Feuille d'entraînement : Ondes acoustiques

Corrigés

1. Exercice 1Banque PT Physique A PT 2022, Q13

   L'impulsion sonore émise par le sonar effectue un aller-retour entre la surface et le fond du lac, soit une distance parcourue :

   d = 2H

   La célérité c de l'onde sonore dans l'eau est reliée à sa longueur d'onde \lambda et à sa fréquence f par la relation de dispersion :

   c = \lambda f

   Pendant la durée \tau s'écoulant entre l'émission et la réception, l'onde se propage à la vitesse constante c, ce qui donne :

   2H = c\,\tau = \lambda f \tau

   On en déduit l'expression de la profondeur H du lac :

   \boxed{H = \frac{\lambda f \tau}{2}}

   Application numérique : Avec \lambda = 3{,}75\text{ cm} = 3{,}75 \cdot 10^{-2}\text{ m}, f = 40\text{ kHz} = 40 \cdot 10^3\text{ Hz} (obtenu à la question précédente) et \tau = 40\text{ ms} = 40 \cdot 10^{-3}\text{ s} :

   \begin{aligned} c &= 3{,}75 \cdot 10^{-2} \times 40 \cdot 10^3 = 1500\text{ m}\cdot\text{s}^{-1} \\ H &= \frac{1500 \times 40 \cdot 10^{-3}}{2} \end{aligned}

   \boxed{H = 30\text{ m}}

   Résultat

   $$H=\frac{\lambda f\tau }{2}$$

   $$H=30\text{ m}$$

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2. Exercice 2Banque PT Modelisation PT 2026, Q45

   L'algorithme des k plus proches voisins est une méthode d'apprentissage supervisé utilisée pour la classification (ou la régression). Pour déterminer la classe d'une nouvelle donnée, son principe se décompose ainsi :

   1. On calcule la distance (le plus souvent la distance euclidienne) entre la donnée à classifier et chacun des points de la base d'apprentissage étiquetée ;
   2. On sélectionne les k points d'apprentissage dont la distance à la nouvelle observation est la plus faible ;
   3. On attribue à la nouvelle donnée la classe majoritaire parmi ces k voisins (vote à la majorité). En cas de problème de régression, on calcule la moyenne des valeurs associées à ces voisins.

   Indice, stratégie et pièges de cette question

3. Exercice 3Banque PT Modelisation PT 2026, Q46

   Le choix de l'hyperparamètre k détermine le compromis biais-variance du classifieur :

   • Inconvénients d'un k trop faible (k = 1 ou très petit) : le modèle est extrêmement sensible aux bruits de mesure et aux données aberrantes (outliers). Les frontières de décision deviennent très morcelées, ce qui conduit à un surapprentissage (forte variance, faible biais).
   • Inconvénients d'un k trop grand (k \sim N, où N est le nombre total de données) : le voisinage englobe une trop grande proportion des données, gommant les caractéristiques locales. La prédiction tend systématiquement vers la classe majoritaire de la base d'apprentissage, conduisant à un sous-apprentissage (fort biais, faible variance).

   Méthode de choix de la valeur optimale : Pour déterminer la valeur optimale de k, on utilise une méthode de validation croisée (ou l'évaluation des performances sur un jeu de validation distinct du jeu d'entraînement) :

   1. On évalue le taux d'erreur (ou la précision) pour différentes valeurs croissantes de k ;
   2. On retient le k qui minimise l'erreur de généralisation sur les données de validation.

   Dans le cas d'une classification binaire (ici d'origine « Animale » ou « Anthropique »), on choisit préférentiellement une valeur de k impaire afin d'éviter les situations d'égalité lors du vote à la majorité.

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4. Exercice 4Banque PT Modelisation PT 2026, Q47

   Soient deux points A et B repérés par leurs coordonnées (f_A, \text{dB}_A) et (f_B, \text{dB}_B). La distance euclidienne canonique dans cet espace bidimensionnel s'écrit :

   d(A, B) = \sqrt{(f_A - f_B)^2 + (\text{dB}_A - \text{dB}_B)^2}

   On peut donc implémenter la fonction distance_euclidienne sous la forme suivante :

   def distance_euclidienne(A, B):
       freq_A, dB_A = A
       freq_B, dB_B = B
       return ((freq_A - freq_B)**2 + (dB_A - dB_B)**2)**0.5

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5. Exercice 5Banque PT Physique A PT 2022, Q12

   D'après le panneau de réglage de l'oscilloscope, le sélecteur de balayage horizontal indique une sensibilité temporelle :

   b = 5\ \mu\text{s}\cdot\text{div}^{-1}

   Sur l'écran, le signal comporte deux périodes complètes sur la largeur totale de 10\text{ divisions}. Une période s'étend donc sur :

   N = 5{,}0\text{ div}

   La période T du signal acoustique est alors :

   T = N \cdot b = 5{,}0 \times 5\ \mu\text{s} = 25\ \mu\text{s} = 25 \times 10^{-6}\text{ s}

   On en déduit la fréquence f des signaux émis :

   \begin{aligned} f &= \frac{1}{T} = \frac{1}{25 \times 10^{-6}\text{ s}} = 4{,}0 \times 10^4\text{ Hz} = 40\text{ kHz} \end{aligned}

   \boxed{f = 40\text{ kHz}}

   La fréquence étant strictement supérieure à la limite supérieure de l'audition humaine (20\text{ kHz}), le signal appartient au domaine des ultrasons (ondes ultrasonores).

   Résultat

   $$f=40\text{ kHz}$$

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6. Exercice 6Banque PT Modelisation PT 2026, Q48

   Voici une implémentation en Python réalisant une recherche itérative des k plus proches voisins en complexité \mathcal{O}(k \cdot n) (où n est la taille de la liste distances) sans recourir à des fonctions de tri prédéfinies :

   def plus_proches(distances, k):
       """
       Retourne la liste des indices des k plus petites distances
       sans utiliser de fonction de tri prédéfinie.
       """
       indices = []
       n = len(distances)
   
       for _ in range(k):
           idx_min = None
           for i in range(n):
               if i not in indices:
                   if idx_min is None or distances[i] < distances[idx_min]:
                       idx_min = i
           indices.append(idx_min)
   
       return indices

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7. Exercice 7Banque PT Modelisation PT 2026, Q49

   1. Analyse de la qualité des prédictions : D'après la matrice de confusion, sur un échantillon total de :

   N_{\text{total}} = 52 + 13 + 22 + 48 = 135 \text{ sons}

   le modèle réalise 52 + 48 = 100 bonnes prédictions (éléments diagonaux) et 13 + 22 = 35 erreurs (éléments hors diagonale).

   La figure 11 montre que les erreurs de classification (marquées par des croix) sont concentrées dans la zone intermédiaire (fréquences comprises entre 10^2\text{ Hz} et 2\cdot 10^3\text{ Hz} et niveaux sonores entre 150\text{ dB} et 190\text{ dB}). D'après la figure 10, il s'agit précisément de la région où les signatures spectrales des sources anthropiques (navires, opérations industrielles) et animales (dauphins, baleines) se chevauchent.

   Le modèle offre ainsi des résultats encourageants (nettement supérieurs à une prédiction aléatoire à 50\,\%) mais reste perfectible, avec un taux d'erreur non négligeable d'environ 26\,\%.

   2. Précision globale (ou taux d'exactitude / accuracy) : Elle correspond au rapport du nombre de prédictions correctes sur le nombre total d'enregistrements :

   \text{Précision globale} = \frac{52 + 48}{135} = \frac{100}{135} = \frac{20}{27} \approx 0{,}741

   \boxed{\text{Précision globale} \approx 74\,\%}

   3. Précisions pour chacune des origines : Selon la convention standard des matrices de confusion (les lignes correspondent aux classes réelles et les colonnes aux classes prédites), on distingue deux interprétations courantes :

   • Au sens de la précision en apprentissage automatique (proportion de prédictions positives correctes pour chaque classe) :

     • Pour la première classe (colonne 1, ex. Animale) :

       P_1 = \frac{52}{52 + 22} = \frac{52}{74} \approx 0{,}703 \quad\implies\quad \boxed{P_1 \approx 70\,\%}

     • Pour la seconde classe (colonne 2, ex. Anthropique) :

       P_2 = \frac{48}{48 + 13} = \frac{48}{61} \approx 0{,}787 \quad\implies\quad \boxed{P_2 \approx 79\,\%}

   • Au sens du taux de bon classement par origine (sensibilité ou rappel, par rapport aux classes réelles) :

     • Pour la première classe réelle (ligne 1) :

       R_1 = \frac{52}{52 + 13} = \frac{52}{65} = 0{,}800 \quad\implies\quad \boxed{R_1 = 80\,\%}

     • Pour la seconde classe réelle (ligne 2) :

       R_2 = \frac{48}{48 + 22} = \frac{48}{70} \approx 0{,}686 \quad\implies\quad \boxed{R_2 \approx 69\,\%}

   Résultat

   $$\text{Preˊcision globale}\approx 74\%$$

   $$P_1\approx 70\%$$

   $$P_2\approx 79\%$$

   $$R_1=80\%$$

   $$R_2\approx 69\%$$

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8. Exercice 8Banque PT Modelisation PT 2026, Q50

   Plusieurs pistes permettent d'améliorer significativement les performances du modèle :

   1. Normalisation ou standardisation des descripteurs (étape primordiale) : La fréquence varie sur plusieurs ordres de grandeur (de 10^1 à plus de 10^4\text{ Hz}), tandis que le niveau sonore n'évolue qu'entre 120 et 250\text{ dB}. Sans mise à l'échelle, les écarts en fréquence dominent écrasantement le calcul de la distance euclidienne. Il convient donc :

      • soit de passer la fréquence à l'échelle logarithmique (\log_{10}(f)), ce qui correspond à la représentation naturelle de la figure 10 ;
      • soit d'appliquer une standardisation (centrage-réduction : \frac{X - \mu}{\sigma}) ou une normalisation Min-Max (mise à l'échelle sur [0, 1]) à chaque descripteur.
   2. Optimisation de l'hyperparamètre k : Sélectionner la valeur optimale de k par validation croisée (par exemple validation croisée à K plis) sur le jeu d'entraînement, afin de minimiser le taux d'erreur et d'assurer un bon compromis biais-variance.
   3. Pondération des votes selon la distance : Attribuer un poids proportionnel à l'inverse de la distance (w_i = 1/d_i) au vote de chaque voisin afin de donner plus d'importance aux exemples les plus proches du point à classifier.

   4. Enrichissement des données et des descripteurs :

      • Extraire des caractéristiques acoustiques supplémentaires à partir des signaux audio temporels (durée du signal, bande passante, centroïde spectral, coefficients MFCC) ;
      • Augmenter le volume et la représentativité de la base d'apprentissage afin de mieux couvrir les zones de recouvrement entre bruits anthropiques et animaux.

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