 0, le vecteur orthoradial \vec{u}_\theta est dans le sens de \vec{u}_y (entrant, noté \otimes).
• Pour x < 0, \vec{u}_\theta est dans le sens de -\vec{u}_y (sortant, noté \odot).

Pour que les lignes de champ s'échappent radialement vers l'extérieur dans le plan z = 0 (B_r > 0), la conservation du flux magnétique (\operatorname{div}\vec{B} = 0) impose que le champ le long de l'axe (Oz) converge vers le centre O :

• En z < 0, \vec{B}(0, z) doit être orienté selon +\vec{u}_z (vers le bas) : d'après la règle du tire-bouchon de Maxwell, le courant de la spire supérieure (z = -d) doit circuler selon +\vec{u}_\theta (soit \odot en x < 0 et \otimes en x > 0).
• En z > 0, \vec{B}(0, z) doit être orienté selon -\vec{u}_z (vers le haut) : le courant de la spire inférieure (z = +d) doit circuler en sens inverse, selon -\vec{u}_\theta (soit \otimes en x < 0 et \odot en x > 0).

4. Schéma et lignes de champ dans le plan (xOz)

1. Caractéristiques de \vec{B} dans le plan z = 0

• Direction et composantes : Le plan z = 0 est un plan d'antisymétrie pour la distribution de courant (\vec{j}(r, \theta, -z) = -\vec{j}(r, \theta, z)). Le champ magnétique étant un pseudo-vecteur, il est contenu dans son plan d'antisymétrie, d'où :

  B_z(r, \theta, 0) = 0

  De plus, tout plan méridien contenant l'axe (Oz) est un plan d'antisymétrie des courants (courants orthoradiaux orthogonaux au plan), donc \vec{B} est contenu dans le plan méridien : B_\theta(r, \theta, 0) = 0.

• Invariances : La géométrie étant invariante par rotation autour de (Oz), le champ ne dépend pas de \theta.

• Profil radial : Le champ est purement radial sortant :

  \vec{B}(r, 0) = B_r(r, 0)\,\vec{u}_r \quad \text{avec} \quad B_r(r, 0) > 0 \quad (\forall r > 0)

  Sur l'axe, par symétrie de révolution, \vec{B}(0, 0) = \vec{0} (soit B_r(0, 0) = 0), et à l'infini, \lim_{r\to\infty} \vec{B} = \vec{0}.

2. Signe de \frac{\partial B_z}{\partial z}(r, z = 0)

D'après l'équation de Maxwell-Thomson \operatorname{div}\vec{B} = 0, exprimée en coordonnées cylindriques dans le plan z = 0 :

• Au voisinage de r = 0 : Le champ \vec{B} étant régulier et s'annulant sur l'axe, son développement au premier ordre est linéaire : B_r(r, 0) \underset{r \to 0}{=} \alpha\,r avec \alpha > 0 puisque le champ est sortant. On en déduit :

  \begin{aligned} r B_r(r, 0) &\underset{r \to 0}{=} \alpha\,r^2 \\ \frac{\partial B_z}{\partial z}(r, 0) &\underset{r \to 0}{=} -\frac{1}{r}(2\alpha r) = -2\alpha < 0 \end{aligned}
  \boxed{\frac{\partial B_z}{\partial z}(r \to 0, z = 0) < 0}

• Pour r \to \infty : À grande distance, le dipôle magnétique global étant nul (courants opposés), le système équivaut à un quadrupôle magnétique dont le champ décroît comme 1/r^4. Par conséquent, le produit r B_r(r, 0) \propto 1/r^3 est une fonction strictement positive qui tend vers 0 lorsque r \to \infty : elle est donc nécessairement décroissante à l'infini, ce qui implique \frac{\partial (r B_r)}{\partial r} < 0. On a donc :

  \boxed{\frac{\partial B_z}{\partial z}(r \to \infty, z = 0) > 0}

D'après les questions Q12 et Q13, la force axiale s'exerçant sur la spire dans le plan z = 0 s'écrit :

et sa dérivée par rapport à R vérifie :

Examinons les caractéristiques de cette fonction (en prenant I > 0, de sorte que F_z > 0) :

• En R = 0 : le rayon étant nul (et le champ magnétique radial nul sur l'axe par symétrie), on a F_z(0, 0) = 0.
• Au voisinage de R = 0 : d'après la question Q15, \frac{\partial B_z}{\partial z}(R, 0) < 0, donc \frac{\partial F_z}{\partial R}(R, 0) > 0. La force est strictement croissante avec le rayon au voisinage de l'axe.
• Pour R \to \infty : le champ magnétique créé par les spires décroît rapidement vers zéro (en 1/R^3 au moins), de sorte que F_z(R, 0) \to 0. De plus, d'après la question Q15, \frac{\partial B_z}{\partial z}(R, 0) > 0, donc \frac{\partial F_z}{\partial R}(R, 0) < 0 : la force décroît à l'infini.

Par continuité de \frac{\partial B_z}{\partial z}(R, 0), le théorème des valeurs intermédiaires assure l'existence d'au moins une valeur R_{\text{opt}} > 0 telle que :

Cette valeur correspond à un maximum local de la force de Laplace.

Au voisinage de R_{\text{opt}}, un développement limité de Taylor à l'ordre deux en \mathrm{d}R = R - R_{\text{opt}} donne :

La variation de force au premier ordre en \mathrm{d}R est rigoureusement nulle :

La force F(R, z = 0) est donc stationnaire par rapport à R autour de R_{\text{opt}} et dépend très peu d'une variation de rayon.

D'après l'étude menée à la question Q16, la dérivée de la force axiale par rapport au rayon de la spire s'annule en R = R_{\mathrm{opt}} dans le plan z = 0 :

Par conséquent, au voisinage de ce rayon optimal, un développement limité de la force pour une petite variation \mathrm{d}R \ll R de rayon s'écrit :

Le terme d'erreur au premier ordre en \mathrm{d}R est nul.

Pour minimiser l'impact d'une éventuelle dilatation thermique de la bobine sur la mesure, il suffit donc de :

Ainsi, une variation résiduelle de température n'engendre qu'une modification de la force au second ordre en \mathrm{d}R, ce qui rend la balance de Kibble très peu sensible aux fluctuations thermiques dimensionnelles.

D'après la figure 1 :

• Lors de la phase statique, le courant d'équilibrage I traverse une résistance étalon R' aux bornes de laquelle est mesurée une tension U'. D'après la loi d'Ohm, son intensité s'écrit :

  I = \frac{U'}{R'}

• Lors de la phase dynamique, la tension U mesurée en circuit ouvert aux bornes de la bobine correspond à la force électromotrice induite :

  U = |E|

D'après le bilan de puissance établi à la question Q8, la puissance mécanique compense la puissance électrique :

En utilisant l'expression de la résistance étalon issue de l'effet Hall quantique donnée par le texte, R' = \dfrac{h}{\zeta e^2}, il vient :

On en déduit l'expression de la masse m en fonction de la constante de Planck et des grandeurs mesurables (U, U', v, g, \zeta et la constante e) :

ou, formulée de façon équivalente pour déterminer la constante de Planck à partir de la masse étalon m :

D'après la question Q18, la masse m s'exprime par :

Dans le cadre du Système international révisé :

• la constante de Planck h et la charge élémentaire e sont des constantes fixées par convention, donc sans incertitude :

  \frac{\Delta h}{h} = 0 \quad \text{et} \quad \frac{\Delta e}{e} = 0

• les grandeurs quantiques et électriques sont connues avec une précision relative de 10^{-9} :

  \frac{\Delta \zeta}{\zeta} \sim 10^{-9}, \quad \frac{\Delta U}{U} \sim 10^{-9}, \quad \frac{\Delta U'}{U'} \sim 10^{-9}

• la vitesse v et l'accélération de la pesanteur g sont mesurées avec une précision relative de 10^{-8} :

  \frac{\Delta v}{v} = 10^{-8} \quad \text{et} \quad \frac{\Delta g}{g} = 10^{-8}

En supposant les incertitudes indépendantes, la propagation quadratique des incertitudes relatives-types donne :

Une majoration au sens des incertitudes maximales mènerait à :

Dans les deux cas, la précision relative théorique sur la mesure du kilogramme est de l'ordre de :

(plus précisément comprise entre 1{,}4 \times 10^{-8} et 2{,}3 \times 10^{-8}).

La constante de Planck h a pour unité le joule-seconde (\mathrm{J\cdot s}). Exprimons cette unité dans les unités de base du Système international :

Or, dans le Système international :

• la seconde (\mathrm{s}) est définie en fixant la valeur exacte de la fréquence de transition hyperfine du césium 133, \Delta\nu_{\mathrm{Cs}} ;
• le mètre (\mathrm{m}) est défini en fixant la valeur exacte de la célérité de la lumière dans le vide, c (la seconde étant déjà connue).

En isolant le kilogramme dans l'expression de l'unité de h, on obtient :

Fixer définitivement une valeur numérique exacte pour la constante de Planck (soit h = 6{,}626\,070\,15 \times 10^{-34}\text{ kg}\cdot\text{m}^2\cdot\text{s}^{-1}) permet donc de définir l'unité de masse à partir d'une constante fondamentale invariante, sans recourir à un artéfact matériel :

1. Définition du kelvin (en vigueur de 1967 à 2018) :
   Le kelvin (symbole \mathrm{K}) était défini comme la fraction \frac{1}{273{,}16} de la température thermodynamique du point triple de l'eau. Par convention, la température thermodynamique du point triple de l'eau était donc fixée exactement à :

   T_{\text{pt}} = 273{,}16\text{ K}

2. Définition du degré Celsius :
   La température Celsius t (ou \theta), exprimée en degrés Celsius (^\circ\mathrm{C}), est définie par translation à partir de la température thermodynamique T exprimée en kelvins selon :

   t(^\circ\mathrm{C}) = T(\mathrm{K}) - 273{,}15

   Une différence de température d'un degré Celsius est rigoureusement égale à une différence de température d'un kelvin (\Delta t = \Delta T).

3. Équivalent de 0\text{ }^\circ\mathrm{C} :
   D'après la relation précédente, pour t = 0\text{ }^\circ\mathrm{C} :

   \boxed{T(0\text{ }^\circ\mathrm{C}) = 273{,}15\text{ K}}

La cellule au point triple de l'eau réalise l'équilibre thermodynamique simultané entre les trois phases (glace, eau liquide et vapeur d'eau saturante) d'un échantillon d'eau chimiquement pure. Les principales sources d'incertitude affectant la reproductibilité et l'exactitude de cette température de référence sont les suivantes :

• La composition isotopique de l'eau : la présence en proportions variables d'isotopes lourds (deutérium {}^2\mathrm{H}, oxygène 18 {}^{18}\mathrm{O}) modifie légèrement les équilibres de phase. Une variation isotopique non contrôlée peut introduire des écarts de température atteignant plusieurs dizaines de microkelvins (ce qui avait contraint le CIPM à imposer en 2005 une composition standard, l'eau VSMOW).
• La pureté chimique et les gaz dissous : la présence d'impuretés dissoutes (sels, composés chimiques lessivés de la paroi) ou de gaz résiduels non dégazés (azote, dioxygène) modifie les potentiels chimiques et abaisse la température d'équilibre solide-liquide (loi de la cryométrie).
• L'effet de la pression hydrostatique : le thermomètre est plongé dans le puits thermométrique à une certaine profondeur sous la surface libre. La pression locale y est augmentée de \rho g h, ce qui décale légèrement la température d'équilibre liquide-solide selon la relation de Clapeyron (effet de l'ordre de -0{,}73\text{ mK}\cdot\text{m}^{-1}).
• Les fuites thermiques parasites : des transferts thermiques par conduction le long de la gaine du thermomètre et par rayonnement entre l'intérieur de la cellule et le milieu extérieur créent des gradients de température au voisinage du capteur.
• Le vieillissement de la cellule : à long terme, la dissolution lente des silicates des parois en verre borosilicaté enrichit l'eau en impuretés, entraînant une dérive temporelle de la température de référence.

L'équation d'état du gaz parfait s'écrit, à l'échelle macroscopique pour une quantité de matière n :

et à l'échelle microscopique pour un nombre de particules N = n N_A :

Par identification directe entre les deux expressions, on obtient la relation fondamentale liant la constante molaire des gaz parfaits R et la constante microscopique de Boltzmann k_B :

où N_A désigne la constante d'Avogadro.

L'approximation acoustique consiste à supposer que le passage de l'onde sonore ne provoque qu'une très faible perturbation des grandeurs thermodynamiques et cinématiques par rapport à leur état d'équilibre au repos.

Elle se traduit par les conditions sur les grandeurs sans dimension suivantes :

où c_s désigne la célérité des ondes sonores dans le gaz.

Cette approximation permet de linéariser les équations régissant l'écoulement (équation d'Euler, équation de conservation de la masse et équation d'état thermodynamique) en négligeant tous les termes d'ordre supérieur ou égal à deux devant les termes du premier ordre (notamment le terme convectif d'accélération (\vec{v}\cdot\vec{\nabla})\vec{v} \sim v_1 \frac{\partial v_1}{\partial x} devant le terme d'accélération locale \frac{\partial \vec{v}}{\partial t}, ainsi que les produits \mu_1 v_1).

L'écoulement étant supposé parfait et l'influence de la pesanteur négligée, le fluide vérifie l'équation d'Euler :

Dans le cadre d'un écoulement unidimensionnel selon (Ox), avec \vec{v} = v_1(x,t)\,\vec{u}_x, cette équation se projette sous la forme scalaire :

On décompose les grandeurs en la somme de l'état de repos uniforme et d'une perturbation du premier ordre :

Dans le cadre de l'approximation acoustique :

• le terme convectif v_1 \dfrac{\partial v_1}{\partial x} est d'ordre 2 en perturbation et est négligé devant l'accélération locale \dfrac{\partial v_1}{\partial t} ;

• le produit \mu_1 \dfrac{\partial v_1}{\partial t} est également du second ordre, de sorte que :

  \mu \frac{\partial v_1}{\partial t} = (\mu_0 + \mu_1)\frac{\partial v_1}{\partial t} \approx \mu_0 \frac{\partial v_1}{\partial t}
• la pression au repos p_0 étant uniforme, \dfrac{\partial p}{\partial x} = \dfrac{\partial p_1}{\partial x}.

Au premier ordre, l'équation d'Euler linéarisée s'écrit donc :

L'équation locale de conservation de la masse (ou équation de continuité) s'écrit de manière générale :

Dans le cas d'un écoulement unidimensionnel le long de l'axe (Ox), où \vec{v}(x,t) = v_1(x,t)\,\vec{u}_x, elle prend la forme scalaire :

On injecte la décomposition du champ de masse volumique \mu(x,t) = \mu_0 + \mu_1(x,t) et de la vitesse v(x,t) = v_1(x,t) :

Puisque l'état d'équilibre est homogène et stationnaire, \frac{\partial \mu_0}{\partial t} = 0. Le développement donne ainsi :

Dans le cadre de l'approximation acoustique, les perturbations sont d'ordre 1 (\mu_1 \ll \mu_0 et v_1 \ll c_s), si bien que le terme \mu_1 v_1 est un infiniment petit du second ordre, négligeable devant les termes du premier ordre. L'équation de conservation de la masse linéarisée s'écrit donc :

Par définition thermodynamique, le coefficient de compressibilité isentropique d'un fluide s'écrit :

Considérons une particule fluide de masse fixée m^* = \mu V. En différenciant cette relation à masse constante :

On en déduit l'expression de \chi_S en fonction de la masse volumique :

Dans le cadre de l'approximation acoustique, l'écoulement est supposé parfait et les échanges thermiques conductifs entre zones comprimées et détendues sont négligeables aux échelles temporelles et spatiales de l'onde sonore : les transformations subies par chaque particule fluide sont donc réversibles et adiabatiques, c'est-à-dire isentropiques.

Au premier ordre en perturbation autour de l'état de repos uniforme (\mu_0, p_0), on a :

ce qui conduit immédiatement à la relation constitutive linéaire :

Rappelons les trois équations obtenues aux questions Q25, Q26 et Q27 :

• Équation d'Euler linéarisée :

  \mu_0 \frac{\partial v_1}{\partial t} = -\frac{\partial p_1}{\partial x} \tag{1}

• Équation de conservation de la masse linéarisée :

  \frac{\partial \mu_1}{\partial t} + \mu_0 \frac{\partial v_1}{\partial x} = 0 \tag{2}

• Relation de compressibilité isentropique :

  \mu_1 = \mu_0 \chi_S p_1 \tag{3}

En injectant l'expression (3) de \mu_1 dans l'équation (2), on obtient, \mu_0 étant une constante non nulle :

Dérivons cette équation par rapport au temps t :

D'autre part, en dérivant l'équation d'Euler (1) par rapport à l'espace x et en appliquant le théorème de Schwarz aux dérivées croisées de v_1 :

En substituant ce terme dans l'équation précédente, il vient :

On reconnaît l'équation de d'Alembert unidimensionnelle :

où la célérité c_s des ondes sonores s'exprime par la relation de Newton-Laplace :

Pour une transformation isentropique (adiabatique réversible) d'un gaz parfait à coefficient adiabatique \gamma constant, la loi de Laplace s'écrit :

En différentiant cette relation logarithmiquement :

Le coefficient de compressibilité isentropique au repos vaut donc :

En reportant cette expression dans la relation établie à la question Q28, on obtient la formule de Laplace :

D'après l'équation d'état des gaz parfaits, pour une masse m occupant un volume V de masse molaire M :

On en déduit l'expression de la célérité du son en fonction de la température :

Application numérique :

• L'air est constitué principalement de gaz diatomiques (\mathrm{N}_2 à environ 80\,\% et \mathrm{O}_2 à 20\,\%). Les degrés de liberté de translation (3) et de rotation (2) étant activés à température ambiante, on a C_{V,m} = \frac{5}{2}R et C_{P,m} = \frac{7}{2}R, d'où :

  \gamma = \frac{C_{P,m}}{C_{V,m}} = \frac{7}{5} = 1{,}40.

• La masse molaire moyenne de l'air vaut :

  M \approx 0{,}80 \times 2 M_{\mathrm{N}} + 0{,}20 \times 2 M_{\mathrm{O}} = 0{,}80 \times 28 + 0{,}20 \times 32 = 28{,}8\text{ g}\cdot\text{mol}^{-1} = 28{,}8 \times 10^{-3}\text{ kg}\cdot\text{mol}^{-1}.

• D'après la question Q23 :

  R = N_A k_B \approx 6{,}02 \times 10^{23} \times 1{,}38 \times 10^{-23} \approx 8{,}31\text{ J}\cdot\text{K}^{-1}\cdot\text{mol}^{-1}.

Le calcul donne alors :

D'après la relation établie à la question Q29, la célérité du son dans un gaz parfait s'écrit :

L'hélium est un gaz rare monoatomique. Ses molécules ne possèdent que les trois degrés de liberté de translation, d'où :

À la température du point triple de l'eau, les données numériques fournies sont :

• \gamma = \dfrac{5}{3} ;
• N_A \approx 6{,}02 \times 10^{23}\text{ mol}^{-1} et k_B \approx 1{,}38 \times 10^{-23}\text{ J}\cdot\text{K}^{-1}, soit R = N_A k_B \approx 8{,}31\text{ J}\cdot\text{K}^{-1}\cdot\text{mol}^{-1} ;
• T \approx 273{,}16\text{ K} ;
• M_{\mathrm{He}} \approx 4{,}0\text{ g}\cdot\text{mol}^{-1} = 4{,}0 \times 10^{-3}\text{ kg}\cdot\text{mol}^{-1}.

L'application numérique donne :

D'après la question Q29, la célérité du son dans un gaz parfait s'écrit :

En utilisant la relation entre la constante des gaz parfaits R, la constante d'Avogadro N_A et la constante de Boltzmann k_B (question Q23), soit R = N_A k_B, on obtient :

On en déduit l'expression de la constante de Boltzmann :

Pour déterminer k_B avec une très grande précision à l'aide de cette relation, les métrologues procèdent ainsi :

• Fixation de la température T : la mesure est réalisée à la température du point triple de l'eau, T = 273{,}16\text{ K}, dont la valeur était fixée exactement par convention dans l'ancien système international d'unités ;
• Choix du gaz : on emploie un gaz noble monoatomique (hélium ou argon), dont le coefficient adiabatique \gamma = 5/3 est exactement déterminé par la théorie cinétique des gaz, et dont la composition isotopique (et donc la masse molaire M) est mesurée avec une grande exactitude ;
• Extrapolation à pression nulle : le modèle du gaz parfait n'étant rigoureusement valable qu'à dilution infinie, on mesure c_s à différentes pressions p puis on extrapole la valeur de c_s^2 à la limite p \to 0 pour éliminer les corrections de gaz réel (développement du viriel acoustique).

La mesure acoustique de c_s donne alors directement accès à la valeur de k_B.

Dans le cas général tridimensionnel, les équations fondamentales de l'acoustique linéarisées (Q25, Q26 et Q27) s'écrivent :

En dérivant l'équation de conservation de la masse par rapport au temps :

En injectant l'équation d'Euler et en rappelant que \operatorname{div}(\vec{\nabla} p_1) = \Delta p_1 ainsi que c_s = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \chi_S}} (question Q28), on obtient l'équation de d'Alembert vectorielle/scalaire tridimensionnelle :

Dans le cas d'une géométrie sphérique, en coordonnées sphériques (r, \theta, \phi), le laplacien donné par le formulaire conduit à la forme générale :

En l'absence de dépendance angulaire, la surpression acoustique ne dépend que de la variable radiale r et du temps t : p_1 = p_1(r, t).

D'après le formulaire fourni en coordonnées sphériques :

En reportant cette expression dans l'équation de d'Alembert tridimensionnelle obtenue à la question Q32, \Delta p_1 - \frac{1}{c_s^2}\frac{\partial^2 p_1}{\partial t^2} = 0, il vient :

Comme la variable spatiale r est indépendante de t, on peut multiplier toute l'équation par r :

La fonction auxiliaire \psi(r, t) = r\,p_1(r, t) vérifie donc l'équation de d'Alembert unidimensionnelle classique. Sa solution générale s'écrit sous la forme d'une combinaison linéaire de deux termes :

où f et g sont deux fonctions de classe \mathcal{C}^2.

Signification physique des deux termes :

• Le premier terme, f\left(t - \frac{r}{c_s}\right), correspond à une onde sphérique divergente (ou centrifuge) : elle se propage radialement du centre (r = 0) vers l'extérieur (r \to \infty) à la célérité c_s.
• Le second terme, g\left(t + \frac{r}{c_s}\right), correspond à une onde sphérique convergente (ou centripète) : elle se propage radialement depuis l'extérieur vers le centre (r = 0) à la célérité c_s.

L'équation de d'Alembert vérifiée par la surpression acoustique p_1(r, t) (établie aux questions Q32 et Q33) est linéaire et à coefficients constants.

D'après le théorème de Fourier, tout signal acoustique réel physiquement admissible peut être décomposé en une superposition (somme discrète ou intégrale) de signaux harmoniques de la forme :

En reportant cette forme dans l'équation d'onde radiale \dfrac{\partial^2 (r p_1)}{\partial r^2} - \dfrac{1}{c_s^2}\dfrac{\partial^2 (r p_1)}{\partial t^2} = 0, la fonction spatiale vérifie l'équation différentielle harmonique :

La base des solutions complexes de cette équation différentielle est constituée des exponentielles imaginaires \mathrm{e}^{-\mathrm{i}kr} et \mathrm{e}^{+\mathrm{i}kr}. En réinjectant la dépendance temporelle \mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t} et en divisant par r, la solution élémentaire s'écrit bien :

Par le principe de superposition, la connaissance de ces solutions harmoniques permet de reconstruire toute solution générale. De plus, l'objectif physique est ici d'identifier les modes propres de vibration acoustique de la cavité sphérique, qui sont par nature des régimes harmoniques stationnaires de pulsation bien déterminée \omega.

Dans le cadre de l'approximation acoustique, l'équation d'Euler linéarisée s'écrit :

où \mu_0 est la masse volumique du fluide au repos.

Compte tenu de la symétrie sphérique, la surpression ne dépend que de la coordonnée radiale r et du temps t, de sorte que :

Le champ des vitesses acoustiques est donc purement radial : \vec{\underline{v}}_1(r, t) = \underline{v}_1(r, t)\,\vec{u}_r.

En régime sinusoïdal de pulsation \omega, la dérivation temporelle équivaut à la multiplication par \mathrm{i}\omega :

Dérivons l'expression de \underline{p}_1(r, t) donnée à la question Q34 par rapport à r :

En multipliant par le facteur \frac{\mathrm{i}}{\mu_0 \omega}, il vient :

Comme \frac{\omega}{k} = c_s, on a également \frac{k}{\mu_0 \omega} = \frac{1}{\mu_0 c_s}.

Le champ des vitesses acoustiques s'écrit finalement :

ce que l'on peut aussi factoriser sous la forme équivalente :

Le débit volumique instantané à travers la sphère fermée de rayon r orientée vers l'extérieur s'écrit, en notation complexe :

En utilisant l'expression du champ de vitesse obtenue à la question Q35 :

on obtient :

En l'absence de source ou de puits ponctuel de fluide au centre de la cavité sphérique, aucun volume fini de fluide ne peut être injecté ou aspiré en r = 0. Le débit volumique à travers une sphère enserrant l'origine doit donc tendre vers zéro quand son rayon s'annule :

Calculons la limite de l'expression complexe quand r \to 0 (avec kr \to 0 et \mathrm{e}^{\pm \mathrm{i}kr} \to 1) :

Pour que cette limite soit nulle à tout instant t, il est nécessaire et suffisant que :

La paroi du résonateur sphérique de rayon r_s est rigide, fixe et imperméable. La condition aux limites pour le fluide parfait en contact avec cette paroi impose l'annulation de la composante normale de la vitesse acoustique à la paroi :

D'après le résultat de la question Q35 et la condition de régularité à l'origine \underline{B} = -\underline{A} obtenue à la question Q36, la vitesse radiale s'écrit :

L'annulation de la vitesse en r = r_s conduit donc directement à :

En posant k = \dfrac{\omega}{c_s}, l'équation vérifiée par les modes propres (avec \cos(k r_s) \neq 0) est :

D'après la question Q37, les modes propres radiaux vérifient l'équation transcendante :

Posons la variable sans dimension x = k r_s. Sachant que k = \omega / c_s = 2\pi f / c_s, la fréquence f s'exprime en fonction de x par :

L'équation des modes s'écrit donc \tan x = x, avec x > 0 pour un mode acoustique non trivial.

Sur chaque intervalle de la forme I_n = \left] n\pi - \frac{\pi}{2},\, n\pi + \frac{\pi}{2} \right[ avec n \in \mathbb{N}^* :

• Sur le sous-intervalle \left] n\pi - \frac{\pi}{2},\, n\pi \right], on a \tan x \leqslant 0 alors que x > 0, de sorte qu'aucune solution n'existe.

• Sur le sous-intervalle \left[ n\pi,\, n\pi + \frac{\pi}{2} \right[, la fonction g(x) = \tan x - x est continue et dérivable, de dérivée :

  g'(x) = 1 + \tan^2 x - 1 = \tan^2 x > 0 \quad \text{pour } x \in \left] n\pi,\, n\pi + \frac{\pi}{2} \right[.

  La fonction g est donc strictement croissante sur cet intervalle. De plus, g(n\pi) = -n\pi < 0 et \lim\limits_{x \to (n\pi + \pi/2)^-} g(x) = +\infty. D'après le théorème de la bijection, il existe une unique racine x_n \in \left[ n\pi,\, n\pi + \frac{\pi}{2} \right[.

En multipliant l'encadrement n\pi \leqslant x_n < n\pi + \frac{\pi}{2} par le facteur strictement positif \frac{c_s}{2\pi r_s}, on obtient :

soit :

Pour n \gg 1, x_n \to +\infty, ce qui impose \tan x_n = x_n \to +\infty, donc x_n s'approche de l'asymptote verticale par valeurs inférieures :

On en déduit l'expression approchée de la fréquence de résonance pour n \gg 1 :

Le résonateur étant une sphère de volume D, son rayon intérieur r_s vérifie :

Avec D = 3{,}1\text{ L} = 3{,}1 \times 10^{-3}\text{ m}^3 :

D'après la question Q30, la célérité du son dans l'hélium au point triple de l'eau (T \approx 273{,}16\text{ K}) vaut c_s \approx 972\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}.

Le mode fondamental correspond à la première racine strictement positive de l'équation transcendante \tan(x) = x avec x = k r_s (soit n = 1) :

• En utilisant la forme approchée de la question Q38 pour n = 1 (x_1 \approx \frac{3\pi}{2}), on obtient :

  f_1 \approx \frac{3 c_s}{4 r_s} = \frac{3 \times 972}{4 \times 9{,}04 \times 10^{-2}} \approx 8{,}1 \times 10^3\text{ Hz} = 8{,}1\text{ kHz}.

• Une résolution numérique simple de \tan(x_1) = x_1 sur l'intervalle ]\pi, \frac{3\pi}{2}[ donne x_1 \approx 4{,}493\text{ rad}, d'où :

  f_1 = \frac{\omega_1}{2\pi} = \frac{x_1 c_s}{2\pi r_s} = \frac{4{,}493 \times 972}{2\pi \times 9{,}04 \times 10^{-2}} \approx 7{,}69 \times 10^3\text{ Hz} \approx 7{,}7\text{ kHz}.

D'après la relation établie à la question Q31 et l'expression des fréquences propres f_n (questions Q37 et Q38), la constante de Boltzmann s'obtient à partir de la mesure de la célérité du son c_s par :

où \alpha_n est la n-ième racine positive non nulle de l'équation \tan \alpha = \alpha.

Les principales sources d'incertitude associées à ce dispositif sont :

1. La métrologie dimensionnelle de la cavité (rayon r_s et forme) : la géométrie interne de la cavité n'est pas rigoureusement sphérique (ellipsoïdicité, défauts d'usinage, rugosité des parois). De plus, le rayon équivalent r_s dépend de la pression intérieure (déformation élastique) et de la température (dilatation thermique de la cuve).
2. La mesure des fréquences de résonance acoustique (f_n) : l'effet des couches limites thermique et visqueuse au voisinage immédiat des parois entraîne une dissipation et un léger décalage des fréquences de résonance par rapport au modèle du fluide parfait non visqueux. La présence des transducteurs (source et microphone) perturbe également les modes propres.
3. L'écart au modèle du gaz parfait : le gaz réel (hélium ou argon) n'est pas strictement parfait aux pressions de travail. La détermination de la célérité à pression nulle nécessite une extrapolation à partir de mesures à différentes pressions à l'aide des coefficients du viriel acoustique.
4. La pureté et la composition isotopique du gaz (masse molaire M) : la présence d'impuretés ou les fluctuations de la composition isotopique du gaz utilisé (par exemple les abondances relatives des isotopes ^{36}\mathrm{Ar}, ^{38}\mathrm{Ar}, ^{40}\mathrm{Ar} pour l'argon) induisent une incertitude sur la masse molaire effective M.
5. Le contrôle et l'homogénéité de la température (T) : l'incertitude liée à la réalisation pratique du point triple de l'eau dans le cryostat et à l'existence d'éventuels gradients thermiques résiduels au sein du résonateur.

Pour cinq sources d'incertitudes indépendantes de valeurs relatives similaires u_i \approx u_0 (i \in \{1,\dots,5\}), la variance relative combinée s'obtient par sommation quadratique :

Cette situation d'équirépartition des incertitudes rend toute amélioration ultérieure extrêmement difficile pour deux raisons physiques et métrologiques :

1. Loi de propagation quadratique et gain marginal : si un progrès technique majeur permettait de rendre négligeable l'une des sources (u_1 \to 0), l'incertitude combinée deviendrait u'_c = \sqrt{4}\, u_0 = 2\, u_0. Le gain relatif sur l'incertitude totale ne serait que de :

   1 - \frac{2}{\sqrt{5}} \approx 10{,}6\,\%

   Pour réduire notablement l'incertitude globale (par exemple la diviser par 2), il est indispensable d'améliorer simultanément l'ensemble des cinq sources d'incertitude.

2. Verrous technologiques indépendants et multidisciplinaires : les cinq composantes relèvent de domaines de pointe totalement distincts :

   • métrologie dimensionnelle (détermination du volume intérieur à quelques nanomètres près) ;
   • métrologie thermique (stabilité et homogénéité en température du point triple) ;
   • physico-chimie et spectrométrie de masse (pureté chimique et composition isotopique du gaz rare) ;
   • acoustique et traitement du signal (correction des perturbations dues aux transducteurs et à la couche limite visco-thermique) ;
   • thermodynamique statistique (extrapolation à pression nulle via les coefficients du viriel).

Chacune de ces composantes se trouvant déjà à la limite ultime de l'état de l'art technologique, franchir un ordre de grandeur supplémentaire nécessiterait des avancées de rupture simultanées dans cinq branches métrologiques différentes, ce qui constitue une limite pratique quasi infranchissable.

L'unité de la constante de Boltzmann k_B est le joule par kelvin (\mathrm{J}\cdot\mathrm{K}^{-1}). En exprimant le joule à partir des unités de base du Système international, on obtient son équation aux dimensions :

Dans le cadre de la révision du SI :

• la seconde (\mathrm{s}) est définie à partir de la fréquence de transition hyperfine du césium 133 (\Delta\nu_{\mathrm{Cs}}) ;
• le mètre (\mathrm{m}) est défini en fixant la célérité de la lumière dans le vide (c) ;
• le kilogramme (\mathrm{kg}) est défini en fixant la constante de Planck (h).

L'unité d'énergie, le joule (\mathrm{J} = \mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}^2\cdot\mathrm{s}^{-2}), est donc entièrement et précisément définie à partir des constantes fondamentales \Delta\nu_{\mathrm{Cs}}, c et h.

En conséquence, fixer une valeur numérique exacte pour la constante de Boltzmann :

définit univoquement le kelvin comme la variation de température thermodynamique correspondant à une variation d'énergie thermique de 1{,}380\,649 \times 10^{-23}\text{ J}.

La définition du kelvin s'affranchit ainsi de toute dépendance vis-à-vis d'un artéfact matériel (la cellule au point triple de l'eau) et de ses impuretés.

Le tableau ci-dessous rassemble, pour chacune des quatre constantes fondamentales nouvellement fixées, la grandeur qui possédait une valeur exacte conventionnelle avant 2018 et qui est devenue mesurable à la suite de la redéfinition :