Feuille d'entraînement : Optique géométrique

Corrigés

1. Exercice 1Banque PT Modelisation PT 2026, Q23

   La discrétisation de la variable d'espace x avec un pas constant \mathrm{d}x donne immédiatement la relation de récurrence :

   x_{n+1} = x_n + \mathrm{d}x

   Pour les fonctions z(x) et \alpha(x), les dérivées au point x_n sont approchées par :

   \begin{aligned} \frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}x}(x_n) &\approx \frac{z_{n+1} - z_n}{\mathrm{d}x} = a_n \\ \frac{\mathrm{d}\alpha}{\mathrm{d}x}(x_n) &\approx \frac{a_{n+1} - a_n}{\mathrm{d}x} = -A\,z_n \end{aligned}

   On en déduit les trois relations de récurrence du schéma d'Euler explicite :

   \boxed{\left\{\begin{aligned} x_{n+1} &= x_n + \mathrm{d}x \\ z_{n+1} &= z_n + a_n\,\mathrm{d}x \\ a_{n+1} &= a_n - A\,z_n\,\mathrm{d}x \end{aligned}\right.}

   Résultat

   $$\{\begin{array}{rl}{x}_{n+1}& =x_n+\mathrm{d}x\\ z_{n+1}& =z_n+a_n\mathrm{d}x\\ a_{n+1}& =a_n-A{z}_n\mathrm{d}x\end{array}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

2. Exercice 2Banque PT Modelisation PT 2026, Q30

   D'après la loi de réfraction (analogue acoustique de la loi de Snell-Descartes pour la réfraction) :

   \frac{\sin\theta_i}{c_1} = \frac{\sin\theta_t}{c_2} \implies \sin\theta_t = \frac{c_2}{c_1} \sin\theta_i

   Les angles \theta_i et \theta_t étant non orientés et mesurés par rapport à la normale au dioptre, ils appartiennent à l'intervalle \left[0, \frac{\pi}{2}\right].

   Un rayon transmis (ou réfracté) existe si et seulement s'il existe une valeur réelle de \theta_t \in \left[0, \frac{\pi}{2}\right] vérifiant cette relation, ce qui impose :

   \sin\theta_t \le 1 \iff \frac{c_2}{c_1}\sin\theta_i \le 1

   • Si c_2 \le c_1, le rapport \frac{c_2}{c_1} \le 1, donc pour tout \theta_i \in \left[0, \frac{\pi}{2}\right], \sin\theta_t \le 1 : la réfraction a toujours lieu.

   • Si c_2 > c_1 (passage vers un milieu de célérité plus élevée), la condition s'écrit :

     \sin\theta_i \le \frac{c_1}{c_2}

   La fonction sinus étant strictement croissante et bijective de \left[0, \frac{\pi}{2}\right] sur [0, 1], et comme \frac{c_1}{c_2} < 1, cette inégalité équivaut à :

   \theta_i \le \theta_c \quad \text{avec} \quad \boxed{\theta_c = \arcsin\left(\frac{c_1}{c_2}\right)}

   Il y a donc transmission si et seulement si \theta_i \le \theta_c. Pour \theta_i > \theta_c, la réfraction devient impossible et il se produit une réflexion totale.

   Résultat

   $${\theta }_c=\arcsin \left(\frac{c_1}{c_2}\right)$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

3. Exercice 3Banque PT Modelisation PT 2026, Q37

   Si l'on considère que « région 1 » correspond à la modalité 'Region1' de l'attribut region de la table regions, une jointure est nécessaire :

   SELECT profondeur, temperature, salinite
   FROM mesures
   JOIN regions ON mesures.id_region = regions.id_region
   WHERE regions.region = 'Region1'
     AND date = '2025-04-17';

   Si l'on assimile directement la région 1 à l'identifiant id_region = 1, la requête s'écrit de façon équivalente sans jointure :

   SELECT profondeur, temperature, salinite
   FROM mesures
   WHERE id_region = 1
     AND date = '2025-04-17';

   Indice, stratégie et pièges de cette question

4. Exercice 4Banque PT Physique A PT 2024, Q16

   D'après la question Q15, l'angle de déviation totale s'écrit :

   D(i_1) = 4\arcsin\left(\frac{\sin i_1}{n}\right) - 2i_1 - \pi

   La fonction D(i_1) atteint son maximum D_{\max} pour un angle d'incidence i_{1,\max} \in \left[0, \frac{\pi}{2}\right] annulant sa dérivée première :

   \left. \frac{\mathrm{d}D}{\mathrm{d}i_1} \right|_{i_1 = i_{1,\max}} = 0

   En utilisant la formule de dérivation d'une fonction composée et le rappel de l'énoncé \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\arcsin x) = \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}, on calcule la dérivée de D(i_1) :

   \begin{aligned} \frac{\mathrm{d}D}{\mathrm{d}i_1} &= 4 \times \frac{\dfrac{\cos i_1}{n}}{\sqrt{1 - \left(\dfrac{\sin i_1}{n}\right)^2}} - 2 \\ &= \frac{4\cos i_1}{\sqrt{n^2 - \sin^2 i_1}} - 2 \end{aligned}

   L'annulation de cette dérivée en i_1 = i_{1,\max} conduit à :

   \frac{4\cos i_{1,\max}}{\sqrt{n^2 - \sin^2 i_{1,\max}}} = 2 \iff 2\cos i_{1,\max} = \sqrt{n^2 - \sin^2 i_{1,\max}}

   Comme i_{1,\max} \in \left[0, \frac{\pi}{2}\right], \cos i_{1,\max} \geqslant 0. On peut donc élever au carré les deux membres :

   4\cos^2 i_{1,\max} = n^2 - \sin^2 i_{1,\max}

   En remplaçant \cos^2 i_{1,\max} par 1 - \sin^2 i_{1,\max} :

   \begin{aligned} 4\left(1 - \sin^2 i_{1,\max}\right) &= n^2 - \sin^2 i_{1,\max} \\ 4 - 4\sin^2 i_{1,\max} &= n^2 - \sin^2 i_{1,\max} \\ 3\sin^2 i_{1,\max} &= 4 - n^2 \end{aligned}

   Puisque \sin i_{1,\max} \geqslant 0, on obtient directement :

   \boxed{\sin i_{1,\max} = \sqrt{\frac{4 - n^2}{3}}}

   Résultat

   $$\sin i_{1,\max }=\sqrt{\frac{4-n^2}{3}}$$

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5. Exercice 5Banque PT Physique A PT 2024, Q13

   Considérons successivement les trois interfaces rencontrées par le rayon lumineux :

   • Première interface (réfraction air \to eau) :
     Le rayon passe d'un milieu moins réfringent à un milieu plus réfringent (n > 1) ; il se rapproche de la normale. La déviation s'effectue dans le sens horaire (négatif). L'écart angulaire géométrique étant i_1 - i_2, la déviation orientée s'écrit :

     \boxed{D_1 = i_2 - i_1}

   • Deuxième interface (réflexion interne partielle eau \to eau) :
     Le rayon se réfléchit sur la face interne de la goutte. L'angle géométrique entre le prolongement du rayon incident et le rayon réfléchi vaut \pi - (i_2 + i_3). Cette déviation a également lieu dans le sens horaire, d'où :

     \boxed{D_2 = i_2 + i_3 - \pi}

   • Troisième interface (réfraction eau \to air) :
     Le rayon sort de la goutte en s'écartant de la normale. La déviation géométrique vaut i_4 - i_3, toujours orientée dans le sens des aiguilles d'une montre (négatif). La déviation orientée est donc :

     \boxed{D_3 = i_3 - i_4}

   Résultat

   $$D_1=i_2-i_1$$

   $$D_2=i_2+i_3-\pi$$

   $$D_3=i_3-i_4$$

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6. Exercice 6Banque PT Physique A PT 2024, Q14

   • Première réfraction (interface air-eau) : Le rayon passe de l'air (indice n_{\text{air}} = 1) à l'eau (indice n). D'après la loi de Snell-Descartes pour la réfraction :

     1 \cdot \sin i_1 = n \sin i_2

     Les angles étant aigus, on en déduit directement :

     \boxed{i_2 = \arcsin\left(\frac{\sin i_1}{n}\right)}

   • Réflexion interne : Le triangle formé par le centre de la gouttelette sphérique et les deux premiers points d'impact sur le dioptre est isocèle, car deux de ses côtés sont des rayons de la sphère. L'angle d'incidence sur la face interne avant réflexion a donc la même valeur que l'angle de réfraction i_2. D'après la loi de Snell-Descartes pour la réflexion, l'angle de réflexion i_3 est égal à l'angle d'incidence, d'où :

     \boxed{i_3 = i_2 = \arcsin\left(\frac{\sin i_1}{n}\right)}

   • Seconde réfraction (interface eau-air) : De la même façon, le triangle formé par le centre de la gouttelette, le point de réflexion et le point de sortie est isocèle. L'angle d'incidence sous lequel le rayon atteint l'interface de sortie vaut donc i_3. La loi de Snell-Descartes pour la réfraction s'écrit alors :

     n \sin i_3 = 1 \cdot \sin i_4

     Comme i_3 = i_2, il vient :

     \sin i_4 = n \sin i_2 = \sin i_1

     Les angles i_1 et i_4 appartenant à l'intervalle \left[0, \frac{\pi}{2}\right], on en conclut :

     \boxed{i_4 = i_1}

   Résultat

   $$i_2=\arcsin \left(\frac{\sin i_1}{n}\right)$$

   $$i_3=i_2=\arcsin \left(\frac{\sin i_1}{n}\right)$$

   $$i_4=i_1$$

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7. Exercice 7Banque PT Modelisation PT 2026, Q41

   Voici l'implémentation de la fonction demandée :

   def dichotomie(dmunk, borne_debut, borne_fin, tolerance):
       a = float(borne_debut)
       b = float(borne_fin)
   
       while (b - a) > tolerance:
           m = (a + b) / 2.0
           if dmunk(m) == 0:
               return m
           elif dmunk(a) * dmunk(m) < 0:
               b = m
           else:
               a = m
   
       return (a + b) / 2.0

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8. Exercice 8Banque PT Modelisation PT 2026, Q7

   Ces relations sont l'analogue direct des lois de Snell-Descartes pour la réflexion et la réfraction en optique géométrique :

   • La première relation, \theta_r(z) = -\theta_i(z), traduit la loi de Snell-Descartes pour la réflexion (avec des angles orientés par rapport à la normale au dioptre).

   • La seconde relation, \dfrac{\sin \theta_i(z)}{c_1(z)} = \dfrac{\sin \theta_t(z)}{c_2(z)}, traduit la loi de Snell-Descartes pour la réfraction. En effet, en introduisant un indice de réfraction acoustique n(z) = \dfrac{c_0}{c(z)} de manière analogue à l'indice optique n = \dfrac{c}{v}, cette relation se réécrit sous la forme canonique :

     n_1 \sin \theta_i = n_2 \sin \theta_t

   \boxed{\text{Il s'agit des lois de Snell-Descartes pour la réflexion et la réfraction.}}

   Résultat

   $$\text{Il s’agit des lois de Snell-Descartes pour la reˊflexion et la reˊfraction.}$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

9. Exercice 9Banque PT Modelisation PT 2026, Q8

   Les différentes couches d'eau sont modélisées par des strates horizontales superposées : les dioptres successifs sont donc des plans parallèles entre eux, et toutes les normales à ces dioptres sont parallèles à l'axe vertical \vec{e}_z.

   Dans une couche élémentaire d'épaisseur \mathrm{d}z, le milieu est homogène et le rayon sonore s'y propage en ligne droite. Ce segment rectiligne constitue une sécante coupant deux droites parallèles (les normales verticales aux deux dioptres successifs).

   D'après les propriétés géométriques des angles alternes-internes formés par une droite sécante et deux droites parallèles, l'angle de réfraction (transmission) au dioptre situé à la profondeur z est égal à l'angle d'incidence sur le dioptre suivant situé à la profondeur z + \mathrm{d}z :

   \boxed{\theta_i(z + \mathrm{d}z) = \theta_t(z)}

   Résultat

   $${\theta }_i(z+\mathrm{d}z)={\theta }_t(z)$$

   Indice, stratégie et pièges de cette question

10. Exercice 10Banque PT Modelisation PT 2026, Q9

    Considérons l'interface horizontale à la profondeur z séparant le milieu supérieur de célérité c(z) du milieu inférieur de célérité c(z+\mathrm{d}z). La loi de passage en transmission (analogue à la loi de Snell-Descartes) s'écrit :

    \frac{\sin\theta_i(z)}{c(z)} = \frac{\sin\theta_t(z)}{c(z+\mathrm{d}z)}

    Or, d'après la question Q8, les interfaces étant horizontales et parallèles, l'angle de transmission au dioptre à la profondeur z est égal à l'angle d'incidence sur le dioptre suivant situé en z+\mathrm{d}z :

    \theta_t(z) = \theta_i(z+\mathrm{d}z)

    En adoptant la notation unifiée \theta(z) pour désigner l'angle que fait le rayon avec la verticale à la profondeur z, on obtient :

    \frac{\sin(\theta(z))}{c(z)} = \frac{\sin(\theta(z+\mathrm{d}z))}{c(z+\mathrm{d}z)}

    La quantité A(z) = \dfrac{\sin(\theta(z))}{c(z)} est donc constante de proche en proche à travers l'empilement continu de strates : elle est indépendante de la profondeur z.

    En évaluant cette quantité à la surface (z = 0^+) où l'angle vaut \theta_0 et la célérité vaut c_0, on trouve :

    \boxed{A(z) = \frac{\sin(\theta(z))}{c(z)} = \frac{\sin \theta_0}{c_0}}

    Résultat

    $$A(z)=\frac{\sin (\theta (z))}{c(z)}=\frac{\sin {\theta }_0}{c_0}$$

    Indice, stratégie et pièges de cette question