Corrigé détaillé Banque PT Physique A PT 2024

D'après le principe d'Archimède, tout corps immergé dans un fluide au repos subit une force verticale dirigée vers le haut, égale au poids du volume de fluide déplacé.

Le volume d'une gouttelette sphérique de rayon R vaut :

Le fluide déplacé étant l'air de masse volumique \rho_{\text{a}}, la masse d'air déplacée s'écrit m_{\text{a}} = \rho_{\text{a}} V.

La norme de la poussée d'Archimède exercée par l'air sur la gouttelette s'exprime ainsi :

La gouttelette sphérique d'eau, de rayon R et de masse volumique \rho_{\text{e}}, a un volume V = \frac{4}{3}\pi R^3. La norme de son poids s'écrit :

D'après la question 1, la norme de la poussée d'Archimède exercée par l'air s'exprime par :

Le rapport des normes s'en déduit immédiatement :

Avec \rho_{\text{a}} = 1\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3} et \rho_{\text{e}} = 1\cdot 10^3\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3}, on obtient numériquement avec un chiffre significatif :

Comme \frac{P_{\text{A}}}{P} = 10^{-3} \ll 1, la poussée d'Archimède représente seulement 0{,}1\,\% du poids de la gouttelette. Il est donc parfaitement légitime de la négliger devant le poids dans cette modélisation.

On étudie la gouttelette d'eau assimilée à un point matériel de masse constante :

dans le référentiel terrestre supposé galiléen.

D'après le résultat de la question 2, la poussée d'Archimède est négligée. Le système est donc soumis à deux forces :

• son poids : \vec{P} = m \vec{g} = m g \, \vec{e}_z ;
• la force de frottement visqueux : \vec{f} = -6 \pi \eta_{\text{a}} R \, \vec{v}(t) = -6 \pi \eta_{\text{a}} R \, v(t) \, \vec{e}_z.

La deuxième loi de Newton s'écrit :

Par projection sur l'axe vertical descendant (Oz), on obtient :

En remplaçant la masse par son expression m = \frac{4}{3}\pi R^3 \rho_{\text{e}}, le rapport devient :

L'équation différentielle vérifiée par la composante v(t) est donc :

D'après la question Q3, l'équation différentielle régissant la vitesse v(t) de la gouttelette s'écrit :

Par identification avec la forme canonique d'une équation différentielle linéaire du premier ordre :

on définit le temps caractéristique de relaxation de la vitesse :

Application numérique : Avec R = 0{,}2\text{ mm} = 2\cdot 10^{-4}\text{ m}, \rho_{\text{e}} = 1\cdot 10^3\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3} et \eta_{\text{a}} = 2\cdot 10^{-5}\text{ Pa}\cdot\text{s}, on obtient :

Avec un seul chiffre significatif comme requis par l'énoncé :

D'après les questions 3 et 4, l'équation différentielle régissant la vitesse v(t) s'écrit sous la forme canonique :

La solution générale de cette équation différentielle linéaire du premier ordre avec second membre constant est la somme de la solution générale de l'équation homogène et d'une solution particulière constante :

où C est une constante déterminée par les conditions initiales.

La gouttelette quitte le nuage à t = 0 sans vitesse initiale, d'où v(0) = 0 :

On en déduit l'expression de la composante descendante de la vitesse :

Lorsque le temps t devient grand devant le temps caractéristique \tau (t \gg \tau), le terme exponentiel tend vers zéro dans l'expression établie à la question précédente. La vitesse de la gouttelette tend alors vers une vitesse limite v_{\text{lim}} :

Avec les valeurs numériques fournies par l'énoncé :

• g = 10\text{ m}\cdot\text{s}^{-2} ;
• \tau = \dfrac{4}{9}\text{ s} \approx 0{,}44\text{ s} ;

le calcul donne :

En ne conservant qu'un seul chiffre significatif, conformément aux consignes générales du sujet :

Le nombre de Reynolds associé à l'écoulement de l'air autour de la gouttelette sphérique est défini par :

où la dimension caractéristique retenue est le diamètre de la gouttelette D = 2R, et la vitesse caractéristique est la vitesse maximale atteinte lors de la chute, à savoir la vitesse limite v_{\text{lim}}.

En utilisant la valeur numérique v_{\text{lim}} \approx 4\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} établie à la question Q6 (ou la valeur non arrondie v_{\text{lim}} = \frac{40}{9}\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}), on obtient :

Avec un seul chiffre significatif :

(ou Re \approx 9\cdot 10^1 si l'on prend la valeur non arrondie v_{\text{lim}} \approx 4{,}4\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}).

La transition vers la turbulence pour l'écoulement autour d'un obstacle sphérique n'intervient que pour des nombres de Reynolds supérieurs à 10^3. Ici, on a :

L'écoulement de l'air autour de la gouttelette est donc bien laminaire : l'hypothèse de l'énoncé est validée.

La gouttelette étant modélisée par une sphère de rayon r(t), son volume V(t) et son aire surfacique S(t) s'écrivent :

En dérivant le volume par rapport au temps, on obtient :

L'énoncé indique que l'augmentation du volume au cours du temps est proportionnelle à la surface de la gouttelette :

où k est une constante positive liée au flux de vapeur d'eau se condensant à la surface de la gouttelette.

En identifiant les deux expressions de \dfrac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}t}, et la surface S(t) étant non nulle, il vient :

Par intégration entre t = 0 (où r(0) = r_0) et l'instant t, on en déduit immédiatement :

La gouttelette étant assimilée à une sphère de rayon r(t) et de masse volumique uniforme \rho_{\mathrm{e}}, sa masse à l'instant t s'écrit :

En dérivant par rapport au temps, on obtient :

D'après la question précédente, le rayon s'exprime par r(t) = r_0 + k t, ce qui donne \dfrac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}t} = k. On en déduit :

On étudie la gouttelette assimilée à un point matériel de masse variable m(t) dans le référentiel terrestre supposé galiléen. L'axe (Oz) est vertical descendant de vecteur unitaire \vec{u}_z.

La gouttelette est soumise à deux forces au cours de sa chute :

• son poids : \vec{P} = m(t) g \vec{u}_z ;
• la force de frottement fluide : \vec{f} = -6\pi \eta_{\mathrm{a}} r(t) \vec{v}(t) = -6\pi \eta_{\mathrm{a}} r(t) v(t) \vec{u}_z.

D'après l'énoncé, la seconde loi de Newton pour ce système s'écrit :

En projetant sur l'axe vertical descendant (Oz), on obtient :

En divisant par la masse m(t) \neq 0 :

D'après les résultats de la question Q9, la gouttelette reste sphérique de rayon r(t) = r_0 + kt :

On en déduit les deux termes entre crochets :

L'équation différentielle s'écrit donc bien sous la forme :

avec :

Compte tenu de l'approximation proposée et du résultat A = 3k établi à la question Q10, l'équation différentielle se simplifie en :

1. Résolution de l'équation sans second membre (homogène) :

Par séparation des variables :

La solution de l'équation sans second membre est donc :

2. Recherche d'une solution particulière affine : On cherche une solution particulière de la forme v_{\mathrm{p}}(t) = \alpha t + \beta, avec \alpha et \beta deux constantes. En dérivant, \frac{\mathrm{d}v_{\mathrm{p}}}{\mathrm{d}t} = \alpha. En injectant dans l'équation complète :

En multipliant par (r_0 + kt) :

Par identification terme à terme des coefficients polynomiaux en t :

La solution particulière s'écrit donc :

3. Solution générale et condition initiale : La solution générale est la somme de la solution homogène et de la solution particulière :

À t=0, la gouttelette part sans vitesse initiale (v(0) = 0) :

On en déduit finalement l'expression de la vitesse v(t) :

ou, sous forme factorisée :

L'énergie par unité de surface responsable de la forme sphérique des petites gouttes d'eau est l'énergie de surface (ou énergie d'interface), grandeur thermodynamique dont le coefficient associé est la tension superficielle (notée usuellement \gamma ou \sigma).