Corrigé détaillé Banque PT Modélisation PT 2026

Dans le référentiel terrestre supposé galiléen, l'équilibre mécanique d'un élément de fluide au repos soumis aux forces pressantes volumiques -\vec{\nabla} P et aux forces de pesanteur volumiques \mu \vec{g} se traduit par l'égalité de la résultante volumique des forces à zéro :

L'équation locale de la statique des fluides s'écrit donc :

D'après la question Q1, l'équation fondamentale de la statique des fluides s'écrit :

L'axe (Oz) étant orienté selon la verticale descendante, le champ de pesanteur s'écrit \vec{g} = g\,\vec{e}_z. Comme le fluide est invariant par translation horizontale, le champ de pression ne dépend que de la cote z. La projection sur l'axe (Oz) donne :

La masse volumique \mu et l'accélération de pesanteur g étant supposées uniformes, on intègre cette relation entre la surface (z = 0) où règne la pression atmosphérique P(0) = P_0, et une profondeur z quelconque :

On en déduit l'expression du champ de pression :

Numériquement, avec P_0 = 10^5\text{ Pa}, \mu = 1000\text{ kg}\cdot\text{m}^{-3} et g = 10\text{ m}\cdot\text{s}^{-2}, on a :

La face A est une surface plane horizontale d'aire S = \pi R^2, située à la cote z_A = H - \frac{L}{2}.

La force pressante élémentaire exercée par l'eau sur un élément de surface \mathrm{d}S de la face A s'écrit, avec le vecteur unitaire normal orienté vers l'intérieur du cylindre :

Comme la profondeur z_A est constante sur toute la face A, la pression P(z_A) l'est également. Par intégration sur l'aire du disque S = \pi R^2, en utilisant l'expression du champ de pression obtenue à la question 2 :

Pour la face inférieure B, située à la cote z_B = H + \frac{L}{2}, le vecteur normal dirigé vers l'intérieur du cylindre est -\vec{e}_z. La force pressante exercée par l'eau est donc orientée vers le haut :

Par intégration sur la face B d'aire identique S = \pi R^2 :

D'après la question Q3, la norme de la force pressante exercée par l'eau sur la face supérieure A est :

Comme L/2 = 0{,}05\text{ m} \ll H = 4 \cdot 10^3\text{ m}, la profondeur de la face A s'assimile à H :

La surface de la face A vaut :

On en déduit l'intensité de la force :

Une masse m posée sur la face A exercerait une force égale à son poids P_{\text{poids}} = m g. Pour obtenir la même force :

Sachant que 1\text{ tonne} = 1000\text{ kg} :

Repérons un point courant de la surface latérale du cylindre par ses coordonnées cylindriques (R, \theta, z) d'axe (O, \vec{e}_z).

Le vecteur surface élémentaire sortant du cylindre s'écrit :

où \vec{e}_r(\theta) = \cos\theta\,\vec{e}_x + \sin\theta\,\vec{e}_y est le vecteur unitaire radial horizontal.

La force élémentaire exercée par l'eau sur cet élément de paroi latérale est donnée par :

D'après la question Q2, la pression P(z) = P_0 + \mu g z ne dépend que de la profondeur z et est indépendante de l'angle \theta. La résultante s'obtient donc en séparant les intégrales en z et en \theta :

Or, par intégration sur un tour complet :

On en déduit immédiatement :

La résultante totale des forces de pression exercées sur l'ensemble de la structure du capteur s'obtient en sommant les contributions de l'eau sur la paroi extérieure et de l'air sur la paroi intérieure.

Action de l'eau sur la surface extérieure En sommant les forces déterminées aux questions Q3 et Q5 :

Action de l'air sur la surface intérieure La pression P_0 de l'air est supposée uniforme à l'intérieur du cylindre fermé. Sur la face A, la force pressante intérieure vaut -P_0 \pi R^2\,\vec{e}_z. Sur la face B, elle vaut +P_0 \pi R^2\,\vec{e}_z. Sur la paroi latérale, la résultante est nulle par symétrie de révolution. La résultante des forces de pression exercées par l'air intérieur est donc rigoureusement nulle :

Résultante totale En notant V = \pi R^2 L le volume du cylindre et en rappelant que le champ de pesanteur est \vec{g} = g\,\vec{e}_z, la force pressante résultante totale s'écrit :

On retrouve la poussée d'Archimède : la résultante des forces de pression exercées par le fluide environnant sur un solide immergé est une force verticale, dirigée vers le haut, égale à l'opposé du poids du volume de fluide déplacé.

Ces relations sont l'analogue direct des lois de Snell-Descartes pour la réflexion et la réfraction en optique géométrique :

• La première relation, \theta_r(z) = -\theta_i(z), traduit la loi de Snell-Descartes pour la réflexion (avec des angles orientés par rapport à la normale au dioptre).

• La seconde relation, \dfrac{\sin \theta_i(z)}{c_1(z)} = \dfrac{\sin \theta_t(z)}{c_2(z)}, traduit la loi de Snell-Descartes pour la réfraction. En effet, en introduisant un indice de réfraction acoustique n(z) = \dfrac{c_0}{c(z)} de manière analogue à l'indice optique n = \dfrac{c}{v}, cette relation se réécrit sous la forme canonique :

  n_1 \sin \theta_i = n_2 \sin \theta_t

Les différentes couches d'eau sont modélisées par des strates horizontales superposées : les dioptres successifs sont donc des plans parallèles entre eux, et toutes les normales à ces dioptres sont parallèles à l'axe vertical \vec{e}_z.

Dans une couche élémentaire d'épaisseur \mathrm{d}z, le milieu est homogène et le rayon sonore s'y propage en ligne droite. Ce segment rectiligne constitue une sécante coupant deux droites parallèles (les normales verticales aux deux dioptres successifs).

D'après les propriétés géométriques des angles alternes-internes formés par une droite sécante et deux droites parallèles, l'angle de réfraction (transmission) au dioptre situé à la profondeur z est égal à l'angle d'incidence sur le dioptre suivant situé à la profondeur z + \mathrm{d}z :

Considérons l'interface horizontale à la profondeur z séparant le milieu supérieur de célérité c(z) du milieu inférieur de célérité c(z+\mathrm{d}z). La loi de passage en transmission (analogue à la loi de Snell-Descartes) s'écrit :

Or, d'après la question Q8, les interfaces étant horizontales et parallèles, l'angle de transmission au dioptre à la profondeur z est égal à l'angle d'incidence sur le dioptre suivant situé en z+\mathrm{d}z :

En adoptant la notation unifiée \theta(z) pour désigner l'angle que fait le rayon avec la verticale à la profondeur z, on obtient :

La quantité A(z) = \dfrac{\sin(\theta(z))}{c(z)} est donc constante de proche en proche à travers l'empilement continu de strates : elle est indépendante de la profondeur z.

En évaluant cette quantité à la surface (z = 0^+) où l'angle vaut \theta_0 et la célérité vaut c_0, on trouve :

Considérons le déplacement infinitésimal \mathrm{d}\vec{r} = \mathrm{d}x\,\vec{e}_x + \mathrm{d}z\,\vec{e}_z d'un rayon sonore entre deux points infiniment voisins. La longueur de l'élément de trajectoire associé s'écrit :

L'angle \theta(z) étant repéré par rapport à la normale au dioptre (l'axe vertical descendant \vec{e}_z), \mathrm{d}x constitue le côté opposé et \mathrm{d}z le côté adjacent dans le triangle rectangle élémentaire d'hypoténuse \mathrm{d}s (visible sur la figure 2 de l'énoncé).

On en déduit immédiatement :

D'après la question Q9, l'invariant de propagation s'écrit :

En introduisant l'indice acoustique n(z) = \dfrac{c_0}{c(z)}, on en déduit :

D'après la relation géométrique établie à la question Q10 :

En égalant les deux expressions de \sin\theta(z), il vient :

En élevant au carré et en inversant l'égalité :

Soit finalement l'équation différentielle du premier ordre régissant la trajectoire z(x) :

D'après le résultat de la question Q11, la trajectoire vérifie :

Dérivons cette expression par rapport à la variable d'abscisse x :

Le membre de gauche donne :

Pour le membre de droite, la fonction n dépend de x par l'intermédiaire de la profondeur z(x). La dérivation en chaîne fournit :

L'égalité devient ainsi :

Pour un rayon dont la trajectoire n'est pas strictement horizontale (\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}x} \neq 0, résultat prolongeable par continuité aux points d'inflexion ou d'extrémum), on simplifie par 2\,\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}x} :

D'après l'énoncé, l'indice acoustique suit la loi phénoménologique :

En dérivant par rapport à z, on obtient :

En substituant cette dérivée dans l'équation de la trajectoire établie à la question Q12, il vient :

En introduisant la fonction intermédiaire \alpha(x) = \dfrac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}x}, on a :

L'équation différentielle du second ordre se réécrit donc sous la forme du système différentiel du premier ordre :

Par définition introduite à la question Q13, la fonction \alpha(x) est la dérivée de la profondeur z par rapport à l'abscisse horizontale x :

D'un point de vue géométrique :

• \alpha(x) représente la pente locale de la tangente à la trajectoire du rayon sonore dans le plan (x,z).

• En reliant les déplacements élémentaires \mathrm{d}x et \mathrm{d}z à l'angle \theta(z) formé par le rayon avec la verticale descendante (d'après la question Q10 et la figure 2) :

  \frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}x} = \frac{1}{\tan\theta(x)} = \mathrm{cotan}\,\theta(x)
• Si l'on introduit l'angle a(x) = \frac{\pi}{2} - \theta(x) que fait le rayon avec l'horizontale (comme défini ultérieurement sur les figures 5 et 6), on a simplement :

Dans un conducteur ohmique linéaire, homogène et isotrope de conductivité électrique \gamma, la loi d'Ohm locale (ou loi d'Ohm microscopique) relie linéairement et localement le vecteur densité volumique de courant de conduction \vec{j} au champ électrique \vec{E} :

où :

• \vec{j} est la densité volumique de courant (en \mathrm{A}\cdot\mathrm{m}^{-2}) ;
• \gamma est la conductivité électrique du milieu (en \Omega^{-1}\cdot\mathrm{m}^{-1} ou \mathrm{S}\cdot\mathrm{m}^{-1}) ;
• \vec{E} est le champ électrique local (en \mathrm{V}\cdot\mathrm{m}^{-1}).

D'après la loi d'Ohm locale (question Q15), le vecteur densité de courant de conduction s'écrit :

La densité volumique de courant de déplacement introduite par Maxwell est :

Pour une onde monochromatique de champ électrique \vec{E}(x,y,z,t) = E_0\,\mathrm{e}^{i(\omega t - \underline{k}z)}\vec{e}_x, la dérivation temporelle correspond à une multiplication par i\omega :

En prenant la norme de ces grandeurs complexes, on a :

Le courant de déplacement est donc négligeable devant le courant de conduction (\|\vec{j}_{\mathrm{d}}\| \ll \|\vec{j}\|) si et seulement si :

La pulsation critique cherchée est donc :

Dans l'eau de mer assimilée à un conducteur ohmique neutre (\rho = 0) en régime basse fréquence (\omega \ll \omega_c), les équations de Maxwell s'écrivent :

• Maxwell-Gauss : \mathrm{div}\,\vec{E} = \dfrac{\rho}{\epsilon} = 0 ;
• Maxwell-Faraday : \vec{\mathrm{rot}}\,\vec{E} = -\dfrac{\partial \vec{B}}{\partial t} ;

• Maxwell-Ampère (avec courant de déplacement négligé d'après Q16 et loi d'Ohm locale d'après Q15) :

  \vec{\mathrm{rot}}\,\vec{B} \approx \mu_0 \vec{j} = \mu_0 \gamma \vec{E}

Utilisons l'identité du double rotationnel appliquée au champ électrique :

Puisque \mathrm{div}\,\vec{E} = 0, il vient :

En substituant la loi de Maxwell-Faraday et en permutant les dérivées spatio-temporelles :

En regroupant tous les termes dans le membre de gauche, on obtient bien l'équation vérifiée par le champ électrique :

D'après la question Q17, le champ électrique vérifie dans l'eau de mer l'équation de diffusion :

En notation complexe, le champ s'écrit \vec{\underline{E}}(x,y,z,t) = E_0 \mathrm{e}^{\mathrm{i}(\omega t - \underline{k}z)}\vec{e}_x. Comme il ne dépend spatialement que de la variable z, le laplacien vectoriel se réduit à :

De plus, la dérivation temporelle donne :

L'équation de diffusion se réécrit donc :

Comme le champ n'est pas identiquement nul, on obtient la relation de dispersion :

Écrivons -\mathrm{i} sous forme trigonométrique :

Les deux racines carrées complexes de -\mathrm{i} sont données par :

On en déduit les deux valeurs possibles du vecteur d'onde complexe \underline{k} :

D'après la question Q18, le nombre d'onde complexe s'écrit :

Le terme de propagation et d'atténuation spatiale dans l'expression du champ électrique est :

L'onde se propageant dans le demi-espace z \ge 0, le milieu étant dissipatif (pertes par effet Joule), l'amplitude du champ électrique doit rester bornée et décroître lorsque z \to +\infty. On doit donc retenir le signe correspondant à une exponentielle décroissante en z, soit :

En posant la constante réelle \delta telle que :

l'expression du champ électrique devient :

L'expression de la constante \delta (épaisseur de peau) est donc :

Application numérique : Pour une fréquence f = 100\text{ kHz} = 10^5\text{ Hz}, soit \omega = 2\pi f = 2\pi \cdot 10^5\text{ rad}\cdot\text{s}^{-1}, avec \mu_0 \approx 10^{-6}\text{ H}\cdot\text{m}^{-1} et \gamma = 4\ \Omega^{-1}\cdot\text{m}^{-1} :

Soit, avec un à deux chiffres significatifs :

D'après l'expression du champ électrique obtenue à la question Q19 :

l'amplitude du champ électrique à la profondeur z vaut E(z) = E_0 \,\mathrm{e}^{-z/\delta}.

Le facteur d'atténuation de l'amplitude à la profondeur L est le rapport :

Pour f = 100\text{ kHz}, la question Q19 donne \delta \approx 0{,}9\text{ m}. Avec L = 1\text{ km} = 10^3\text{ m} :

Le facteur d'atténuation vaut donc :

Conclusion : L'onde électromagnétique subit une atténuation titanesque et se trouve totalement absorbée au bout de quelques mètres seulement. Il est donc rigoureusement impossible d'utiliser ces ondes radio pour communiquer avec un engin sous-marin situé à une profondeur de l'ordre du kilomètre.

La longueur d'onde dans le vide \lambda_0 associée à une onde électromagnétique de fréquence f est donnée par :

où c \approx 3\cdot 10^8\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} désigne la célérité de la lumière dans le vide.

Pour f = 5\cdot 10^{14}\text{ Hz} :

Cette longueur d'onde appartient au domaine visible, classiquement situé entre 400\text{ nm} et 800\text{ nm} (plus particulièrement dans le spectre visible jaune-orangé).

L'observation expérimentale directe est l'obscurité totale (nuit noire) qui règne dans l'océan à une telle profondeur : la lumière solaire ne pénètre pratiquement plus au-delà de 200\text{ m} (limite de la zone euphotique) et est totalement éteinte bien avant 1\text{ km} (zone aphotique).

Les submersibles d'exploration évoluant à cette profondeur doivent nécessairement utiliser de puissants projecteurs pour éclairer leur environnement immédiat.

Cette observation prouve que le rayonnement visible subit une très forte atténuation dans l'eau de mer (par absorption par l'eau et diffusion par les micro-organismes et particules en suspension). Une onde électromagnétique du domaine visible émise depuis la surface est donc intégralement atténuée avant d'atteindre un sous-marin situé à 1\text{ km} de profondeur.

La discrétisation de la variable d'espace x avec un pas constant \mathrm{d}x donne immédiatement la relation de récurrence :

Pour les fonctions z(x) et \alpha(x), les dérivées au point x_n sont approchées par :

On en déduit les trois relations de récurrence du schéma d'Euler explicite :

D'après les relations de récurrence du schéma d'Euler explicite établies à la question Q23 :

• La condition d'arrêt de la boucle d'itération tant que la borne finale n'est pas atteinte est x < xf (ou x + dx <= xf) ;
• L'abscisse suivante est x_nouveau = x + dx ;
• La profondeur suivante est z_nouveau = z + a * dx ;
• La pente suivante est a_nouveau = a - A * z * dx ;
• L'ajout aux listes consiste à passer respectivement x_nouveau, z_nouveau et a_nouveau en argument de la méthode .append() ;
• L'actualisation simultanée des variables s'écrit x, z, a = x_nouveau, z_nouveau, a_nouveau.

Le code complété s'écrit ainsi :

def rayon_Euler(x0, xf, dx, z0, a0, A):
    # Initialisation des listes
    valeurs_x = [x0]
    valeurs_z = [z0]
    valeurs_a = [a0]
    x, z, a = x0, z0, a0  # Valeurs courantes des variables
    # Schema d'Euler explicite
    while x < xf:
        x_nouveau = x + dx  # Calcul de x{n+1}
        z_nouveau = z + a * dx  # Calcul de z{n+1}
        a_nouveau = a - A * z * dx  # Calcul de alpha{n+1}
        # Ajout des nouveaux elements
        valeurs_x.append(x_nouveau)
        valeurs_z.append(z_nouveau)
        valeurs_a.append(a_nouveau)
        # Actualisation des variables
        x, z, a = x_nouveau, z_nouveau, a_nouveau
    return valeurs_x, valeurs_z

D'après la question Q13, la variable continue associée à a est \alpha(x) = \frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}x}, qui représente la pente de la trajectoire du rayon sonore.

À l'émission (x = x_0), la condition initiale vaut a_0 = \alpha(x_0) = \left.\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}x}\right|_{x_0}.

D'un point de vue géométrique (figure 5 de l'énoncé) :

• en notant a l'angle que fait le rayon avec la direction horizontale au point d'émission, la pente s'écrit exactement :

  a_0 = \tan a_{\text{émission}}

  Dans le cadre de l'approximation paraxiale (rayons se propageant presque horizontalement dans le canal SOFAR, avec a \ll 1\text{ rad}), on a \tan a \approx a ;

• en fonction de l'angle \theta_0 formé avec la verticale descendante (défini à la question Q9), on a a = \frac{\pi}{2} - \theta_0, d'où :

  a_0 = \frac{1}{\tan \theta_0} = \operatorname{cotan}\theta_0 \approx \frac{\pi}{2} - \theta_0

Le pas d'intégration \mathrm{d}x doit être choisi très petit devant l'échelle spatiale caractéristique de variation de la solution afin d'assurer la stabilité et la précision du schéma d'Euler explicite, tout en restant suffisamment grand pour limiter le temps de calcul et les erreurs d'arrondi.

Sur la figure 3, la trajectoire présente des oscillations spatiales de pseudo-période \Lambda \approx 40\text{ à } 50\text{ km}. Il convient donc de choisir \mathrm{d}x \ll \Lambda (au moins une centaine de points par période), ce qui conduit à proposer typiquement :

D'après l'énoncé, la surface se situe à z = 0\text{ m} et le fond marin à z = 5000\text{ m}. Par ailleurs :

• \text{direction} = +1 correspond à un rayon descendant vers les profondeurs ;
• \text{direction} = -1 correspond à un rayon montant vers la surface.

Lors d'une réflexion sur l'une des deux frontières étanches :

• Si le rayon atteint la surface (z_I \le 0), il est réfléchi vers le bas, donc sa direction devient +1.
• Si le rayon atteint le fond (z_I \ge 5000\text{ m}), il est réfléchi vers le haut, donc sa direction devient -1.
• Sinon, le rayon n'a pas atteint de limite et conserve sa direction actuelle.

On peut implémenter cette fonction de la façon suivante :

def conditions_limites(z_I, h, direction):
    """
    Actualise la direction de propagation du rayon aux frontieres
    du domaine oceanique (surface z = 0 m et fond z = 5000 m).
    """
    if z_I <= 0:
        return 1
    elif z_I >= 5000:
        return -1
    else:
        return direction

Remarque : Si l'on souhaite anticiper le dépassement au pas suivant à l'aide de l'épaisseur de couche h passée en argument, on peut également tester si z_I + \text{direction} \cdot h < 0 ou z_I + \text{direction} \cdot h > 5000. Le test sur z_I directement est l'écriture la plus naturelle et robuste au regard du texte de la question.

Le dioptre horizontal se situe à la profondeur z. Les deux couches d'épaisseur h adjacentes sont centrées respectivement en z - h/2 (au-dessus du dioptre) et z + h/2 (au-dessous du dioptre) :

• Si le rayon est descendant (\texttt{direction} = +1), il arrive depuis la région z' < z vers la région z' > z :

  c_1 = \mathrm{celerite}(z - h/2) \quad \text{et} \quad c_2 = \mathrm{celerite}(z + h/2)

• Si le rayon est ascendant (\texttt{direction} = -1), il arrive depuis la région z' > z vers la région z' < z :

  c_1 = \mathrm{celerite}(z + h/2) \quad \text{et} \quad c_2 = \mathrm{celerite}(z - h/2)

On en déduit l'implémentation de la fonction demandée :

def calculer_celerite(z, h, direction):
    if direction == 1:
        c1 = celerite(z - h / 2)
        c2 = celerite(z + h / 2)
    else:
        c1 = celerite(z + h / 2)
        c2 = celerite(z - h / 2)
    return c1, c2

D'après les figures 5 et 6, le rayon parcourt horizontalement la distance L_2 en traversant une tranche d'épaisseur verticale h. L'angle avec la normale verticale étant noté \theta_2, le triangle rectangle formé donne immédiatement :

1. Cas de la réfraction (figure 5) : Le rayon est transmis dans le second milieu de célérité c_2. D'après la relation de passage analogue à la loi de Snell-Descartes :

L'angle \theta_2 étant aigu (\theta_2 \in [0, \pi/2[), on a \cos\theta_2 = \sqrt{1 - \sin^2\theta_2}, d'où :

On en déduit l'expression de L_2 :

2. Cas de la réflexion totale (figure 6) : Le rayon ne pénètre pas dans le milieu 2 ; il subit une réflexion sur l'interface et repart dans le milieu 1. D'après la loi de la réflexion, l'angle réfléchi est égal à l'angle d'incidence :

Le rayon retraverse donc une épaisseur h dans le milieu 1, ce qui conduit à :

Dans ce cas, la longueur L_2 est indépendante de la célérité c_2 du milieu extérieur (et L_2 = L_1).

D'après la loi de réfraction (analogue acoustique de la loi de Snell-Descartes pour la réfraction) :

Les angles \theta_i et \theta_t étant non orientés et mesurés par rapport à la normale au dioptre, ils appartiennent à l'intervalle \left[0, \frac{\pi}{2}\right].

Un rayon transmis (ou réfracté) existe si et seulement s'il existe une valeur réelle de \theta_t \in \left[0, \frac{\pi}{2}\right] vérifiant cette relation, ce qui impose :

• Si c_2 \le c_1, le rapport \frac{c_2}{c_1} \le 1, donc pour tout \theta_i \in \left[0, \frac{\pi}{2}\right], \sin\theta_t \le 1 : la réfraction a toujours lieu.

• Si c_2 > c_1 (passage vers un milieu de célérité plus élevée), la condition s'écrit :

  \sin\theta_i \le \frac{c_1}{c_2}

La fonction sinus étant strictement croissante et bijective de \left[0, \frac{\pi}{2}\right] sur [0, 1], et comme \frac{c_1}{c_2} < 1, cette inégalité équivaut à :

Il y a donc transmission si et seulement si \theta_i \le \theta_c. Pour \theta_i > \theta_c, la réfraction devient impossible et il se produit une réflexion totale.

D'après la question Q30, l'angle critique au-delà duquel apparaît le phénomène de réflexion totale est donné par :

Cette relation suppose que le milieu d'incidence est plus lent que le milieu suivant (c_1 < c_2).

La fonction prédéfinie asin étant mise à disposition d'après le préambule de la partie 2, la fonction s'écrit directement :

def angle_critique(c1, c2):
    return asin(c1 / c2)

Remarque : Si l'on souhaite gérer le cas c_1 \ge c_2 où la réflexion totale n'a jamais lieu (tout rayon incident est transmis), on peut convenir que l'angle critique vaut \pi/2 (ou None) :

def angle_critique(c1, c2):
    if c1 < c2:
        return asin(c1 / c2)
    return pi / 2

D'après la question Q30, un rayon transmis (réfracté) existe si et seulement si :

• soit c_2 \le c_1, auquel cas la réfraction a lieu quel que soit l'angle incident \theta_1 \in [0, \pi/2] ;

• soit c_2 > c_1, et l'angle d'incidence ne dépasse pas l'angle critique de réflexion totale :

  \theta_1 \le \theta_c = \arcsin\left(\frac{c_1}{c_2}\right)

En utilisant la fonction angle_critique(c1, c2) définie à la question Q31 (qui n'est évaluable sans erreur que pour c_1 < c_2), la condition Python s'écrit :

Remarque équivalente : En raisonnant directement sur la condition \sin\theta_1 \le \frac{c_1}{c_2}, celle-ci reste valable dans tous les cas car si c_2 \le c_1, alors \frac{c_1}{c_2} \ge 1 \ge \sin\theta_1, l'inégalité est donc toujours satisfaite. On peut donc également proposer :

D'après la loi de Snell-Descartes pour la réfraction :

D'après la question Q29 et la figure 5 de l'énoncé, le déplacement horizontal effectué lors de la traversée de la couche d'épaisseur h vaut :

Le rayon se propageant de gauche à droite, la nouvelle abscisse est :

Lors d'une réfraction, le sens vertical du rayon est conservé (un rayon descendant continue de descendre, un rayon montant continue de monter) :

On propose l'implémentation suivante en Python :

def refraction(x_I, z_I, theta1, c1, c2, h, direction):
    theta2 = asin((c2 / c1) * sin(theta1))
    L2 = h * tan(theta2)
    x_B = x_I + L2
    z_B = z_I + direction * h
    return theta2, x_B, z_B

D'après les lois de Descartes pour la réflexion, l'angle de réflexion est égal à l'angle d'incidence :

Le rayon se propage vers les abscisses croissantes (x croissant). D'après la relation établie à la question 29, la distance horizontale parcourue sur la hauteur de la couche h = {hauteur\_couche} est :

Lors d'une réflexion totale, le rayon ne pénètre pas dans le second milieu : il rebrousse chemin verticalement et parcourt à nouveau l'épaisseur de la couche incidente h. Conformément à la figure 6 de l'énoncé où le rayon est renvoyé vers les profondeurs croissantes, on a :

Dans le cas général où la propagation peut se faire vers le haut ou vers le bas, le rayon repart dans le sens opposé à la direction incidente.

Le code Python correspondant s'écrit :

def reflexion_totale(x_I, z_I, theta1, hauteur_couche):
    theta2 = theta1
    x_B = x_I + hauteur_couche * tan(theta1)
    z_B = z_I + hauteur_couche
    return theta2, x_B, z_B

Le code correspondant au BLOC2 s'écrit :

# Mise a jour des listes de positions
valeurs_x.append(x_B)
valeurs_z.append(z_B)

# Actualisation de la profondeur du dioptre selon la direction (+1 ou -1)
z = z + direction * h

# Verification des conditions aux limites en surface et au fond marin
direction = conditions_limites(z, h, direction)

# Actualisation du point courant et de l'angle pour le pas suivant
x_I, z_I = x_B, z_B
theta1 = theta2

On implémente la fonction trajet_rayon en réutilisant les fonctions et conditions définies aux questions précédentes :

def trajet_rayon(x_emission, y_emission, angle_emission, h, distance_x_max):
    # Initialisation de la trajectoire
    rayon = [(x_emission, y_emission)]

    # Position et angle courants
    x_I = x_emission
    z_I = y_emission
    theta1 = pi / 2 - abs(angle_emission)

    # Determination du sens initial (1 : vers le fond, -1 : vers la surface)
    if angle_emission >= 0:
        direction = 1
    else:
        direction = -1

    z = z_I

    while x_I < distance_x_max:
        # Calcul des celerites dans les deux milieux
        c1, c2 = calculer_celerite(z, h, direction)

        # Test du type de passage (refraction ou reflexion totale)
        if c2 <= c1 or theta1 <= angle_critique(c1, c2):
            theta2, x_B, z_B = refraction(x_I, z_I, theta1, h, c1, c2)
        else:
            theta2, x_B, z_B = reflexion_totale(x_I, z_I, theta1, h)
            direction = -direction  # Inversion du sens de propagation

        # Mise a jour des coordonnees et du point courant
        x_I, z_I = x_B, z_B
        theta1 = theta2
        rayon.append((x_I, z_I))

        # Actualisation de la profondeur du dioptre et verification aux limites
        z = z + direction * h
        direction = conditions_limites(z_I, h, direction)

    return rayon

Si l'on considère que « région 1 » correspond à la modalité 'Region1' de l'attribut region de la table regions, une jointure est nécessaire :

SELECT profondeur, temperature, salinite
FROM mesures
JOIN regions ON mesures.id_region = regions.id_region
WHERE regions.region = 'Region1'
  AND date = '2025-04-17';

Si l'on assimile directement la région 1 à l'identifiant id_region = 1, la requête s'écrit de façon équivalente sans jointure :

SELECT profondeur, temperature, salinite
FROM mesures
WHERE id_region = 1
  AND date = '2025-04-17';

En effectuant les jointures entre la table mesures et les tables de référence regions et periodes :

SELECT COUNT(*)
FROM mesures
JOIN regions ON mesures.id_region = regions.id_region
JOIN periodes ON mesures.id_periode = periodes.id_periode
WHERE regions.region = 'Region2'
  AND periodes.periode = 'Éte';

Remarque : Si l'on suppose directement que la région 2 correspond à la clé primaire id_region = 2, une seule jointure avec periodes suffit :

SELECT COUNT(*)
FROM mesures
JOIN periodes ON mesures.id_periode = periodes.id_periode
WHERE mesures.id_region = 2
  AND periodes.periode = 'Éte';

On implémente la formule du profil de Munk en important la fonction exp du module math :

from math import exp

def munk(z):
    z_bar = 2 * (z - 1300) / 1300
    c = 1500 * (1 + 0.00737 * (z_bar - 1 + exp(-z_bar)))
    return c

Le profil de Munk s'écrit sous la forme :

avec c_{\text{ref}} = 1500\text{ m}\cdot\text{s}^{-1}, \varepsilon = 0{,}00737 et \bar{z}(z) = \dfrac{2(z - 1300)}{1300}.

La variable adimensionnée \bar{z} a pour dérivée par rapport à la profondeur z :

En appliquant la règle de dérivation des fonctions composées, il vient :

Soit, sous forme explicite :

On implémente cette expression dans la fonction Python demandée :

from math import exp

def dmunk(z):
    z_bar = 2 * (z - 1300) / 1300
    return (3000 * 0.00737 / 1300) * (1 - exp(-z_bar))

Voici l'implémentation de la fonction demandée :

def dichotomie(dmunk, borne_debut, borne_fin, tolerance):
    a = float(borne_debut)
    b = float(borne_fin)

    while (b - a) > tolerance:
        m = (a + b) / 2.0
        if dmunk(m) == 0:
            return m
        elif dmunk(a) * dmunk(m) < 0:
            b = m
        else:
            a = m

    return (a + b) / 2.0

D'après l'énoncé de la question précédente, le paramètre tolerance représente la taille de l'intervalle de recherche, c'est-à-dire sa largeur finale \Delta z = b - a.

Lorsque l'algorithme s'arrête, la solution exacte z_{\min} appartient à l'intervalle [a, b] de largeur b - a \le \text{tolerance}. Deux approches sont envisageables selon l'interprétation stricte de « à 10\text{ m} près » :

• Si l'algorithme renvoie le centre de l'intervalle z = \frac{a + b}{2}, l'erreur maximale commise est égale au demi-intervalle :

  |z - z_{\min}| \le \frac{b - a}{2} \le \frac{\text{tolerance}}{2}

  Pour garantir une précision à 10\text{ m} près (|z - z_{\min}| \le 10\text{ m}), il suffit de choisir :

  \boxed{\text{tolerance} = 20\text{ m}}

• Si l'on souhaite que la largeur totale de l'intervalle encadrant la solution ne dépasse pas 10\text{ m} (ce qui assure que n'importe quelle valeur de l'intervalle est à moins de 10\text{ m} de la solution, ou que l'incertitude sur le centre soit de \pm 5\text{ m}), on choisit :

  \boxed{\text{tolerance} = 10\text{ m}}

Dans le cadre de l'appel de la fonction, la valeur passée en argument est un flottant ou un entier exprimé en mètres, soit typiquement 10 (ou 20).

Pour déterminer la profondeur z_{\min} correspondant au minimum de la célérité, on applique la fonction dichotomie (définie à la question Q41) à la dérivée dmunk (question Q40) sur l'intervalle [0,\, 5000]\text{ m} avec la tolérance choisie à la question Q42 (\text{tolerance} = 10\text{ m}).

La valeur de la célérité minimale est ensuite obtenue en évaluant la fonction munk (question Q39) en cette profondeur z_{\min} :

z_min = dichotomie(dmunk, 0, 5000, 10)
c_min = munk(z_min)

Si ces instructions s'inscrivent dans une fonction dédiée, celle-ci se conclut par :

return z_min, c_min

Par analogie avec une fibre optique à gradient d'indice, les rayons sonores sont continûment réfractés vers les zones où l'indice acoustique n(z) = c_0/c(z) est maximal, c'est-à-dire vers les zones où la vitesse du son est minimale. Le minimum de célérité piège ainsi les rayons par réfraction progressive de part et d'autre de cet axe, empêchant leur dispersion verticale.

D'après l'étude du profil de Munk (question Q40), la célérité admet un minimum pour \bar{z} = 0, soit à une profondeur :

Les ondes sonores sont donc guidées et oscillent autour de cette profondeur de 1300\text{ m} (typiquement dans la couche comprise entre 800\text{ m} et 1800\text{ m}, comme illustré sur la figure 3).

L'algorithme des k plus proches voisins est une méthode d'apprentissage supervisé utilisée pour la classification (ou la régression). Pour déterminer la classe d'une nouvelle donnée, son principe se décompose ainsi :

1. On calcule la distance (le plus souvent la distance euclidienne) entre la donnée à classifier et chacun des points de la base d'apprentissage étiquetée ;
2. On sélectionne les k points d'apprentissage dont la distance à la nouvelle observation est la plus faible ;
3. On attribue à la nouvelle donnée la classe majoritaire parmi ces k voisins (vote à la majorité). En cas de problème de régression, on calcule la moyenne des valeurs associées à ces voisins.

Le choix de l'hyperparamètre k détermine le compromis biais-variance du classifieur :

• Inconvénients d'un k trop faible (k = 1 ou très petit) : le modèle est extrêmement sensible aux bruits de mesure et aux données aberrantes (outliers). Les frontières de décision deviennent très morcelées, ce qui conduit à un surapprentissage (forte variance, faible biais).
• Inconvénients d'un k trop grand (k \sim N, où N est le nombre total de données) : le voisinage englobe une trop grande proportion des données, gommant les caractéristiques locales. La prédiction tend systématiquement vers la classe majoritaire de la base d'apprentissage, conduisant à un sous-apprentissage (fort biais, faible variance).

Méthode de choix de la valeur optimale : Pour déterminer la valeur optimale de k, on utilise une méthode de validation croisée (ou l'évaluation des performances sur un jeu de validation distinct du jeu d'entraînement) :

1. On évalue le taux d'erreur (ou la précision) pour différentes valeurs croissantes de k ;
2. On retient le k qui minimise l'erreur de généralisation sur les données de validation.

Dans le cas d'une classification binaire (ici d'origine « Animale » ou « Anthropique »), on choisit préférentiellement une valeur de k impaire afin d'éviter les situations d'égalité lors du vote à la majorité.

Soient deux points A et B repérés par leurs coordonnées (f_A, \text{dB}_A) et (f_B, \text{dB}_B). La distance euclidienne canonique dans cet espace bidimensionnel s'écrit :

On peut donc implémenter la fonction distance_euclidienne sous la forme suivante :

def distance_euclidienne(A, B):
    freq_A, dB_A = A
    freq_B, dB_B = B
    return ((freq_A - freq_B)**2 + (dB_A - dB_B)**2)**0.5

Voici une implémentation en Python réalisant une recherche itérative des k plus proches voisins en complexité \mathcal{O}(k \cdot n) (où n est la taille de la liste distances) sans recourir à des fonctions de tri prédéfinies :

def plus_proches(distances, k):
    """
    Retourne la liste des indices des k plus petites distances
    sans utiliser de fonction de tri prédéfinie.
    """
    indices = []
    n = len(distances)

    for _ in range(k):
        idx_min = None
        for i in range(n):
            if i not in indices:
                if idx_min is None or distances[i] < distances[idx_min]:
                    idx_min = i
        indices.append(idx_min)

    return indices

1. Analyse de la qualité des prédictions : D'après la matrice de confusion, sur un échantillon total de :

le modèle réalise 52 + 48 = 100 bonnes prédictions (éléments diagonaux) et 13 + 22 = 35 erreurs (éléments hors diagonale).

La figure 11 montre que les erreurs de classification (marquées par des croix) sont concentrées dans la zone intermédiaire (fréquences comprises entre 10^2\text{ Hz} et 2\cdot 10^3\text{ Hz} et niveaux sonores entre 150\text{ dB} et 190\text{ dB}). D'après la figure 10, il s'agit précisément de la région où les signatures spectrales des sources anthropiques (navires, opérations industrielles) et animales (dauphins, baleines) se chevauchent.

Le modèle offre ainsi des résultats encourageants (nettement supérieurs à une prédiction aléatoire à 50\,\%) mais reste perfectible, avec un taux d'erreur non négligeable d'environ 26\,\%.

2. Précision globale (ou taux d'exactitude / accuracy) : Elle correspond au rapport du nombre de prédictions correctes sur le nombre total d'enregistrements :

3. Précisions pour chacune des origines : Selon la convention standard des matrices de confusion (les lignes correspondent aux classes réelles et les colonnes aux classes prédites), on distingue deux interprétations courantes :

• Au sens de la précision en apprentissage automatique (proportion de prédictions positives correctes pour chaque classe) :

  • Pour la première classe (colonne 1, ex. Animale) :

    P_1 = \frac{52}{52 + 22} = \frac{52}{74} \approx 0{,}703 \quad\implies\quad \boxed{P_1 \approx 70\,\%}

  • Pour la seconde classe (colonne 2, ex. Anthropique) :

    P_2 = \frac{48}{48 + 13} = \frac{48}{61} \approx 0{,}787 \quad\implies\quad \boxed{P_2 \approx 79\,\%}

• Au sens du taux de bon classement par origine (sensibilité ou rappel, par rapport aux classes réelles) :

  • Pour la première classe réelle (ligne 1) :

    R_1 = \frac{52}{52 + 13} = \frac{52}{65} = 0{,}800 \quad\implies\quad \boxed{R_1 = 80\,\%}

  • Pour la seconde classe réelle (ligne 2) :

    R_2 = \frac{48}{48 + 22} = \frac{48}{70} \approx 0{,}686 \quad\implies\quad \boxed{R_2 \approx 69\,\%}

Plusieurs pistes permettent d'améliorer significativement les performances du modèle :

1. Normalisation ou standardisation des descripteurs (étape primordiale) : La fréquence varie sur plusieurs ordres de grandeur (de 10^1 à plus de 10^4\text{ Hz}), tandis que le niveau sonore n'évolue qu'entre 120 et 250\text{ dB}. Sans mise à l'échelle, les écarts en fréquence dominent écrasantement le calcul de la distance euclidienne. Il convient donc :

   • soit de passer la fréquence à l'échelle logarithmique (\log_{10}(f)), ce qui correspond à la représentation naturelle de la figure 10 ;
   • soit d'appliquer une standardisation (centrage-réduction : \frac{X - \mu}{\sigma}) ou une normalisation Min-Max (mise à l'échelle sur [0, 1]) à chaque descripteur.
2. Optimisation de l'hyperparamètre k : Sélectionner la valeur optimale de k par validation croisée (par exemple validation croisée à K plis) sur le jeu d'entraînement, afin de minimiser le taux d'erreur et d'assurer un bon compromis biais-variance.
3. Pondération des votes selon la distance : Attribuer un poids proportionnel à l'inverse de la distance (w_i = 1/d_i) au vote de chaque voisin afin de donner plus d'importance aux exemples les plus proches du point à classifier.

4. Enrichissement des données et des descripteurs :

   • Extraire des caractéristiques acoustiques supplémentaires à partir des signaux audio temporels (durée du signal, bande passante, centroïde spectral, coefficients MFCC) ;
   • Augmenter le volume et la représentativité de la base d'apprentissage afin de mieux couvrir les zones de recouvrement entre bruits anthropiques et animaux.