Corrigé détaillé CCINP Physique Chimie PSI 2026

La première loi de Fick exprime que le flux de particules s'effectue dans le sens opposé au gradient de concentration :

soit, en projection sur l'axe (Ox) :

Les unités du Système International (S.I.) pour chaque grandeur sont :

• C(x, t) : concentration atomique (ou volumique) en \mathrm{m^{-3}} (ou \mathrm{atome \cdot m^{-3}}) ;
• \vec{\jmath}(x, t) et j(x, t) : vecteur densité de courant de particules (flux surfacique de matière) en \mathrm{m^{-2} \cdot s^{-1}} (ou \mathrm{atome \cdot m^{-2} \cdot s^{-1}}) ;
• D : coefficient de diffusion (diffusivité) en \mathrm{m^2 \cdot s^{-1}} ;
• x : abscisse spatiale en \mathrm{m}.

On choisit comme système le volume de contrôle mésoscopique (système ouvert) constitué par la tranche fixe de substrat comprise entre les plans d'abscisses x et x + \mathrm{d}x, de section droite S orthogonale à l'axe (Ox), et de volume \mathrm{d}V = S\,\mathrm{d}x.

Le nombre d'atomes de phosphore présents dans ce volume à l'instant t vaut :

Entre les instants t et t + \mathrm{d}t, la variation de cette population s'écrit :

Comme il n'y a ni création ni disparition d'atomes au sein du substrat (absence de source ou de réaction chimique), cette variation est uniquement due aux échanges de matière à travers les frontières :

• en x, le nombre d'atomes entrant selon \vec{e}_x pendant \mathrm{d}t est : \delta N_{\text{ent}} = j(x,t)\,S\,\mathrm{d}t ;
• en x + \mathrm{d}x, le nombre d'atomes sortant selon \vec{e}_x pendant \mathrm{d}t est : \delta N_{\text{sort}} = j(x + \mathrm{d}x,t)\,S\,\mathrm{d}t.

Le bilan de conservation de la matière s'écrit alors :

En simplifiant par le facteur non nul S\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}t, on obtient l'équation locale de conservation de la matière à une dimension :

D'après la question Q2, la loi de conservation du nombre d'atomes s'écrit à une dimension :

En injectant la loi de Fick rappelée à la question Q1, j(x, t) = -D \frac{\partial C}{\partial x}(x, t), et sous l'hypothèse d'un coefficient de diffusion D uniforme et constant, il vient :

soit finalement :

D'après la question Q1, le coefficient de diffusivité D s'exprime en \mathrm{m^2\cdot s^{-1}}, soit en termes de dimensions :

Le phénomène de diffusion étant régi par le seul paramètre dimensionné D, la longueur caractéristique L_{\mathrm{c}} associée à une durée caractéristique \tau_{\mathrm{c}} vérifie :

L'identification des exposants conduit à :

En admettant, conformément à l'énoncé, que la constante adimensionnée est de l'ordre de l'unité, on obtient :

Remarque : On retrouve ce résultat par estimation des termes de l'équation de diffusion \dfrac{\partial C}{\partial t} = D \dfrac{\partial^2 C}{\partial x^2} :

Puisqu'il n'y a ni création ni disparition d'atomes de phosphore, le nombre d'atomes contenus dans un cylindre de section droite S s'étendant pour x \ge 0 se conserve au cours du temps. À l'instant initial t = 0, ces atomes étaient tous concentrés dans le plan x = 0 avec la densité surfacique \sigma. Ainsi, pour tout instant t > 0 :

En injectant la forme admise de la concentration C(x, t) :

Effectuons le changement de variable u = \dfrac{x}{2\sqrt{Dt}}, d'où \mathrm{d}x = 2\sqrt{Dt} \, \mathrm{d}u :

En utilisant la valeur de l'intégrale de Gauss fournie dans les données :

il vient :

On en déduit l'expression de \alpha :

D'après l'expression de la concentration admise dans l'énoncé :

La concentration en surface x = 0 vaut :

La profondeur de diffusion p est définie par :

En injectant l'expression de C(p, t), on obtient :

Par identification des arguments :

Comme la profondeur p est une grandeur positive, il vient :

À la question Q4, l'analyse dimensionnelle a permis d'établir la relation d'échelle :

La profondeur de diffusion p varie bien proportionnellement à \sqrt{t}, avec un coefficient numérique égal à 2, ce qui est bien de l'ordre de l'unité comme postulé à la question Q4. Ce résultat est donc parfaitement cohérent avec l'analyse qualitative précédente.

D'après l'expression de la concentration obtenue à la question Q5 :

En x = 0, la concentration en phosphore s'écrit :

La concentration à l'origine est donc une fonction strictement décroissante du temps t.

Pour les trois instants considérés, classés par ordre chronologique :

on a donc :

Sur la figure 2, la lecture de l'ordonnée à l'origine x=0 donne :

• pour la courbe c : C(0) \approx 270\text{ atomes}\cdot\mu\text{m}^{-3},
• pour la courbe b : C(0) \approx 190\text{ atomes}\cdot\mu\text{m}^{-3},
• pour la courbe a : C(0) \approx 120\text{ atomes}\cdot\mu\text{m}^{-3}.

On en déduit immédiatement l'attribution suivante :

D'après la question Q7, la courbe c correspond à l'instant :

L'énoncé précise qu'en x = 0 :

D'après la question Q6, la profondeur de diffusion p vérifie :

En utilisant la donnée \mathrm{e} \approx 2{,}7 :

Sur la figure 2, la courbe c coupe la ligne horizontale de concentration C = 100\;\mu\text{m}^{-3} à l'abscisse :

Or, d'après la relation obtenue à la question Q6 :

On réalise l'application numérique :

Le numéro atomique du silicium est fourni dans les données : Z = 14.

D'après la règle de Klechkowski, sa configuration électronique à l'état fondamental s'écrit :

• Période : Le nombre quantique principal maximal de la couche de valence est n = 3. Le silicium appartient donc à la 3e période (ou 3e ligne).
• Colonne et famille : La couche externe comporte 2 + 2 = 4 électrons de valence (3s^2\, 3p^2). Le silicium se situe donc dans la colonne 14 (ou groupe IVA selon l'ancienne nomenclature), qui correspond à la famille des cristallogènes (famille du carbone).

D'après la loi de Hess, l'enthalpie standard de la réaction (1) s'exprime en fonction des enthalpies standard de formation des réactifs et des produits :

À la température de 298\text{ K}, les données fournies sont :

• \Delta_\mathrm{f}H^\circ(\mathrm{Si}_{(\mathrm{s})}) = 0\text{ kJ}\cdot\text{mol}^{-1} ;
• \Delta_\mathrm{f}H^\circ(\mathrm{O}_{2(\mathrm{g})}) = 0\text{ kJ}\cdot\text{mol}^{-1} ;
• \Delta_\mathrm{f}H^\circ(\mathrm{SiO}_{2(\mathrm{s})}) = -877{,}4\text{ kJ}\cdot\text{mol}^{-1}.

On en déduit immédiatement :

Puisque \Delta_\mathrm{r}H_1^\circ < 0, la réaction (1) est exothermique.

D'après le troisième principe de la thermodynamique, l'entropie standard de réaction \Delta_\mathrm{r}S_1^\circ à 298\text{ K} s'exprime à partir des entropies molaires standard par la relation :

Application numérique avec les données de l'énoncé :

Prévisibilité du signe :

L'équation-bilan met en jeu une variation du nombre de moles de gaz :

L'état gazeux possédant un volume molaire considérablement plus grand que les phases condensées, l'entropie molaire standard d'un gaz (S^\circ(\mathrm{O}_2) \approx 205\text{ J}\cdot\text{mol}^{-1}\cdot\text{K}^{-1}) est bien supérieure à celle d'un solide (quelques dizaines de \text{J}\cdot\text{mol}^{-1}\cdot\text{K}^{-1}). La disparition d'une mole de gaz au profit d'un solide ordonné s'accompagne d'une diminution du désordre microscopique du système : le signe négatif de \Delta_\mathrm{r}S_1^\circ était donc parfaitement prévisible.

1. Caractère de la réaction (1) à 298\text{ K} :

L'enthalpie libre standard de la réaction (1) à T = 298\text{ K} s'écrit :

D'après les questions Q10 et Q11 :

• \Delta_\mathrm{r}H_1^\circ(298\text{ K}) = -877{,}4\text{ kJ}\cdot\text{mol}^{-1} = -877\,400\text{ J}\cdot\text{mol}^{-1}
• \Delta_\mathrm{r}S_1^\circ(298\text{ K}) = -182{,}0\text{ J}\cdot\text{K}^{-1}\cdot\text{mol}^{-1}

À l'aide de la donnée numérique 182 \times 298 = 54\,236 :

La constante thermodynamique d'équilibre K^\circ vérifie :

Puisque \Delta_\mathrm{r}G_1^\circ \ll 0, on a K^\circ(298\text{ K}) \gg 10^4 (de l'ordre de 10^{144}).

Dans l'atmosphère ambiante (P_{\mathrm{O}_2} \approx 0{,}2\text{ bar}), le quotient réactionnel initial vaut Q_\mathrm{r} = \frac{1}{P_{\mathrm{O}_2}/P^\circ} = 5 \ll K^\circ. La réaction d'oxydation du silicium est donc spontanée et totale.

2. Opération d'électrométallurgie pour obtenir le silicium libre :

Dans la silice \mathrm{SiO}_{2(\mathrm{s})}, le silicium est au nombre d'oxydation +\mathrm{IV}, alors que dans le silicium solide \mathrm{Si}_{(\mathrm{s})}, son nombre d'oxydation est 0. L'opération nécessaire consiste donc en une réduction.

En électrométallurgie, l'obtention de silicium s'effectue par :

• Électrothermie (procédé industriel principal) : réduction carbothermique de la silice par le carbone dans un four électrique à arc à haute température (T > 1800\text{ }^\circ\text{C}) :

  \mathrm{SiO}_{2(\mathrm{s})} + 2\,\mathrm{C}_{(\mathrm{s})} \longrightarrow \mathrm{Si}_{(\mathrm{l})} + 2\,\mathrm{CO}_{(\mathrm{g})}

  suivie de procédés de purification poussée (zone fondue, tirage Czochralski) pour atteindre la pureté électronique requise ;

• ou Électrolyse (procédé électrochimique) : réduction cathodique d'un précurseur de silicium en milieu de sels fondus :

  \mathrm{Si}^{\mathrm{IV}} + 4\,\mathrm{e}^- \longrightarrow \mathrm{Si}_{(\mathrm{s})}

Soit i_L(t) l'intensité du courant traversant la bobine d'inductance L de la gauche vers la droite (en convention récepteur, u_L = L \frac{\mathrm{d}i_L}{\mathrm{d}t}). D'après la loi des mailles :

Au nœud reliant l'inductance, le condensateur et le conducteur ohmique, la loi des nœuds donne :

En dérivant cette relation par rapport au temps :

En substituant dans la loi des mailles :

En divisant l'ensemble de l'équation par LC, on obtient :

Par identification avec la forme canonique :

on obtient :

puis :

L'équation caractéristique associée à l'équation différentielle canonique établie en Q13 est :

Son discriminant réduit s'écrit :

La nature du régime transitoire dépend du signe de \Delta', c'est-à-dire de la position de Q par rapport à la valeur seuil Q_\mathrm{c} = \frac{1}{2} = 0{,}5 :

• Pour Q = 3 > 0{,}5 : le discriminant est strictement négatif (\Delta' < 0). Les racines sont complexes conjuguées : le système présente un régime pseudo-périodique, caractérisé par des oscillations amorties et des dépassements autour de la valeur finale U_\mathrm{s} = 1\text{ V}.
  Seule la courbe de la figure 4b présente ce comportement oscillatoire. On lui attribue donc :

  \boxed{\text{Figure 4b} \longleftrightarrow Q = 3}
• Pour Q = 0{,}5 : le discriminant est nul (\Delta' = 0). Il s'agit du régime critique, avec une racine double réelle r_0 = -\omega_0. C'est le régime qui converge le plus rapidement vers la valeur asymptotique sans présenter le moindre dépassement (constante de temps \tau = 1/\omega_0).

• Pour Q = 0{,}2 < 0{,}5 : le discriminant est strictement positif (\Delta' > 0). Il s'agit d'un régime apériodique (ou sur-amorti), dont la solution fait intervenir deux exponentielles réelles de constantes de temps \tau_1 = -1/r_1 et \tau_2 = -1/r_2. La constante de temps dominante (associée à la racine la plus proche de 0) vaut :

  \tau_{\max} = \frac{2Q}{\omega_0 \left(1 - \sqrt{1 - 4Q^2}\right)} \approx \frac{1}{Q\omega_0} = \frac{5}{\omega_0} \gg \frac{1}{\omega_0}

  Le régime apériodique met donc nettement plus de temps à s'établir que le régime critique.

En comparant les deux courbes sans dépassement :

• La tension sur la figure 4a atteint 99\,\% de sa valeur finale dès t \approx 0{,}01\text{ s} : c'est la réponse la plus rapide, caractéristique du régime critique.
• La tension sur la figure 4c est beaucoup plus lente, atteignant sa valeur finale vers t \approx 0{,}04\text{ s} : c'est le régime sur-amorti.

On en déduit les attributions :

1. Mesures graphiques (figure 5)

• Période : La tension d'entrée U_\mathrm{e}(t) et la tension de sortie U_\mathrm{s}(t) oscillent à la même période temporelle. Deux maxima consécutifs de U_\mathrm{s}(t) sont situés en t = 5\text{ ms} et t = 15\text{ ms}, d'où :

  T = 15 - 5 = 10\text{ ms} = 1{,}0 \times 10^{-2}\text{ s}.

  La pulsation de l'excitation est donc :

  \omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{1{,}0 \times 10^{-2}} = 200\pi\text{ rad}\cdot\text{s}^{-1} \approx 628\text{ rad}\cdot\text{s}^{-1}.

• Amplitudes :

  U_{e,\max} = 1{,}0\text{ V} \quad \text{et} \quad U_{s,\max} = 2{,}0\text{ V}.

• Déphasage : Le maximum de U_\mathrm{e}(t) intervient en t_e = 2{,}5\text{ ms}, tandis que le maximum correspondant de U_\mathrm{s}(t) est atteint en t_s = 5{,}0\text{ ms}. La tension de sortie est en retard d'un temps :

  \Delta t = t_s - t_e = 2{,}5\text{ ms} = \frac{T}{4}.

  Le déphasage de la sortie par rapport à l'entrée vaut ainsi :

  \Delta\varphi = \varphi_s - \varphi_e = -\omega \Delta t = -2\pi \frac{\Delta t}{T} = -\frac{\pi}{2}\text{ rad}.

2. Exploitation théorique de la fonction de transfert

En régime sinusoïdal forcé à la pulsation \omega, l'équation différentielle établie en Q13 :

conduit, en notation complexe, à la fonction de transfert :

L'argument de \underline{H}(\mathrm{j}\omega) s'annule lorsque la partie réelle du dénominateur s'annule, ce qui correspond précisément à une quadrature de phase :

Le système est donc excité exactement à sa pulsation propre :

À cette pulsation \omega = \omega_0, la fonction de transfert devient purement imaginaire :

Le module de la fonction de transfert est donc directement égal au facteur de qualité :

On en déduit :

L'inductance pure L remplit plusieurs rôles fondamentaux :

1. Respect des règles d'interconnexion des sources :

   • La batterie d'entrée U est une source de tension continue. En sortie, le condensateur C impose également une tension quasi-constante e(t), se comportant ainsi comme une source de tension.
   • En électronique de puissance, il est interdit d'interconnecter directement deux sources de tension ou de court-circuiter une source de tension à travers un interrupteur fermé, sous peine de courants infinis destructeurs.
   • Grâce à la continuité du courant qui la traverse, l'inductance L placée en série transforme la source de tension continue U en une source de courant pour la cellule de commutation. La fermeture de l'interrupteur K_1 ne provoque ainsi aucun court-circuit de tension.

2. Respect de la contrainte d'ondulation (lissage du courant) :

   • L'inductance s'oppose aux variations rapides du courant (\Delta i_1 = \frac{1}{L}\int u_L\,\mathrm{d}t). Elle assure le lissage du courant d'entrée i_1(t) et permet de respecter le cahier des charges imposant une ondulation \Delta I_1 \le 0{,}10\,I_1.

3. Stockage et transfert d'énergie (effet élévateur) :

   • Elle sert d'élément de stockage temporaire d'énergie magnétique : emmagasinant de l'énergie lors de la conduction de K_1 (u_L = U > 0), elle la restitue ensuite à la charge à une tension supérieure E > U lors de l'ouverture de K_1 (u_L = U - E < 0).

Le condensateur de capacité C, placé en parallèle avec la résistance de charge R, assure deux rôles essentiels dans ce hacheur survolteur (hacheur parallèle/boost) :

• Réservoir d'énergie et maintien de la continuité de l'alimentation : Lorsque l'interrupteur K_1 est fermé (intervalle [0, \alpha T]), l'interrupteur K_2 est bloqué. La source d'entrée et l'inductance sont isolées de la charge. Le condensateur se décharge alors dans la résistance R, fournissant l'énergie nécessaire pour alimenter le composant et maintenir le courant i_R(t).
• Filtrage et lissage de la tension de sortie : Grâce à la condition \tau = RC \gg T, la décharge du condensateur sur chaque période est très faible. Le condensateur lisse la tension e(t) aux bornes de la charge, maintenant son ondulation à un niveau minimal (\Delta E \le 100\text{ mV}) autour de sa valeur moyenne E = 30\text{ V}.

Dans cette phase d'étude, la tension aux bornes de la charge est considérée constante : e(t) = E. Les deux interrupteurs sont supposés idéaux.

• Sur l'intervalle [0, \alpha T] : L'interrupteur K_1 est fermé, assimilable à un court-circuit reliant le point situé après la bobine à la masse (potentiel 0\text{ V}).

  L'anode de la diode K_2 est donc au potentiel nul, tandis que sa cathode est au potentiel e(t) = E > 0. La diode K_2 est polarisée en inverse : elle est bloquée (interrupteur ouvert).

  La maille d'entrée comprenant la source de tension U, la bobine L et l'interrupteur K_1 fermé donne, en convention récepteur pour la bobine (u_L = L\frac{\mathrm{d}i_1}{\mathrm{d}t}) :

  U - L\frac{\mathrm{d}i_1}{\mathrm{d}t} = 0

  soit :

  \boxed{\frac{\mathrm{d}i_1}{\mathrm{d}t} = \frac{U}{L}}

• Sur l'intervalle [\alpha T, T] : L'interrupteur K_1 est ouvert. Par conservation de l'énergie magnétique, l'intensité i_1(t) à travers la bobine est une fonction continue du temps. Puisque i_1(t) > 0, le courant ne peut s'interrompre et traverse nécessairement la diode K_2, qui devient passante (interrupteur fermé avec chute de tension nulle).

  La loi des mailles s'écrit alors :

  U - L\frac{\mathrm{d}i_1}{\mathrm{d}t} - E = 0

  soit :

  \boxed{\frac{\mathrm{d}i_1}{\mathrm{d}t} = \frac{U - E}{L}}

En régime permanent périodique de période T, le courant vérifie la condition aux limites temporelles :

Ce qui se traduit, par intégration de la dérivée temporelle de i_1(t) sur une période, par l'annulation de la tension moyenne aux bornes de l'inductance :

D'après les équations établies à la question Q18 :

• sur l'intervalle [0, \, \alpha T] : u_L(t) = U ;
• sur l'intervalle [\alpha T, \, T] : u_L(t) = U - E.

Il vient ainsi :

On en déduit la relation fondamentale du hacheur parallèle (élévateur) :

Application numérique : Avec U = 12\text{ V} et E = 30\text{ V} :

D'après les équations différentielles établies à la question Q18 :

• Sur l'intervalle [0, \alpha T], \dfrac{\mathrm{d}i_1}{\mathrm{d}t} = \dfrac{U}{L} > 0 : les grandeurs U et L étant constantes, l'intensité i_1(t) croît linéairement de sa valeur minimale I_{1\min} à sa valeur maximale I_{1\max}.
• Sur l'intervalle [\alpha T, T], \dfrac{\mathrm{d}i_1}{\mathrm{d}t} = \dfrac{U - E}{L} < 0 (puisque E > U) : l'intensité décroît linéairement de I_{1\max} à I_{1\min}.

En vertu de la continuité du courant traversant la bobine idéale d'inductance L, i_1(t) est une fonction continue du temps. En régime permanent périodique de période T, la courbe présente une allure triangulaire (en dents de scie) dissymétrique (\alpha = 0{,}6 > 0{,}5).

Plaçons-nous en régime périodique établi de période T :

• Les interrupteurs K_1 et K_2 sont supposés idéaux : à l'état passant, la tension à leurs bornes est nulle ; à l'état bloqué, le courant qui les traverse est nul. La puissance instantanée qu'ils dissipent est donc identiquement nulle.

• La bobine L et le condensateur C sont purement réactifs. En régime périodique établi, l'énergie moyenne emmagasinée par ces dipôles est constante sur une période, d'où une puissance moyenne consommée nulle :

  \langle p_L \rangle = \frac{1}{T} \int_0^T \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left(\frac{1}{2} L i_1^2(t)\right)\mathrm{d}t = \frac{1}{2T} L \left[i_1^2(T) - i_1^2(0)\right] = 0

  et de même pour le condensateur, \langle p_C \rangle = 0.

Par conservation de l'énergie, la puissance moyenne fournie par la source d'entrée \langle p_\mathrm{e} \rangle est intégralement transmise à la charge résistive \langle p_\mathrm{s} \rangle :

La tension de la source continue étant constante égale à U, la puissance moyenne fournie s'écrit :

Dans l'approximation où la tension de sortie e(t) est constante et égale à E, la puissance moyenne reçue par la résistance R s'écrit :

L'égalité des puissances moyennes conduit donc à :

D'après le résultat de la question Q19, E = \dfrac{U}{1-\alpha}, ce qui donne :

En simplifiant par U > 0, on obtient :

Sur l'intervalle [0, \alpha T], l'équation différentielle établie à la question Q18 donne :

La dérivée temporelle étant constante, la variation du courant sur cet intervalle est :

La condition imposée par le cahier des charges s'écrit :

D'après la question Q21, la valeur moyenne du courant d'entrée s'exprime par I_1 = \dfrac{I_R}{1-\alpha}. L'inégalité devient ainsi :

L'inductance minimale requise est donc :

Application numérique : Avec U = 12\text{ V}, \alpha = 0{,}60, T = 50\ \mu\text{s} = 50\times 10^{-6}\text{ s} et I_R = 5\text{ A} :

Sur l'intervalle de temps [0, \alpha T], l'interrupteur K_1 est fermé. L'anode de la diode K_2 est alors reliée à la masse (potentiel nul).

Le condensateur étant initialement chargé sous une tension positive proche de la valeur moyenne E = 30\text{ V} > 0, le potentiel de la cathode de K_2 est supérieur à celui de son anode. La diode K_2 est donc polarisée en inverse et se trouve à l'état bloqué (interrupteur ouvert).

La cellule de sortie formée par le condensateur de capacité C et le conducteur ohmique de résistance R en parallèle est ainsi totalement isolée de la source d'entrée et de l'inductance.

En orientant la tension u_c(t) de la masse vers le fil supérieur (en convention récepteur par rapport au courant i_C(t) descendant), la tension aux bornes de la résistance est également e(t) = u_c(t).

La loi des nœuds au nœud supérieur s'écrit alors :

avec les relations constitutives des dipôles :

Il vient :

En introduisant la constante de temps \tau = RC, on obtient l'équation différentielle :

La solution générale de cette équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients constants et sans second membre est de la forme :

Pendant cette phase de fonctionnement, la dérivée \frac{\mathrm{d}u_c}{\mathrm{d}t} = -\frac{u_c}{\tau} est strictement négative : le condensateur se décharge dans la résistance, de sorte que la tension u_c(t) décroît de façon monotone sur l'intervalle [0, \alpha T].

La tension maximale E_\mathrm{max} sur une période de hachage est donc atteinte au début de cette phase de décharge, soit à t = 0 :

On en déduit l'expression de la tension pour t \in [0, \alpha T] :

D'après la question Q23, la tension aux bornes du condensateur décroît sur l'intervalle [0, \alpha T] selon :

La valeur minimale de la tension est ainsi atteinte à la fin de cette phase de décharge, en t = \alpha T :

L'ondulation de la tension de sortie s'écrit donc :

L'énoncé précise que \tau = RC \gg T. Comme le rapport cyclique vérifie \alpha \in [0, 1], on a \frac{\alpha T}{\tau} \ll 1. Un développement limité à l'ordre 1 donne :

L'ondulation est donc très faible devant la tension moyenne (\Delta E \ll E), ce qui autorise l'approximation E_\mathrm{max} \approx E :

La contrainte imposée sur le cahier des charges s'écrit :

On en déduit l'expression littérale de la capacité minimale :

Le conducteur ohmique est assimilable d'un point de vue électrique et magnétique au vide (\varepsilon = \varepsilon_0 et \mu = \mu_0), est électriquement neutre (\rho = 0) et présente une conductivité électrique notée \gamma.

• Loi d'Ohm locale :

  \boxed{\vec{\jmath} = \gamma \vec{E}}

• Équations de Maxwell au sein du conducteur :

  \begin{aligned} \text{Maxwell-Gauss (MG) :} \quad & \mathrm{div}\,\vec{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0} = 0 \\ \text{Maxwell-Thomson (MT) :} \quad & \mathrm{div}\,\vec{B} = 0 \\ \text{Maxwell-Faraday (MF) :} \quad & \vec{\mathrm{rot}}\,\vec{E} = -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t} \\ \text{Maxwell-Ampère (MA) :} \quad & \vec{\mathrm{rot}}\,\vec{B} = \mu_0 \vec{\jmath} + \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} \end{aligned}

On regroupe les équations de Maxwell sous forme encadrée :

Dans le conducteur ohmique, la densité volumique de courant total intervenant dans l'équation de Maxwell-Ampère se compose du courant de conduction \vec{\jmath}_{\mathrm{c}} = \gamma \vec{E} et du courant de déplacement \vec{\jmath}_{\mathrm{d}} = \varepsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}.

En régime sinusoïdal de pulsation \omega = 2\pi f, les amplitudes respectives de ces deux composantes vérifient :

Le rapport des normes s'écrit donc :

D'après les données de l'énoncé, la résistivité des métaux usuels (argent, cuivre, aluminium) est de l'ordre de \rho \sim 2 \cdot 10^{-8}\ \Omega\cdot\text{m} (soit une conductivité \gamma \sim 5 \cdot 10^7\ \text{S}\cdot\text{m}^{-1}), et la fréquence vérifie f \le 10\text{ GHz} = 10^{10}\text{ Hz}. On obtient numériquement :

Le courant de déplacement est donc tout à fait négligeable devant le courant de conduction sur toute la gamme de fréquences considérée.

L'équation de Maxwell-Ampère se simplifie alors selon :

D'après l'identité vectorielle fournie dans les données :

Le conducteur ohmique étant supposé électriquement neutre en tout point (\rho = 0), l'équation de Maxwell-Gauss donne \mathrm{div}\,\vec{E} = 0, d'où :

Par ailleurs, en utilisant la loi de Maxwell-Faraday \vec{\mathrm{rot}}\,\vec{E} = -\frac{\partial\vec{B}}{\partial t} et en permutant les dérivées spatiale et temporelle :

En utilisant l'équation de Maxwell-Ampère simplifiée établie à la question Q26, \vec{\mathrm{rot}}\,\vec{B} = \mu_0 \gamma \vec{E}, il vient :

En égalant les deux expressions obtenues :

Le champ électrique \vec{E} vérifie donc bien une équation de la forme \Delta\vec{X} - \alpha\frac{\partial\vec{X}}{\partial t} = \vec{0} avec \vec{X} = \vec{E} et :

1. Unité de \alpha dans le Système International :

   D'après l'équation aux dérivées partielles établie à la question Q27 :

   \Delta \vec{E} - \alpha \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} = \vec{0}

   Le laplacien vectoriel fait intervenir des dérivées spatiales d'ordre 2, de sorte que dimensionnellement :

   [\Delta \vec{E}] = \frac{[E]}{\mathrm{m}^{2}} \quad \text{et} \quad \left[\alpha \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}\right] = [\alpha]\,\frac{[E]}{\mathrm{s}}

   L'homogénéité de l'équation impose donc :

   [\alpha] = \mathrm{s}\cdot\mathrm{m}^{-2}
   \boxed{\text{L'unité de } \alpha \text{ dans le Système International est le } \mathrm{s}\cdot\mathrm{m}^{-2}\text{ (ou }\mathrm{s}/\mathrm{m}^2\text{)}.}

2. Type d'équation :

   Il s'agit d'une équation de diffusion (équation aux dérivées partielles parabolique), où le coefficient \alpha = \mu_0 \gamma correspond à l'inverse d'un coefficient de diffusion :

   D_{\mathrm{EM}} = \frac{1}{\alpha} = \frac{1}{\mu_0 \gamma} \quad (\text{en }\mathrm{m}^2\cdot\mathrm{s}^{-1})
   \boxed{\text{Il s'agit d'une équation de diffusion.}}

3. Autre domaine de la physique :

   On retrouve cette catégorie d'équations notamment en :

   • Thermique : l'équation de la chaleur régissant la conduction thermique (associée à la loi de Fourier), \Delta T - \frac{1}{D_{\mathrm{th}}}\frac{\partial T}{\partial t} = 0 avec D_{\mathrm{th}} = \frac{\lambda}{\rho c} la diffusivité thermique ;
   • Diffusion de matière : loi de Fick et équation de diffusion massique rencontrées en partie I de cette épreuve, \Delta C - \frac{1}{D}\frac{\partial C}{\partial t} = 0.

Le champ électrique dans le conducteur s'écrit sous forme complexe :

D'après la question Q27, le champ électrique vérifie l'équation de diffusion :

Le champ \underline{\vec{E}} ne dépendant d'espace que de la coordonnée z, son laplacien vectoriel se réduit à :

Par ailleurs, la dérivation temporelle donne :

En reportant dans l'équation de diffusion, on obtient pour \underline{\vec{E}} \neq \vec{0} :

d'où la relation de dispersion :

Puisque -j = \mathrm{e}^{-j\pi/2}, on a :

L'onde se propageant dans le sens des z croissants avec une atténuation physique en profondeur (z \to +\infty), le terme en facteur de l'exponentielle spatiale doit être \mathrm{e}^{-j\underline{k}z} = \mathrm{e}^{-jk'z}\mathrm{e}^{-k''z} avec k'' > 0. On retient donc la racine :

La vitesse de phase de l'onde s'exprime par :

La vitesse de phase dépend explicitement de la pulsation \omega. On en déduit :

D'après la question Q29, le vecteur d'onde complexe associé à une onde se propageant et s'atténuant pour z > 0 s'écrit :

En introduisant la grandeur \delta = \sqrt{\dfrac{2}{\mu_0 \gamma \omega}}, il vient immédiatement :

On en déduit le terme de phase spatiale :

L'expression complexe du champ électrique donnée par l'énoncé devient donc :

D'après la loi d'Ohm locale (question Q25), le vecteur densité volumique de courant est lié au champ électrique par :

On obtient ainsi, avec j_0 = \gamma E_0 :

La grandeur \delta = \sqrt{\dfrac{2}{\mu_0 \gamma \omega}} s'appelle l'épaisseur de peau (ou profondeur de pénétration).

Puisque \underline{k} = \dfrac{1-j}{\delta}, le terme z/\delta dans l'argument de l'exponentielle est sans dimension, de sorte que \delta est une longueur :

D'après les expressions complexes établies aux questions Q30 et données par l'énoncé, les champs électrique et magnétique s'écrivent :

Leur amplitude présente une décroissance spatiale exponentielle modulée par le facteur e^{-z/\delta}.

Pour z \gg \delta :

On en déduit que :

Les champs électromagnétiques sont quasi nuls au sein du conducteur : l'onde ne s'y propage pas en volume mais est confinée à une région superficielle. C'est la manifestation de l'effet de peau (ou effet pelliculaire).

D'après la question Q30, l'épaisseur de peau est donnée par :

où \rho = 1/\gamma est la résistivité électrique du métal et \omega = 2\pi f.

1. Efficacité en fonction de la fréquence :

L'épaisseur de peau varie en 1/\sqrt{f}. Lorsque la fréquence f augmente, \delta diminue : l'onde pénètre d'autant moins profondément dans le conducteur et l'atténuation sur une épaisseur donnée est plus importante (décroissance en \mathrm{e}^{-z/\delta}). Par conséquent, l'écrantage électromagnétique est plus efficace pour les hautes fréquences.

2. Évaluation numérique pour f = 1\text{ MHz} :

Considérons par exemple une couche de cuivre, dont la résistivité est donnée à la fin de l'énoncé :

• \rho \approx 17 \cdot 10^{-9}\ \Omega\cdot\text{m},
• \mu_0 = 4\pi \cdot 10^{-7}\text{ H}\cdot\text{m}^{-1},
• f = 10^6\text{ Hz}.

En approximant \pi^2 \approx 10 :

(Pour l'aluminium avec \rho = 28\cdot 10^{-9}\ \Omega\cdot\text{m}, on trouve de façon similaire \delta \approx 84\ \mu\text{m}).

Pour assurer un écrantage efficace, l'épaisseur e du dépôt doit être de l'ordre de quelques épaisseurs de peau (pour e = 3\delta, l'amplitude du champ résiduel est atténuée d'un facteur \mathrm{e}^{-3} \approx 5\,\%, et pour e = 5\delta, elle est inférieure à 1\,\%) :

Le phénomène physique responsable de l'atténuation des ondes électromagnétiques dans les conducteurs ohmiques est la dissipation d'énergie par effet Joule.

Sous l'action du champ électrique oscillant de l'onde, les porteurs de charge libres du milieu se déplacent et créent un courant de conduction de densité volumique \vec{\jmath} = \gamma \vec{E}. Les collisions répétées de ces électrons avec le réseau cristallin convertissent irréversiblement l'énergie électromagnétique de l'onde en énergie thermique, avec une puissance volumique cédée au milieu égale à :

Cette perte continuelle d'énergie au cours de la pénétration de l'onde se traduit macroscopiquement par l'atténuation exponentielle de l'amplitude des champs \vec{E} et \vec{B} (effet de peau).

La puissance électromagnétique instantanée traversant la section S en z = 0^+ vers les z > 0 est le flux du vecteur de Poynting \vec{\Pi}(z, t) = \frac{1}{\mu_0} \vec{E}(z, t) \wedge \vec{B}(z, t) à travers la surface S orientée selon \vec{e}_z :

car le milieu est invariant par translation transverse dans le plan (Oxy).

En prenant la partie réelle des champs complexes en z = 0^+ :

La composante selon \vec{e}_z du vecteur de Poynting s'écrit :

À l'aide de la relation trigonométrique de l'énoncé \cos a \cos b = \frac{1}{2}\left[\cos(a-b) + \cos(a+b)\right] :

En prenant la moyenne temporelle, le terme oscillant à 2\omega est de moyenne nulle :

En utilisant la définition de l'épaisseur de peau \delta = \sqrt{\frac{2}{\mu_0 \gamma \omega}}, il vient :

La puissance moyenne entrant dans le conducteur à travers la section S en z = 0^+ est donc :

La tranche de conducteur située entre les cotes z et z + \mathrm{d}z a pour section droite S et occupe un volume élémentaire :

D'après la loi d'Ohm locale \vec{\jmath} = \gamma \vec{E} (question Q25), la puissance volumique instantanée dissipée par effet Joule au point d'abscisse z s'écrit :

En prenant la partie réelle du champ électrique complexe obtenu à la question Q30, \vec{\underline{E}}(z, t) = E_0 \mathrm{e}^{-z/\delta}\mathrm{e}^{j(\omega t - z/\delta)}\vec{e}_x :

La moyenne temporelle sur une période T = \frac{2\pi}{\omega} de \cos^2\!\left(\omega t - \frac{z}{\delta}\right) valant \frac{1}{2}, la puissance volumique moyenne dissipée s'exprime par :

Remarque : on retrouve directement ce résultat en notation complexe via \langle p_{\mathrm{J}}(z) \rangle = \frac{1}{2}\mathrm{Re}\left(\vec{\underline{\jmath}} \cdot \vec{\underline{E}}^*\right) = \frac{1}{2}\gamma \|\vec{\underline{E}}\|^2.

La puissance moyenne \mathrm{d}\langle \mathcal{P}_{\mathrm{J}} \rangle dissipée dans la tranche de volume \mathrm{d}V = S\,\mathrm{d}z est donc :

La puissance moyenne totale dissipée par effet Joule dans le conducteur semi-infini de section S s'obtient en intégrant la puissance élémentaire calculée à la question précédente sur l'ensemble du demi-espace z \in [0, +\infty[ :

En remplaçant l'épaisseur de peau par son expression \delta = \sqrt{\dfrac{2}{\mu_0 \gamma \omega}}, il vient :

Conclusion : En comparant ce résultat à celui établi à la question Q34, on constate l'égalité parfaite :

La puissance électromagnétique moyenne qui pénètre à travers la surface du conducteur en z = 0^+ est intégralement dissipée sous forme thermique par effet Joule au sein du métal. Cela valide quantitativement la réponse apportée à la question Q33.